第一章 直角三角形的边角关系 重难点分类练（含答案）2025-2026学年数学北师大版九年级下册
文档属性
| 名称 | 第一章 直角三角形的边角关系 重难点分类练（含答案）2025-2026学年数学北师大版九年级下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 673.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-31 21:59:19 | ||
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文档简介
第一章 直角三角形的边角关系
. . . . .
记错特殊角的三角函数值而致错
【例1】在△ABC中，若（cos A－）2＋｜tan B－｜＝0，则△ABC的形状为（ ）.
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形
错因分析：记错三角函数值；实际解题中一定要牢记特殊角的三角函数值，可从想象其实际原理进行推理得出，这样会把握得牢固些.
1.下列计算错误的是（ ）.
A.sin 60°－sin 30°＝sin 30° B.sin245°＋cos245°＝1
C.tan 60°＝ D.sin 30°＝cos 60°
求三角函数值，忽视直角三角形而致错
【例2】 如图，在△ABC中，AB＝1，AC＝，sin B＝，求BC的长.
错因分析：忽视直角三角形条件，误认为sin B＝；实际解题中要清楚地知道，目前所学的三角函数值都是在直角三角形中成立的，一定要先构造成直角三角形方可运用三角函数值解题.
2.如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin A的值是 .
忽视锐角三角函数的取值范围而致错
【例3】 若α为锐角，且2cos2α＋7sin α－5＝0，求sin α的值.
错因分析：忽视当α为锐角时，0＜sin α＜1，0＜cos α＜1的范围；解题中要清楚地知道，目前所学的三角函数值都是正数，若题目中出现了负数值，就要根据具体的题意进行取舍.
3.如图，在直角坐标系中，P是第二象限的点，其坐标是（x，8），且OP与x轴的
负半轴的夹角α的正切值是，则x＝ ，cos α＝ .
考虑问题不全面而致错
【例4】 在一个含30°角的直角三角形中，一条边的长为1，另一条边的长为2，那么这个三角形的面积为 .
错因分析：误认为2可为直角边，实际解题中要考虑全面，避免漏解或不符合题意的解，要记得及时验算是否符合实际.
4.在△ABC中，若∠B＝45°，AB＝10，AC＝5，则△ABC的面积是 .
锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的正弦：sin A＝＝；∠A的余弦：cos A＝＝；tan A＝＝.锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数.牢牢掌握好正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，则tan A的值是 .
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sin A＝，则边AB的长为 .
3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，tan A＝.求AC的长，sin A和tan B的值.
30°，45°，60°角的三角函数值及其综合计算
掌握好30°，45°，60°角的三角函数值，利用好余角三角函数关系：“正余互化公式” ，如果∠A＋∠B＝90°，那么sin A＝cos B， cos A＝sin B.
4.计算2 0210＋｜2－tan 60°｜的值为（ ）.
A.3＋ B.3－ C.－3 D.＋1
5.（1）已知α是锐角，且cos α＝，那么α＝ .
（2）若tan （α－10°）＝1，则锐角α＝ .
6.计算：（1）｜－2｜＋2cos 30°－（－）2＋；
（2）－2cos 45°＋（π－tan 60°）0；
（3）÷2 0210－2sin 60°－｜1－｜.
解直角三角形
解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如边边关系：勾股定理，即a2＋b2＝c2；边角关系：锐角三角函数.
7.（2024秋·光明区校级期中）如图，四边形ABCD，AD＝AB＝BC，∠ACD＝30°，cos∠BAC＝，CD＝2，则AC＝ .
第7题图
8.如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，过点B作BQ∥AC，在BQ上取一点D，连接CD，AD，若AC＝CD，BD＝，则AD＝ .
第8题图
9.如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝8，cos∠BAC＝，BD⊥AC，垂足为点D，E是BD的中点，连接AE并延长，交边BC于点F.
（1）求∠EAD的正切值；
（2）求的值.
三角函数的应用
解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.
10.学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳AB到地面，如图所示.已知彩旗绳与地面形成25°角（即∠BAC＝25°），彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即AC＝32米），则彩旗绳AB的长度为（ ）.
A.32sin 25°米 B.32cos 25°米 C.米 D.米
11.如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂AB，连杆BC，悬臂CD和安装在D处的摄像头组成.如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂AB⊥l，AB＝18 cm，BC＝40 cm，CD＝44 cm，固定∠ABC＝148°，可通过调试悬臂CD与连杆BC的夹角提高拍摄效果.
（1）当悬臂CD与桌面l平行时，∠BCD＝ °.
