2025--2026年高考数学第一轮复习试卷：函数 解答题专项练（含解析）

2025--2026年高考数学第一轮复习试卷：函数解答题专项练
1．小蕾同学借助反比例函数图象设计一个轴对称图形.如图，正方形的中心与平面直角坐标系的原点重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图象经过正方形的顶点，以点为圆心，的长为半径作扇形交于点；以为对角线作正方形，再以点为圆心，的长为半径作扇形.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求弧EG的长；
(3)直接写出图中阴影部分面积之和.
2．如图，一次函数与函数的图象交于两点，轴于轴于.
(1)求的值：
(2)连接，求的面积：
(3)在轴上找一点，连接，使周长最小，求点坐标.
3．因为一次函数与的图象关于轴对称，所以我们定义：函数与互为“镜子”函数.
(1)请直接写出函数的“镜子”函数：_______.
(2)如图，一对“镜子”函数与的图象交于点，分别与轴交于两点，且，的面积为，求这对“镜子”函数的解析式.

4．某服装店为了鼓励营业员多销售服装，在原来的支付月薪方式下()：每月底薪600元，每售出一件服装另支付4元的提成，推出第二种支付月薪的方式()，如图所示，设 (件)是一个月内营业员销售服装的数量， (元)是营业员收入的月薪，请结合图象解答下列问题：
(1)求与的函数关系式；
(2)该服装店新推出的第二种付薪方式是怎样向营业员支付薪水的？
(3)如果你是营业员，你会如何选择支付薪水的方式？为什么？
5．在平面直角坐标系中，点.
(1)直接写出直线的解析式；
(2)如图1，过点的直线交轴于点，若，求的值；
(3)如图2，点从出发以每秒1个单位的速度沿方向运动，同时点从出发以每秒0.6个单位的速度沿方向运动，运动时间为秒（），过点作交轴于点，连接，是否存在满足条件的，使四边形为菱形，判断并说明理由.
6．已知函数，其中为常数，该函数的图象记为.
(1)当时，若点在图象上，求的值；
(2)当时，求函数的最大值；
(3)当时，求函数最大值与最小值的差；
(4)已知点，当图象与线段只有一个公共点时，直接写出的取值范围.
7．如图1，拋物线与轴交于点两点，与轴交于点.直线经过点，与抛物线另一个交点为，点是抛物线上一动点，过点作轴于点，交直线于点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点在直线上方，且是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标；
(3)如图2，连接，以点为直角顶点，线段为较长直角边，构造两直角边比为的Rt，是否存在点，使点恰好落在直线上？若存在，请直接写出相应点的横坐标（写出两个即可）；若不存在，请说明理由.
8．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为（其中），射线与函数的图像交于点，点均在函数的图像上，且轴，轴.
(1)当点横坐标为6，求直线的表达式；
(2)连接，当时，求点坐标；
(3)连接，猜想：的值是否随的变化而变化？如果不变，求出的值；如果变化，请说明理由.
9．如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点B和点C，二次函数的图象经过B，C两点，并与x轴交于点A．点是线段上一个动点（不与点O、B重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线相交于点D和点E，连接．

(1)求这个二次函数的解析式；
(2)①求、的值（用含m的代数式表示）；
②当以C，D，E为顶点的三角形与相似时，求m的值．
(3)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，在中， ，点在轴上，且，点的横坐标是,，双曲线经过点，双曲线经过点，求的面积.
11．小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到某超市购物，学校与超市的路程是千米.小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达超市.图中折线和线段分别表示两人离学校的路程（千米）与所经过的时间（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：
(1)小聪在超市购物的时间为______分钟，小聪返回学校的速度为______千米/分钟；
(2)请你求出小明离开学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系式；
(3)当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？
12．某天，小明来到体育馆看球赛，进场时，发现门票还在家里，此时离比赛开始还有25分钟，于是立即步行回家取票.同时，他父亲从家里出发骑自行车以他3倍的速度给他送票，两人在途中相遇，相遇后小明立即坐父亲的自行车赶回体育馆.下图中线段，分别表示父、子俩送票、取票过程中，离体育馆的路程（米）与所用时间（分钟）之间的函数关系，结合图象解答下列问题（假设骑自行车和步行的速度始终保持不变）.
(1)求点的坐标和所在直线的函数关系式；
(2)小明能否在比赛开始前到达体育馆.
13．如图，矩形中，，，点H在线段OC上，将沿直线AH折叠得到.

(1)当AP经过CD的中点N时，求点P的坐标；
(2)在（1）的条件下，已知二次函数的图象经过A，D两点.若将直线AH右侧的抛物线沿AH对折，交轴于点M，请求出AM的长度.
14．
阅读材料：直线（）上任意两点，线段MN的中点，P点坐标及k可用公式：，；计算.例如：直线上两点，，则，，即线段MN的中点，.
已知抛物线（），根据以上材料解答下列问题：

(1)若该抛物线经过点，求m的值；
(2)在（1）的条件下，B，C为该抛物线上两点，线段BC的中点为D，若点，求直线BC的表达式；以下是解决问题的一种思路，仅供大家参考：设直线BC的表达式为：，，则有①，②.①-②得：，两边同除以，得……；
(3)该抛物线上两点E，F，直线EF的表达式为：（）.
(ⅰ).请说明线段EF的中点在一条定直线上；
(ⅱ).将ⅰ中的定直线绕原点O顺时针旋转45°得到直线，当时，该抛物线与只有一个交点，求m的取值范围.
15．已知函数，
(1)列表、描点、连线，画出该函数的简图；
(2)在函数图象上取一个定点，一个动点，记直线的坡度为，．试将化简为（均为常数）的形式；
(3)当趋近于0时，是否趋近于某常数？若是，为多少？试说明理由；
(4)在函数图象上取一个定点，为正的常数，一个动点，设直线的坡度为，请直接指出，当趋近于0时，是否趋近于某常数．
坡度定义：若，，则直线的坡度为．
16．解答下列各题：
(1)先化简再求值：，其中.
(2)定义运算：当时，；当时，.
如.

