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学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大版（2024） 册、章 上册第二章
课标要求 无理数与实数：理解无理数和实数的概念；理解实数与数轴上的点一一对应； 能对实数进行分类。掌握算术平方根、平方根的区别，理解平方根和算术平方根的概念；理解立方根的概念；会用根号表示平方根和立方根；了解平方根和立方根的性质； 能求某些非负数的平方根和算术平方根，能求某些数的立方根。3、理解二次根式和最简二次根式的含义，能把非最简二次根式化简成最简二次根式，能进行简单的实数运算，能运用实数的运算解决简单的实际问题。
内容分析 具体内容包括：1、认识无理数和实数，实数与数轴上的点一一对应，能对实数进行分类（有理数、无理数）。2、认识算术平方根、平方根、立方根， 能用平方运算求某些非负数的平方根，用立方运算求某些数的立方根；能估计无理数的大小，并进行简单的比较。3、理解二次根式和最简二次根式的含义，能进行简单的实数运算，能运用实数的运算解决简单的实际问题。
学情分析 一、 学生已有的知识基础与经验：1、有理数基础： 学生已经掌握了有理数的概念（整数、分数），以及有理数的加、减、乘、除、乘方运算。这是学习实数的前提，特别是对于平方根和立方根的理解，需要借助乘方的逆运算。2、数的开方初步接触： 在学习乘方时，学生可能已经接触过简单的平方运算，3、估算能力： 学生具备一定的估算能力，例如估算一个较大的数的近似值，这有助于他们理解无理数的无限不循环小数特性，并进行实数的近似计算。4、数轴概念： 学生已经学习过数轴，理解数轴上的点与有理数的对应关系，这有助于他们理解实数与数轴上的点的一一对应关系。二、 学生可能遇到的困难与挑战：1、对无理数的理解： 无理数中无限不循环小数特性是学生认知上的一个难点。他们难以想象一个数的小数部分会无限延伸且没有规律，这与他们熟悉的有理数（有限小数或无限循环小数）形成鲜明对比。2、平方根与算术平方根的区别： 学生容易混淆一个正数的平方根（两个，互为相反数）和算术平方根（只有一个，是正的那个）。3、立方根的理解： 负数也有立方根，这与平方根（负数在实数范围内没有平方根）不同，学生可能对此感到困惑。4、虽然实数运算在有理数运算的基础上进行，但当涉及到无理数时，学生可能在运算规则的理解和应用上出现困难，尤其是在精确值与近似值的处理上。5估算的准确性： 虽然有估算基础，但对于更复杂的无理数的估算，学生可能缺乏有效的方法，导致估算结果偏差较大。6、从有理数到实数的思维跨越： 学生习惯了有理数的“完备性”（在数轴上似乎“填满了”），理解到数轴上还有“缝隙”（无理数）需要填补，需要一个认知上的突破。三、 学生的学习兴趣与动机：1、好奇心驱动： 无理数的“神秘”特性（无限不循环）可能会激发部分学生的好奇心，特别是当结合勾股定理等几何背景时。2、学生可能已经意识到，仅用有理数无法精确表示边长为1的正方形的对角线长度，这会促使他们思考数的范围的扩展。3、对于学有余力的学生，理解无理数、实数的概念以及进行相关的精确运算和估算，具有一定的挑战性，可以激发他们的学习兴趣。4、对于基础较弱或空间想象能力、抽象思维能力不足的学生，可能会因为概念抽象、运算复杂而产生畏难情绪，导致学习兴趣下降。
单元目标 教学目标本章节的教学旨在帮助学生构建完整的实数体系，掌握实数的基本运算和性质，并能运用所学知识解决相关问题，同时在此过程中培养学生的逻辑思维能力、运算能力、问题解决能力以及积极的情感态度。一、 知识与技能目标：1、理解数的扩展： 使学生理解有理数不足以表示所有度量结果，认识到引入无理数的必要性，从而理解实数的概念及其分类（有理数、无理数）。2、掌握平方根与立方根： 理解平方根、算术平方根和立方根的概念，会用根号表示；了解平方根和立方根的性质；能利用平方或立方运算进行简单的开方运算，并借助计算器进行更复杂的开方运算。3、理解实数运算： 理解实数范围内加减乘除乘方及开方运算的可行性，掌握实数运算的法则和运算律，并能进行简单的实数混合运算。4、理解实数与数轴： 理解实数与数轴上的点是一一对应的，能在数轴上大致表示一些简单的无理数，体会数形结合的思想。二、 过程与方法目标：1、经历概念形成过程： 通过实例（如开方运算、几何图形的度量）和探究活动，让学生经历从具体到抽象、从特殊到一般的过程，理解无理数和实数的概念。2、体验数系扩充的必要性： 通过解决具体问题（如求正方形对角线长度）时遇到有理数无法满足需求的情况，体验数系扩充的必要性和数学发展的过程。3、培养运算能力： 通过多样化的练习，提高学生进行实数运算的准确性和熟练度，特别是对平方根、立方根的估算和计算能力。4、渗透数学思想方法： 在教学中渗透数形结合（实数与数轴）、分类讨论（实数的分类）、估算（无理数的近似值）等数学思想方法。5、提升问题解决能力： 能运用实数的知识解决简单的实际问题，如计算几何图形的边长、面积、体积等。三、 情感态度与价值观目标：1、感受数学的严谨性： 通过对无理数存在的探究，感受数学概念的严谨性和逻辑性。2、激发学习兴趣： 通过有趣的实例和探究活动，激发学生对数学的好奇心和求知欲。