2025--2026高考数学第一轮复习试卷：数与式 解答题专项练（含解析）

2025--2026高考数学第一轮复习试卷：数与式解答题专项练
1．化简：
(1)
(2)
2．把下列各式因式分解：
(1)
(2)
(3)
(4)
3．选用适当的方法分解因式
(1)
(2)
4．（1）计算：．
（2）解方程组：．
5．（1）计算：；
（2）化简：．
6．先化简，再求值：，其中，．
7．计算：．
8．计算：.
9．因式分解：
(1)；
(2)
10．化简求值：，
11．把下列各式因式分解：
(1)；
(2)；
(3).
12．（1）计算：
（2）解不等式组
13．解下列各题：
(1)化简：；
(2)因式分解：；
(3)计算：．
14．解决下列问题：
(1).计算：.
(2).先化简，再求值：，其中x的值是从的整数值中选取.
15．计算：
(1)；
(2).
16．分解因式：
(1)；
(2)
17．已知的展开式中不含和项.
(1)求与的值.
(2)在(1)的条件下，求的值.
18．先化简，再求值：，其中．
19．计算：.
20．（1）已知，求代数式的值．
（2）A，B两个工程队分别接到36千米的道路施工任务．以下是两个工程队的施工规划．
A工程队 前两天施工速度为x千米/天，第三天开始每天都按第一天施工速度的2倍施工（预计比全程只按x千米/天的速度完成施工的时间提前3天）
B工程队 甲方案：计划18千米按每天施工a米完成，剩下的18千米按每天施工b米完成，预计完成生产任务所需的时间为天； 乙方案：设完成施工任务所需的时间为天，其中一半时间每天完成施工a千米，另一半时间每天完成施工b千米； 特别说明：两种方案中的a，b均为正整数，且．
（i）问A工程队完成施工任务需要多少天？
（ii）若要尽快完成施工任务，B工程队应采取哪种方案？说明你的理由．
（iii）若B工程队采用甲方案完成施工时间与A工程队完成时间相同，直接写出a的值．
21．解方程：.
22．阅读材料，完成相应任务：“贾宪三角”又称“杨辉三角”，在欧洲则称为“帕斯卡三角”（如图所示），它揭示了（为非负数）展开式的各项系数的规律.

根据上述规律，完成下列问题：
(1)直接写出____________；
(2)的展开式中项的系数是____________；
(3)利用上述规律求的值，写出过程.
23．如果的三边满足，试判断的形状.
24．先化简再求值：
(1)求的值，其中；
(2)求的值，其中.
25．我们把能被13整除的数称为“超越数”，已知一个正整数，把其个位数字去掉，再将余下的数加上个位的4倍，如果和是13的倍数，则原数一定是“超越数”.如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复上述过程，直到清晰判断为止.如：1131：，所以1131是“超越数”；又如：3292：，因为61不能被13整除，所以3292不是“超越数”.
(1)请判断42356是否为“超越数”；
(2)若（为整数），化简除以13的商（，用含字母的代数式表示）.
26．因式分解：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
27． 计算：
（1）
（2）
28．先化简，再求值：，其中．
29．计算：
30．计算：
(1)；
(2)．
31．若和都是的同类项，求的值.
32．（1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中．
33．已知，且，求下列代数式的值：
(1)；
(2)．
34．分解因式
(1)；
(2)分解因式．
35．（1）计算：．
（2）化简：
36．【教材呈现】人教版八年级上册数学教材121页有“阅读与思考”：根据多项式的乘法法则，可知.那么，反过来，也有这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式.例如，因式分解.这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，符合类型，于是有这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.这样，我们也可以得到.利用上面的方法，因式分解以下题目：
(1)；
(2).
37．已知，求的值，小明是这样分析与解答的：
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)若，求的值；
(2)求的值；
(3)比较与的大小，并说明理由．
38．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中，．
39．（1）计算：.