①求值；
②已知和在同一坐标系中的图象如图所示，若，结合图象，直接写出的取值范围.
17．已知一次函数的图象经过，两点，并且交轴于点，交轴于点.
（1）求的值；
（2）求证：.
18．甲，乙两名同学家到学校的距离都为2公里，某一天两人约定同时从家出发走路去上学．若甲一半的路程用速度匀速行走，另一半的路程用速度匀速行走；乙在前一半的时间用速度匀速行走，后一半的时间用速度的匀速行走，
(1)设甲、乙两人上学所需的时间分别为，，用，表示，；
(2)问甲、乙两人谁先到达学校？并说明理由．
19．定义：如图，若两条抛物线关于直线成轴对称，当时，取顶点左侧的抛物线的部分；当时，取顶点在右侧的抛物线的部分，则我们将像这样的两条抛物线称为关于直线的一对伴随抛物线.例如：抛物线与抛物线就是关于直线轴的一对伴随抛物线.
(1)求抛物线关于直线的“伴随抛物线"所对应的二次函数表达式；
(2)设抛物线交轴于点，交直线于点.
i.求直线平行于轴时的的值；
ii.求是直角时抛物线关于直线的“伴随抛物线”的顶点横坐标；
iii.已知点的坐标分别为，直接写出抛物线及其关于直线的“伴随抛物线”与矩形不同的边有四个公共点时的取值范围.
20．如图1，已知抛物线交y轴于点，交x轴于B，C两点，其中，点P是抛物线上一动点（不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线l，再过点A作l的垂线，垂足为Q，连接AP．
（1）求抛物线的函数表达式和点C的坐标；
（2）若，求点P的坐标；
（3）如图2，当点位于抛物线的对称轴的右侧时，若绕点A顺时针旋转，且，点的对应点为点，点Q的对应点为点，当点落在坐标轴上时，求点P的横坐标．
21．近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩.某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如表：
价格/类别 短款 长款
进货价（元/件） 80 90
销售价（元/件） 100 120
(1)该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数；
(2)第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元.服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
22．如图，已知抛物线交x轴于A，B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C.

(1)写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；
(2)若直线与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；
(3)P为x轴正半轴上一动点，过点P作轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使与相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
23．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)满足P＝80＋4，Q＝a＋120．设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收入为f(x)(单位：万元)．
（1）求f(50)的值；
（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收入f(x)最大？
24．已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，．

(1)求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
(2)根据函数图象，直接写出不等式的解集；
(3)若点是点关于轴的对称点，连接，，求的面积．
25．港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行.某次出行，刘先生全程需要加两次油，由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油.
(1)若第一次加油时燃油的价格为5元/升，第二次加油时燃油的价格为4元/升，请计算出每种加油方案的平均价格（平均价格总价格总升数）；
(2)分别用m，n（）表示刘先生先后两次加油时燃油的价格，请计算出每种加油方案的平均价格，选择哪种加油方案比较经济划算？并给出证明.
26．若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“美好函数”．
(1)函数①；②；③，其中函数　　是在上的“美好函数”；（填序号）
(2)已知函数．
①函数是在上的“美好函数”，求的值；
②当时，函数是在上的“美好函数”，请直接写出的值；
(3)已知函数，若函数是在（为整数）上的“美好函数”，且存在整数，使得，求的值．
27．设函数与的两个交点为，，点.求的面积.
28．甲乙两人同时登山，甲乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：
(1)甲登山的速度是　　米/分钟，乙在A地提速时距地面的高度b为　　米．
(2)若乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3倍，请求出乙提速后y和x之间的函数关系式．
(3)登山多长时间时，乙追上了甲，此时乙距A地的高度为多少米？
29．如图，在菱形中，，动点从点出发，沿着运动，到点时停止运动（动点不与点重合），设点的运动路程为，的面积为.

(1)直接写出与之间的函数关系式，并注明自变量的取值范围；
(2)在直角坐标系中画出与的函数图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，写出面积为3时的值.
30．已知与成正比例，且时，.
(1)求与之间的函数关系式，并指出它是什么函数；
(2)点在这个函数图象上吗？
31．甲、乙两地间的直线公路长为400千米．一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行，货车比轿车早出发1小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶．1小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）．最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离y（千米）与轿车所用的时间x（小时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：

(1)货车的速度是______千米/小时；轿车的速度是______千米/小时，的值为 ．
(2)求轿车距其出发地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.
(3)求货车出发多长时间两车相距90千米．
32．如图，一次函数的图象与x轴正半轴交于点C，与反比例函数的图象在第二象限交于点，过点A作轴，垂足为D，AD＝CD．
(1)求一次函数的表达式；
(2)已知点满足CE＝CA，求a的值．
33．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上．点B，C在第一象限，四边形OABC是平行四边形，点C在反比例函数的图象上，点C的横坐标为2．点B的纵坐标为3．

(1)如图1，点D是AB边的中点，且在反比例函数图象上，求平行四边形OABC的面积；
(2)如图2，将直线向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于，两点，点P为的中点，过点作于点N．请求出P点坐标和的值．
34．已知函数．
(1)当时，函数值随的增大而增大．求的取值范围；
(2)若，求时，函数值的取值范围．
35．如图，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于两点，点的坐标为，点的坐标为，连接，过作轴，垂足为．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)在射线上是否存在一点，使得是直角三角形，求出所有可能的点坐标．
36．如图所示，已知直线与轴的正半轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点与点，点在第三象限内，且，.
(1)当时，求抛物线的表达式；
(2)设点坐标为，试用分别表示；
(3)记，求的最大值.
37．如图，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数（m为常数，）的图象交于点．

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)若点是x轴正半轴上的一点，且，求点C的坐标．
38．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于两点.

