2025--2026年高考数学第一轮复习试卷：方程与不等式 解答题专项练（含解析）

2025--2026年高考数学第一轮复习试卷：方程与不等式解答题专项练
1．解方程组：．
2．今年月日日在江北嘴举行了第二届花博会，吸引了众多游客．王某看准了商机，在销售区租了一个摊位，主要卖干花和鲜花植物．部分品种，干花和鲜花的成本价分别是每束元，每盆元．
(1)已知一盆鲜花的售价是一束干花价格的倍．第一天就卖了束干花，盆鲜花，共获利元．求一束干花的售价是多少元．
(2)花博会最后一天，王某发现还有束干花和盆鲜花，决定干花的售价提高销售，很快全部售完．鲜花降价卖了盆，剩下的每盆元全部卖出，当天的利润为元，且鲜花价格尽可能降低．求的值是多少？
3．为了加快推进环境建设，构建生态宜居城市，实现“河场、水清、岸绿、景美”的目标，九龙坡区计划安排甲、乙两个施工队对一条全长为4100米的河道进行清淤施工，经调查知：甲队每天消淤的河道长度是乙队每天清淤的河道长度的1.5倍，甲队清淤1200米的河道比乙队消淤同样长的河道少用2天.
(1)甲、乙两队每天消淤的河道长度分别是多少米？
(2)若该条河道先由甲队单独消淤2天，余下的河道由甲乙两队合作清淤.已知甲队施工一天的费用为3.2万元，乙队施工一天的费用为2.8万元，求完成该条河道清淤施工的总费用.
4．解方程：．
5．对于四个正数，若满足，则称有序数对是的"下位序列".
(1)对于2、3、7、11，有序数对是的"下位序列"吗 请简单说明理由;
(2)设均为正数，且是的“下位序列”，试判断之间的大小关系；
(3)设正整数满足条件:对集合内的每个，总存在正整数，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整数的最小值.
6．对于四个正数、、、，若满足，则称有序数对是的“上位序列”．
(1)对于2、3、7、11，有序数对是的“上位序列”吗？请简单说明理由；
(2)设、、、均为正数，且是的“上位序列”，试判断、、之间的大小关系；
(3)设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在正整数，使得是的“上位序列”，且是的“上位序列”，求正整数的最小值．
7．某零食店购进A、B两种网红零食共100件，A种零食进价为每件8元，B种零食进价为每件5元，在销售过程中，顾客买了3件A种零食和2件B种零食共付款65元，顾客乙买了2件A种零食和3件B种零食共付款60元．
(1)求A、B两种零食每件的售价分别是多少元？
(2)若该零食店计划A、B两种零食的进货总投入不超过656元，且销售完后总利润不低于600元，则购进A、B两种零食有多少种进货方案？
(3)在（2）的条件下，哪种进货方案可使获利最大？最大利润是多少元？
8．先化简，再求值：，其中．
9．某校为实现教学的数字化，需要购买一批电子白板和平板电脑，若购买2台电子白板和6台平板电脑共需9万元；购买3台电子白板和4台平板电脑共需11万元．
(1)求电子白板和平板电脑的单价分别是多少万元？
(2)结合学校实际，该校准备再次购买电子白板和平板电脑共100台，其中电子白板至少购买10台且不超过30台，商家给出了两种方案．方案一：电子白板和平板电脑均打9折；方案二：买1台电子白板，送1台平板电脑．设购买总费用w万元，购买电子白板a台，请根据两种优惠方案分别写出w关于a的函数关系式，并分析该校应选用哪种优惠方案购买更省钱？
10．已知，求：
(1)；
(2)．
11．某汽车工厂现有一批汽车配件订单需交付，若全部由1个工人生产需要150天才能完成.为了快速完成生产任务，现计划由一部分工人先生产3天，然后增加6名工人与他们一起再生产5天就能完成这批订单的生产任务.假设每名工人的工作效率相同.
