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§1 对数的概念
知识点 1 对数的相关概念
知识 清单破
§2 对数的运算
1.对数的概念
一般地,如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N,即ab=N,那么数b称为以a为底N的对数,记作logaN=b.
其中a叫作对数的底数,N叫作真数.
2.常用对数与自然对数
(1)当对数的底数a=10时,通常称之为常用对数,并将log10N简记为lg N;
(2)以无理数e=2.718 281…为底数的对数,称之为自然对数,并将logeN简记为ln N.
3.对数的基本性质
(1)零和负数无对数,即真数N>0;
(2)1的对数等于零,即loga1=0(a>0,且a≠1);
(3)底数的对数等于1,即logaa=1(a>0,且a≠1);
(4)对数恒等式: =N(a>0,且a≠1,N>0).
若a>0,且a≠1,M>0,N>0,b∈R,则
(1)loga(M·N)=logaM+logaN.
推论:loga(N1·N2·…·Ni·…·Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNi+…+logaNk(Ni>0,i=1,2,…,k).
(2)loga =logaM-logaN.
(3)logaMb=blogaM.
知识点 2 对数的运算性质
知识点 3 换底公式
1.换底公式:logab= (a>0,b>0,c>0,且a≠1,c≠1).
2.推论:lo Nn= logbN,logbN= (N>0,b>0,m≠0,且N≠1,b≠1).
知识辨析 判断正误,正确的画“ √” ,错误的画“ ” 。
1.根据对数的定义,因为(-2)4=16,所以log(-2)16=4. ( )
2.若10lg x=100,则x=2. ( )
3.loga(x-y)=logax÷logay(a>0,且a≠1). ( )
4.loga[(-2)×(-3)]=loga(-2)+loga(-3)(a>0,且a≠1). ( )
5.logx2= (x>0,且x≠1). ( )
√
讲解分析
疑难 情境破
疑难 1 对数恒等式与多重对数方程
1.对数恒等式是利用对数的定义推导出来的,应用时要注意以下结构特点:
(1)指数是对数形式;
(2)幂的底数与作为指数的对数的底数相同;
(3)指数式的值为对数的真数,且大于0.
2.在求解多重对数方程时,要遵循由外向内的原则,层层去掉对数符号,在这一过程中要注意
时刻把握指数式与对数式的互化.
典例 求下列各式中x的值.
(1) =25;
(2)log2(log5x)=0;
(3)log23·log36·log6x=log4(2x+8);
(4)lo =x.
解析 (1)∵ =25,∴2x-1=25,∴x=13.
(2)∵log2(log5x)=0,∴log5x=20=1,∴x=51=5.
(3)∵log23·log36·log6x= · · =log2x=log4x2=log4(2x+8),∴x2=2x+8,解得x=4(负值舍去).
(4)∵lo =x,∴( -1)x= = = = -1,∴x=1.
讲解分析
疑难 2 利用对数的运算性质化简、求值
1.利用对数的运算性质求值的关键是化异为同,先使各项底数相同,再寻找真数间的联系.
2.对于复杂的运算式,可先化简再计算.常用的化简方法:①“拆”——将积(商)的对数拆成两
对数之和(差);②“收”——将同底对数的和(差)收成积(商)的对数.
3.在利用换底公式进行化简求值时,一般情况下要根据题中所给对数式的具体特点选择恰当
的底数进行换底,如果所给的对数式中的底数和真数互不相同,我们可以选择以10或e为底数
进行换底.
典例1 (1)计算: +ln +log35·log259+lg 4+2lg 5= ;
(2)a= ,b=log37·log49 ,则lg a2 022-b2 023+1的值为 .
2 024
解析 (1) +ln +log35·log259+lg 4+2lg 5
= +ln e-1+log35· 32+lg 22+2lg 5
= -1+log35·log53+2lg 2+2lg 5
= -1+ · +2(lg 2+lg 5)
= -1+1+2= .
(2)a=
=
= = =10,
b=log37·log49 = · = · =-1,
所以lg a2 022-b2 023+1=lg 102 022-(-1)2 023+1=2 022-(-1)+1=2 024.
2.当对数的底数不同时,可用换底公式换成同底数对数,为便于发现它们之间的联系,可将真
数都化为质数再进行计算.
方法指导 1.当对数的底数相同时,利用对数的运算性质将式子转化为只含一种或尽量少的
真数的形式,再进行计算.
典例2 已知 = ,log74=b,用a,b表示log4948.