(1)求反比例函数和一次函数的关系式；
(2)设直线交轴于点C，点分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形是平行四边形，求点的坐标.
39．服装厂批发某种服装，每件成本为元，规定不低于件可以批发，其批发价元件与批发数量件为正整数之间所满足的函数关系如图所示．
(1)求与之间所满足的函数关系式，并写出的取值范围；
(2)设服装厂所获利润为元，若为正整数，求批发该种服装多少件时，服装厂获得利润最大？最大利润是多少元？
40．在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．若乙先骑行20分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑行的速度．
41．如图1，中，在线段上，且.动点从点出发，以每秒2.5个单位长度的速度沿折线运动.动点从点出发，以每秒1.5个单位长度的速度沿折线运动，点同时从点出发，当点运动到点时，两点同时停止运动.设点的运动时间为秒，点的距离为.
(1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围；
(2)若函数，请在图2的平面直角坐标系中分别画出函数的图象，并根据图象写出函数的一条性质；
(3)根据函数图象，直接估计当时的取值（结果保留1位小数，误差不超过0.2）.
42．如图，在中，，，，点为上一动点，过点作于点．设的长度为，点的距离为的周长与的周长之比为．

(1)请直接写出分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象；分别写出函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
43．如图，在同一坐标系中，直线交轴于点，直线过点.
(1)求的值；
(2)点分别在直线上，且关于原点对称，说明：点关于原点对称的点的坐标为，求点的坐标和的面积.
44．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E.
(1)求反比例函数的表达式及点E的坐标；
(2)若点F是OC边上的一点，且为等腰三角形，求直线FB的表达式.
45．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴的交点为，与轴的交点为，线段的中点在函数的图象上.
（1）求，的值；
（2）将线段向左平移个单位长度得到线段，，，的对应点分别为，，.
①当点落在函数的图象上时，求的值；
②当时，结合函数的图象，直接写出的取值范围.
46．如图，抛物线（）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点M是第二象限内抛物线上一点，BM交y轴于N．
(1)求点A、B的坐标；
(2)若BN＝MN，且S△MBC＝，求a的值；
(3)若∠BMC＝2∠ABM，求的值．
47．图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；
(2)点P为第三象限内抛物线上一动点，作直线AC，连接PA，PC，求面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)设直线：交抛物线于点M，N，求证：无论k为何值，平行于x轴的直线：上总存在一点E，使得为直角．
48．如图，直线与双曲线交于A，B两点，已知A点坐标为．
(1)求a，k的值；
(2)将直线向上平移m（）个单位长度，与双曲线在第二象限的图象交于点C，与x轴交于点E，与y轴交于点P，若，求m的值．
参考答案
1．【答案】(1);
(2);
(3)
【详解】（1）将点A的坐标代入函数表达式得，
所以反比例函数的表达式为.
（2）由题意，得点A和点关于点对称，则，
而，则，
所以弧EG的长.
（3）由题意得，则,
同理可得，
所以图中阴影部分面积之和.
2．【答案】(1)6;
(2)8;
(3)
【详解】（1）由题意可知在一次函数的图象上，
所以，
解得，即.
又也在函数的图象上,
所以，解得；
（2）如图，过点A作轴于点.
因为，所以.
又
，
,
所以；
（3）如图，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点.
由轴对称的性质可知，且此时最小，
即.
设直线的解析式为，
所以，解得，
所以直线的解析式为，
当时，即.
3．【答案】(1)；
(2)；.
【分析】（1）根据“镜子”函数的定义解答即可；
（2）根据“镜子”函数的定义可得与的图象关于轴对称，即可得出，设，根据的面积为列方程求出x的值，即可得点A，B，C的坐标，利用待定系数法求出k，b的值即可得答案.
【详解】（1）∵函数与互为“镜子”函数，
∴函数的“镜子”函数是.
故答案为：；
（2）∵函数与是一对“镜子”函数，
∴一次函数与的图象关于轴对称，
∴，
∴，
设，根据题意可得，解得，
∴，，
将B，A的坐标分别代入中得，解得：，
∴其函数解析式为，
∴其“镜子”函数解析式为，
∴这对“镜子”函数的解析式为和.
4．【答案】(1)且；且；
(2)没有底薪，每售出一件服装可得提成8元；
(3)答案及理由见解析.
【分析】(1)根据题意可以直接写出与的函数关系式；
(2)根据题意和函数图象可以得到该服装店新推出的第二种付薪方式是怎样向营业员支付薪水的；
(3)根据(1)中的函数解析式可以解答本题．
【详解】（1）由题意，
与的函数解析式为：，
与的函数解析式为：，
即与x的函数解析式为且，
与x的函数解析式为：且；
（2）由题意，该服装店新推出的第二种付薪方式是，没有底薪，每售出一件服装可得提成8元；
（3）令，解得，，
当售出的衣服少于件时，选择第一种支付月薪方式，
当售出的衣服为件时，两种支付月薪方式一样，
当售出的衣服多于件时，选择第二种支付月薪方式．
5．【答案】(1)；
(2)或；
(3)存在，理由见解析.
【分析】（1）利用待定系数法可求直线AB解析式；
（2）分两种情况讨论，利用全等三角形的性质可求解；
（3）先求点D坐标，由勾股定理可得，可证四边形AMDN是平行四边形，即当时，四边形AMDN为菱形，列式可求t的值．
【详解】（1）设直线AB解析式为：，
根据题意可得：，∴，
∴直线AB解析式为；
（2）若点C在直线AB右侧，
如图1，过点A作，交BC的延长线于点D，过点D作于E，
∵，，
∴，
∴，
∵，且，
∴，，，
∴≌（AAS），
∴，
∴，
∴点，
∵直线过点，．
∴根据题意可得：，∴，
∴，
若点C在点A左侧时，同理可得，
综上所述：或.
（3）存在，理由如下：
设直线DN的解析式为：，且过点，
∴，
∴，
∴点D坐标，且过点，
∴，
∴，
∴且，
∴四边形AMDN为平行四边形，
当时，四边形AMDN为菱形，
∵，
∴，
∴，
∴当时，四边形AMDN为菱形．
【关键点拨】在解关于过点直线围成图形求参数的类型题中，要学会适当添加辅助线构造全等三角形进行解题.
6．【答案】(1)
(2)
(3)
(4)或
【详解】（1）当时，函数，
因为点在函数图象上，所以；
（2）当时，函数，
当时，由，则y随着x的增大而增大，所以；
当时，由，则y随着x的增大而减小，所以当时，；
综上，函数的最大值为；
（3）函数，
当时，由，则y随着x的增大而增大，
当时，由，则y随着x的增大而减小，
又，
当时，y随着x的增大而增大，
当时，y随着x的增大而减小，
所以当时，函数有最大值，
当时，，
当时，，
所以函数有最小值，
所以当时，函数最大值与最小值的差为；
（4）因为，，
所以该分段函数图象大致为：
因为点，所以线段AB在直线上，
若图象与线段只有一个公共点时，有如下几种情况：
①当或时，如图，
则，解得，经检验，当时，图象与线段没有公共点；
②令，解得，令，解得，
当时，如图，点的横坐标分别为，
若，不等式无解；
当时，同为，与图象无交点；
当时，如图，点的横坐标分别为，
所以，解得；
③令，解得，令，解得，
当时，如图，点的横坐标分别为，
同理，若，不等式无解；
当时，同为，与图象无交点；
当时，如图，点的横坐标分别为，
所以，解得；
综上，或.
【关键点拨】（1）将点的坐标代入求值即可.
（2）根据一次函数的增减性求解最值即可.
（3）根据函数的增减性求出函数的最大值和最小值，即可求出最值之差.
（4）分类讨论分别求出函数与的交点，分别画出图形，并根据图形列不等式求解即可.
7．【答案】(1)
(2)的坐标是或
(3)点的横坐标为或2或、
【分析】（1）利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）当△CPE是以CE为腰的等腰三角形时，分两种情况：
①当CE=CP时，过C作CG⊥PF于G，根据OC=FG列方程解出即可；
②当CE=PE时，先表示CE、EG、CG的长，利用勾股定理得：CG2+EG2=CE2，列方程解出即可；
（3）作辅助线，构建两个相似三角形，证明△PHG∽△BNP，则，由两直角边比为1：2列方程组解出横坐标m．
（1）
将代入得,解得：
所以抛物线的解析式是；
（2）
把代入直线得：，
∴直线的解析式为：，
设，
①当时，如上图，在图1中做辅助线，过作于，
∴，
∵，∴，∴，∵，
∴，解得：，
当时，，∴，
②当时，在中，，，
由勾股定理得：，，解得：（舍），，
当时，，∴，
综上所述，当是以为腰的等腰三角形时，点的坐标是或；
（3）
设，，
如图3，过B作BN∥y轴，过P作PH∥x轴，交于N，过G作GH⊥PN，垂足为H，则∠PHG=∠BNP=90°，
∴∠NBP+∠BPN=90°，
∵∠BPG=90°，
∴∠BPN+∠NPG=90°，
∴∠NBP=∠NPG，
∴△PHG∽△BNP，
∴，
∵，
∴，
∴
则，
解得：；
如图4，过P作NH∥x轴，过G作GN⊥NH，过B作BH⊥NH，垂足分别为N、H，
同理得：△PNG∽△BHP，
∴，
∴解得：
综上所述，相应点的横坐标为或2或、.
8．【答案】(1)
(2)
(3)1
【分析】（1）根据自变量的值，可得函数值，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据函数值，可得自变量的值，根据勾股定理，可得长，根据，可得点A坐标；
（3）联立函数解析式，可得方程组，根据解方程组，可得点坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得点和点坐标，根据三角形面积公式，可得答案．
（1）
因为在直线的图像上，当时，，
∴，设直线的解析式为，
代入得，
∴直线的解析式为；
（2）
由轴，得点横坐标是4，当时，，
∴，，
∵，∴，得，
∴
（3）
直线AO的解析式为，联立，得，解得，
∴，
如图，作，，
当时，，即，
当时，，即，
，，，，
∴，，
∴．
所以的值不会随的变化而变化，.
9．【答案】(1)
(2)① ，；②或
(3)存在，点M的坐标为或或
【分析】（1）由一次函数求出两点的坐标，代入二次函数中可求出，从而可求出二次函数的解析式，
（2）①由的坐标结合一次函数和二次函数的解析式可表示出两点的坐标，从而表示出、的值，②由已知可得，然后分与两种情况求解即可，
（3）当以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形时，讨论画出所有的情况，再利用菱形的四边相等，求解对应的值，从而得到点M的坐标.
【详解】（1）将代入一次函数得：，∴点C坐标，
将代入一次函数得：，∴点B坐标，
将点B、C代入抛物线得，，解得，
∴抛物线．
（2）①设点，∴点，点，
∴，，
∴，；
②∵，∴，，
将代入抛物线，解得，，
∴点A坐标，∴，
∵轴，∴，
a．当时，，即，解得，
b．当时，，即，解得，
综合上述，当以C，D，E为顶点的三角形与相似时，m的值为或．
（3）存在，以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形时，需满足以下三种情况：