(1)前3天应先安排多少名工人生产？
(2)增加6名工人一起工作后，若每人每天使用机器可以生产600个A型配件或650个B型配件，如果3个A型配件和2个B型配件配套组成一个零件系统，要使每天生产的A型和B型配件刚好配套，应安排生产A型配件和B型配件的工人各多少名？
12．某中学准备开展植树活动，计划在荒坡上种植A、B两种树苗共1000株，其中A树苗的数量比B树苗的数量的一半多100株.
(1)计划种植A、B两种树苗各多少株；
(2)学校将36名青年志愿者分成两队种植这批树苗.其中第一队种植A树苗，每人每天平均能种植A树苗25株；第二队种植B树苗，每人每天平均能种植B树苗30株.要使两队同时完成任务，第一队应安排多少名青年志愿者？
13．解方程或方程组
（1）
（2）
14．解不等式组，并求该不等式组的非负整数解．
15．对、定义一种新运算“”，规定：（其中、均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：.
(1)已知.
①求的值；
②若关于x的不等式组有且只有一个整数解，试求字母的取值范围；
(2)若运算“”满足加法的交换律，即对于我们所学过的任意数，结论“”都成立，试探索a b所应满足的关系式.
16．为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍．
(1)足球和篮球的单价各是多少元？
(2)根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500元，学校最多可以购买多少个篮球？
17．某活动中心准备带会员去龙潭大峡谷一日游，1张儿童票和2张成人票共需190元，2张儿童票和3张成人票共需300元.
解答下列问题：
(1)求每张儿童票和每张成人票各多少元？
(2)这个活动中心想带50人去游玩，费用不超过3000元，并且出于安全考虑，儿童人数不能超过22人，请你帮助活动中心确立出游方案.
18． 甲和乙两位同学是骑行爱好者，甲从地出发前往地，乙从地出发前往地，已知、两地相距20千米，乙的速度是甲的速度的1.5倍.
（1）若甲先骑行2千米，乙才开始从地出发，两人54分钟后相遇，求乙每小时骑行多少千米
（2）若甲先骑行40分钟，乙才开始从地出发，甲、乙两人同时到达终点，求乙每小时骑行多少千米
19．某学校建立了劳动基地，计划在基地上种植两种苗木共6000株，其中种苗木的数量比种苗木的数量的一半多600株.
(1)请问两种苗木各多少株
(2)如果学校安排350人同时开始种植这两种苗木，每人每天平均能种植种苗木50株或种苗木30株，应分别安排多少人种植种苗木和种苗木，才能确保同时完成任务
20．某地区遭受了罕见的旱灾，“旱灾无情人有情”．某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件．
(1)求饮用水和蔬菜各有多少件？
(2)现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件，则安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；
(3)在(2)的条件下，如果甲种货车每辆需付运费400元，乙种货车每辆需付运费360元．应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？
21．解分式方程：.
22．（1）计算：
（2）求不等式组的解集．
（3）先化简，再求值：，其中
23．为了迎接六一儿童节的到来，某玩具店拟用8000元进购种玩具，用5000元进购种玩具．已知一个种玩具进价比一个种玩具进价多5元，又知进购玩具的数量是玩具数量的2倍．
(1)，两种玩具的进价各是多少元？
(2)玩具店将种玩具定价为40元，并进行了市场调查，发现若按定价销售，每天能售出30件，每降价2元，每天能多售出10件，要使玩具店销售种玩具的单日利润最高，玩具应该降价多少元销售？单日最高利润是多少元？
24．已知方程组（，为未知数）有两组不同的实数解，，
（1）求实数的取值范围；
（2）如果，求实数的值.
25．求下列方程、不等式（组）的解集.
(1)；
(2).
26．某超市销售两种品牌的牛奶，购买3箱种品牌的牛奶和2箱种品牌的牛奶共需285元；购买2箱种品牌的牛奶和5箱种品牌的牛奶共需410元.
(1)求种品牌的牛奶，种品牌的牛奶每箱价格分别是多少元？
(2)若某公司购买两种品牌的牛奶共20箱，且种品牌牛奶的数量至少比种品牌牛奶的数量多6箱，又不超过种品牌牛奶的3倍，购买两种品牌的牛奶各多少箱才能使总费用最少？最少总费用为多少元？
27．解方程：.
