§3 指数函数 课件+练习-《精讲精练》26版高中同步新教材数学北师大版（2019）必修1

第三章　指数运算与指数函数
§3　指数函数
3.2　指数函数的图象和性质
基础过关练
题组一　指数(型)函数的图象
1.在同一坐标系内,当1A　B　C　D　
2.已知函数y=ax、y=bx、y=cx、y=dx的大致图象如图所示,则下列不等式一定成立的是(　　)
A.b+d>a+c　　　B.b+dC.a+d>b+c　　　D.a+d3.函数f(x)=3|x|的图象是(　　)
A　　　　B　　　　C　　　　D
4.已知函数f(x)=ax+b的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式;
(2)将f(x)的图象向左平移1个单位长度,得到g(x)的图象,求g(x)·f(-x)的最大值.
题组二　指数(型)函数的单调性及其应用
5. 设集合U=R, M={x|x<1},N=,则{x|x≥2}=　　(　　)
A. U(M∪N)　　　B.N∪( UM)
C. U(M∩N)　　　D.M∪( UN)
6.设a=1.4,则(　　)
A.a>b>c　　　B.c>a>b
C.c>b>a　　　D.a>c>b
7.函数f(x)=的单调增区间为(　　)
A.(-∞,-1]　　　B.(-∞,1]
C.[1,+∞)　　　D.[3,+∞)
8.设a>0且a≠1,函数f(x)=有最大值,则不等式>1的解集为　　　　.
9.若函数y=ax(a>0,且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值的差为,则a的值为　　　　.
10.已知指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象过点M,g(x)=f ,h(x)=f(x)+2g(x).
(1)若f(x)>g(-x)+6,求x的取值范围;
(2)判断h(x)在[0,+∞)上的单调性.
题组三　指数(型)函数性质的综合应用
11.函数f(x)=,x∈[-1,2]的值域是(　　)
A.(-∞,8]　　　B.
C.　　　D.(0,8]
12.已知函数f(x)=3x3+(e为常数,e=2.718 281…),且f(a2)+f(3a-4)>0,则实数a的取值范围是　　(　　)
A.(-4,1)　　　
B.(-1,4)
C.(-∞,-1)∪(4,+∞)　　　
D.(-∞,-4)∪(1,+∞)
13.已知[x]表示不超过x的最大整数,如[-1.2]=-2,[1.5]=1,[3]=3,若f(x)=,g(x)=f(x-[x]),则g=　　　　,函数g(x)的值域为　　　　.
14.已知函数f(x)=m+n的图象经过原点,且无限接近直线y=1但又不与该直线相交.
(1)求f(x)的解析式;
(2)函数g(x)=+f(x),x∈[0,2],求g(x)的最小值.
15.已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象经过点(4,4).
(1)求a的值;
(2)比较f(-2)与f(m2-2m)(m∈R)的大小;
(3)求函数g(x)=a|x-1|(-3≤x≤3)的值域.
能力提升练
题组一　指数(型)函数的图象及其应用
1.函数f(x)=的图象大致是(　　)
A　　　B　　　　
C　　　D
2.(多选题)已知a>0,且a≠1,则函数f(x)=xa-ax(x>0)的图象可能是(　　)
A　　　　B　　　　C　　　　D
题组二　指数(型)函数的性质及其应用
3.已知函数y=ax-a-x(a>0,a≠1)在其定义域上递减,则函数f(x)=(　　)
A.在(-∞,2)上递增,在(2,+∞)上递减
B.在(-∞,2)上递减,在(2,+∞)上递增
C.在(1,2)上递减,在(2,3)上递增
D.在(1,2)上递增,在(2,3)上递减
4.已知函数f(x)=-ax(a>1),则不等式f(2x2)+f(x-1)<0的解集为(　　)
A.(-∞,-1)∪　　B.
C.∪(1,+∞)　　D.