由（2）可得，点，，，
∴，，，
①当时，，解得，（舍去），（舍去）
此时点M的坐标为；
②当时，，解得或0（0舍去），
此时点M的坐标为；
③当时，，
解得（舍去），，（舍去），此时点M的坐标为；
综合上述，存在，点M的坐标为或或．
【点睛】关键点点睛：此题考查二次函数的综合问题，考查待定系数法，考查一次函数和二次函数图象上的点的特点，考查菱形的性质，考查三角形相似，解题的关键是结合图形分情况讨论，考查计算能力和分类讨论的思想，属于较难题.
10．【答案】
【分析】由题意可知，易知代入，则可求出，则可得出，由此即可求出，则可求出的面积.
【详解】过点作轴于，过点作轴于，
点的横坐标是2，且在双曲线上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
双曲线经过点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴.
11．【答案】(1)，；
(2)；
(3)千米.
【分析】(1)结合图象直接可得小聪的购物时间及返程所用时间，再根据可得解；
(2)根据待定系数法，代入点的坐标可得解；
(3)根据待定系数法可得当时路程与时间的关系，联立两函数，可得时间与路程.
【详解】(1)由图象可知小聪在超市购物的时间为分钟；
小聪返回学校的时间为分钟，则小聪返回学校的速度为千米/分钟；
(2)设小明离开学校的路程（千米）与所经过的时间（分钟）之间的函数关系式为，
将，代入中，，解得：，
，故小明离开学校的路程与所经过的时间之间的函数关系式为；
(3)当时，设小聪离开学校的路程（千米）与所经过的时间（分钟）之间的函数关系式为，
将，代入，，解得：，
，
令， 解得：，
，即当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是千米.
【关键点拨】本题属于一次函数的实际应用中的行程问题，在求解此类型的题时，结合函数图象的横纵坐标的实际意义，并利用待定系数法求解出一次函数解析式即可.要注意实际情况下自变量的取值范围.
12．【答案】(1)，
(2)能
【分析】（1）从图象可以看出：父子俩从出发到相遇时花费了15分钟，设小明步行的速度为x米/分，则小明父亲骑车的速度为3x米/分，则路程和为3600米，即可列出方程求出小明的速度，再根据A，B两点坐标用待定系数法确定函数关系式；（2）直接利用一次函数的性质即可求出小明的父亲从出发到体育馆花费的时间，经过比较即可得出是否能赶上.
【详解】（1）从图象可以看出：父子俩从出发到相遇时花费了15分钟 ,
设小明步行的速度为x米/分，则小明父亲骑车的速度为3x米/分，
依题意得,
解得,
所以两人相遇处离体育馆的距离为米.
所以点B的坐标为.
设直线的函数关系式为.
由题意，直线经过点,
代入得，解得,
所以直线的函数关系式为：.
（2）在中，令，得.
解得.
即小明的父亲从出发到体育馆花费的时间为分钟，
而小明与父亲在途中相遇时花了15分钟，
因为小明坐父亲的自行车赶回体育馆，此时小明花了分钟达到体育馆,
所以小明取到票，并回到体育馆总共花了分钟，
因为,
所以小明能在比赛开始前到达体育馆.
13．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）过点作，交轴于点，交的延长线于点，如图所示：