28．某单位欲购买A B两种电器，根据预算，共需资金15750元.购买一件A种电器和两件B种电器共需资金2300元：购买两件A种电器和一件B种电器共需资金2050元.
(1)购买一件A种电器和一件B种电器所需的资金分别是多少元？
(2)若该单位购买A种电器不超过5件，则可购买B种电器至少有多少件？
(3)为节省开支，该单位只购买A B两种电器共6件，并知道获政府补贴资金不少于700元：自己出资金不超过4000元；其中政府对A B两种电器补贴资金分别为每件100元和150元.请你通过计算求出有几种购买方案？
29．解方程．
30．为优选品种，提高产量，某农业科技小组对A，B两个小麦品种进行种植对比实验研究．去年A，B两个品种各种植了10亩．收获后A，B两个品种的售价均为2.4元，且B的平均亩产量比A的平均亩产量高100kg，A，B两个品种全部售出后总收入为21600元．
(1)请求出A，B两个品种去年平均亩产量分别是多少？
(2)今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在A，B种植亩数不变的情况下，预计A，B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加和．由于B品种深受市场的欢迎，预计每千克价格将在去年的基础上上涨，而A品种的售价不变．A，B两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加．求a的值．
31．为丰富学生课外活动内容，光明中学组建了机器人兴趣小组，要购进甲、乙两种型号机器人，甲种型号机器人的单价比乙种型号机器人的单价贵0.3万元，已知用8万元购买甲种型号机器人的数量与用5万元购买乙种型号机器人的数量相同．
(1)求甲、乙两种型号机器人的单价分别是多少？
(2)因参与机器人兴趣小组学生人数增加，学校要再购买一些机器人，购买乙种型号机器人的数量是甲种型号机器人数量的2倍，总费用不超过15万元，则最多能购买甲种型号机器人多少台？
32．如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚．

(1)数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本；
(2)如果书架上已摆放10本语义书，那么数学书最多还可以摆多少本？
33．先化简、再求值：，其中.
34．(1)解方程：；
(2)解不等式组，并在数轴上表示解集：．
35．解下列方程不等式组，
(1)；
(2)，并把不等式的解在数轴上表示出来．
36．图1为一只拉杆式旅行箱，其侧面示意图如图2所示，已知箱体长，拉杆BC的伸长距离最大时可达，点A，B，C在同一条直线上，在箱体底端装有圆形的滚筒轮，与水平地面相切于点D，在拉杆伸长到最大的情况下，当点B距离水平地面时，点C到水平地面的距离CE为．设．
（1）求的半径；
（2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感到较为舒服，某人将手自然下垂在C端拉旅行箱时，CE为，，求此时拉杆BC的伸长距离．
（结果精确到，参考数据：，，）
37．先化简，再求值：，其中x是方程的根．
38．请讨论方程解的个数.
39．已知关于的方程.
(1)若，求该方程的解；
(2)若该方程有增根，试求出该增根；
(3)若该方程无解，求的取值范围.
40．（1）先化简，再求值：，其中；
（2）解不等式组：
41．接下列关于x的不等式：
(1)；
(2)
42．（1）解分式方程：．
（2）因式分解：．
（3）化简：
43．已知关于的一元二次方程.
(1)判断方程根的情况；
(2)若方程的两根、满足，求值；
(3)若的两边、的长是方程的两根，第三边的长为5，
①则为何值时，是以为斜边的直角三角形？
②为何值时，是等腰三角形，并求出的周长.
44．（1）解方程
（2）先化简，再求值：，其中，满足．
参考答案
1．【答案】
【分析】利用加法消元法求解方程组即得.
【详解】，得：，
得：，解得：，
把代入②得：，解得：，
所以方程组的解为：．
2．【答案】(1)元
(2)15
【分析】（1）设一束干花的售价是元，列出方程组求解即得.
（2）由已知条件列出方程求解即得.
【详解】（1）设一束干花的售价是元，则一盆鲜花的售价是元，
依题意，得，解得，
所以一束干花的售价是元.
