2025年人教A版高一数学暑假作业15：开学前摸底考试（含解析）

人教A版高一暑假作业15:开学前摸底考试
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.(2025·广西壮族自治区·模拟题)已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.(2025·河南省三门峡市·月考试卷)已知向量，满足，，，则( )
A. B. C. D.
3.(2025·浙江省绍兴市·期中考试)给出下列命题，正确的是( )
A. 的充要条件是且
B. 若，则它们的起点和终点均相同
C. 若存在实数，使得，则
D. 若，，，是平面内的四点，且，则，，，四点一定能构成平行四边形
4.(2025·湖南省·模拟题)有支彩笔除颜色外无差别，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，从这支彩笔中任取支不同颜色的彩笔，则取出的支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )
A. B. C. D.
5.(2025·江苏省苏州市·月考试卷)四名同学各掷骰子次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数的是( )
A. 平均数为，中位数为 B. 中位数为，众数为
C. 平均数为，方差为 D. 中位数为，方差为
6.(2024·河南省郑州市·期中考试)已知函数的值域为，且在上单调递减，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.(2025·江苏省盐城市·期末考试)设，则的大小关系为( )
A. B. C. D.
8.(2025·安徽省芜湖市·期中考试)如图，在棱长为的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.(2025·河北省唐山市·期中考试)在复数范围内，关于的方程的其中一个根为，另一根为，则下列结论正确的是( )
A. ， B. C. D.
10.(2025·福建省三明市·月考试卷)给出下列四个命题，其中正确的选项有( )
A. 非零向量，满足，则与的夹角是
B. 若，则为等腰三角形
C. 若单位向量，的夹角为，则当取最小值时
D. 若，，，为锐角，则实数的取值范围是
11.(2024·云南省玉溪市·期中考试)已知，函数下列结论正确的是( )
A. ，
B. 若在上单调递增，则的取值范围是
C. 若函数有个零点，则的取值范围是
D. 若的图象上不存在关于原点对称的点，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.(2024·广东省河源市·期中考试)已知，是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则 ．
13.(2025·广东省佛山市·模拟题)已知函数满足，且，则 ．
14.(2025·浙江省宁波市·其他类型)在某抽奖活动中，初始时的袋子中有个除颜色外其余都相同的小球，颜色为白红．每次随机抽取一个小球后放回．抽奖规则如下：设定抽中红球为中奖，抽中白球为未中奖；若抽到白球，放回后把袋中的一个白色小球替换为红色；若抽到红球，放回后把三个球的颜色重新变为白红的初始状态．记第次抽奖中奖的概率为． ；若存在实数，，，对任意的不小于的正整数，都有，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(2025·湖南省·月考试卷)本小题分
已知向量，．
若，求
若，求与的夹角．
16.(2025·广东省·月考试卷)本小题分
在中，角的对边分别为，且．
求；
若，的面积为，求的周长．
17.(2025·广东省江门市·月考试卷)本小题分
某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分分分及以上为认知程度高，结果认知程度高的有人，按年龄分成组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有人．
根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第百分位数；
现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取人，担任本市的“中国梦”宣传使者．
(ⅰ)若有甲年龄，乙年龄两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
(ⅱ)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，据此估计这人中岁所有人的年龄的方差．
18.(2025·江苏省苏州市·其他类型)本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
求的解析式
已知，，求的值
若关于的方程在上有两个不同的实根，，且，求
的取值范围．
19.(2025·湖南省·模拟题)本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，且是边长为的等边三角形，四边形是矩形，，为的中点．
证明：；
求二面角的大小；
求点到平面的距离．
1.【答案】
【解析】解：因为
所以或，
因为，
所以，
故选：．
2.【答案】
【解析】解：由题可得，，
将，，代入得，
解得．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：对于，的充要条件是且同向，
因为时，可能反向，故A错误；
对于，若，只需两向量的大小相等，方向相同即可，与起点终点无关，故B错误；
对于，由向量共线定理可知C正确；
对于，由题，，，四点可能在一条直线上，故D错误．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：从支彩笔中任取支不同颜色的彩笔，有种不同的取法：