在矩形中，，
则，
∴，∴，
，四边形是矩形，
，
经过的中点，
，
是等腰直角三角形，
，由折叠的性质可得，
，
.
（2）设与抛物线的交点为点，
连接，根据折叠性质可知点与点关于对称，如图所示：

，
由可得点，
代入二次函数得，解得，
.
由（1）可知，过点作轴于点，
是等腰直角三角形，
，
设点，则，
，解得（不符合题意，舍去），
，
.
14．【答案】(1)；
(2)；
(3)ⅰ. 线段EF的中点在定直线上；
ⅱ. 或或.
【分析】（1）将点坐标代入函数解析式，计算即得m的值；
（2）按照题中的思路先求出，再由线段的中点为求得的值，利用直线经过点即可求得直线BC的表达式；
（3）(ⅰ)由消去，利用韦达定理即可得到线段EF的中点在定直线上；(ⅱ)根据题意，作出图形，利用平面几何知识即可求得；根据函数与在时的图象特点，依题意可得，解之即得.
【详解】（1）因经过点，则，解得，；
（2）时，，设直线BC的表达式为：，,
则①，②.
由①-②：，
两边同除以，则，
因线段BC的中点为，则，即，
则，将点代入解得，，故直线BC的表达式为：；
（3）（i）由消去，整理得，，
依题意，设,的中点为,
则，，即线段EF的中点在定直线上；
(ⅱ)
如图，将定直线绕原点O顺时针旋转45°得到直线,则点转到了点,
则,设点，则 ,
即，,设，则得，，解得，，即得；
因抛物线的对称轴为，
故该函数在时，随着的增大而增大，且时，，时，，
要使抛物线与只有一个交点，可分以下种情况讨论：

①当抛物线顶点在直线下方时，如上图可得，，解得；

②抛物线顶点在直线上，如上图，即时，由，解得或，因，故符合题意；

③抛物线与直线相切，且切点横坐标满足，如上图，由
消去，可得，由解得，，
代入方程可得，解得，符合题意；

④如上图，抛物线顶点在直线上方，但在内只有一个交点，须使，又，解得.
综上可得m的取值范围为：或或.
15．【答案】(1)答案见解析；
(2)；
(3)是，，理由见解析；
(4).
【分析】（1）对于x取某些特殊值，即可列表，描点，连线，得到函数图象简图；
（2）根据，结合函数表达式，化简可得答案；
（3）结合（2）的结果，即可得答案；
（4）根据坡度定义，可得表达式，并化简，结合趋近于0，即可得趋近于某常数.
【详解】（1）列表如下表，
x 1 2
2
函数图象简图如下：

（2）由题意得，，
则
（3）当趋近于0时，是趋近于0，即常数；
理由如下：
当趋近于0时，趋近于1，故趋近于2，
则趋近于，
即趋近于0，所以．
（4）由题意得
，
当t趋近于0时，趋近于常数.
16．【答案】(1)，
(2)①；②或
【分析】（1）根据代数式的运算律化简即可；
（2）①比较与的大小，即可求；②观察图象即可得出答案.
【详解】（1）
，
又，
所以，故原式.
（2）①因为所以，所以；
②因为，所以，
结合图象，可得的取值范围是或.
17．【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）先求出一次函数的解析式，求出，，．得到，，即可得解；
（2）取点关于原点的对称点，则问题转化为求证，证明即得证.
【详解】（1）由，解得，所以.
所以，，．
在中，，，
；
（2）证明：取点关于原点的对称点，
则问题转化为求证．
由勾股定理可得，，，，
，
是等腰直角三角形．
所以．
．
【点睛】本题主要考查一次函数的解析式的求法和平面几何选讲，考查锐角三角函数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
18．【答案】(1)；
(2)当时, 乙先到达学校；当时，甲、乙同时到达学校.
【分析】（1）根据题意列出方程，求出答案；（2）作差法比较大小，分与两种情况.
(1)
（1）甲上学所需的时间，
乙上学所需的时间满足，所以，
故甲上学所需的时间；
(2)
（2）因为，
所以当时，，即，此时，乙先到达学校，
当时，，即，此时，甲、乙同时到达学校．
19．【答案】(1)；
(2)i.；ii.或；iii.或且.
【分析】（1）根据对称性求出顶点坐标，即可写出“伴随拋物线”所对应的二次函数表达式；
（2）i.先求出AB坐标，得到方程，即可求解；ii.由,判断出B(4,0).代入,求出m，得到的顶点横坐标，利用对称性即可求“伴随拋物线”的顶点橫坐标；iii.由题意判断出点B在x轴下方,设,则.把代入中,得.解不等式求出m的取值范围.
（1）
∵抛物线的顶点坐标，而关于直线
的对称点坐标为
∴“伴随拋物线”所对应的二次函数表达式为;
（2）
i.∵交轴于点，交直线于点.
∴，.
，
（舍去），.
综上所述：；
ii.∵,∴点B在轴上，点B的坐标是(4,0).
把(4,0)代入,得,解得：或.
∵的顶点横坐标为，即抛物线的顶点横坐标为或，
∴抛物线关于直线的“伴随拋物线”的顶点橫坐标为或
所以“伴随拋物线”的顶点横坐标为或；
iii.∵点C、D的坐标分别为(8,2)、(8,0),A(0,2),抛物线及其关于直线的“伴随拋物线”与矩形OACD不同的边有四个公共点,
∴点B在x轴下方,设,则.
把代入中,得.
∴当时,若,则；
当时,若,则.
又∵，∴且.
故或且.
当点B在线段AC上时, ，解得,此时拋物线的顶点的纵坐标小于0,不符合题意.
综上所述,满足条件的m的取值范围为或且.
20．【答案】（1），；（2）点的坐标为或；（3）点P的横坐标或．
【分析】
（1）把，分别代入，求出，即可得答案；
（2）设点，再根据，即可得答案；
（3）设点，对点分两种情况考虑，即当点落在x轴上时，和点落在y轴上时，分别求出的坐标；
【详解】
（1）把，分别代入，
得解得
∴抛物线的解析式为．
当时，，解得，，
∴．
（2）∵，∴，
∴，即．
设点，
∴，即．
解方程，得（舍去），，
此时点P的坐标为；
解方程得（舍去），，
此时点的坐标为．
综上所述，点的坐标为或
（3）设点．
①当点落在x轴上时，如图1，过点作轴，垂足为N，交AQ于点M．
图1
则．
由图知，，即．
∴或（舍），
∴此时点的横坐标为；
②当点落在y轴上时，如图2，．
图2
∴，即，∴或（舍）
∴此时点的横坐标为．
21．【答案】(1)长款服装购进30件，短款服装购进20件；
(2)当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元.
【分析】（1）依据题意，设购进短款服装x件，购进长款服装y件，则可得，计算即可得解.
（2）依据题意，设第二次购进m件短款服装，则购进件长款服装，从而，故，又设利润为元，则，再结合一次函数的性质，即可判断得解.
【详解】（1）依题意，设购进短款服装x件，购进长款服装y件，
因此，解得，
所以长款服装购进30件，短款服装购进20件.
（2）依题意，设第二次购进m件短款服装，则购进件长款服装，
因此，解得，
又设利润为元，则，
显然随m的增大而减小，则当时，利润取得最大值（元）.
所以当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元.
22．【答案】(1)；
(2)或；
(3)存在，P点坐标为或或.
【分析】（1）先求A，B，C坐标，然后设两根式，代入点C坐标可得；
（2）结合图象分析，然后利用判别式求解可得；
（3）根据图形分析为直角三角形的各种情况，结合相应条件求解即可.
【详解】（1）由翻折可知：.
令，解得：，，，，
设图象W的解析式为，代入，解得，
对应函数关系式为.
（2）由图象可知，当直线过点B或与相切时，直线与图象W有三个交点.
当直线过点B时，可得；
当直线与相切时，
联立方程组，整理，得：，
由得：，
综上，当或时，直线与图象W有三个交点；

