2026年高考数学一轮复习：专题1.1 集合 （含解析）

2026年高考数学一轮复习：专题1.1 集合
题号 一 二 三 总分
得分
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，且，则等于( )
A. B. C. D.
3.设全集，，是的两个真子集，，，，，则( )
A. ，且 B. ，且
C. ，且 D. ，且
4.集合，，，则对任意的，有下列四种说法：；；；，其中一定正确的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5.已知，，，则( )
A. B. C. D.
6.已知集合，则
A. B. C. D.
7.设所有被除余的自然数从小到大组成数列，所有被除余的自然数从小到大组成数列，设这两个数列的公共项构成集合，则集合中元素的个数为( )
A. B. C. D.
8.集合或，，若，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
9.已知集合，，定义叫做集合的长度若集合的长度为，则的长度为( )
A. B. C. D.
10.设集合，集合若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
11.记为非空集合中的元素个数，定义若，，且，设实数的所有可能取值组成的集合是，则等于( )
A. B. C. D.
12.已知集合，中都至少有两个元素，并且满足下列条件：集合，中的元素都为正数；对于任意，，都有；对于任意，，都有，则下列说法正确的是( )
A. 若有个元素，则有个元素 B. 若有个元素，则有个元素
C. 若有个元素，则有个元素 D. 存在满足条件且有个元素的集合
二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
13.已知集合，，则下列命题中正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则或
D. 若时，则或
14.设集合，或，则下列结论中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
15.已知非空数集具有如下性质：若，，则；若，，则下列说法中正确的有( )
A. B.
C. 若，，则 D. 若，，则
16.设集合，，若，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
17.，，集合，则 ．
18.已知集合，，且，则 ．
19.已知集合，，若，则的子集的个数为 ．
20.设，若，则的取值范围为 ；集合中有两个元素的充要条件是 ．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为函数在上单调递增，，，，，，且，所以集合．
集合，由于指数函数的值域是，所以集合．
那么．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了集合元素的属性，注意元素的约束条件是解答的关键，属于基础题．
由已知，应该是的正因数，所以可能为，，，，又，得到．
【解答】
解：因为集合，且，
所以可能为，，，，
对应的值为，，，，
所以．
故选D．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查借助图解决集合问题的方法，交集和补集的定义及运算，属于基础题．
根据题意即可画出图表示集合，，的关系，从而得出正确的选项．
【解答】
解：由题意，，
可借助图解决：
，．
故选A．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查元素与集合的关系，较难题．
根据集合，，中元素的性质，分别判断，，，，即可得出结论．
【解答】解：因为，，，，
所以，且，
所以；
又，又不一定是的倍数，
所以不一定属于集合；
因为，且，所以；
因为，，
所以，又不一定是的倍数，所以不一定属于集合．
所以只有一定正确，
则一定正确的个数为．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查集合交并补混合运算，属于基础题．
先化简集合，，再利用集合的补集和并集运算求解．
【解答】
解：因为，或，
所以，，
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查集合的交集运算，对数型函数的定义域问题，属于基础题。
【解答】
解：，
，
．
7.【答案】
【解析】解：由题意可知，数列：、、、、、、、、、、，
数列：、、、、、、、、、、，
将集合中的元素由小到大进行排序，构成数列：、、、，
易知数列是首项为，公差为的等差数列，则，
由，可得，
因此，集合中元素的个数为．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查集合间的包含关系，求解参数范围，考查了分类讨论思想，属于中档题．
根据集合中参数与的关系分类讨论，以及子集关系确定的范围．
【解答】解：
当时，不成立，
所以，所以满足
当时，因为，所以，
又因为，
所以，所以
当时，因为，所以，
又因为，所以，所以，
综上可知：．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查集合的运算以及新定义问题，题目较难。
先求出一元二次不等式对应方程的根，再讨论根的大小确定两个集合，进而求出两集合的交集，通过长度求出值，再求集合的并集及其长度．
【解答】
解：的两根为，，
的两根为，；
当时，易知；
当时，，，
；
当时，，，
．