思路点拨 将指数等式化为对数等式,再利用对数的运算性质、换底公式求解.
解析 解法一:∵ = ,∴a=log73.
因此log4948= =
= = .
解法二:∵ = ,∴a= .
∵log74=b,∴b= ,
则log4948= =
= + =b+ = .
讲解分析
疑难 3 对数运算性质的综合应用
1.在对数式、指数式的互化运算中,要灵活运用定义和运算性质,尤其要注意条件和结论之间
的关系.
2.对于连等式,可令其等于k(k>0),然后将指数式用对数式表示,再利用换底公式将指数的倒数
化为同底的对数,从而使问题得解.
典例 已知3a=5b=c,且 + =2.
(1)求c的值;
(2)若条件改为“3a=5b=15”,求 + 的值;
(3)若条件改为“2a=3b=5c,且 + + =1”,求a,b,c的值.
解析 (1)∵3a=5b=c,∴a=log3c,b=log5c,
∴ =logc3, =logc5,∴ + =logc3+logc5=logc15=2,∴c2=15,∴c= (负值舍去).
(2)∵3a=5b=15,∴a=log315,b=log515,
∴ + =log153+log155=log1515=1.
(3)令2a=3b=5c=k(k>0,且k≠1),
则a=log2k,b=log3k,c=log5k,
∴ =logk2, =logk3, =logk5.
∵ + + =1,∴logk2+logk3+logk5=logk30=1,
∴k=30,∴a=log230,b=log330,c=log530.第四章 对数运算与对数函数
§1 对数的概念
基础过关练
题组一 对数的概念
1.(多选题)下列说法错误的是( )
A.零和负数没有对数
B.任何一个指数式都可以化成对数式
C.以10为底的对数叫作自然对数
D.以e为底的对数叫作常用对数
2.使式子log(2x-1)有意义的x的取值范围是( )
A.(2,+∞) B.
C.(-∞,2) D.∪(1,2)
题组二 指数式与对数式的互化
3.(多选题)下列指数式与对数式互化正确的是( )
A.=m与logm=e
B.10x=6与lg 6=x
C.
D.=3与log93=
4. 地震时释放的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4.8+1.5M.里氏8.0级地震所释放出来的能量是里氏6.0级地震所释放出来的能量的( )
A.6倍 B.102倍
C.103倍 D.106倍
5.如图,A,C是函数f(x)=2x图象上的两点,将f(x)的图象向右平移2个单位长度后得到函数g(x)的图象,B为g(x)图象上的点.若AB∥x轴且△ABC为等边三角形,则点A的横坐标为( )
A. B.log2 C.1 D.log23
6.若loga2=m,loga3=n(a>0且a≠1),则am+2n= .
题组三 对数恒等式与多重对数方程
7.(多选题)下列结论正确的有( )
A.lg(lg 10)=0
B.lg(ln e)=0
C.若10=lg x,则x=100
D.若log25x=,则x=±5
8.(多选题)下列等式正确的是( )
A.=2
B.+ln e=4
C.若log3(lg x)=1,则x=1 000
D.若loga=c(a>0,且a≠1),则b=a7c
9.若方程(lg x)2+lg x-2=0的两个不相等的实根分别为x1,x2,则x1x2= .
10.已知log2[log3(log4x)]=log3[log4(log2y)]=0,求x+y的值.
答案与分层梯度式解析
第四章 对数运算与对数函数
§1 对数的概念
基础过关练
1.BCD
2.D 根据题意得解得3.BD =m化成对数式是ln m=,故A错误;
B正确;
化成对数式是log27,故C错误;
D正确.故选BD.
4.C 设里氏8.0和6.0级地震所释放出来的能量分别为E1焦耳,E2焦耳,则lg E1=4.8+1.5×8=16.8,lg E2=4.8+1.5×6=13.8,则E1=1016.8,E2=1013.8,
故=103.故选C.
5.B 设A(x0,),由等边三角形ABC的边长为2,且AB∥x轴,得C(x0+1,),又点C在f(x)=2x的图象上,所以,即,所以x0=log2.故选B.
6.答案 18
解析 ∵loga2=m,∴am=2.
∵loga3=n,∴an=3,∴am+2n=am·a2n=am·=2×32=18.
7.AB 对于A,因为lg 10=1,lg 1=0,所以lg(lg 10)=lg 1=0,故A正确;
对于B,因为ln e=1,lg 1=0,所以lg(ln e)=lg 1=0,故B正确;
对于C,因为10=lg x,所以x=1010,故C错误;
对于D,因为log25x=,所以x=2=5,故D错误.