5.(多选题)已知函数f(x)=|ax-1|(a>0,且a≠1),则下列结论正确的是(　　)
A.函数f(x)的图象恒过定点(0,1)
B.函数f(x)的值域为[0,+∞)
C.函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增
D.若直线y=2a与函数f(x)的图象有两个公共点,则实数a的取值范围是(0,1)
6.已知函数f(x)=的值域为R,则a的取值范围是(　　)
A.[-1,2)　　　　B.(-1,2)　　　　C.　　　　D.
7.已知a>0且a≠1,函数f(x)=若f(x)在区间[0,2]上的最大值比最小值大,则a的值为(　　)
A.或2　　　　B.或2　　　　C.2或　　　　D.
8.已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=2x.
(1)求函数f(x)和g(x)的解析式,并判断函数f(x)的单调性;
(2)求函数F(x)=g(2x)-af(x)-1,x∈[0,1]的最小值.
答案与分层梯度式解析
第三章　指数运算与指数函数
§3　指数函数
3.2　指数函数的图象和性质
基础过关练
1.A　由12.B　如图,作出直线x=1,其与各函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c,d,a,b,
故c>d>a>b,所以b+d3.B　f(x)的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=3|-x|=3|x|=f(x),故f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,
f(0)=30=1,故排除C,D;当x>0时,f(x)=3x>1,排除A.故选B.
4.解析　(1)由题图可知f(0)=1+b=-1,f(1)=a+b=0,解得a=2,b=-2,所以f(x)=2x-2.
(2)依题意可得g(x)=f(x+1)=2x+1-2,
所以g(x)·f(-x)=(2x+1-2)(2-x-2)=2-2×2x+1-2×2-x+4=6-2(2x+1+2-x).
因为2x+1>0,2-x>0,所以2x+1+2-x≥2,当且仅当2x+1=2-x,即x=-时,等号成立,
所以g(x)·f(-x)=6-2(2x+1+2-x)≤6-4,
故g(x)·f(-x)的最大值为6-4.
5.A　函数y=在R上单调递减,则N=x<2=x={x|-1对于A,M∪N={x|x<2},因此 U(M∪N)={x|x≥2},A符合;
对于B, UM={x|x≥1},因此N∪( UM)={x|x>-1},B不符合;
对于C,M∩N={x|-1对于D, UN={x|x≤-1或x≥2},因此M∪( UN)={x|x<1或x≥2},D不符合.
故选A.
6.B　因为y=为增函数,1.44<,
所以1.4,即c>a,
因为y=1.2x为增函数,
所以1.4,即a>b,
故c>a>b.故选B.
7.A　令x2-2x-3≥0,解得x≤-1或x≥3,
所以f(x)的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞),
易知t=x2-2x-3的图象开口向上,对称轴为直线x=1,y=在[0,+∞)上单调递增,
所以y=在(-∞,-1]上单调递减,在[3,+∞)上单调递增,
因为y=在 R上单调递减,
所以f(x)=在(-∞,-1]上单调递增,在[3,+∞)上单调递减,
即f(x)=的单调增区间为(-∞,-1].
故选A.
解后反思　求复合函数的单调区间时要把握“同增异减”的原则,另外要注意函数的定义域对单调区间的影响.
8.答案　{x|2解析　∵函数f(x)=有最大值,
∴0不等式>1即>a0,
∴x2-5x+6<0,解得2故不等式的解集为{x|29.答案　或
解析　当a>1时,函数y=ax在[1,2]上单调递增,y的最大值为a2,最小值为a,
故有a2-a=,解得a=或a=0(舍去);
当0故有a-a2=,解得a=或a=0(舍去).
综上,a=或a=.
易错警示　解决与指数函数单调性(最大(小)值)有关的问题时,要注意底数对单调性的影响,当底数含有参数时,要注意对参数分类讨论.
10.解析　(1)由题意得,解得a=9,
∴f(x)=9x,g(x)=,
∴f(x)>g(-x)+6可整理为9x-3x-6>0,
令3x=t(t>0),则t2-t-6=(t+2)(t-3)>0,
∴t>3,即3x>3,∴x>1.
∴x的取值范围是(1,+∞).