（2）由（1）知，一束干花的售价是元，则一盆鲜花的售价是元，
依题意，，
解得，，而鲜花价格尽可能降低，即尽可能小，所以，
所以的值是.
3．【答案】(1)甲队每天消淤的河道长度是300米，乙队每天消淤的河道长度是200米
(2)48.4万元
【分析】（1）根据题意设甲、乙两队每天消淤的河道长度，然后列方程求解即可；
（2）根据甲、乙两队每天消淤的河道长度得到甲、乙两队施工的天数，然后计算总费用即可.
【详解】（1）解：设乙队每天消淤的河道长度是米，甲队每天消淤的河道长度是米，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
，
所以甲队每天消淤的河道长度是300米，乙队每天消淤的河道长度是200米.
（2）设完成该条河道清淤施工的总费用为万元，
，
所以完成该条河道清淤施工的总费用为48.4万元.
4．【答案】
【分析】方程变形为，然后按绝对值的定义分类讨论，去掉绝对值后平方求解．
【详解】由得，
当时，，所以，
所以（舍去）；
当时，，所以，
所以，又，所以．
5．【答案】(1)是，理由见解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）直接根据“下位序列”的定义判断即可；
（2）由条件可得，然后利用作差比较大小即可；
（3）根据“下位序列”的定义列不等式组，利用不等式组求出的范围，然后将恒成立问题转化最值问题，即可求出正整数的最小值.
（1）
是的"下位序列"
（2）
是的“下位序列”
，，，均为正数
故，
即
同理，
综上所述：；
（3）
由已知得，
因为为整数，
故，
，
该式对集合内的每一个 的每个正整数都成立，
所以正整数的最小值为.
6．【答案】(1)是，理由见解析
(2)
(3)
【详解】（1）由，故是的"上位序列"；
（2）由是的“上位序列”，故，
又，，，均为正数，
故，故，
，故，
综上所述：；
（3）由已知得，
因为为整数，
故，
则有，
即可得，
该式对集合内的每个正整数都成立，
，
所以正整数的最小值为.
7．【答案】(1)15，10；
(2)答案见解析；
(3)购进A种零食52件，购进B种零食48件，获利最大，最大利润是604元.
【分析】（1）设A种零食每件的售价是x元，B种零食每件的售价是y元，再列出方程组求解即得.
（2）设购进A种零食m件，则购进B种零食（）件，列出不等式组并求解即得.
（3）求出（2）中每种方案所获利润，再比较大小而得.
【详解】（1）设A种零食每件的售价是x元，B种零食每件的售价是y元，
依题意，，解得，
所以A种零食每件的售价是15元，B种零食每件的售价是10元.
（2）设购进A种零食m件，则购进B种零食（）件，
由进货总投入不超过656元，且销售完后总利润不低于600元，
得，解得，
而m为整数，则m可取50，51，52，因此购进A、B两种零食有3种进货方案：
①购进A种零食50件，购进B种零食50件；
②购进A种零食51件，购进B种零食49件；
③购进A种零食52件，购进B种零食48件.
（3）设获利w元，
当购进A种零食50件，B种零食50件时，（元），
当购进A种零食51件，B种零食49件时，（元），
当购进A种零食52件，B种零食48件时，（元），
而，
所以购进A种零食52件，B种零食48件，获利最大，最大利润是604元．
8．【答案】，
【分析】利用分式的运算法则计算即可得.
【详解】原式
，
将代入，得：原式．
9．【答案】(1)电子白板的单价分别是万元，平板电脑的单价分别是万元
(2)答案见解析
【分析】（1）设电子白板和平板电脑的单价分别是和万元，根据题意列出方程组，解之即可；
（2）根据题意分别写出两种方案得函数关系式，再分情况讨论即可.
【详解】（1）设电子白板和平板电脑的单价分别是和万元，
由题意可得，解得，
答：电子白板的单价分别是万元，平板电脑的单价分别是万元；
（2）方案一：，
方案二：，
当时，得，
即当时，选择方案一；
当时，得，
即当时，方案一和方案二花费一样多；
时，得，
即当时，选择方案二.
答：方案一：，方案二：，当时，选择方案一；当时，方案一和方案二花费一样多；当时，选择方案二.