由长度为得，或，
或，
当时，，，
；
当时，，，
．
的长度为．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
这个题目考查的是已知函数的零点，求参的问题，在研究函数零点时，有一种方法是把函数的零点转化为方程的解，再把方程的解转化为函数图象的交点，特别是利用分离参数法转化为动直线与函数图象交点问题，这样就可利用导数研究新函数的单调性与极值，从而得出函数的变化趋势，得出结论．
求出中不等式的解集确定出，由与交集中恰有一个整数，求出的范围即可．
【解答】
解：由中不等式变形得：，
解得：或，即或，
函数图像如图所示：
函数的对称轴为，
，
，
，，
故其中较小的根为之间，另一个根大于，
要使恰有一个整数，即这个整数解为，
且，
即
解得： ，
即，
则的取值范围为．
故选A．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查元素与集合的关系判断、方程根及其应用，考查了计算能力、分类讨论的数学思想，属于中档题．
根据给定条件可得或，然后由集合中的方程的根的个数，对参数进行分类讨论，求得实数的所有可能取值，即可得到本题的答案．
【解答】
解：由定义得，结合，可知或，
由方程，得或，
当时，方程只有一个实数根，
而方程有一根为，则另一根必为，，此时无实根，因此．
当时，必有，方程有两个不相等的实数根，，
并且，都不是方程的根，
显然方程有两个相等的实数根，且异于，，
于是，解得或．
当时，方程的根为，，满足题意，
当时，方程的根为，，满足题意，
因此或，
综上，故．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查元素与集合之间的关系，属于较难题．
若有个元素，设，根据集合的性质和题设进行分析推导，可以判定；假若有个元素，设，根据题设条件推导，可以得到还会有第四个元素，得到矛盾，从而判定．
【解答】
解：若有个元素，设，则．
至少有个元素，集合中除外至少还有一个元素，
不妨设，，则，且，
若，则，
，，，与假设矛盾，
故，或．
若，则，，，
若，则，与矛盾，，同理．
此时；
若，则，，，
若，则，与矛盾，，同理．
此时；
综上，若有个元素，则有个元素，有个元素，有个元素，
故A错误，B错误，C正确；
假若有个元素，设，则，，为互不相等的正数．根据，有，，．
由于，，都是正数，且两两不相等，所以，，两两不相等．
由条件可得，都是集合的元素．
，，为互不相等的正数，都是不等于的正数．
．
，为不相等的正实数，，考虑到和，
若，则为互不相等的正数，由两边取到数得，
所以是与，，不相等的正数，由于，，，都是集合的元素，所以集合至少有四个元素，与初始假设矛盾；
同理可得，时矛盾．
因此考虑，，的情况，所以，同理可得，，所以，
所以，这与集合中元素的互异性矛盾，所以集合有个元素不可能成立，故D错误．
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查含参数的集合关系的问题，解一元二次不等式，属于一般题．
求出集合，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念求解判断．
【解答】
解：由题意得，
若，则且，解得，故A正确；
故当时，，故D不正确；
若，则且，解得，故B正确；
当时，得，解得或，故C正确．
故选：．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了集合的包含关系，交集及并集的运算，属于中档题．
由题意利用集合子集的概念以及交集，并集的定义逐项分析即可．
【解答】
解：对于，若，则，则，故A正确
对于，若，显然对于任意，，则，故，故B正确
对于，若，则解得，故 C正确
对于，若，则不等式无解，故若，则，故D错误．
故选ABC．
15.【答案】
【解析】解：对于，若，令，则，，
令，，则，，令，，不存在，即，矛盾，所以，故A错误
对于，由于集合非空，取任意元素，根据性质，得，再根据性质，
得，进而，，，，故B正确
对于，因为，，所以，因为，，所以，故C正确
对于，若，，则，故D错误．
故选：．
16.【答案】
【解析】解：，
若，
说明是方程的一个根，
设方程的另一个根为，则，
由于，所以，
则根据韦达定理可得：，，
因为，，那么，所以 A正确， B错误；
由且，可得，C正确；
由方程有一个实数根为，得，即，故D正确，
故选：．
17.【答案】
【解析】解：由分母不为可知，
所以，则，即，
所以集合，
所以，，
故．
故答案为：．
18.【答案】或
【解析】【分析】
本题考查元素与集合的关系，交集的概念及运算，集合元素的互异性．
由便得到或，这样求出，并验证是否满足条件，以及是否满足集合元素的互异性，从而得出的值．
【解答】
解：；；，或；
，或；
时，，，满足条件；
时，，不满足集合元素的互异性；
时，，，满足条件；
故答案为或．
19.【答案】
【解析】【分析】
本题考查集合的交并运算，考查子集的个数，属于基础题．
先求出，再求出，即可求解．
【解答】
解：由题意知，
又，所以，所以，解得，
所以．
所以，
所以的子集的个数为．
20.【答案】且
【解析】【分析】
本题考查补集的运算与集合中元素的个数，属于基础题
根据 ，，得到，解出，
集合中有两个元素，即有两个不等的实数根，解出．
【解答】
解：因为，，所以，即无解，
当时，不成立
当时，，解得综上可知，的取值范围为
集合中有两个元素，即有两个不等的实数根，
当时，不成立
当时，，解得．
因此集合中有两个元素的充要条件是且
故答案为：；且
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