3、培养科学态度： 在近似计算中，体会数学的精确性与近似性的统一，培养实事求是的科学态度。4、建立自信心： 通过克服学习中的困难（如理解无理数的抽象性），体验成功的喜悦，建立学习数学的自信心。5、体会数学文化： （可选）适当介绍有关实数发展的历史背景，体会数学在人类文明发展中的作用。教学重点、难点重点在于掌握核心概念（平方根、立方根、无理数、实数）及其基本性质和运算。难点则更多地在于对抽象概念（如无限不循环、一一对应）的深入理解，以及概念之间细微差别的辨析（如平方根与算术平方根），还有实际运算中近似处理的能力。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数2.1认识实数（1）12.2认识实数（2）12.3平方根12.4立方根12.5二次根式（1）12.6二次根式（2）12.7回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务认识实数（1）1、探索无理数的定义，比较无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练学生的思维判断能力。2．能够准确地将目前所学习的数按不同角度进行分类，并说明理由，进一步体会分类思想，培养学生解决问题的能力。1、利用思维导图对有理数进行分类。2、学生带着问题思考：如圆周率，0.02；，中的a，b到底是什么数？3、小组共同合作，动手操作，通过剪、拼的过程，共同合作寻找更多拼法。尝试找更多的拼法。3、思考边长可能的取值。4、利用计算器活动一和活动二正方形的边长。5、学生总结无理数的概念、相互补充，学会进行概括总结。6、试着对实数进行分类。7、自学例题。8、学生完成课堂练习，关注学困生环节一：知识链接环节二：问题导入环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结认识实数（2）理解实数、有理数、无理数三者之间的关系.掌握有理数的运算法则、运算定律对于实数任然适应.掌握无理数在数轴上的表示方法。了解数轴上的任何点多可以用实数来表示充分调动学生的积极性，培养他们的合作精神，提高他们的辨识能力.发展学生的数感.1、学生思考学过的数并举例说明。2、检查数的分类预习题。3、活动探究1：有理数和无理数的区别，4、实数的分类。5、活动探究2，无理数和计算法则和方法和有理数相同6、用数轴上的点表示无理数。7、阅读数学资料《无理数的发现》8、学生自学例题9、完成课堂练习。环节一：知识链接环节二：复习导入环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结平方根掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别。能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开方运算和乘方运算的互逆关系。1、展示预习单2、根据勾股定理出X,Y,ZW.3、合作探究完成课本例题1的学习。2、引导学生小结算术平方根的含义和性质。4、合作探究完成课本例题3的学习。引导学生小结平方根的含义和性质。学生自学例题，思考为什么这里取算术平方根。学生完成课堂练习回顾本节课内容，畅所欲言，相互补充，完成本节课的总结。环节一：知识链接环节二：问题导入环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结立方根了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根；会用立方运算求一个数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算，能用立方运算求某些数的立方根。2、学生通过对实际问题的解决，体会数学的实用价值。1、回顾旧知，并学生完成课前检测题。2、思考课本第34页问题。3、情境引入，明晰立方根的概念。4、计算一个数的立方根。5、由平方根性质类比立方根性质。6、自学例题7、学生完成课堂作业。8、课堂总结、小组交流，汇报交流结果。展示交流成果。环节一：回顾旧知并完成课前检测题。环节二：思考课本第34页问题，导入新课。环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结二次根式（1）1.认识二次根式概念.2.探索二次根式的乘除法计算法则．二次根式的简单计算。 3.在小组的合作和探讨中，培养学生的合作能力和创新能力1、回顾算术平方根和平方根的概念。2、找出一组根式的共同特点，归纳出二次根式的概念。3、理解和掌握判断二次根式的方法。4、根据二次根式被开方数大于或等于0完成x取何值时,下列二次根式有意义 5、探究二次根式乘除法的计算法则。6、自学例题7、完成课堂练习。环节一：回顾旧知环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结二次根式（2）认识最简二次根式和二次根式的化简。熟练掌握二次根式的加、减、乘、除法运算。3.在小组的合作和探讨中，培养学生的合作能力和创新能力。1、回顾旧知。2、完成例题3的学习，然后归纳出最简二次根式的概念及最简二次根式具备的条件。