(2)由题可知h(x)=9x+,
任取x1,x2∈[0,+∞),且x1则h(x1)-h(x2)=
=(
=(
=(
=·()-2].
∵x1,x2∈[0,+∞),且x1∴>30=1,
∴·(·()-2>0,
∴h(x1)-h(x2)<0,即h(x1)∴h(x)在[0,+∞)上单调递增.
11.B　令g(x)=x2-2x,x∈[-1,2],
则g(x)min=g(1)=-1,g(x)max=g(-1)=3,
所以g(x)∈[-1,3],
又y=2x在R上单调递增,
所以2-1≤f(x)≤23,即≤f(x)≤8.故选B.
12.D　f(x)的定义域为R,关于原点对称,
f(-x)=3(-x)3+=-f(x),
所以f(x)是R上的奇函数,
f(a2)+f(3a-4)>0,即f(a2)>-f(3a-4)=f(4-3a),
易知f(x)是R上的增函数,故a2>4-3a,即a2+3a-4>0,解得a>1或a<-4,
所以实数a的取值范围为(-∞,-4)∪(1,+∞),
故选D.
13.答案　
解析　g.
令t=x-[x],则t∈[0,1),则g(x)=f(t)=,
∵y=在R上单调递减,
∴≤,故g(x)的值域为.
14.解析　(1)∵f(x)的图象无限接近直线y=1但又不与该直线相交,∴n=1,
又∵f(x)的图象经过原点,∴f(0)=m+1=0,即m=-1,
∴f(x)=-+1.
(2)由(1)得g(x)=+1,x∈[0,2],
令t=,则t∈,
即g(t)=t2-t+1=,t∈,
故当t=,即x=1时,g(x)取得最小值,为.
15.解析　(1)因为f(x)=ax的图象经过点(4,4),
所以a4=4,又a>0且a≠1,所以a=.
(2)因为>1,所以f(x)=()x在R上单调递增,
又因为m2-2m-(-2)=(m-1)2+1>0,
所以m2-2m>-2,所以f(-2)(3)当-3≤x≤3时,-4≤x-1≤2,则0≤|x-1|≤4,
所以()0≤()|x-1|≤()4,
即1≤()|x-1|≤4,
所以g(x)的值域为[1,4].
能力提升练
1.B　函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,
且f(-x)==f(x),所以函数f(x)是偶函数,排除A,D;
令f(x)=0,得x=0,且只有一个解,排除C,故选B.
2.ABC　当0因此函数f(x)=xa-ax在(0,+∞)上单调递增,
f(0)=-1,f(a)=0,函数图象为曲线,A可能;
当a=1时,f(x)=x-1,在(0,+∞)上的图象是不含端点(0,-1)的射线,B可能;
当a>1时,令a=2,则f(x)=x2-2x,有f(2)=f(4)=0,此时f(x)的图象与x轴有两个交点,
当x∈(0,+∞)时,随着x的无限增大,y=ax的增长速度比y=xa的增长速度大,
因此存在正数x0,当x>x0时,恒成立,即f(x)<0,C可能,D不可能.故选ABC.
3.C　由-x2+4x-3≥0解得1≤x≤3,即函数f(x)=的定义域为[1,3],
因为y=ax-a-x=ax-在其定义域上递减,所以0当x∈(1,2)时,y=单调递增,y=ax(0当x∈(2,3)时,y=单调递减,y=ax(0故选C.
4.A　令u=ax,a>1,则y=-u(u>0).
u=ax在定义域内单调递增,y=-u在定义域内单调递减,
根据复合函数“同增异减”的单调性判断原则知f(x)单调递减,
因为f(-x)=ax-=-f(x),f(x)的定义域为R,关于原点对称,所以f(x)为奇函数.
因为f(2x2)+f(x-1)<0,
所以f(2x2)<-f(x-1)=f(1-x),
所以2x2>1-x,所以x∈(-∞,-1)∪.
故选A.