（2）先化简，再求值：，其中.
40．（1）因式分解：;
（2）因式分解：;
（3）解方程：;
（4）化简：.
41．配方法是数学中重要的思想方法之一，它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成(a、b是正整数)的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
解决问题
（1）已知29是“完美数”，请将它写成(a、b是正整数)的形式__________；
（2）若可配方成(m、n为正整数)，则__________；
探究问题
（3）已知(x，y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
42．计算：
(1)；
(2).
43．先化简，再求值：，其中.
44．阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是．例如：．
(1)按照这个规定，请你计算的值；
(2)按照这个规定，请你计算：当时，的值.
45．阅读以下材料：对于三个实数a b c，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数.例如：；；；，解决下列问题：
(1)填空：min{sin30°，cos45°，tan30°}=___________，如果，则x的取值范围为___________；
(2)①如果，求=___________.
②根据①，你发现了结论“如果，那么___________（填，b，c的大小关系）”.
③运用②的结论，若，则x+y=___________；
(3)在同一直角坐标系中作出函数，，的图象（不需列表描点），通过观察图象，填空：的最大值为___________.
46．如图1，B为上一点，点A在直径CD的延长线上，且．
(1)判断直线AB与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求的半径；
(3)如图2，在（2）的条件下，的平分线BE交于点E，交CD于点F，连结CE．求的值．
47．配方法是数学中重要的思想方法之一，它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成(是正整数)的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
解决问题
（1）已知29是“完美数”，请将它写成(是正整数)的形式__________；
（2）若可配方成(为正整数)，则__________；
探究问题
（3）已知(是整数，是常数)，要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由．
参考答案
1．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用平方差公式计算即可；
（2）根据分式的减法和除法法则计算即可.
【详解】（1）原式=.
（2）原式=
.
2．【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用十字相乘法分解因式；
（2）利用立方差公式计算即可；
（3）利用十字相乘法、分组分解法分解因式；
（4）利用完全平方公式和平方差公式计算即可.
【详解】（1）；
（2）；
（3）
；
（4）.
3．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用十字相乘法因式分解；
（2）利用提公因式法及十字相乘法因式分解.
【详解】（1）；
（2）
.
4．【答案】（1）0；（2）.
【分析】（1）根据根式运算及绝对值的定义求得正确答案.
（2）利用加减消元法解方程组即可.
【详解】（1）．
（2）依题意，，两式相加得，，
把代入（1），得，，
所以原方程组的解为：．
5．【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据幂的定义、零次幂的性质、特殊角的正弦值、绝对值的性质进行求解即可；
（2）运用因式分解法和分式的运算法则进行求解即可.
【详解】（1）
（2）
6．【答案】
【详解】原式，
将，代入得：
原式.
7．【答案】6
【详解】.
8．【答案】4
【详解】.
9．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）提公因式，再利用平方差公式即可求解；
（2）利用完全平方公式、平方差公式及十字相乘法即可求解.
【详解】（1）
（2）
.
10．【答案】
【分析】根据分式的运算化简，再根据根式的性质有理化即可得答案.
【详解】原式
当时，原式．
11．【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】利用“十字相乘法”结合条件即得．
【详解】（1）；
（2）
；
（3）.
12．【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据幂的运算法则和特殊角的余弦值计算即可；
（2）解不等式，求出不等式组的解集.
【详解】（1）
（2）解①得;
解②得;
综上所述，不等式组的解集为.
13．【答案】(1)
(2)
(3)5
【分析】（1）根据乘法公式及单项式与多项式乘法计数法则计算可得；
（2）利用分组分解和公式法计算可得；
（3）根据根号、平方的计算法则可得.
【详解】（1）；
（2）；
（3）
.
14．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由零指数，分数指数，负指数幂计算规则可得答案；（2）由题意可得x取值，后由分式加减与乘除法计算法则可得答案.
【详解】（1）由题，原式
（2）由题，原式 .