3、学习课本例题4，明晰怎样进行二次根式的化简。4、学习例题5，理解二次根式的四则运算和实数的四则运算法则、运算定律同样适用。5、学习例题6，掌握非最简二次根式的计算，首先化简成最简二次根式，然后按照实数的四则运算法则进行计算。6、小组交流讨论怎样求格点梯形的面积和周长。7、学生独立完成课堂练习。8、引导学生对本课知识进行回顾总结。环节一：回顾旧知环节二、问题导入环节三：探究新知环节四：拓展延伸环节五：课堂练习环节六：课堂总结回顾与思考1.熟练掌握算术平方根,平方根,立方根的相关概念及简单的运算。2.熟练掌握实数的分类、无理数的概念，会用数轴表示无理数。3.理解最简二次根式的含义，能熟练地进行实数的化简和计算。4.学生体会类比的思想，提高学生归纳整理的能力，让学生学会倾听学会交流。1、展示预习题（章节思维导图）。2、梳理实数的相关概念，完成习题。3、梳理平方根和立方根相关知识，完成相应习题。4、梳理二次根式相关知识，完成相应习题。5、学生完成课堂练习。6、对照思维导图复述相应的概念。环节一：知识架构环节二、知识梳理环节三：课堂练习环节四：课堂总结
《实数》单元教学设计
活动一：知识链接
活动二：问题导入
活动三：探究新知
任务一：认识实数(1)
活动四：典例精析
活动五：课堂练习
活动六：课堂总结
活动一：知识链接
活动二：复习导入
活动三：探究新知
任务二：认识实数(2)
活动四：典例精析
活动五：课堂练习
实数
活动六：课堂总结
活动一：知识链接
活动二：问题导入
任务三：平方根
活动三：探究新知
活动四：典例精析
活动五：课堂练习
活动一：复习旧知
活动二：问题导入
活动三：探究新知
活动四：典例精析
任务四：立方根
活动五：课堂练习
活动六：课堂总结
活动一：知识回顾
活动二：探究新知
任务五：二次根式(1)
活动三：典例精析
活动四：课堂练习
活动五：课堂总结
活动一：知识回顾
活动二：问题导入
实数
任务六：二次根式(2)
活动三：探究新知
活动四：拓展延伸
活动五：课堂练习
活动六：课堂总结
活动一：知识架构
任务七：回顾与思考
活动二：知识梳理
活动三：课堂练习
活动四：课堂总结
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北师大版（2024）第二章《实数》2.2平方根教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 二
课题 平方根 课时 1
课标要求 理解平方根和算术平方根的的表示法，理解平方根的性质。会求平方根和算术平方根，会根据实际要求灵活运用知识解决实际问题。
教材分析 算术平方根和平方根是初中重要的概念，但由于实际问题中所求出的答案往往是正数的情况，所以算术平方根尤为重要。教材先设计了一个典型的求算术平方根的情景问题，把情景问题抽象成数学问题就是利用勾股定理求直角三角形斜边边长。在理解、掌握算术平方根的概念后讲平方根就水到渠成。
学情分析 对于初中的学生来说，已经有了一定是我知识储备，能否在教师的指导下建立新旧真是的联系。此阶段的学生具有很强的好奇心、强烈的“自我”和自我发展的意识，因此对新鲜事物或新内容特别感兴趣，但缺乏学习的方法。所以本节课的教学方法采用讲授法、讨论法、启发引导法。
核心素养目标 掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别。能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开方运算和乘方运算的互逆关系。
教学重点 平方根的概念；会求一个非负数的平方根。
教学难点 平方根和算术平方根之间的联系和区别；
教学准备 预习单、课件
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 1、填空( 3 )=9 ( 5 )=25 ( 4 )=16 ( 9 )=81 ( 0 )=0 ( 11 )=1212、做一做①一个直角三角形，它的两条直角边分别为5和12，求它的斜边长。【13】②一个直角三角形，它的两条直角边分别为15和20，求它的斜边长。【25】 展示预习单 复习旧知，为新授奠基
二、引新 前面我们学习了勾股定理，请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：x= ， y= ，z= ，w= ．那么x、y、z、w分别等于多少？ 根据勾股定理出X,Y,ZW. 问题导入，激发学生兴趣。导入新课