（2）问悬臂端点C到桌面l的距离约为多少？
（3）已知摄像头点D到桌面l的距离为30 cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂CD与连杆BC的夹角∠BCD的度数约为多少？（参考数据：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60）
参考答案
【思维导图】
① ② ③ ④
⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨1 ⑩
a2＋b2＝c2 ∠A＋∠B＝90°
【易错点剖析】
【例1】A 解析：∵cos A＝，
∴∠A＝30°.又∵tan B＝，
∴∠B＝60°，
∴∠A＋∠B＝90°，故选A.
1.A
【例2】 解：如图，作AD⊥BC于点D.
在Rt△ADB中，AD＝AB·sin B＝，
∴BD＝＝＝，在Rt△ADC中，CD＝＝，
∴BC＝BD＋CD＝.
2.
【例3】解：∵cos2α＝1－sin2α，
∴原方程可化为2sin2α－7sin α＋3＝0，
∴sin α＝（sin α＝3＞1舍去）.
3.－6，
【例4】
4.75或25
【重难点突破】
1. 2.8
3.解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，tan A＝，
∴tan A＝＝，解得AC＝40，
∴AB＝＝＝41，
∴sin A＝＝，tan B＝＝.
4.B
5.（1）45° 解析：∵α是锐角，且cos α＝，
∴α＝45°.故答案为45°.
（2）55° 解析：∵tan （α－10°）＝1，tan 45°＝1，
∴α－10°＝45°，
∴α＝55°，
故答案为55°.
6.解：（1）原式＝2－＋2×－3＋4
＝2－＋－3＋4
＝3.
（2）原式＝3－2×＋1
＝3－＋1
＝4－.
（3）原式＝4÷1－2×－（－1）
＝4－－＋1
＝5－2.
7.4 解析：如图，过点D，B分别作DE⊥AC，BH⊥AC，垂足分别为E，H，
设AC＝x，
∵在Rt△CDE中，CD＝2，∠ACD＝30°，DE⊥AC，
∴DE＝CD＝1，CE＝CD·cos 30°＝，
∴AE＝x－.
在Rt△AED中，由勾股定理，得AD2＝AE2＋DE2＝（x－）2＋1，
∵AB＝BC，BH⊥AC，
∴AH＝AC＝x.
∵cos∠BAC＝＝，
∴（）2＝，
即＝，
整理得35x2－168x＋336＝0，
解得x1＝4，x2＝.
当AC＝时，AC＜DC，与图形不符，舍去.
∴AC＝4.故答案为4.
8.2 解析：如图所示，过点D作DE⊥AB，DF⊥CB的延长线于点F，
因为BQ∥AC，所以∠ABD＝∠BAC＝45°.
在Rt△BED中，BD＝， ∠ABD ＝45°，
所以DE＝BD·sin 45°＝×＝1，即BF＝1.
设BC＝x，根据勾股定理可得AC＝x，所以CD＝x，
在Rt△DFC中，根据勾股定理可得1＋（1＋x）2＝（x）2，解得x＝1＋（负值舍去），所以AE＝，
在Rt△DEA中，根据勾股定理可得AD＝2.
9.解：（1）∵BD⊥AC，
∴∠ADE＝90°.
在Rt△ADB中，AB＝13，cos∠BAC＝，
∴AD＝5.
由勾股定理，得BD＝＝＝12，
∵E是BD的中点，
∴ED＝6，
∴tan∠EAD＝＝.
（2）如图，过D作DG∥AF交BC于G，
∵AC＝8，AD＝5，
∴CD＝3.
∵DG∥AF，
∴＝＝.
设CG＝3x，FG＝5x，
∵EF∥DG，BE＝ED，
∴BF＝FG＝5x，
∴＝＝.
10.D
11.解：（1）如图1，当悬臂CD与桌面l平行时，作BE∥l，
图1
∵∠ABC＝148°＝∠EBA＋∠CBE，
∴∠CBE＝148°－90°＝58°.
∵BE∥l，悬臂CD也与桌面平行，
∴BE∥DC，
∴∠BCD＝∠CBE＝58°.
故答案为58.
（2）如图2，过C作CE⊥l与l交于E，过B作BF⊥CE与CE交于F，
∴四边形ABFE为矩形，
∴∠2＝90°，EF＝AB＝18.
∵∠ABC＝148°，
∴∠1＝58°.
在Rt△CBF中，∠CFB＝90°，sin ∠1＝＝0.85，
∵CB＝40，
∴CF＝34.
∴CE＝CF＋EF＝34＋18＝52（cm）.
图2 图3
解：（3）如图3，过D作DM⊥l，DN⊥CE，DM＝NE＝30，
∴CN＝CE－NE＝22.