故选AB.
8.BCD 对于A,原式=(=4,所以A错误;
对于B,+ln e=3+1=4,所以B正确;
对于C,因为log3(lg x)=1,所以lg x=3,所以x=103=1 000,所以C正确;
对于D,因为loga=c,所以ac=,所以b=(ac)7=a7c,所以D正确.
故选BCD.
9.答案
解析 (lg x)2+lg x-2=0 (lg x+2)(lg x-1)=0 lg x=-2或lg x=1,
由lg x=-2得x=10-2=,由lg x=1得x=10,
所以x1x2=.
10.解析 ∵log2[log3(log4x)]=0,∴log3(log4x)=1,
∴log4x=3,∴x=43=64.同理,求得y=16.
∴x+y=80.
2第四章 对数运算与对数函数
§2 对数的运算
基础过关练
题组一 对数的运算性质
1.(多选题)已知a=lg 2,b=lg 3,则( )
A.a+b=lg 6 B.=log34
C.2+=log212 D.b-a=lg
2.我们知道,任何一个正数N可以用科学记数法表示成a×10n(1≤a<10,n∈N)的形式,此时lg N=n+lg a(0≤lg a<1),当n>0时,称N的位数是n+1.根据以上信息可知350的位数是(lg 3≈0.477 12)( )
A.23 B.24 C.25 D.51
3.计算lg 2-lg +3lg 5-log32×log49= .
4.已知f(ex)=xlg 7,则f(2)+f(5)= .
5. 已知a=log3log38·log2,则a+b+c= .
6.(1)已知logx8=6,求x的值;
(2)已知log3(x2-10)=1+log3x,求x的值.
题组二 换底公式
7.已知3x=5y=a,且=2,则a的值为( )
A. B.15 C.± D.225
8.牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化:如果物体的初始温度为T0,则经过一定时间t后的温度T将满足T-Ta=·(T0-Ta),其中Ta是环境温度,h称为半衰期.现有一杯85 ℃的热茶,放置在25 ℃的房间中,如果热茶降温到55 ℃需要10分钟,则热茶从85 ℃降温到45 ℃大约需要多少分钟(lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)( )
A.12 B.14 C.16 D.18
9.log23×log34×log48= .
10. 把满足log23×log34×…×log(n+1)(n+2),n∈N*为整数的n叫作“贺数”, 则在区间(1,50)内所有“贺数”的和是 .
11.已知2a=32,loga2·log4x=a,则log5x+logx5= .
题组三 对数运算的综合应用
12. 已知某种垃圾的分解率为v,与时间t(月)满足函数关系式v=abt(其中a,b为非零常数),若经过12个月,这种垃圾的分解率为10%,经过24个月,这种垃圾的分解率为20%,那么这种垃圾完全分解,至少需要经过(参考数据:lg 2≈0.3)( )
A.48个月 B.52个月
C.64个月 D.120个月
13.a克糖水中含有b克糖,糖的质量与糖水的质量比为,这个质量比决定了糖水的甜度,如果再添加m克糖(假设全部溶解),生活经验告诉我们糖水会变甜,对应的不等式为(a>b>0,m>0),这个不等式称为糖水不等式.根据糖水不等式,下列不等式正确的是( )
A.log85B.
C.
D.
14.(多选题)已知910>109,912>1011,1112>1211,设a=log1211,b=,则下列结论中正确的是( )
A.ab C.a>d D.c>d
15.已知函数f(x)=则f(log23)= .
16.若正数x,y满足2+log2x=1+log3y=log6(2x+y),则的值为 .
17.若a,b是方程2(lg x)2-lg x4+1=0的两个实数根,求lg(ab)·(logab+logba)的值.
18.已知x,y,z为正数,3x=4y=6z,2x=py.
(1)求p的值;
(2)求证:.
19.(1)已知lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1,求lg;
(2)甲、乙两人同时解关于x的方程:log3x-blogx3+c=0,甲看错了常数b,得两根为3和,乙看错了常数c,得两根为和81,求这个方程正确的根.
答案与分层梯度式解析
第四章 对数运算与对数函数
§2 对数的运算
基础过关练
1.AD 对于A,lg 6=lg(2×3)=lg 2+lg 3=a+b,故A正确;
对于B,log34=≠,故B错误;
对于C,log212=log2(4×3)=log24+log23=2+,故C错误;
对于D,lg =lg 3-lg 2=b-a,故D正确.故选AD.