三、探究 探究1：算术平方根x=2，y=3，z=4，w=5，已知幂和指数，求底数x，y，z，w，你能求出来吗？一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 ，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“ ”，读作“根号a”。特别地，我们规定0的算术平方根是0， 即 =0 做一做1.求下列各数的算术平方根。（课本例题1）1) 900； (2) 1； (3) ； (4) 14.解：（1）因为30=900，所以900的算术平方根是30，即 =30.（2）因为1=1，所以1的算术平方根是1，即 =1.（3）因为，所以的算术平方根是，即 .（4）14的平方根是2.回答引入新课的问题x=2，y=3，z=4，w=5知识小结：.算术平方根的概念，式子 中的双重非负性：一是a≥0，二是 ≥0.算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根.求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根.做一做若一个数的算术平方根是 ，那么这个数是 7 .的算术平方根是 的算术平方根是 若 =2，则(m+2)= 4 5..求下列各数的算术平方根。 探究2：平方根（1）9的算术平方根是3，也就是说，3的平方是9，还有其它的数，它的平方也是9吗？
3×3=9，（-3）×（-3）=9.8×0.8=0.64，（-0.8）×（-0.8）=0.64探究小结；如果一个数x的平方等于a , 即x =a,那么这个数x叫做a的平方根(square root 也叫做二次方根).平方根的性质：一个正数平方根有两个，且是互为相反的数；0的平方根是0；负数没有平方根.做一做求下列各数的平方根：（课本例题3）（1）64，（2）， （3）0.0004 （5）11解：11的平方根是 1、合作探究完成课本例题1的学习。2、引导学生小结算术平方根的含义和性质。3合作探究完成课本例题3的学习。引导学生小结平方根的含义和性质。 让学生体验算术平方根形成过程，加深对算术平方根的理解和掌握，同时培养学生的说理能力。经历算术平方根的探究过程自然引入平方根的概念。并对算术平方根、平方根两个不同概念进行比较，找出相同点和不同点。通过例题的学习，使学生掌握求算术平方根、平方根的方法，明白开方和乘法使互逆运算。
四、典例精析 例题1：自由下落物体的高度h（米）与下落时间t(秒)的关系为h=4.9t:.有一铁球从19.6 米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间 ？（课本例题2）解：将h=19.6代入h=4.9t:得到 19.6=4.9t:t:=4，t=2答：到达底面需要2秒钟。例题2；求下列各式的值（课本例题4），，解： 学生自学例题，思考为什么这里取算术平方根。 通过例题的学习，是学生能够根据现实情境灵活处理是求平方根还是求算术平方根。
五、课堂练习 基础达标1．25的算术平方根是（ B ）A．﹣5 B．5 C．±5 D．2．化简的结果是（ A ）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣13．若|x﹣5|+＝0，则x+y＝（ D ）A．﹣5 B．6 C．0 D．54．一个正数的平方根分别为：2a+6与a﹣3，则这个正数是（ D ）A．1 B．4 C．9 D．165．＝ 4 ．6．若|x﹣1|+（y﹣2）2+＝0，则x+y+z＝ 6 ．7．观察分析下列数据：0，，，3，，，，…，根据数据排列的规律得到第19个数据应是 ．能力提升8已知实数a，b，c满足（a﹣2）2+|2b+6|+＝0．（1）求实数a，b，c的值；（2）求的平方根．解：（1）∵（a﹣2）2+|2b+6|+ ＝0，∴a﹣2＝0，2b+6＝0，5﹣c＝0，解得：a＝2，b＝﹣3，c＝5；由（1）知a＝2，b＝﹣3，c＝5，故的平方根为：±2．9．（1）观察各式：≈0.1732，≈1.732，≈17.32…发现规律：被开方数的小数点每向右移动 位，其算术平方根的小数点向 移动 位；（2）应用：已知≈2.236，则≈ ，≈ ；（3）拓展：已知≈2.449，≈7.746，计算和的值．解：（1）观察各式：≈0.1732，≈1.732，≈17.32…发现规律：被开方数的小数点每向右移动2位，其算术平方根的小数点向右移动1位；故答案为：2，右，1；（2）应用：已知≈2.236，则≈0.2236，≈22.36；故答案为：0.2236，22.36；（3）应用拓展10.小强同学用两个小正方形纸片做拼剪构造大正方形游戏：（他选用的两个小正方形的面积分别为S1，S2）．如图1，S1＝1，S2＝1，拼成的大正方形A1B1C1D1边长为 ；如图2，S1＝1，S2＝4，拼成的大正方形A2B2C2D2边长为 ；如图3，S1＝1，S2＝16，拼成的大正方形A3B3C3D3边长为 ．解:如图1，当S1＝1，S2＝1，拼成的大正方形A1B1C1D1的面积为1+1＝2，因此其边长为；如图2，当S1＝1，S2＝4，拼成的大正方形A2B2C2D2的面积为1+4＝5，因此其边长为；如图3，当S1＝1，S2＝16，拼成的大正方形A3B3C3D3的面积为1+16＝17，因此其边长为；故答案为：，， ； 学生完成课堂练习 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
