专题强化练2 三个“二次”的综合应用

专题强化练2　三个“二次”的综合应用
1.(多选题)下列选项中,是“不等式x2-x+m>0在x∈R上恒成立”的一个必要不充分条件的有(　　)
A.m≥
C.m>2.若关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为[-2,3],则关于x的不等式cx2+bx+a≥0的解集为(　　)
A.　　　
B.
C.　　　
D.
3.若关于x的不等式x2-(m+3)x+3m<0的解集中恰有3个正整数,则实数m的取值范围为(　　)
A.{m|6B.{m|-1≤m<0}
C.{m|-1≤m<0或6D.{m|-1≤m≤7}
4.(多选题)已知不等式x2+ax+b>0(a>0)的解集是{x|x≠d},则下列四个结论中正确的是(　　)
A.a2=4b
B.a2+≥4
C.若不等式x2+ax-b<0的解集为(x1,x2),则x1x2>0
D.若不等式x2+ax+b5.(多选题)已知函数y=ax2+bx-3,则下列结论正确的是(　　)
A.关于x的不等式ax2+bx-3<0的解集可以是{x|x>3}
B.关于x的不等式ax2+bx-3>0的解集可以是
C.函数y=ax2+bx-3的图象与x轴正半轴可以有两个交点
D.“关于x的方程ax2+bx-3=0有一个正根和一个负根”的充要条件是“a>0”
6.若关于x的不等式ax2+6(a+1)x+5a+10≥0(a∈Z)只有有限个整数解,且0是其中一个解,则全部不等式的整数解的和为　　　　.
7.在① x∈{x|-2≤x≤0},② x∈{x|-2≤x≤0}这两个条件中任选一个,补充到下面问题中的横线上,并求解问题.
已知函数y=x2+2x-a.
(1)若命题:“　　　　,y≥0”为真命题,求实数a的取值范围;
(2)求关于x的不等式x2+2x-a≥(a+1)x2+(1-a)x-a+1的解集.
答案与分层梯度式解析
专题强化练2　三个“二次”的综合应用
1.AB　令y=x2-x+m,该二次函数的图象开口向上,则原不等式恒成立等价于Δ=1-4m<0,解得m>,
故A,B是“不等式x2-x+m>0在x∈R上恒成立”的必要不充分条件.故选AB.
2.C　因为不等式ax2+bx+c≥0的解集为[-2,3],
所以a<0,且-2和3是方程ax2+bx+c=0的两个实根,
所以ax2+bx+c=a(x+2)(x-3)=ax2-ax-6a,
所以b=-a,c=-6a,
故cx2+bx+a=-6ax2-ax+a=-a(6x2+x-1)≥0 6x2+x-1=(3x-1)(2x+1)≥0,解得x≤-或x≥,
所以关于x的不等式cx2+bx+a≥0的解集为∪.故选C.
3.A　原不等式可化为(x-3)(x-m)<0,
当m<3时,原不等式的解集为(m,3),
其中最多只有2个正整数,即1和2,故不满足题意.
当m>3时,原不等式的解集为(3,m),
若其中恰有3个正整数,则这3个正整数只能为4,5,6,故64.ABD　对于A,不等式x2+ax+b>0(a>0)的解集是{x|x≠d},即方程x2+ax+b=0有两个相等的实数根x1=x2=d,则Δ=a2-4b=0,即a2=4b,A正确;
对于B,由A知a2=4b,则a2+≥2=4,当且仅当a=时等号成立,B正确;
对于C,若不等式x2+ax-b<0的解集为(x1,x2),则方程x2+ax-b=0的两个根为x1,x2,则x1x2=-b=-<0,C错误;
对于D,若不等式x2+ax+b故选ABD.
5.BCD　若不等式ax2+bx-3<0的解集是{x|x>3},则a=0且3b-3=0,得b=1,
而当a=0,b=1时,不等式为x-3<0,得x<3,与x>3矛盾,故A错误;
取a=-1,b=0,此时不等式为-x2-3>0,其解集为 ,故B正确;
函数y=ax2+bx-3的图象与x轴正半轴有两个交点,即方程ax2+bx-3=0有2个不相等的正根,取a=-1,b=4,则由y=-x2+4x-3=0,得x=1或x=3,符合题意,故C正确;
若关于x的方程ax2+bx-3=0有一个正根和一个负根,则得a>0,
若a>0,则Δ=b2+12a>0,故关于x的方程ax2+bx-3=0有两个不等的实根x1,x2,且x1x2=-<0,即关于x的方程ax2+bx-3=0有一个正根和一个负根,
因此“关于x的方程ax2+bx-3=0有一个正根和一个负根”的充要条件是“a>0”,故D正确.
故选BCD.
6.答案　-6
解析　若a=0,则原不等式为6x+10≥0,即x≥-,整数解有无数个,不符合题意,故a≠0.
设y=ax2+6(a+1)x+5a+10(a≠0),若y≥0的整数解只有有限个,则其图象开口向下,所以a<0,
因为0为其中一个解,所以5a+10≥0,即a≥-2,所以-2≤a<0,
又a∈Z,所以a=-2或a=-1.
若a=-2,则不等式为-2x2-6x≥0,解得-3≤x≤0,
因为x为整数,所以x=-3,-2,-1,0;
若a=-1,则不等式为-x2+5≥0,解得-≤x≤,
因为x为整数,所以x=-2,-1,0,1,2,
所以全部不等式的整数解的和为-6.
7.解析　(1)由y≥0得x2+2x-a≥0,即a≤x2+2x,
易得函数y=x2+2x=(x+1)2-1(x∈[-2,0])在[-2,-1]上单调递减,在[-1,0]上单调递增,
所以当x=-1时,函数取得最小值,为-1;当x=-2和x=0时,函数取得最大值,为0.
若选①,则a≤(x2+2x)max,即a≤0.
若选②,则a≤(x2+2x)min,则a≤-1.
(2)由x2+2x-a≥(a+1)x2+(1-a)x-a+1,可得ax2-(a+1)x+1≤0,
当a=0时,原不等式为-x+1≤0,解得x≥1,则原不等式的解集为{x|x≥1}.
当a≠0时,不等式ax2-(a+1)x+1≤0即为(ax-1)·(x-1)≤0,
若a<0,则原不等式的解集为;
若01,则原不等式的解集为;
若a=1,则=1,则原不等式的解集为{1};
若a>1,则<1,则原不等式的解集为.
综上所述,当a<0时,原不等式的解集为;
当a=0时,原不等式的解集为{x|x≥1};
当0当a=1时,原不等式的解集为{1};
当a>1时,原不等式的解集为.
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