2.B lg 350=50lg 3≈23.856=23+0.856,则350的位数是23+1=24.故选B.
3.答案 2
解析 原式=lg 2+2lg 2+3lg 5-2××log32×log23=3(lg 2+lg 5)-1=3lg 10-1=2.
4.答案 ln 7
解析 令t=ex,则x=ln t(t>0),则f(t)=ln t·lg 7(t>0),所以f(x)=ln x·lg 7(x>0).
则f(2)+f(5)=ln 2·lg 7+ln 5·lg 7=lg 7·(ln 2+ln 5)=lg 7·ln 10=ln 7.
5.答案
解析 a=log323·log32·,
所以a+b+c=-.
6.解析 (1)因为logx8=6,所以x6=8,
所以x=.
(2)因为log3(x2-10)=1+log3x,
所以log3(x2-10)=log3(3x),
所以解得x=5.
7.A ∵3x=5y=a,∴xlg 3=ylg 5=lg a,∴,则2=,
∴lg a2=lg 15,∵a>0,∴a=,故选A.
8.C 根据题意得55-25=·(85-25),解得h=10,
∴45-25=·(85-25),即,则t=10×≈16.故选C.
9.答案 3
解析 原式=log23×=log28=3.
方法技巧 对数式恒等变形的常用策略:一看底数,底数不同时用换底公式化不同底为同底;二看真数,利用对数的运算性质将真数进行适当变形.解题时还要考虑对数恒等式及特殊值.
10.答案 52
解析 因为log23×log34×…×log(n+1)(n+2)=×…×=log2(n+2),
且log24=2,log28=3,log216=4,log232=5,log264=6,……,
所以当n+2=4,8,16,32,即n=2,6,14,30时,log2(n+2)为整数,
所以在区间(1,50)内所有“贺数”的和是2+6+14+30=52.
11.答案
解析 因为2a=32=25,所以a=5,
所以loga2·log4x=log52·lolog52·log2x
=×5,
即log5x=4,所以x=54,
所以log5x+logx5=log554+lo.
12.B 由题意可得解得
所以v=·,
这种垃圾完全分解,即当v=1时,有1=·,即2t=2012,
则t=log22012=12log220=12log2(4×5)=24+12log25=24+12×≈52.
故选B.
13.A 对于A,由lg 8>lg 5,lg 2>0得log85==log1610,故A正确;
对于B,,故B错误;
对于C,由题意得,故C错误;
对于D,由糖水不等式得,所以,故D错误.故选A.
14.BCD 由题意知a,b,c,d都大于零,
1112,因为1112>1211,所以>1,故a>b,A错误;
912,因为912>1011,所以>1,故c>b,B正确;
因为b-d=>0,所以b>d,又a>b,故a>d, C正确;
910,因为910>109,所以>1,故c>d, D正确.
故选BCD.
15.答案
解析 由已知得f(log23)=f(log23+1)=f(log23+2)=f(log23+3)=f(log224)=.
16.答案 12
解析 因为2+log2x=1+log3y=log6(2x+y),
所以log2(4x)=log3(3y)=log6(2x+y),
设log2(4x)=log3(3y)=log6(2x+y)=k,
则2k=4x x=2k-2,3k=3y y=3k-1,6k=2x+y,
所以=22×31=12.
17.解析 原方程可变形为2(lg x)2-4lg x+1=0,
∵a,b是方程2(lg x)2-lg x4+1=0的两个实数根,
∴lg a+lg b=2,lg a·lg b=,
∴lg(ab)·(logab+logba)
=(lg a+lg b)·
=(lg a+lg b)·
=(lg a+lg b)·
=2×=12.
18.解析 设3x=4y=6z=t,t>1,
则x=log3t,y=log4t,z=log6t.
(1)∵2x=py,∴2log3t=plog4t=p·.
∵log3t≠0,∴p=2log34=4log32.
(2)证明:∵·logt4=·2logt2=logt2,
∴.
19.解析 (1)lg=lg 3=lg 3+lg =lg 3+lg 5=lg 3+lg =lg 3+(1-lg 2)≈0.477 1+×(1-0.301 0)=0.826 6.
(2)原方程可化为(log3x)2+clog3x-b=0,由题意得log33+log3=-12=-b,
故c=1,b=12,
则原方程为(log3x)2+log3x-12=0,
∴log3x=-4或log3x=3,∴x=或x=27,
即这个方程正确的根为27和.
2