六、课堂总结 1.算术平方根的概念，式子 中的双重非负性：一是a≥0，二是 ≥0.2.算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根.3.求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根.4.如果一个数x的平方等于a , 即x =a,那么这个数x叫做a的平方根(square root 也叫做二次方根).5.平方根的性质：一个正数平方根有两个，且是互为相反的数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根. 回顾本节课内容，畅所欲言，相互补充，完成本节课的总结。 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。
板书设计 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数.乘方 开方 【 算术平方根（双重非负性）】 【平方根】 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计（课外练习） 基础达标：1．的平方根是（ D ）A．4 B．2 C．4或﹣4 D．2或﹣22．81的算术平方根是（ A ）A．9 B．﹣9 C．±9 D．813．下列计算正确的是（ C ）A． B． C． D．4．已知与互为相反数，则a+b的值为 -1 ．5．若＝0，则a2+b2的算术平方根是 5 ．6．已知，则 1.01 ．7．已知＝5.706，＝18.044，那么＝ 0.5706 ．能力提升：8.已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9．（1）求a的值；（2）求这个正数m；（3）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解．解：（1）由题意得，a+6+2a﹣9＝0，解得，a＝1；（2）当a＝1时，a+6＝1+6＝7，∴m＝72＝49；（3）x2﹣16＝0，x2＝16，x＝±4．9.已知2a+1的平方根是±3，5a+2b﹣2的算术平方根是4，求3a﹣4b的平方根．解：∵2a+1的平方根是±3，∴2a+1＝9，解得a＝4，∵5a+2b﹣2的算术平方根是4，∴5a+2b﹣2＝16，解得b＝﹣1，∴3a﹣4b＝3×4﹣4×（﹣1）＝12+4＝16，∴3a﹣4b的平方根是±4．拓展迁移：．小强同学用两个小正方形纸片做拼剪构造大正方形游戏：如图，S1＝1，S2＝16，拼成的大正方形A3B3C3D3边长为 ．能否剪拼一个面积为14.52且长宽之比为4：3的长方形？若能，求它的长、宽；若不能，请说明理由．解：当S1＝1，S2＝16，拼成的大正方形A3B3C3D3的面积为1+16＝17，因此其边长为不能剪拼一个面积为14.52且长宽之比为4：3的长方形，理由如下：设长方形的长为4x，宽为3x，则有4x 3x＝14.52，所以x2＝1.21，即x＝1.1（x＞0），因此长方形的长为4x＝4.4，宽为3x＝3.3，因为（4.4）2＝19.36＞17，所以不能用正方形A3B3C3D3剪出一个面积为14.52且长宽之比为4：3的长方形．
教学反思
36， ，15，0.64，10-4， 225 ，
互逆运算
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第二章 实数
2.2平方根导学案
学习目标与重难点
学习目标：
掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别。
2、能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开方运算和乘方运算的互逆关系
学习重点：平方根的概念；会求一个非负数的平方根。
学习难点：平方根和算术平方根之间的联系和区别；
预习自测
一、知识链接
乘方的计算
自学自测
1、填空
( )=9 ( )=25 ( )=16 ( )=81
( )=0 ( )=121
2、做一做
①一个直角三角形，它的两条直角边分别为5和12，求它的斜边长。
②一个直角三角形，它的两条直角边分别为15和20，求它的斜边长。
教学过程
一、创设情境、导入新课
根据勾股定理，结合图形完成填空：
x= ， y= ，
z= ，w= ．
那么X、y、z、w分别等于多少？
二、合作交流、新知探究
探究1：算术平方根
问题：x=2，y=3，z=4，w=5，已知幂和指数，求底数x，y，z，w，你能求出来吗？
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 ，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“ ”，读作“根号a”。特别地，我们规定0的算术平方根是0， 即 =0
做一做
1.求下列各数的算术平方根。（课本例题1）
1) 900； (2) 1； (3) ； (4) 14.
2.回答引入新课的问题
x=2，y=3，z=4，w=5
【强调】：
.算术平方根的概念，式子 中的双重非负性：一是a≥0，二是 ≥0.
算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根.
求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根.
做一做
若一个数的算术平方根是 ，那么这个数是 .