10．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）原式化简后配方可得，即可得，代入计算即可得解；
（2）由，代入计算即可得解.
【详解】（1）由，即，
即，故有，即，
则；
（2）由，则.
11．【答案】(1)15
(2)安排生产A型配件的工人13名，生产B型配件的工人8名
【详解】（1）设前3天应先安排x名工人生产，每名工人的工作效率为a，
根据题意得，即，解得，
故前3天应先安排15名工人生产；
（2）设应安排y名工人生产A型配件，则安排名工人生产B型配件，
由题意得，解得，则，
所以应安排生产A型配件的工人13名，生产B型配件的工人8名.
12．【答案】(1)A树苗种400株，B树苗种600株
(2)16
【详解】（1）设A树苗种株，B树苗种株，
则由题意得，解得，
答：计划A树苗种400株，B树苗种600株.
（2）设第一队应安排名青年志愿者，则由题意得，
解得，经检验是原分式方程的解，且符合题意.
答：第一队应安排16名青年志愿者.
13．【答案】（1）或6；（2）.
【分析】
（1）将所给方程左边因式分解，进而可求出方程的解；
（2）利用消元法进行求解，即可得出结果.
【详解】
（1）原方程可化为，
或，解得或；
（2）由得，两式相加可得，解得，
代入可得，
所以原方程组的解为：.
14．【答案】
【分析】根据一元一次不等式求解方程组的解为，即可求解.
【详解】由可得，由得，
因此不等式组的解为，
故非负整数解为.
15．【答案】(1)①；②；
(2).
【分析】（1）①根据已知新运算得出方程组，求出方程组的解即可；
②先根据运算得出不等式组，求出每个不等式的解集，根据已知得出关于t的不等式组，求出解集即可；
（2）根据新运算得出等式，整理后即可得出答案.
【详解】（1）①，
∴，
解得：；
②∵，
∴，
即，
解得：，
关于x的不等式组，有且只有一个整数解，
，
解得：，
即字母t的取值范围是；
（2），
，
，
，
，
为任意数，
不一定等于0，
，
即所应满足的关系式是.
16．【答案】(1)足球单价为 60 元, 篮球单价为 90 元.
(2)学校最多可以购买116个篮球.
【分析】（1）设足球单价为元, 则篮球单价为元,建立方程关系解之即可得出结论；
（2）设学校可以购买个篮球,，建立不等式关系解之即可得出结论；
【详解】（1）设足球单价为 元, 则篮球单价为 元,
由题意得: ,
解得: ,
经检验 是原方程的解, 符合题意,
.
故足球单价为 60 元, 篮球单价为 90 元.
（2）设学校可以购买 个篮球,
由题意得:
，
即，
解得；
为整数,
最大为 116 .
故学校最多可以购买 116 个篮球.
17．【答案】(1)每张儿童票30元，每张成人票80元
(2)答案见解
【分析】（1）设每张儿童票x元，每张成人票y元，根据两家人的购票费用列方程组求解即可；（2）设带儿童m人，根据题意得不等式即可得到结论．
【详解】（1）设每张儿童票x元，每张成人票y元，根据题意，
得，解得：，
答：每张儿童票30元，每张成人票80元；
（2）设带儿童m人，根据题意，得，
解得，又∵儿童人数不能超过22人，
∴带儿童人数的取值范围是；
则方案一：带儿童20人，成人30人；
方案二：带儿童21人，成人29人；
方案三：带儿童22人，成人28人．
18．【答案】（1）乙每小时骑行
（2）乙每小时骑行
【详解】（1）
设甲的速度为，则乙的速度为，
则由题意有
解得，则.
则乙每小时骑行.
（2）
设甲的速度为，则乙的速度为，
，
解得，经检验是原方程的根，
则，
则乙每小时骑行.
19．【答案】(1)种苗木有2400株，种苗木有3600株.
(2)应安排100人种植种苗木，250人种植种苗木.
【分析】（1）设种苗木有株，种苗木有株，列方程组求解.
（2）设安排人种植种苗木，列方程求解即可得解.