（3）存在.如图1，当时，，
，此时，N与C关于直线对称，
点N的横坐标为1，；
如图2，当时，，此时，N点纵坐标为2，
由，解得，（舍），
N的横坐标为，；
如图3，当时，，此时，直线CN的解析式为，
联立方程组：，解得，（舍），
N的横坐标为，
，
因此，综上所述：P点坐标为或或.

23．【答案】（1）277.5；（2）投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收入最大．
【详解】（1）若投入甲大棚50万元，则投入乙大棚150万元，
所以f(50)＝80＋4＋×150＋120＝277.5．
（2）由题知，
f(x)＝80＋4＋ (200－x)＋120
＝－x＋4＋250，
依题意得
解得20≤x≤180，
故f(x)＝－x＋4＋250(20≤x≤180)．
令t＝，则t2＝x，t∈[2，6]，
y＝－t2＋4t＋250＝－ (t－8)2＋282，
当t＝8，即x＝128时，y取得最大值282，所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收入最大，且最大收入为282万元．
24．【答案】(1)，图见解析
(2)或
(3)12
【分析】（1）根据反比例函数过、点，代入求出、的值，从而得到、点的坐标，再由待定系数法求出一次函数解析式，从而画出函数图象；
（2）结合（1）中函数图象即可得解；
（3）首先得到点坐标，再画出图象，结合图象求出三角形面积.
【详解】（1）反比例函数的图象过点，．
，解得，，，
一次函数的图象过点和点，
，解得，
一次函数的表达式为，描点作图如下图：

（2）由（1）中的图象可得，不等式的解集为或；
（3）点关于轴的对称点为，
由题意作图如下图：
由图知中边上的高为，，．

25．【答案】(1)方案一元升；方案二元升
(2)方案二比较经济划算，证明见解析.
【分析】（1）根据题意，由平均价格的计算公式，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由平均价格的计算公式，代入计算，然后作差，即可得到结果.
【详解】（1）第一种方案，两次加油共花费元，两次共加了升燃油，
所以平均价格为元升；
第二种方案，两次加油共花费元，两次共加了升燃油，所以平均价格为元升；
（2）由题意可得，第一种方案，两次加油共花费元，两次共加了升燃油，所以平均价格为元升；
第二种方案，两次加油共花费元，两次共加了升燃油，所以平均价格为元升；
且，所以选择第二种加油方案比较经济划算.
26．【答案】(1)①
(2)①或；②或
(3)
【分析】（1）根据“美好函数”的定义逐个分析判断即可；
（2）①分和两种情况求出二次函数在给定范围上的最值，然后利用列方程可求出的值；②求出二次函数的对称轴，然后分，，和四种情况求函数在给定范围上的最值，然后利用列方程可求出的值；
（3）由二次函数的性质可知当时，随的增大而增大，从而可求出，，然后由为整数可求出，再由列方程可求出.
【详解】（1）对于①，
当时，，当时，，
∴，符合题意；
对于②，
当时，，当时，，
∴，不符合题意；
对于③，
当时，，当时，，
∴，不符合题意；
故答案为：①；
（2）①二次函数对称轴为直线，
当时，，当时，，
当时，则当时，随的增大而增大，
，
，
当时，则当时，随的增大而减小，
，
，
综上所述，或；
②二次函数为，对称轴为直线，
当，，
当时，，
当时，．
若，则，解得（舍去）；
若，则，解得（舍去），；
若，则，解得，（舍去）；
若，则，解得（舍去）．
综上所述，或；
（3）由（2）可知，二次函数对称轴为直线，
又，
，
，
当时，随的增大而增大，
当时取得最大值，时取得最小值，
∴
，为整数，且，
，即的值为5，
又∵，
，
．
27．【答案】
【详解】，解得或，故，，
，画出函数图像，如图所示：