又由题可知，结合x的值是从的整数值中选取，则.
故原式.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）原式；
（2）原式.
16．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由因式分解的相关知识求解即可；
（2）用十字相乘法分解因式即可.
【详解】（1）；
（2）.
17．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先把多项式展开，然后根据题意列方程组求解即可.
（2）逆运用立方和公式化简，然后将与的值代入计算即可.
【详解】（1），
因为该展开式中不含和项，所以，解得，即；
（2）因为+，
所以时，原式.
18．【答案】
【分析】
进行化简可得，代入即可得解.
【详解】
化简可得：
当时，
原式．
19．【答案】.
【分析】根据给定式子提取公因式，利用多项式除以多项式的法则计算即得.
【详解】
.
20．【答案】（1）；（2）（i）5天；（ii）应采取乙方案，理由见解析；（iii）6.
【分析】（1）化简所求代数式，结合已知条件求得正确答案.
（2）（i）根据已知条件列方程，求得的值，进而求得所需天数.
（ii）通过计算得到，由此作出判断.
（iii）根据已知条件求得的关系式，根据均为正整数求得的值.
【详解】（1），
，，，
当时，原式．
（2）（i）根据题意得：，解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：工程队完成施工任务需要5天；
（ii）工程队应采取乙方案，理由如下：
根据题意得：；
．
．
，
，，
，
即，，
工程队应采取乙方案；
（iii）根据题意得：，即，，
又，均为正整数，且，，
经检验，，是所列方程的解，且符合题意．
答：的值为6．
21．【答案】
【分析】根据给定条件，利用换元法求解即得.
【详解】设，则，
原方程化为，即，解得或，
当时，，无解；
当时，，解得，
经检验是原方程的根，
所以原方程的根为.
22．【答案】(1)
(2)8
(3)
【详解】（1），，
，
，
，
故答案为；
（2），
项的系数是.
故答案为8.
（3）
.
23．【答案】等腰三角形或直角三角形
【分析】将原式进行因式分解，再判断三角形的形状.
【详解】因为，
所以，
即，
，
所以，
因此是等腰三角形或直角三角形.
24．【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）先因式分解进行化简，进而代入即可求解；
（2）先同分母进行化简并转化的表达式，进而代入即可求解.
【详解】（1）
.
即代入可得.
（2）
.
即代入可得.
25．【答案】(1)42356不是“超越数”；
(2).
【分析】（1）根据“超越数”的定义即可求解；
（2）根据所给定义即可化简求解.
【详解】（1）由于，
因为50不能被13整除，所以42356不是“超越数”.
（2）由于，又，
所以，
所以.
26．【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
27．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）
（2）
28．【答案】，
【详解】原式，
把代入得：
原式．
29．【答案】
【详解】
.
30．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
；
（2）
.
31．【答案】36
【分析】根据同类项的概念，可得m，n的方程组求出m，n的值，然后将所求的式子化简并代入m，n的值，可得答案.
【详解】解：根据题意得解之得，

当，时，
原式.
32．【答案】（1）；（2），
【分析】（1）根据特殊角的三角函数、整数指数幂的运算性质及绝对值的性质可求代数式的值；
（2）通分后可求代数式的化简结果，从而可求当时对应的值.
【详解】（1）原式
.
（2）.
当，原式.
33．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）根据平方差公式，完全平方公式及立方和公式化简求值即可．
【详解】（1）因为，且，
所以，
所以．
（2）．
34．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）令，原式可化为，
故
；
（2）．
35．【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据绝对值、指数等运算求得正确答案.
（2）根据代数式的运算求得正确答案.
【详解】（1）
.
（2）
.
36．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
；
（2）
．
37．【答案】(1)2
(2)9
(3)，理由见详解
【分析】(1) 根据小明的分析过程，，化为，则，两边平方得，由即可求解；
(2) 根据小明的分析过程，将的每一项分母有理化，即可求得结果；
(3)因为，可得， ，由，，可得结论.