【详解】（1）设种苗木有株，种苗木有株，根据题意，得，解得，
故种苗木有2400株，种苗木有3600株；
（2）设安排人种植种苗木，根据题意，得，
解得(人)，
经检验，是原方程的根，且符合题意，
(人)，
故应安排100人种植种苗木，250人种植种苗木，才能确保同时完成任务.
20．【答案】(1)饮用水和蔬菜分别为200件和120件；
(2)有3种方案．设计方案分别为：①甲车2辆，乙车6辆；②甲车3辆，乙车5辆；③甲车4辆，乙车4辆；
(3)运输部门应选择甲车2辆，乙车6辆，可使运费最少，最少运费是2960元．
【分析】(1)设饮用水有x件，则蔬菜有件．据此列方程确定饮用水和蔬菜各有多少件即可.
(2)设租用甲种货车辆，则租用乙种货车辆，由题意得到关于的不等式组，求解不等式组给出所有可能的方案即可；
(3)在(2)的条件下，分别计算相应的运费确定需要选择的方案即可.
【详解】(1)设饮用水有x件，则蔬菜有件．
，
解得．
．
答：饮用水和蔬菜分别为200件和120件；
(2)设租用甲种货车m辆，则租用乙种货车辆．
得：，
解得．
为正整数， 或3或4，安排甲、乙两种货车时有3种方案．
设计方案分别为：
①甲车2辆，乙车6辆；②甲车3辆，乙车5辆；③甲车4辆，乙车4辆；
(3)3种方案的运费分别为：
①（元）；
②（元）；
③（元）；
∴方案①运费最少，最少运费是2960元．
答：运输部门应选择甲车2辆，乙车6辆，可使运费最少，最少运费是2960元．
21．【答案】.
【分析】方程两边乘以最简公分母，把分式方程化成整式方程，求出整式方程的解，再代入最简公分母检验即可.
【详解】方程两边乘以得：，解这个方程得：，
检验：当时，，是原方程的解,
所以原方程的解是：.
22．【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据根式、绝对值等运算求得正确答案.
（2）通过解一元一次不等式组来求得正确答案.
（3）化简所求表达式，从而求得正确的答案.
【详解】（1）原式.
（2），
由不等式①得：； 由不等式②得：；
∴原不等式组的解集为；
（3）原式 ；
当时，原式．
23．【答案】(1)的进价是20元，的进价是25元
(2)降价7元，最高利润是845元
【详解】（1）设的进价为x元，则A的进价是元，
根据题意得：，
解得，
经检验是原方程的解，
(元)，
故A的进价是20元，B的进价是25元；
（2）设玩具降价m元，单日利润是w元，
根据题意得：，
故当时，单日利润最高，最高利润为845元，
故玩具应该降价7元销售，单日最高利润是845元．
24．【答案】（1）且；（2）.
【分析】（1）先化简方程组，再根据二次方程有两个不同解列条件，解得结果；
（2）先化简条件为关于等量关系，再利用韦达定理化简，解得的值.
【详解】（1）
因为方程组有两组不同的实数解，所以有两个不同的实数解
所以且；
（2）
因为，
所以
因为且，所以.
25．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，解方程可求得的值，进一步解方程可得，从而得到解集；
（2）解绝对值不等式和一元二次不等式可求得结果.
（1）
设，则，，解得：或；
当时，；当时，；
综上所述：方程的解集为.
（2）
由得：，解得：，
不等式组的解集为.
26．【答案】(1)种品牌的牛奶，种品牌的牛奶每箱价格分别是元、元；
(2)最小费用为（元），此时购买两种品牌的牛奶分别为箱、箱.
【分析】（1）设种品牌的牛奶，种品牌的牛奶每箱价格分别是元，根据题设列方程组后可求各自的单价；
（2）购买品牌的牛奶箱，则购买总费用，由题设条件可得可为中的某个数，故可求最小费用及相应的箱数.
【详解】（1）设种品牌的牛奶，种品牌的牛奶每箱价格分别是元，
则，故.
故种品牌的牛奶，种品牌的牛奶每箱价格分别是元、元.