5.BC　y=|ax-1|的图象可由y=ax的图象向下平移1个单位长度,再将x轴下方的图象翻折到x轴上方得到,分a>1和0(a>1)　(0对于A,函数f(x)的图象恒过定点(0,0),故A错误;
对于B,函数f(x)的值域为[0,+∞),故B正确;
对于C,函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,故C正确;
对于D,由图象知,当直线y=2a与函数f(x)的图象有两个公共点时,0<2a<1,即0故选BC.
6.C　当x≥1时,f(x)=-1,函数t=x2+2x-2的图象开口向上,对称轴为直线x=-1,故函数t=x2+2x-2在[1,+∞)上单调递增,又y=2t在其定义域内单调递增,所以函数f(x)在[1,+∞)上单调递增,故f(x)≥f(1)=1, f(x)在[1,+∞)上的值域为[1,+∞);
当x<1时,设函数f(x)的值域为A,因为函数f(x)的值域为R,所以(-∞,1) A,
而当x<1时,f(x)=(2-a)x+3a,必有解得-≤a<2,
所以a的取值范围是.故选C.
7.D　①当0∵f(0)=a0=1>-1+a,∴f(x)的最大值为1,
而f(2)=-2+a∴1-(-2+a)=,解得a=,符合题意.
②当a>1时,函数f(x)在[0,1]上单调递增,在(1,2]上单调递减.
∵f(1)=a>-1+a,∴f(x)的最大值为a,
而f(2)=-2+a,f(0)=a0=1,
当a∈(1,3)时,-2+a<1,∴f(x)的最小值为-2+a,∴a-(-2+a)=,无解;
当a∈[3,+∞)时,-2+a≥1,∴f(x)的最小值为1,∴a-1=,解得a=,符合题意.
综上所述,实数a的值为或.故选D.
8.解析　(1)∵f(x)+g(x)=2x①,
∴f(-x)+g(-x)=2-x,
∵f(x)为定义在R上的奇函数,g(x)为定义在R上的偶函数,
∴-f(x)+g(x)=2-x②,
联立①②,得g(x)=(2x-2-x).
f(x)在R上单调递增,证明如下:
任取x1,x2∈R,且x1则f(x1)-f(x2)=,
∵x10,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)∴f(x)在R上单调递增.
(2)F(x)=g(2x)-af(x)-1=(2x-2-x)-1,
令t=2x-2-x,x∈[0,1],易知t单调递增,则t∈,
22x+2-2x=+2=t2+2,
令h(t)=,t∈,
当≤0,即a≤0时,h(t)在上单调递增,则h(t)min=h(0)=0;
当0<,即0当≥,即a≥3时,h(t)在上单调递减,则h(t)min=ha.
综上所述,当a≤0时,F(x)的最小值为0;
当0当a≥3时,F(x)的最小值为a.
16第三章　指数运算与指数函数
§3　指数函数
3.1　指数函数的概念
基础过关练
题组一　指数函数的概念
1.下列函数是指数函数的是(　　)
A.y=x4　　　B.y=3·2x
C.y=πx　　　D.y=(-4)x
2.若函数f(x)=2a·3x和g(x)=2x-(b+3)都是指数函数,则ab=(　　)
A.　　　　B.1　　　　C.9　　　　D.8
3.若函数y=(m2-2m-2)mx是指数函数,则m的值为(　　)
A.-1或3　　　　B.-1　　　　C.3　　　　D.
4.(多选题)设指数函数f(x) =ax(a>0且a≠1),则下列等式中正确的是(　　)
A.f(x+y)=f(x)f(y)
B.f(x-y)=
C.f(nx)=[f(x)]n(n∈Q)
D.[f(xy)]n=[f(x)]n[f(y)]n(n∈N+)
题组二　求指数(型)函数的解析式或函数值
5.已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1), f(2)=4,则函数f(x)的解析式是(　　)
A.f(x)=2x　　　B.f(x)=
C.f(x)=4x　　　D.f(x)=
6.已知某核污水中含有多种放射性物质,其中放射性物质3H含量非常高,它可以进入生物体内,还可以在体内停留,并引起基因突变,但却难以被清除.现已知3H的质量M(kg)随时间t(年)的指数衰减规律是:M=M0·a-0.008t(其中M0为3H的初始质量).已知经过125年3H的质量衰减为最初的,则当3H的质量衰减为最初的时,所经过的时间为(　　)
A.325年　　　　B.375年　　　　C.600年　　　　D.1 000年
7.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)=　　　　.
