专题强化练1 利用基本不等式求最大（小）值

专题强化练1　利用基本不等式求最大(小)值
1.已知x+=5(x>0,y>0),则y+的最小值为(　　)
A.　　　　
C.20　　　D.4
2.已知正数x,y满足x2+2xy-3=0,则2x+y的最小值是(　　)
A.1　　　B.3　　　　
C.6　　　D.9
3.已知0A.16　　　　B.18　　　　C.8　　　　D.20
4.已知正数a,b满足a+b=3,若a5+b5≥λab恒成立,则实数λ的取值范围为(　　)
A.
C.
5.(多选题)已知a,b为正实数,且ab+2a+b=16,则(　　)
A.2a+b的最小值为8
B.
C.ab的最大值为8
D.b+
6.已知正数x,y满足(x+3y-1)(2x+y-1)=1,则x+y的最小值为　　　　.
7.已知二次函数y=ax2+4x+c,其中a>c,若y的最小值为0,则的最小值为　　　　.
8.已知x>0,y>0.
(1)若不等式恒成立,求实数m的最大值;
(2)若x+y=1,≥9恒成立,求正数a的最小值.
9.已知m+2n=3,且m>-1,n>0.
(1)求的最小值;
(2)求的最小值.
答案与分层梯度式解析
专题强化练1　利用基本不等式求最大(小)值
1.D　因为x+=5(x>0,y>0),
所以y+≥·=4,
当且仅当即x=,y=2时,等号成立,
故y+的最小值为4.故选D.
2.B　由x2+2xy-3=0,可得y=,
则2x+y=2x+≥2=3,当且仅当x=1,y=1时取“=”.
故2x+y的最小值是3.故选B.
解题模板　求含有条件的关于两个变量的式子的最大(小)值时,往往先找出条件与待求式的关系,得到定值,再利用基本不等式求解.若解题时找不到定值,可先利用条件消去一个变量,再利用基本不等式得出最值.
3.B　因为0又因为2x+(1-2x)=1,
所以=[2x+(1-2x)]·≥10+2,
故选B.
4.B　依题意得≥λ.
∵a+b=3,a>0,b>0,
∴
≥≥,
当且仅当a=b,即a=时,等号同时成立,
所以λ的取值范围为.
故选B.
5.ACD　由16=ab+2a+b得b=-2.
2a+b=2a+-4≥2-4=8,当且仅当2(a+1)=,即a=2时取等号,因此2a+b的最小值为8,A正确;
≥2,当且仅当a+1=b+2时取等号,因此的最小值为,B错误;
16=ab+2a+b≥ab+2,当且仅当2a=b时取等号,解不等式得0<≤2,即ab≤8,因此ab的最大值为8,C正确;
b+-2
=≥2,
当且仅当,即a=时取等号,因此b+的最小值为,D正确.
故选ACD.
6.答案　
解析　因为x>0,y>0,所以x+3y-1>-1,2x+y-1>-1,
因为(x+3y-1)(2x+y-1)=1,
所以x+3y-1>0,2x+y-1>0,
因此x+y=
≥2,
当且仅当(2x+y-1),
即即时取等号,
所以x+y的最小值为.
导师点睛　题中条件是积(x+3y-1)(2x+y-1)为定值,求和x+y的最小值,关键是将x+y用条件中的两个因式表示,可用待定系数法求解,令x+y=m(x+3y)+n(2x+y)(m,n∈R),可得x+y=,然后利用基本不等式求最值.
7.答案　8
解析　由二次函数y=ax2+4x+c的最小值为0,得a>0,Δ=16-4ac=0,则c=>0,而a>c,所以a>2,
因此=2·=2·≥2×2=8,当且仅当a-,即a=1+时取等号,
所以的最小值为8.
8.解析　(1)∵x>0,y>0,∴2x+y>0,
∵不等式≥恒成立,
∴m≤恒成立.
∵≥2=4,当且仅当,即x=y时取等号,
∴m≤9,即m的最大值为9.
(2)∵≥9恒成立,∴≥9,
又x>0,y>0,a>0,x+y=1,
∴≥a+1+2+1)2,当且仅当y=x时,等号成立,
∴≥9,∴+1≥3,∴a≥4.
∴正数a的最小值为4.
9.解析　(1)由题意得m+1+2n=4,则=1,
所以≥,
当且仅当,且m+2n=3,即m=时等号成立,
则的最小值为.
(2)设则且x+y=6,
所以-12≥,当且仅当,且x+y=6,即x=,即m=时等号成立,
则的最小值为.
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