的算术平方根是 （注意，实际是求3的算术平方根）
的算术平方根是 。
若 =2，则(m+2)=
5..求下列各数的算术平方根。
探究2：平方根
（1）9的算术平方根是3，也就是说，3的平方是9，还有其它的数，它的平方也是9吗？
3×3=9，（-3）×（-3）=9
∴ 。
.8×0.8=0.64，（-0.8）×（-0.8）=0.64 ∴ 。
【强调】
如果一个数x的平方等于a , 即x =a,那么这个数x叫做a的平方根(square root 也叫做二次方根).
平方根的性质：一个正数平方根有两个，且是互为相反的数；0的平方根是0；负数没有平方根.
做一做
求下列各数的平方根：（课本例题3）
（1）64，（2）， （3）0.0004 （4） （5）11
【强调】：求平方根和平方是互逆运算。
典例精析
例题1：自由下落物体的高度h（米）与下落时间t(秒)的关系为h=4.9t:.有一铁球从19.6 米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间 ？（课本例题2）
例题2；求下列各式的值（课本例题4）
，，
课堂作业：
基础达标
1．25的算术平方根是（ ）
A．﹣5 B．5 C．±5 D．
2．化简的结果是（ ）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
3．若|x﹣5|+＝0，则x+y＝（ ）
A．﹣5 B．6 C．0 D．5
4．一个正数的平方根分别为：2a+6与a﹣3，则这个正数是（ ）
A．1 B．4 C．9 D．16
5．＝ ．
6．若|x﹣1|+（y﹣2）2+＝0，则x+y+z＝ ．
7．观察分析下列数据：0，，，3，，，，…，根据数据排列的规律得到第19个数据应是 ．
能力提升
8已知实数a，b，c满足（a﹣2）2+|2b+6|+＝0．
（1）求实数a，b，c的值；
（2）求的平方根．
9．（1）观察各式：≈0.1732，≈1.732，≈17.32…发现规律：被开方数的小数点每向右移动 位，其算术平方根的小数点向 移动 位；
（2）应用：已知≈2.236，则≈ ，≈ ；
（3）拓展：已知≈2.449，≈7.746，计算和的值．
应用拓展
10.小强同学用两个小正方形纸片做拼剪构造大正方形游戏：（他选用的两个小正方形的面积分别为S1，S2）．
如图1，S1＝1，S2＝1，拼成的大正方形A1B1C1D1边长为 ；
如图2，S1＝1，S2＝4，拼成的大正方形A2B2C2D2边长为 ；
如图3，S1＝1，S2＝16，拼成的大正方形A3B3C3D3边长为 ．
五、总结反思、拓展升华
1.算术平方根的概念，式子 中的双重非负性：一是a≥0，二是 ≥0.
2.算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根.
3.求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根.
4.如果一个数x的平方等于a , 即x =a,那么这个数x叫做a的平方根(square root 也叫做二次方根).
5.平方根的性质：一个正数平方根有两个，且是互为相反的数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根.
六、【作业布置】
基础达标：
1．的平方根是（ ）
A．4 B．2 C．4或﹣4 D．2或﹣2
2．81的算术平方根是（ ）
A．9 B．﹣9 C．±9 D．81
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知与互为相反数，则a+b的值为 ．
5．若＝0，则a2+b2的算术平方根是 ．
6．已知，则 ．
7．已知＝5.706，＝18.044，那么＝ ．
能力提升：
8.已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9．
（1）求a的值；
（2）求这个正数m；
（3）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解．
9.已知2a+1的平方根是±3，5a+2b﹣2的算术平方根是4，求3a﹣4b的平方根．
拓展迁移：
．小强同学用两个小正方形纸片做拼剪构造大正方形游戏：如图，S1＝1，S2＝16，拼成的大正方形A3B3C3D3边长为 ．能否剪拼一个面积为14.52且长宽之比为4：3的长方形？若能，求它的长、宽；若不能，请说明理由．
课堂练习参考答案
B
A
D
D
4
6
8.解：（1）∵（a﹣2）2+|2b+6|+ ＝0，
∴a﹣2＝0，2b+6＝0，5﹣c＝0，
解得：a＝2，b＝﹣3，c＝5；
由（1）知a＝2，b＝﹣3，c＝5，
故的平方根为：±2．
9.解：（1）观察各式：≈0.1732，≈1.732，≈17.32…
发现规律：被开方数的小数点每向右移动2位，其算术平方根的小数点向右移动1位；
故答案为：2，右，1；
（2）应用：已知≈2.236，则≈0.2236，≈22.36；
故答案为：0.2236，22.36；
10.解:如图1，当S1＝1，S2＝1，拼成的大正方形A1B1C1D1的面积为1+1＝2，因此其边长为；
如图2，当S1＝1，S2＝4，拼成的大正方形A2B2C2D2的面积为1+4＝5，因此其边长为；
如图3，当S1＝1，S2＝16，拼成的大正方形A3B3C3D3的面积为1+16＝17，因此其边长为；
故答案为：，， ；
课外作业参考答案
D
A
C
-1
5
1.01
0.5706
8.解：（1）由题意得，a+6+2a﹣9＝0，
解得，a＝1；
（2）当a＝1时，a+6＝1+6＝7，