8.设f(x)=,若0(1)f(a)+f(1-a)的值;
(2)f +f +f +…+f 的值.
题组三　指数(型)函数图象过定点问题
9.函数f(x)=ax-m+n(其中a>0,a≠1,m,n为常数)的图象恒过定点(3,2),则m+n=(　　)
A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.6
10.函数y=2ax-2-1(a>0,且a≠1)的图象必经过点　　　　.
11.若函数y=ax-2+3(a>0且a≠1)的图象恒过定点Q,且点Q在幂函数f(x)=xm的图象上,则f(4)=　　　　.
答案与分层梯度式解析
第三章　指数运算与指数函数
§3　指数函数
3.1　指数函数的概念
基础过关练
1.C　
2.D　根据题意得解得
则ab==8.故选D.
3.C　由题意得所以m=3.
4.ABC　f(x+y)=ax+y=axay=f(x)f(y),A正确;
f(x-y)=ax-y=axa-y=,B正确;
f(nx)=anx=(ax)n=[f(x)]n,C正确;
[f(xy)]n=(axy)n,[f(x)]n[f(y)]n=(ax)n·(ay)n=(ax+y)n≠(axy)n,D错误.
故选ABC.
5.A　由f(2)=4得a2=4,又a>0,且a≠1,所以a=2,即f(x)=2x.故选A.
6.B　由题意得M0=M0·a-0.008×125,解得a=2,
令M=M0,则M0=M0·2-0.008t,解得t=375.
故选B.
7.答案　-3
解析　由题意得f(0)=1+b=0,解得b=-1,
所以当x≥0时,f(x)=2x+2x-1,
故f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3.
8.解析　(1)f(a)+f(1-a)==1.
(2)原式=+…+=1×500=500.
9.B　因为函数f(x)的图象恒过定点(3,2),所以解得所以m+n=4.故选B.
10.答案　(2,1)
解析　∵当x=2时,无论a为何值,y=2a0-1=1,
∴函数y=2ax-2-1的图象必经过点(2,1).
11.答案　16
解析　当x=2时,y=4,故函数y=ax-2+3的图象恒过点(2,4),即Q(2,4),
将(2,4)代入f(x)=xm,得2m=4,解得m=2,故f(x)=x2,所以f(4)=42=16.
1(共12张PPT)
§3 指数函数
知识点 1 指数函数的概念
知识 清单破
y=ax(a>0且a≠1)是一个定义在实数集上的函数,称为指数函数.
知识点 2 指数函数的图象和性质
1.指数函数的图象和性质
a>1 0图象
性 质 定义域 R 值域 (0,+∞) 过定点 (0,1) a>1 0性 质 函数值 的变化 当x<0时,00时,y>1 当x<0时,y>1;
当x>0时,0单调性 在R上是增函数. 当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于正无穷大; 当x值趋近于负无穷大时,函数值趋近于0 在R上是减函数.
当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于0;
当x值趋近于负无穷大时,函数值趋近于正无穷大
2.一般地,指数函数y=ax和y= (a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称,且它们在R上的单调性相
反.
知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” 。
1.函数y=1x,y=-4x和y=(-8)x都是指数函数. (　 )
指数函数y=ax要求a>0,且a≠1,所给函数都不符合要求.

提示
2.y=x2与y=2x的图象有3个交点. (　 )
√
3.y=5x与y=5-x的图象关于y轴对称.(　 )
√
4.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)既不是奇函数,也不是偶函数. (　 )
√
5.在第一象限内,函数y= 的图象在y= 的图象的上方. (　 )

6.函数y=2-x在R上单调递增. (　 )

讲解分析
疑难 情境破
疑难 1 与指数函数有关的复合函数的定义域、值域问题
与指数函数y=ax(a>0,且a≠1)有关的复合函数的定义域、值域的求法
1.函数y=af(x)的定义域与f(x)的定义域相同.