（2）设购买品牌的牛奶箱，则购买品牌的牛奶箱，
此时总费用，
而，故，而为整数，故可为中的某个数，
故的最小费用为（元），
此时购买两种品牌的牛奶分别为箱、箱.
27．【答案】
【详解】
方程两边同乘以得，，
去括号得，
移项，合并同类项得
将代入得，，
故为原分式方程的解.
28．【答案】(1)；；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据已知条件及等量关系联立方程组即可求解；
（2）利用关系式为：总费用减去B种电器的总费用不超过件A种电器的费用即可求解；
（3）根据政府补贴资金和自己出的资金得到不等式组，求得整数解即可.
【详解】（1）设购买一件A种电器和一件B种电器所需的资金分别为元和元.
由题意可知,解得，
故购买一件A种电器和一件B种电器所需的资金分别为元和元.
（2）设购买B种电器件.
,解得,
故可购买B种电器至少有件.
（3）设购买A种电器件，则购买B种电器件.
,解得，
因为取整数，
所以可取，共种方案.
29．【答案】
【详解】，
，
，
，解得或，
经验证不合题意，舍去，
30．【答案】(1)A，B两个品种去年平均亩产量分别为400kg，500kg；
(2)10.
【详解】（1）设A，B两个品种去年平均亩产量分别为，.
由题得，
得
所以A，B两个品种去年平均亩产量分别为，.
（2）由题意知，A，B两个品种今年平均亩产量分别为，
且A，B两个品种今年的售价分别为元/kg，元/kg.
两品种全部售出后总收入较去年基础上增加，
所以可得关系式：
由上述关系式，解得.
所以的值为.
31．【答案】(1)甲种型号机器人每台0.8万元，乙种型号机器人每台0.5万元
(2)8台
【详解】（1）设乙种型号机器人每台x万元，则甲种型号机器人每台万元，
依题意，得：，解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：甲种型号机器人每台0.8万元，乙种型号机器人每台0.5万元．
（2）设甲种型号机器人购买m台，则乙种型号机器人购买2m台，
依题意，得：，
解得：．
为正整数，的最大值为8．
答：最多能购买甲种型号机器人8台．
32．【答案】(1)数学书60本，语义书30本；
(2)90本.
【分析】（1）设书架上数学书x本，则语文书本，根据题意列出方程求解即可；
（2）设数学书还可以摆m本，根据题意列出不等式求解即可．
【详解】（1）设书架上数学书x本，则语文书本，
根据题意得，，
解得，所以，
所以书架上数学书60本，语义书30本．
（2）设数学书还可以摆m本，则，
解得，所以数学书最多还可以摆90本．
33．【答案】，
【分析】对原式第一项中被除式通分，除式的分子，分母分别分解因式，再结合分式的运算法则化简，得到最简结果，结合条件求，再代入求值．
【详解】
，
∵，
∴，
∴原式.
34．【答案】(1)；(2)，数轴见解析.
【分析】(1)先根据等式的基本性质变形得到，再开立方，最后解一元一次方程即可；
(2)分别求出每一个不等式的解集，求其公共部分，即可求得整个不等式组的解集．
【详解】(1)，
变形，得：，
开立方，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：；
(2)，
对于①，去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
对于②，去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
则不等式组的解集为：.
在数轴上表示解集如下：
.
35．【答案】(1)
(2)，答案见解析
【分析】（1）首先消去，先解，再代入求；
（2）分别求解不等式，再求公共解集，再利用数轴表示.
【详解】（1），
，得：，解得，
将代入得：，解得，
所以方程组的解为；
（2）由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
将解集表示在数轴上如下：
36．【答案】（1）圆形滚轮的半径AD的长是；（2）.
【分析】
（1）设圆形滚轮的半径AD的长是，则，即，即可得答案；
（2）在中，求出，由，求出，再由，即可得答案；
【详解】
（1）作于点K，交MN于点H，
则，．
设圆形滚轮的半径AD的长是．
则，即，
解得：．
所以圆形滚轮的半径AD的长是．
（2）在中，，
则，
所以，
所以．
37．【答案】，
【分析】
括号内通分，求代数和，并因式分解约分化简，求出方程的根，根据代数式有意义确定的值，代入计算．
【详解】
解：
．
∵x是方程，∴，，当时原分式无意义，
∴当时，原式．
38．【答案】答案见解析
【分析】根据的不同取值分类讨论，结合一元二次方程性质判断解的个数，即可得到答案.