.
28．【答案】(1)，；
(2)；
(3)登山分钟，乙追上了甲，此时乙距A地的高度为米．
【分析】（1）根据函数图象由甲走的路程除以时间就可以求出甲的速度；根据函数图象可以求出乙在提速前每分钟离开地面的高度是15米，就可以求出b的值；
（2）先根据乙的速度求出乙登上山顶的时间，求出B点的坐标，由待定系数法就可以求出解析式；
（3）由（2）的解析式建立方程求出其解就可以求出乙追上甲的时间，就可以求出乙离地面的高度，再减去A地的高度就可以得出结论.
【详解】（1）由图象所提供的信息，甲登山的速度是米/分钟，
由乙的函数图象得，解得.
（2）设乙提速后的函数关系式为：，
由（1）知甲登山的速度是米/分钟，
由于乙提速后是甲登山速度的3倍，所以乙登山的速度是米/分钟，
所以，解得，
所以乙提速后的图象经过，
所以，解得，
所以乙提速后的关系式为．
（3）设甲的函数关系式为：，
将和点代入，得
则，
由题意乙追上了甲时，，解得，
把代入，得，
相遇时乙距A地的高度为：（米）
答：登山分钟，乙追上了甲，此时乙距A地的高度为米．
29．【答案】(1)；
(2)图象见解析，性质为：该函数在上单调递增，在上单调递减，且最大值为；
(3)或.
【分析】（1）由题意可得，，分和两种情况求解即可；
（2）根据函数的解析式，作出图象，再根据图象写出性质即可；
（3）令，求解即可.
【详解】（1）解：因为为菱形，为对角线，且交于点，
所以，且互相平分，即是的中点，
又因为，
所以，
所以，即菱形的边长为5，

过作于，
则，
所以，即，
所以，
所以，
即；
当时，如图所示：

此时，
过作于，
则,
所以，即，
所以，
所以，
即，
综上所述，；
（2）解：图象如图所示：

由此可知该函数在上单调递增，在上单调递减，且最大值为；
（3）解：当时，令，解得；
当时，令，解得，
所以当时，或.
30．【答案】(1)，一次函数
(2)不在
【分析】（1）由已知可设，把已知条件代入可求得k的值，化简求得函数解析式，再判断函数类型；
（2）把点坐标代入函数解析式进行判断即可.
【详解】（1）与成正比例，
可设，
时，，
，
，
，即，
故是的一次函数；
（2），
当时，，
点不在函数的图象上.
31．【答案】(1)； ；3；
(2)
(3)小时或小时
【分析】（1）根据题意，结合图象即可求得答案；
（2）利用待定系数法即可求得函数关系式，并结合（1）确定x的范围；
（3）设货车出发m小时后两车相距千米，考虑轿车出故障前和出故障后两车相距90千米两种情况，列出方程，求得答案.
【详解】（1）因为货车比轿车早出发1小时，由函数图象可知轿车出发时货车已行驶50千米，
所以货车的速度是千米/小时；
则货车出发1小时后轿车出发，货车继续行驶时间为（小时），
轿车从出发到出现故障用时（小时），即（小时），
轿车的速度是：千米/小时，
故答案为：；；3；
（2）由题意可知：，，，
设直线的解析式为，将代入得，
，
当时，，
设直线的解析式为，
把，代入得：
，解得，
，
；
（3）设货车出发m小时后两车相距千米，根据题意得：
或，
解得或．
答：货车出发小时或小时后两车相距千米．
32．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据点A在反比例函数图象上可得m，然后结合图形求点C坐标，再由点A、C坐标代入一次函数可解；
（2）由勾股定理求AC，然后讨论点E位置可得.
（1）
∵点在反比例函数的图象上，
∴，∴．
∵轴，∴AD＝2，OD＝1，∴CD＝AD＝2，
∴OC＝CD－OD＝1，∴．
把点，代入中，得，解得，
∴一次函数的表达式为．
（2）
在Rt△ADC中，，∴，
当点E在点C的左侧时，，当点E在点C的右侧时，，
∴a的值为．
33．【答案】(1)9
(2),
【详解】（1）根据题意因为点C的横坐标为2．点B的纵坐标为3，
四边形OABC是平行四边形，可得，
由点C在反比例函数的图象上，可得，可得；
即反比例函数解析式为；
设点的坐标为，
所以，
因为四边形OABC是平行四边形，所以，
又点D是AB边的中点，点B的纵坐标为3，
所以点D的纵坐标为，又因为点D在反比例函数的图象上，即，
根据中点坐标公式可得，
所以，解得或（舍），
即平行四边形OABC的面积.
（2）将直线向上平移6个单位得到直线，可得；
设直线与轴交点为，则，
作于点，如下图所示：

因为于点N，所以，
在函数中，当时，，即；
所以，
在中，由勾股定理可得，
由三角形面积公式可得，
所以，
可得；
联立方程组，解得或，
即，
又点P为的中点，所以，
因此，
所以.
34．【答案】(1)
(2)
【分析】(1)将变形为，根据反比例函数的性质可求出的取值范围；
(2)将代入到函数，根据函数单调性即可求出函数的值域.
【详解】（1），
因为当时，函数值随的增大而增大，
根据反比例函数性质可知，即，
所以的取值范围是.
（2）因为，所以，
因为当时，函数值y随x的增大而增大，
所以当时，y有最小值；当时，有最大值，
所以当，时，函数值的取值范围是．
35．【答案】(1)，；
(2)或
【分析】（1）根据反比例函数所过的点可求，再求出的坐标后可求一次函数的解析式.
（2）就不同的直角顶点分类讨论后结合直角三角形的性质或距离公式可求的坐标.
【详解】（1）∵点在反比例函数的图象上，∴，
∴反比例函数的表达式为，
∵点的纵坐标为6且点在反比例函数图象上，
∴，∴，∴，
∴一次函数的表达式为.
（2）如图，①当时，
设与交于，则，而，故为的中点，
∴，的横坐标为，
∴ .
②当，设，
则，解得，
故，
综上所述，当是直角三角形，或.
36．【答案】(1)
(2)
(3)8
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）证明，得到，结合tan∠ABC=求解即可；
（3）由=，即可求解.
【详解】（1）当时，，，
抛物线经过点与点，
∴，∴，
∴抛物线的表达式为．
（2）如图，作CH⊥轴，垂足为点H，得∠AHC∠AOB90°，
∵AC⊥AB，∴∠OAB∠CAH90°，
又∵∠CAH+∠ACH90°，∴∠OAB∠ACH，
∴，∴，
∵tan∠ABC=，∴，
∵，，∴，
∴点C的坐标为，∴.
（3）由点在轴的正半轴上，由点在第三象限内，得.
∴=（）.
∴当=2时，取得最大值8.
37．【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）由点的坐标求得反比例函数解析式，进而得出点的坐标，再由的坐标求解一次函数解析式；
（2）设点，根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】（1）将点的坐标代入反比例函数表达式得：，
所以反比例函数的表达式为：，
将点的坐标代入反比例函数表达式得：，解得，
所以点，
将点的坐标代入一次函数表达式得：，解得，
则一次函数的解析式为：．
（2）设点，
由点的坐标得，，
，
所以，即，
解得：或（舍去），即点．
38．【答案】(1)反比例函数：；一次函数：
(2)或
【分析】（1）根据在反比例函数上，可求的值，在根据在一次函数上，可求.
（2）根据四边形是平行四边形，可确定坐标的关系，再根据在反比例函数的图象上，可求的坐标.
【详解】（1）因为过点，所以，所以反比例函数的关系式为：.
因为点在上，所以.
由，所以一次函数的关系式为：.
（2）如图：