∴m＝72＝49；
（3）x2﹣16＝0，
x2＝16，
x＝±4．
9.解：∵2a+1的平方根是±3，
∴2a+1＝9，
解得a＝4，
∵5a+2b﹣2的算术平方根是4，
∴5a+2b﹣2＝16，
解得b＝﹣1，
∴3a﹣4b＝3×4﹣4×（﹣1）＝12+4＝16，
∴3a﹣4b的平方根是±4．
10.解：当S1＝1，S2＝16，拼成的大正方形A3B3C3D3的面积为1+16＝17，
因此其边长为
不能剪拼一个面积为14.52且长宽之比为4：3的长方形，理由如下：
设长方形的长为4x，宽为3x，则有4x 3x＝14.52，
所以x2＝1.21，
即x＝1.1（x＞0），
因此长方形的长为4x＝4.4，宽为3x＝3.3，
因为（4.4）2＝19.36＞17，
所以不能用正方形A3B3C3D3剪出一个面积为14.52且长宽之比为4：3的长方形．
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第二章实数
2.2平方根
01
教学目标
02
复习旧知
03
问题导入
04
探究新知
05
典例精析
06
课堂作业
07
课堂练习
08
课外作业
01
教学目标
掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别。
01
能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开方运算和乘方运算的互逆关系。
02
02
复习旧知
1、填空
( )2=9 ( )2=25 ( )2=16 ( )2=81
( )2=0 ( )2=121
2、做一做
①一个直角三角形，它的两条直角边分别为5和12，求它的斜边长。
②一个直角三角形，它的两条直角边分别为15和20，求它的斜边长。
3
5
4
9
0
11
13
25
03
问题导入
前面我们学习了勾股定理，请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：
x2= ，
y2= ，
z2= ，
w2= ．
那么X、y、z、w分别等于多少？
2
3
4
5
03
新知探究
探究一
算术平方根。
1.x2=2，y2=3，z2=4，w2=5，已知幂和指数，求底数x，y，z，w，你能求出来吗？
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 ，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“ ”，读作“根号a”。特别地，我们规定0的算术平方根是0， 即 =0 。
03
新知探究
1.求下列各数的算术平方根。
(1) 900； (2) 1； (3) ； (4) 14.
解：（1）因为302=900，所以900的算术平方
根是30，即 =30.
(2)因为12=1，所以1的算术平方根是1，即 =1.
课本例题1
03
新知探究
1.求下列各数的算术平方根。
(1) 900； (2) 1； (3) ； (4) 14.
(3)因为 = ，所以 的算术平方根是 ，即
(4)14的算术平方根是 .
03
新知探究
2.回答引入新课的问题
x2= 2 y2= 3 z2= 4 w2= 5
知识要点1
1.算术平方根的概念，式子 中的双重非负性：一是a≥0，二是 ≥0.
2.算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根.
3.求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根.
知识要点1
03
新知讲解
1.若一个数的算术平方根是 ，那么这个数是 .
7
2. 的算术平方根是 .
3. 的算术平方根是 .
4.若 =2，则(m+2)2= .
16
03
新知讲解
5.求下列各数的算术平方根。
解：
36， ，15，0.64，10-4， 225 ，
03
新知探究
探究二
平方根
3×3=9，（-3）×（-3）=9
（1）9的算术平方根是3，也就是说，3的平方是9，还有其它的数，它的平方也是9吗？
03
新知探究
探究二
平方根
0.8×0.8=0.64，（-0.8）×（-0.8）=0.64
知识要点2
1.如果一个数x的平方等于a , 即x2 =a,那么这个数x叫做a的平方根(square root 也叫做二次方根).
2.平方根的性质：一个正数平方根有两个，且是互为相反的数；0的平方根是0；负数没有平方根.
03
新知讲解
求下列各数的平方根：
（1）64；
；（3）0.0004 ；
(4)(-25)2
(5)11
课本例题3
04
典例精析
自由下落物体的高度h（米）与下落时间t(秒)的关系为h=4.9t2.有一铁球从19.6 米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间 ？
课本例题2
04
典例精析
课本例题4
求下列各式的值
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1．25的算术平方根是（ ）
A．﹣5 B．5 C． D．±5
2.化简 的结果是（ ）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
3．若|x﹣5|+ ＝0，则x+y＝（ ）
A．﹣5 B．6 C．0 D．5
）
B
A
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
4．一个正数的平方根分别为：2a+6与a﹣3，则这个正数是（ ）
A．1 B．4 C．9 D．16
5. = .