【详解】当，即或时，
方程为一元一次方程，有一个解；
当，即且时，
方程为一元二次方程，，
令，即，解得，
所以当时，，方程有一个解，
当时，，方程无解，
当且或且时，，方程有两个解，
综上，
当或或时，方程有1个解，
当时，方程无解，
当当且或且时，方程有两个解.
39．【答案】(1)，.
(2).
(3).
【详解】（1）原方程去分母并整理得：；
当时，，因式分解得
从而，，经检验，均为原方程的解.
（2）显然，若该方程有增根，则增根只能从中产生.
原方程去分母得：
①若，则左边，右边，左边右边，故不会是原方程的根，进而不会成为增根；
②若，原方程可化为，从而，故存在这样的，使得原方程的根为，此时增根为.
综上，若该方程有增根，则增根为.
（3）原方程去分母并整理得：，
要令原方程无解，则存在以下几种情况：
①去分母后整式方程无解，从而，
化简并因式分解得：，从而；.
②去分母后整式方程解全为增根，此时又有以下可能：
（i）若，则或7
时，方程可化为，此时，全是增根，符合题意；
时，方程可化为，此时，不是增根，此时原方程有解，不合题意，舍去.
（ii）若，则需要两个不等实数根分别为1和，但由（2）知，不会成为该方程的根，故舍去.
综上，的取值范围为.
40．【答案】（1）；
（2）.
【分析】（1）先化简式子，再把代入求值即可.
（2）利用一元一次不等式组的解法直接求解即可；
【详解】（1）原式，
当时，原式．
（2）由，得，
由，得，解得，
所以不等式组的解集为.
41．【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）分和两种情况讨论，结合一元二次不等式的解法即可得解；
（2）因式分解，分，，，，五种情况讨论，结合一元二次不等式的解法即可得解.
（1）
解：当时，，
原不等式变形为，解得，
故不等式的解集为，
当时，，
原不等式变形为，解得，
故不等式的解集为，
综上所述，不等式的解集为；
（2）
解：当时，则，解得，
故不等式的解集为；
当时，不等式因式分解可得，
当时，则，解得，
故不等式的解集为；
当时，，解得，
故不等式的解集为；
当，即时，化为，
解得或，
故不等式的解集为；
当，即时，化为，
解得解得或，
故不等式的解集为；
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
42．【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）通过去分母，转化为整式方程，进而得到方程的解，然后代入检验是否是增根;
（2）通过拆项和提取公因式对多项式进行因式分解；
（3）利用完全平方公式进行化简，即可得出结果.
【详解】（1）由可得，，
去分母得，，
去括号得，，
解得，，
经检验，是原方程的解.
（2）
，
，
，

（3）因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以.
43．【答案】(1)方程有两个不相等的实数根
(2)或
(3)①；②答案见解析
【分析】（1）根据判别式即可求解，
（2）根据韦达定理即可代入求解，
（3）根据因式分解可得，，即可结合勾股定理以及等腰关系求解.
【详解】（1）在方程中，,方程有两个不相等的实数根．
（2）由题知：，.
变形为
．得或.
（3）．
，，则．
①不妨设，，
斜边时，有，即，
解得，，为负，舍去）.
当时，是直角三角形；
②，，，由（1）知
故有两种情况：
当时，，则，，
，5，5满足任意两边之和大于第三边，此时的周长为；
当时，，，，
，5，5满足任意两边之和大于第三边，此时的周长为.
综上可知：当时，是等腰三角形，此时的周长为14；当时，是等腰三角形，此时的周长为16.
44．【答案】（1）；（2），
【分析】（1）根据因式分解即可求解，
（2）根据分式的运算性质即可化简求解.
【详解】（1）∵，
∴，
则或，
解得．
（2）
，
，，
当，时，原式．
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