2.求函数y=af(x)的值域,需先确定f(x)的值域,再根据y=ax的单调性确定y=af(x)的值域.
3.求函数y=f(ax)的定义域,先令u=ax,然后确定y=f(u)的定义域,即u=ax的值域,由此构造关于x的
不等式(组),确定x的取值范围,得y=f(ax)的定义域.
4.求函数y=f(ax)的值域,先令u=ax,然后利用u=ax的单调性确定其值域,再确定y=f(u)的值域,即y
=f(ax)的值域.
典例 (1)函数y= 的定义域为　　　 ;
(2)函数y= - +2,x∈[-2,1]的值域为　　　 .
解析 (1)因为y= = ,所以0.5x-8>0,则2-x>23,即-x>3,解得x<-3,
故函数y= 的定义域为(-∞,-3).
(2)令t= ,因为-2≤x≤1,所以t= ∈ ,则y=t2-2t+2=(t-1)2+1 ,
根据二次函数的图象(图略)可知,当t=1时,ymin=1,当t=4时,ymax=10,
所以函数y= - +2,x∈[-2,1]的值域为[1,10].
(-∞,-3)
[1,10]
讲解分析
疑难 2 与指数函数有关的函数的单调性问题
1.形如y=af(x)(a>0,且a≠1)的函数的单调性的判断方法
　　当a>1时,函数u=f(x)的单调递增(减)区间即为函数y=af(x)的单调递增(减)区间;当0函数u=f(x)的单调递减(增)区间即为函数y=af(x)的单调递增(减)区间.
2.形如y=f(ax)(a>0,且a≠1)的函数的单调性的判断方法
　　通过内层函数u=ax的值域确定外层函数y=f(u)的定义域,在此定义域内讨论外层函数的
单调性,再根据复合函数“同增异减”的规律确定复合函数的单调性.
典例 求下列函数的单调区间:
(1)y= ;
(2)y= -8 +17.
解析 (1)令u=x2-2x,y= .
易知u=x2-2x=(x-1)2-1在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,
又y= 是R上的减函数,
∴y= 的单调递增区间为(-∞,1],单调递减区间为[1,+∞).
(2)设u= ,u>0,则y=u2-8u+17(u>0),根据二次函数的性质知,该函数在(0,4]上单调递减,在[4,
+∞)上单调递增.
令 ≤4,得x≥-2,∴y= -8 +17的单调递增区间是[-2,+∞).
令 ≥4,得x≤-2,∴y= -8 +17的单调递减区间是(-∞,-2].
易错警示 由y=f(u)及u=g(x)的单调性来解决函数y=f(g(x))的单调性问题时,应将y=f(u)的中
间变量u的取值范围转化为x的取值范围,进而得到函数y=f(g(x))的单调区间,解题时注意不要
将中间变量u的取值范围作为函数y=f(g(x))的单调区间.
讲解分析
疑难 3 指数函数单调性的应用
1.指数幂的大小比较问题的类型及解法
(1)底数相同,指数不同:利用指数函数的单调性来比较.
(2)底数不同,指数相同:利用幂函数的单调性来比较.
(3)底数不同,指数不同:通过中间量比较.
2.解指数不等式的基本方法
先化为同底指数式,再利用指数函数的单调性化为常规的不等式来解,注意底数对不等号方
向的影响.
典例 (1)设a= ,b= ,c= ,则 (　 )
A.c(2)解不等式: < (a>0,且a≠1).
C
解析 (1)b= = ,∵函数y= 是增函数,∴ < ,即b
> =a,∴b(2)①当0x2+6,∴-3x>5,解得x<- ;
②当a>1时,函数y=ax在R上是增函数,
∴x2-3x+1- .
综上,当0当a>1时,不等式的解集为 .