6．若|x﹣1|+（y﹣2） + ＝0，则x+y+z＝ ．
7.观察分析下列数据：
根据数据排列的规律得到第19个数据应是 ．
D
4
6
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
8已知实数a，b，c满足（a﹣2）2+|2b+6|+ ＝0．
（1）求实数a，b，c的值； （2 求 的平方根．
解：（1）∵（a﹣2） +|2b+6|+ ＝0，
∴a﹣2＝0，2b+6＝0，5﹣c＝0，
解得：a＝2，b＝﹣3，c＝5；
（2）由（1）知a＝2，b＝﹣3，c＝5，
故 的平方根为：±2．
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
发现规律：被开方数的小数点每向右移动 位，其算术平方根的小数点向 移动 位；
. .
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
发现规律：被开方数的小数点每向右移动2位，其算术平方根的小数点向右移动1位；
故答案为：2，右，1；
. .
故答案为：0.2236，22.36；
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
10.小强同学用两个小正方形纸片做拼剪构造大正方形游戏：（他选用的两个小正方形的面积分别为S1，S2）．
如图1，S1＝1，S2＝1，拼成的大正方形A1B1C1D1边长为 ；
如图2，S1＝1，S2＝4，拼成的大正方形A2B2C2D2边长为 ；
如图3，S1＝1，S2＝16，拼成的大正方形A3B3C3D3边长为 ．
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
解:如图1，当S1＝1，S2＝1，拼成的大正方形A1B1C1D1的面积为1+1＝2，因此其边长为
如图2，当S1＝1，S2＝4，拼成的大正方形A2B2C2D2的面积为1+4＝5，因此其边长为
如图3，当S1＝1，S2＝16，拼成的大正方形A3B3C3D3的面积为1+16＝17，因此其边长为
故答案为： ， ， 。
05
课堂小结
1.算术平方根的概念，式子 中的双重非负性：一是a≥0，二是 ≥0.
2.算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根.
3.求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根.
05
课堂小结
4.如果一个数x的平方等于a , 即x2 =a,那么这个数x叫做a的平方根(square root 也叫做二次方根).
5.平方根的性质：一个正数平方根有两个，且是互为相反的数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根.
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1. 的平方根是（ ）
A．4 B．2 C．4或﹣4 D．2或﹣2
2．81的算术平方根是（ ）
A．9 B．﹣9 C．±9 D．81
3．下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
D
A
C
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
-1
5
1.01
0.5706
4.已知 与 互为相反数，则a+b= .
5.已知 则 的值为 .
6.已知
7.已知 ，
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
8.已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9．
（1）求a的值；
（2）求这个正数m；
（3）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解．
06
作业布置
解：（1）由题意得，a+6+2a﹣9＝0，
解得，a＝1；
（2）当a＝1时，a+6＝1+6＝7，
∴m＝72＝49；
（3）x2﹣16＝0，
x2＝16，
x＝±4．
【知识技能类作业】选做题：
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
9.已知2a+1的平方根是±3，5a+2b﹣2的算术平方根是4，求3a﹣4b的平方根．
解：∵2a+1的平方根是±3，
∴2a+1＝9，解得a＝4，
∵5a+2b﹣2的算术平方根是4，
∴5a+2b﹣2＝16，解得b＝﹣1，
∴3a﹣4b＝3×4﹣4×（﹣1）＝12+4＝16，
∴3a﹣4b的平方根是±4．
06
作业布置
【综合拓展类作业】
小强同学用两个小正方形纸片做拼剪构造大正方形游戏：如图，S1＝1，S2＝16，拼成的大正方形A3B3C3D3边长为 ．能否剪拼一个面积为14.52且长宽之比为4：3的长方形？若能，求它的长、宽；若不能，请说明理由．
06
作业布置
【综合拓展类作业】
解：当S1＝1，S2＝16，拼成的大正方形A3B3C3D3的面积为1+16＝17，
因此其边长为
不能剪拼一个面积为14.52且长宽之比为4：3的长方形，理由如下：
设长方形的长为4x，宽为3x，则有4x 3x＝14.52，
所以x2＝1.21，
即x＝1.1（x＞0），
因此长方形的长为4x＝4.4，宽为3x＝3.3，
因为（4.4）2＝19.36＞17，
所以不能用正方形A3B3C3D3剪出一个面积为14.52且长宽之比为4：3的长方形．
Thanks!
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