【详解】（1）∵，
∴，
∴，即，∴，
∴.
（2）
.
（3），理由如下：
∵，∴，
∴， ，
∵，
，
又，
∴，
∴ .
38．【答案】（1）3；（2），5
【分析】（1）根据根式的运算法则，以及整数指数幂的运算法则，即可求解；
（2）首先通分，再根据整式的运算法则，化简求解，再代入求值.
【详解】（1）原式，
；
原式
，
当，时，原式．
39．【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）先算开方，绝对值，零次幂和乘方，最后算加减法即可；
（2）先化简原式，再把代入求解即可.
【详解】（1）
；
（2）原式，
把代入得原式.
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算以及化简求值问题.属于较易题.
40．【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【分析】（1）利用提公因式法和公式法进行因式分解即可；
（2）利用待定系数法进行因式分解即可；
（3）把分式方程化为整式方程求解即可；
（4）利用完全平方公式及二次根式的性质即可求解.
【详解】（1）
；
（2）令，
则原式,
于是,
得,
所以；
（3）由，得,
去分母得,且，
去括号得,
解得；
（4）
.
41．【答案】（1）；（2）6；（3）13，理由见解析．
【分析】（1）根据完美数的定义即可求解；
（2）根据配方法的相关知识即可求解；
（3）根据配方法以及完美数的定义即可求解.
【详解】（1），
故答案为：；
（2）
，
∴，，
∴；
故答案为：6；
（3）
∵S是“完美数”，，也是整数，
∴k可以取13．
42．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）.
（2）
.
43．【答案】
【分析】先化简再代入求值.
【详解】
，
因为，所以原式.
44．【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定的定义直接计算即得.
（2）求出的值，再利用给定下定义计算即得.
【详解】（1）依题意，.
（2）由，得，解得，
所以.
45．【答案】(1)，
(2)①1；②a=b=c；③﹣4
(3)图象答案见解析，最大值是1
【分析】（1）根据题设的数的定义可求，同理根据定义可得关于的不等式组，从而可求其范围.
（2）不失一般性，可设，根据定义可得，从而可得三者相同，再根据这个结果可得的方程组，求出的值后可求.
（3）在同一坐标系中画出三个函数的图象，根据图象结合定义可求最大值.
【详解】（1）.
如果，则，
故.
（2）如果，不失一般性，设，
则，故即，
而，故，当且仅当时等号成立，
故.
若，
则，故，
所以.
（3）函数，，的图象如图所示：
表示三者中较小者，故其图象为图中实线，
设，的图象在上的交点为，
由可得，故，
而，的图象在上的交点的纵坐标为1，
结合图象可得的最大值为1.
46．【答案】(1)相切，理由见解析；
(2)6
(3)
【分析】（1）由弦切角定理的逆定理判断；
（2）由相似三角形得比例线段后可求解；
（3）由圆周角定理、弦切角定理、角平分线证明，由（2）可得各线段长，由角平分线定理求得，过作于，从而求得，在等腰三角形中可求得底角的正弦值．
【详解】（1）由弦切角定理的逆定理知，直线与相切；
（2）由已知，，即，
因为且，
∴，∴，
∴，，
∴，
∴的半径为；
（3）由图知，又，
所以，
又是的平分线，即，而，
所以，
由（2）知，
是的平分线，则，而，∴，
过作于，
由得，
，，
又是的平分线，，∴，从而，
∴，
过作于，则是中点，∴，
，
．
47．【答案】（1）；（2）6；（3）13，理由见解析．
【分析】（1）根据完美数的定义即可求解；
（2）根据配方法的相关知识即可求解；
（3）根据配方法以及完美数的定义即可求解.
【详解】（1），
故答案为：；
（2）
，
可配方成(为正整数)，即，
，，
；
故答案为：6；
（3）
是“完美数”，且，也是整数，
可以取13．
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