红，黄，红，蓝，红，绿，红，紫，
黄，蓝，黄，绿，黄，紫，蓝，绿，蓝，紫，绿，紫．
而取出的支彩笔中含有红色彩笔的取法有红，黄，红，蓝，红，绿，红，紫，共种，
故所求概率．
故选C．
5.【答案】
【解析】解：对于，当每个同学掷骰子出现结果为，，，，时，满足平均数为，中位数为，可以出现点数，故A错误；
对于，当个同学掷骰子出现结果为，，，，时，满足中位数为，众数为，可以出现点数，故B错误；
对于，若平均数为，且出现点，则方差，所以平均数为，方差为的一定没有出现点数，故C正确；
对于，当掷骰子出现结果为，，，，时中位数为，方差为，可以出现点数，故D错误．
故选C．
6.【答案】
【解析】解：因为函数的值域为，
可得，即恒成立，
所以．
因为在上单调递减，
所以，
故．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：因为对数函数在上单调递增，
且，，，所以，
又因为，所以，即．
因为，且正弦函数在时，单调递增，
所以，即．
因为对数函数在上单调递增，且，所以，
又因为，所以，即．
由，又，所以，
则，即．
所以．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：分别取棱、的中点、，连接，，，，，如下图所示：

、、、分别为所在棱的中点，
，， ，
又平面，平面，
平面．
，，
四边形为平行四边形，，
又平面，平面，
平面，
又，，平面，
平面平面，
是侧面内一点，且平面，
则必在线段上，
在中，，
同理，在中，求得，易知，
为等腰三角形，取的中点，连接，
当在的中点时，，此时最短，位于、处时最长，
，
所以线段长度的取值范围是．
故选C．
9.【答案】
【解析】解：选项，因为是方程的根，
则，
即，那么，所以，，故A错误；
选项，由知，，所以，，故B错误；
选项，，故C正确；
选项，，所以，故D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：中，令，．
以，为邻边作平行四边形．
，
四边形为菱形，，，
即与的夹角是，故A正确．
中，，
，故为等腰三角形．故B正确．
中，
，
故取最小值时．故C正确．
中，，
，
又为锐角，，即，
．又当与同向共线时，，
故当为锐角时，的取值范围是且．
故D不正确．
故选ABC．
11.【答案】
【解析】解：因为，所以是增函数，
所以在上单调递增，，A正确；
若在上单调递增，则，结合，解得，B正确；
当时，在上单调递增，画出的图象，如图所示，
可得函数有个零点，
当时，画出的图象，如图所示，
要使得函数有个零点，则，解得，
故当函数有个零点时，的取值范围是，C错误；
的图象上不存在关于原点对称的点，
即函数与函数的图象没有交点，
当时，函数与函数的图象一定有交点，
当时，直线分别与函数，，交于点，，，由题意可得，解得，
故当的图象上不存在关于原点对称的点时，的取值范围是，D正确．
故选ABD．
12.【答案】
【解析】解：因为，是两个不共线的单位向量，所以 ，又与共线，
故可设 ，则，所以，解得．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：由题意得．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：第一空：由题意得 ，
；
第二空：因为每次中奖后袋中的球会回到初始状态，
从初始状态开始，若第一次中奖，此时第次抽奖中奖的概率为 ，
从初始状态开始，若第一次未中奖而第二次中奖，此时第 次抽奖中奖的概率为 ，
从初始状态开始，若前两次均未中奖，则第三次必中奖，
此时第 次抽奖中奖的概率为 ，
综上所述，对任意的 ， ，
又 ，所以 ，则．
故答案为：；．
15.【答案】解：，
因为，
所以，解得，
所以，．
因为，
所以，即，即，
解得，
所以．
，
，，
因为，，所以与的夹角为．
16.【答案】解：，
，，
，
，；
， ，，
，
因为的面积为，
所以，
，
由得，
所以的周长为．
17.【答案】解：设这人的平均年龄为，
则岁．
因为，，
所以第百分位数在第四组，设第百分位数为，
则，解得．
由题意得，第四组应抽取人，记为，，，甲，
第五组抽取人，记为，乙，
对应的样本空间为：
，，，甲，，乙，，，，甲，，乙，，，甲，，乙，，甲，乙，甲，，乙，，共个样本点，
设事件为“甲、乙两人至少一人被选上”，
则，甲，，乙，，甲，，乙，，甲，，乙，甲，乙，甲，，乙，，共有个样本点，所以．
(ⅱ)设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，
则，，，，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为．
则，，
因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为．
据此，可估计这人中年龄在岁的所有人的年龄方差约为．
18.【答案】解：由图可得，，
将点代入解析式可得，结合图象可得，，
又因为，所以，将点代入解析式可得，
所以，，则，，又因为，所以，
故；
因为，所以，故，
因为，所以，
所以，，
所以；
令，因为，所以，即，
易知函数在上单调递减，在上单调递增，
又，因为方程在上有两个不同的实根，，且，
所以，的图象与直线有两个不同的交点且，
则，，所以，，
则，，所以，
故的取值范围为
19.【答案】证明：取的中点，连接，，
四边形是矩形，，，且，分别是，的中点，
，，，，
，，，
，，
是等边三角形，是的中点，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，
，
又，，，平面，
平面，又平面，
；
解：由可知，
又，
为二面角的二面角，
是边长为的等边三角形，，
又，
又，
是等腰直角三角形，，
二面角的大小为．
解：连接，则，
，，，
，
设到平面的距离为，则，
，，
故D到平面的距离为．
第2页，共2页