在Rt△DCN中，∠DNC＝90°，cos ∠DCN＝＝，
∴∠DCN＝60°.
∵∠1＝58°，
∴∠3＝32°，
∴∠DCB＝60°－32°＝28°.
. . . . .
记错特殊角的三角函数值而致错
【例1】在△ABC中，若（cos A－）2＋｜tan B－｜＝0，则△ABC的形状为（ ）.
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形
错因分析：记错三角函数值；实际解题中一定要牢记特殊角的三角函数值，可从想象其实际原理进行推理得出，这样会把握得牢固些.
1.下列计算错误的是（ ）.
A.sin 60°－sin 30°＝sin 30° B.sin245°＋cos245°＝1
C.tan 60°＝ D.sin 30°＝cos 60°
求三角函数值，忽视直角三角形而致错
【例2】 如图，在△ABC中，AB＝1，AC＝，sin B＝，求BC的长.
错因分析：忽视直角三角形条件，误认为sin B＝；实际解题中要清楚地知道，目前所学的三角函数值都是在直角三角形中成立的，一定要先构造成直角三角形方可运用三角函数值解题.
2.如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin A的值是 .
忽视锐角三角函数的取值范围而致错
【例3】 若α为锐角，且2cos2α＋7sin α－5＝0，求sin α的值.
错因分析：忽视当α为锐角时，0＜sin α＜1，0＜cos α＜1的范围；解题中要清楚地知道，目前所学的三角函数值都是正数，若题目中出现了负数值，就要根据具体的题意进行取舍.
3.如图，在直角坐标系中，P是第二象限的点，其坐标是（x，8），且OP与x轴的
负半轴的夹角α的正切值是，则x＝ ，cos α＝ .
考虑问题不全面而致错
【例4】 在一个含30°角的直角三角形中，一条边的长为1，另一条边的长为2，那么这个三角形的面积为 .
错因分析：误认为2可为直角边，实际解题中要考虑全面，避免漏解或不符合题意的解，要记得及时验算是否符合实际.
4.在△ABC中，若∠B＝45°，AB＝10，AC＝5，则△ABC的面积是 .
锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的正弦：sin A＝＝；∠A的余弦：cos A＝＝；tan A＝＝.锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数.牢牢掌握好正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，则tan A的值是 .
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sin A＝，则边AB的长为 .
3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，tan A＝.求AC的长，sin A和tan B的值.
30°，45°，60°角的三角函数值及其综合计算
掌握好30°，45°，60°角的三角函数值，利用好余角三角函数关系：“正余互化公式” ，如果∠A＋∠B＝90°，那么sin A＝cos B， cos A＝sin B.
4.计算2 0210＋｜2－tan 60°｜的值为（ ）.
A.3＋ B.3－ C.－3 D.＋1
5.（1）已知α是锐角，且cos α＝，那么α＝ .
（2）若tan （α－10°）＝1，则锐角α＝ .
6.计算：（1）｜－2｜＋2cos 30°－（－）2＋；
（2）－2cos 45°＋（π－tan 60°）0；
（3）÷2 0210－2sin 60°－｜1－｜.
解直角三角形
解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如边边关系：勾股定理，即a2＋b2＝c2；边角关系：锐角三角函数.
7.（2024秋·光明区校级期中）如图，四边形ABCD，AD＝AB＝BC，∠ACD＝30°，cos∠BAC＝，CD＝2，则AC＝ .
第7题图
8.如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，过点B作BQ∥AC，在BQ上取一点D，连接CD，AD，若AC＝CD，BD＝，则AD＝ .
第8题图
9.如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝8，cos∠BAC＝，BD⊥AC，垂足为点D，E是BD的中点，连接AE并延长，交边BC于点F.
（1）求∠EAD的正切值；
（2）求的值.
三角函数的应用
解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.
10.学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳AB到地面，如图所示.已知彩旗绳与地面形成25°角（即∠BAC＝25°），彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即AC＝32米），则彩旗绳AB的长度为（ ）.
A.32sin 25°米 B.32cos 25°米 C.米 D.米
11.如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂AB，连杆BC，悬臂CD和安装在D处的摄像头组成.如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂AB⊥l，AB＝18 cm，BC＝40 cm，CD＝44 cm，固定∠ABC＝148°，可通过调试悬臂CD与连杆BC的夹角提高拍摄效果.
（1）当悬臂CD与桌面l平行时，∠BCD＝ °.
（2）问悬臂端点C到桌面l的距离约为多少？
（3）已知摄像头点D到桌面l的距离为30 cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂CD与连杆BC的夹角∠BCD的度数约为多少？（参考数据：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60）
参考答案
【思维导图】
① ② ③ ④
⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨1 ⑩
a2＋b2＝c2 ∠A＋∠B＝90°
【易错点剖析】
【例1】A 解析：∵cos A＝，
∴∠A＝30°.又∵tan B＝，
∴∠B＝60°，
∴∠A＋∠B＝90°，故选A.