令，则，所以点坐标为.
因为点在一次函数上，可设点坐标为，又四边形为平行四边形，所以点坐标为.
又在上，所以，所以点坐标为或.
39．【答案】(1)
(2)件，元
【分析】（1）当时，设一次函数，代入两点，即可求解函数的解析式，时，由常函数得到函数的解析式；
（2）由（1）的结果，得到函数利润的解析式，利用二次函数求函数的最值.
【详解】（1）当时，设与. 的函数关系式为，
，得，
当时，与的函数关系式为，
当时，，
与的函数关系式为：；
（2）由题意可得，
，
当时，取得最大值，此时，，
答：批发该种服装件时，服装厂获得利润最大，最大利润是元．
40．【答案】甲骑行的速度是18千米/时．
【分析】设乙骑行的速度是千米/时，则甲骑行的速度是千米/时.利用时间路程÷速度，结合乙比甲多用20分钟，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出乙骑行的速度，再将其代入中，即可求出甲骑行的速度．
【详解】设乙骑行的速度是千米/时，则甲骑行的速度是千米/时．
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：甲骑行的速度是18千米/时．
41．【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)或
【详解】（1）∵中，，，，
∴，
∵，则，
∴，即当点运动到点时，点运动到点，
当时，，
当时，，，
，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，整理得：，
综上分析，关于的函数表达式为；
（2）
函数的性质：当时，随增大而增大，
当时，随的增大而减小；
（3）由图象可知，当时，或.
42．【答案】(1)，
(2)答案见解析
(3)
【详解】（1）在中，，
所以的周长为，，
在中，，，
所以的周长为，
所以，．
（2）如图所示，

的图象性质：在随的增大而增大，
的图象性质：在随的增大而减小．
（3）令，
由图象得，时的取值范围是．
43．【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）由直线求出点的坐标，再将点的坐标代入方程中可求出的值；
（2）由题意设 ，则，再将点的坐标代入直线中可求出，从而可求得两点的坐标，进而可求出的面积.
【详解】（1）对于直线，当时，，
所以
因为直线过点，
所以，得，
（2）由得，
设 ，则.
又在上，
所以，解得，
则
所以.
44．【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，求出点的坐标，进而求出反比例函数的表达式及点E的坐标.
（2）求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线FB的表达式.
【详解】（1）依题意，轴，轴，由，得，
则线段的中点，由点在反比例函数的图象上，得，解得，
所以反比例函数的表达式为，
直线与反比例函数的图象交点.
（2）由为等腰三角形，得，而点在线段上，则点，
设直线的解析式为，则，解得，
所以直线的解析式为.
45．【答案】（1），；（2）①，②.
【解析】（1）利用待定系数法求出m，进而求出点B的坐标，即可得出M的坐标，再代入双曲线解析式中，即可得出结论；
（2）①先表示出点D的坐标，代入双曲线解析式中，即可得出结论；
②先确定出MD，MN，建立不等式即可得出结论.
【详解】（1）如图.
直线与轴的交点为，.
直线与轴的交点为，点的坐标为.
线段的中点为，可得点的坐标为.
点在函数的图象上，.
（2）①由题意得点的坐标为.
点落在函数的图象上，.解得.
②的取值范围是.
，
，
当时，，解得.
，
易知为等腰直角三角形且,此时，
当时，易知，此时，
故当时，的取值范围是.
46．【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）令，得，通过解一元二次方程进行求解；
（2）先利用得到点的横坐标，再利用分割法求面积，得到关于的一元二次方程即可求解；
（3）过点作，利用等腰三角形、相似三角形得到，进而求出点的坐标，再利用点在抛物线上进行求解.
（1）
令，得，
即，解得或，
因为在的左侧，所以、；
（2）
若，则为的中点，
所以点的横坐标为，纵坐标为，
所以，，
又，且，，
所以，
即，
解得；
（3）
过点作（如图所示），
则，且，
又，所以，
所以为等腰三角形，且，，
设，，则，
所以，，
所以，，
则，，
即，
所以，
即，即，
即，解得，
即.
47．【答案】(1)，顶点坐标为
(2)的最大值为8，此时点
(3)证明见解析
【详解】（1）抛物线与轴交于、两点，
，解得，
抛物线的函数表达式为，
，
抛物线的顶点坐标为；
（2）抛物线与轴交于点，
，
设直线的解析式为，
则，解得，
直线的解析式为，
设，
过点作轴，交于点，如图，
则，
，
，
，
当时，的最大值为8，此时点；
（3）直线交抛物线于点、，
，
整理得：，
，，
，，
，
，
设的中点为，
，
过点作直线，垂足为，如图，
，
，
，
以为直径的一定经过点，
，
在直线上总存在一点，使得为直角．
48．【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）将点A坐标代入直线和双曲线方程求解可得；
（2）根据平移可得直线的方程，然后求出坐标，结合可得点坐标，然后代入方程即可得解.
【详解】（1）由题知，，解得.
（2）由题知，直线的方程为，
令得，则，令得，即，
因为，所以点坐标为，
则，解得（负根已舍去）.
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