1.A
【例2】 解：如图，作AD⊥BC于点D.
在Rt△ADB中，AD＝AB·sin B＝，
∴BD＝＝＝，在Rt△ADC中，CD＝＝，
∴BC＝BD＋CD＝.
2.
【例3】解：∵cos2α＝1－sin2α，
∴原方程可化为2sin2α－7sin α＋3＝0，
∴sin α＝（sin α＝3＞1舍去）.
3.－6，
【例4】
4.75或25
【重难点突破】
1. 2.8
3.解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，tan A＝，
∴tan A＝＝，解得AC＝40，
∴AB＝＝＝41，
∴sin A＝＝，tan B＝＝.
4.B
5.（1）45° 解析：∵α是锐角，且cos α＝，
∴α＝45°.故答案为45°.
（2）55° 解析：∵tan （α－10°）＝1，tan 45°＝1，
∴α－10°＝45°，
∴α＝55°，
故答案为55°.
6.解：（1）原式＝2－＋2×－3＋4
＝2－＋－3＋4
＝3.
（2）原式＝3－2×＋1
＝3－＋1
＝4－.
（3）原式＝4÷1－2×－（－1）
＝4－－＋1
＝5－2.
7.4 解析：如图，过点D，B分别作DE⊥AC，BH⊥AC，垂足分别为E，H，
设AC＝x，
∵在Rt△CDE中，CD＝2，∠ACD＝30°，DE⊥AC，
∴DE＝CD＝1，CE＝CD·cos 30°＝，
∴AE＝x－.
在Rt△AED中，由勾股定理，得AD2＝AE2＋DE2＝（x－）2＋1，
∵AB＝BC，BH⊥AC，
∴AH＝AC＝x.
∵cos∠BAC＝＝，
∴（）2＝，
即＝，
整理得35x2－168x＋336＝0，
解得x1＝4，x2＝.
当AC＝时，AC＜DC，与图形不符，舍去.
∴AC＝4.故答案为4.
8.2 解析：如图所示，过点D作DE⊥AB，DF⊥CB的延长线于点F，
因为BQ∥AC，所以∠ABD＝∠BAC＝45°.
在Rt△BED中，BD＝， ∠ABD ＝45°，
所以DE＝BD·sin 45°＝×＝1，即BF＝1.
设BC＝x，根据勾股定理可得AC＝x，所以CD＝x，
在Rt△DFC中，根据勾股定理可得1＋（1＋x）2＝（x）2，解得x＝1＋（负值舍去），所以AE＝，
在Rt△DEA中，根据勾股定理可得AD＝2.
9.解：（1）∵BD⊥AC，
∴∠ADE＝90°.
在Rt△ADB中，AB＝13，cos∠BAC＝，
∴AD＝5.
由勾股定理，得BD＝＝＝12，
∵E是BD的中点，
∴ED＝6，
∴tan∠EAD＝＝.
（2）如图，过D作DG∥AF交BC于G，
∵AC＝8，AD＝5，
∴CD＝3.
∵DG∥AF，
∴＝＝.
设CG＝3x，FG＝5x，
∵EF∥DG，BE＝ED，
∴BF＝FG＝5x，
∴＝＝.
10.D
11.解：（1）如图1，当悬臂CD与桌面l平行时，作BE∥l，
图1
∵∠ABC＝148°＝∠EBA＋∠CBE，
∴∠CBE＝148°－90°＝58°.
∵BE∥l，悬臂CD也与桌面平行，
∴BE∥DC，
∴∠BCD＝∠CBE＝58°.
故答案为58.
（2）如图2，过C作CE⊥l与l交于E，过B作BF⊥CE与CE交于F，
∴四边形ABFE为矩形，
∴∠2＝90°，EF＝AB＝18.
∵∠ABC＝148°，
∴∠1＝58°.
在Rt△CBF中，∠CFB＝90°，sin ∠1＝＝0.85，
∵CB＝40，
∴CF＝34.
∴CE＝CF＋EF＝34＋18＝52（cm）.
图2 图3
解：（3）如图3，过D作DM⊥l，DN⊥CE，DM＝NE＝30，
∴CN＝CE－NE＝22.
在Rt△DCN中，∠DNC＝90°，cos ∠DCN＝＝，
∴∠DCN＝60°.
∵∠1＝58°，
∴∠3＝32°，
∴∠DCB＝60°－32°＝28°.