第四章 对数运算与对数函数
§3 对数函数
3.3 对数函数y=logax的图象和性质
基础过关练
题组一 对数型函数的图象及其应用
1.若函数f(x)=loga(x-n)+m(a>0且a≠1)的图象恒过定点(3,-1),则mn=( )
A.-2 B.-3
C.1 D.2
2.(多选题)下图是三个对数函数的图象,则( )
A.a>1 B.0
C.2b<2c<2a D.c3.函数f(x)=的图象大致为( )
A B
C D
4.已知0A B
C D
5.已知函数y=loga的图象经过第二、三、四象限,则实数a的取值范围为 .
题组二 对数型函数的单调性及其应用
6.已知函数f(x)=在R上单调递增,则实数a的取值范围为( )
A.(1,+∞) B.(2,+∞)
C.(1,2] D.(1,e]
7.已知函数f(x)=lg(x2-ax+12)在[-1,3]上单调递减,则实数a的取值范围是( )
A.[6,+∞) B.[6,7)
C.(-∞,-2] D.(-13,-2]
8.(多选题)使lo(2x-3)>-2成立的一个充分不必要条件是( )
A.x> B.
C.29.设a=log63,b=lg 5,c=20.1,则( )
A.aC.c10.已知函数f(x)=loga(8-ax)(a>0,且a≠1),若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立,则实数a的取值范围是 .
11.已知函数f(x)=loga(x2-2ax)(a>0且a≠1).
(1)若a=,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在[3,4]上单调递增,求a的取值范围.
题组三 对数型函数性质的综合应用
12.(多选题)关于函数f(x)=lg的说法正确的是( )
A.定义域为(-1,1) B.图象关于y轴对称
C.图象关于原点对称 D.在(0,1)上单调递增
13.设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数,例如:[-0.3]=-1,[1.7]=1.已知函数f(x)=log2x+2x,若x=[t],t∈(1,3),则函数y=f(x)的值域为( )
A.(2,5) B.{2,5}
C.{3,5} D.{5,8+log23}
14.函数f(x)=lg的值域为R,则实数k的取值范围是 .
15.已知f(x)=1+log2x,x∈[1,8],设函数g(x)=[f(x)]2+f(x2),则g(x)max-g(x)min= .
16.设函数f(x)=log2(ax-bx),且f(1)=1,f(2)=log212.
(1)求a,b的值;
(2)当x∈[1,3]时,求f(x)的最大值.
17.已知函数f(x)=log2(-x)是定义在R上的奇函数.
(1)求a的值;
(2)求使不等式f(x)≥1成立的x的取值范围.
能力提升练
题组一 对数型函数的图象及其应用
1.已知log2a+log2b=0(a>0且a≠1,b>0且b≠1),则函数f(x)=与g(x)=logbx的图象可能是( )
A B
C D
2.已知函数f(x)=|lg(x+1)|,若f(a)=f(b)(aA.(a-1)(b-1)>1
B.(a-1)(b-1)=1
C.(a-1)(b-1)<1
D.以上均有可能
3.已知k,则( )
A.m>n>k B.mC.n4.(多选题)若两个函数的图象经过平移后能够重合,则称这两个函数为“同形”函数,给出四个函数:f1(x)=log2(x+1),f2(x)=log2(x+2),f3(x)=log2x2,f4(x)=log2(2x),其中是“同形”函数的是( )
A.f2(x)与f4(x) B.f1(x)与f3(x)
C.f1(x)与f4(x) D.f3(x)与f4(x)
题组二 对数型函数的性质及其应用
5.(多选题)已知函数f(x)=ln(e2x+1)-x,则( )
A.f(x)的定义域为R
B.f(x)的值域为R
C.f(x)是偶函数
D.f(x)在区间[0,+∞)上是增函数
6.已知a∈,则f(x)=loga(x2-4x+3)的减区间为( )
A.(-∞,1) B.(-∞,2)
C.(3,+∞) D.(2,+∞)
7.若f(x)=-x2+ax+2+lg(2-|x|)(a∈R)是偶函数,且f(1-m)A. B.
C. D.
8.已知f(x)=-m,g(x)=ln(x2+1),若 x1∈[-2,-1], x2∈[0,1],使得f(x1)≥g(x2),则实数m的最大值是 .
9.已知实数x,y满足ex+x-2 023=-ln(y+2 023),则ex+y+2 024的最小值是 .
10.已知函数f(x)=ax+b,g(x)=logax(a>0,且a≠1),其中a,b均为实数.
(1)若函数f(x)的图象经过点A(0,2),B(1,3),求a,b的值;
(2)如果函数f(x)的定义域和值域都是[-1,0],求a+b的值;
(3)若a满足不等式22a+1>25a-2,且函数g(2x-1)在区间[1,3]上有最小值-2,求实数a的值.
11.已知定义在R上的函数f(x)满足f(-x)-f(x)=0且f(x)=log2(2x+1)+kx,g(x)=f(x)+x.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若关于x的不等式g(4x-a·2x+1)>g(-3)恒成立,求实数a的取值范围;
(3)设h(x)=x2-2mx+1,若对任意的x1∈[0,3],存在x2∈[1,3],使得g(x1)≥h(x2),求实数m的取值范围.
12.已知函数f(x)=loga(a>0且a≠1).
(1)判断并证明函数f(x)的奇偶性;
(2)若a=2,求函数y=f(2x)的值域;
(3)是否存在实数a,b,使得函数f(x)在区间上的值域为(1,2) 若存在,求a,b的值;若不存在,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
第四章 对数运算与对数函数
§3 对数函数
3.3 对数函数y=logax的图象和性质
基础过关练
1.A 因为函数f(x)的图象恒过定点(n+1,m),所以所以所以mn=-2.故选A.
2.ABC 由题图得a>1,0令y=1,由logbb=logcc=1及题图得b又y=2x是增函数,∴2b<2c<2a.故选ABC.
3.C f(x)=的定义域为{x|x≠0,且x≠±1},关于原点对称,因为f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数,排除A,D;
当x∈(0,1)时,f(x)<0,排除B.故选C.
解题模板 函数图象的识辨可从以下方面入手:根据函数的定义域判断图象的左右位置,根据函数的值域判断图象的上下位置;根据函数的单调性判断图象的变化趋势;根据函数的奇偶性判断图象的对称性;根据函数图象的特征点排除不符合要求的图象.
4.B 当01,则y=a-x=在R上单调递增,y=logax在(0,+∞)上单调递减,故选B.
5.答案
解析 ∵函数y=loga的图象经过第二、三、四象限,∴解得6.C 根据题意得解得17.B 由复合函数“同增异减”的原则知函数y=x2-ax+12在[-1,3]上单调递减,由对数的真数大于0知x2-ax+12>0在[-1,3]上恒成立,
所以解得6≤a<7,
故实数a的取值范围是[6,7).故选B.
8.CD ∵lo,
∴lo4,∴0<2x-3<4,
∴不等式的解集为.
易得使不等式成立的一个充分不必要条件所对应的集合必须是集合的真子集.
结合选项知选CD.
9.A 令f(x)=logx,则a=log63=f(6),b=lg 5=f(10),
因为y=log2x在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以0因为y=2x在R上单调递增,所以c=20.1>20=1,所以a10.答案
解析 当a>1时, f(x)=loga(8-ax)在[1,2]上单调递减,由f(x)>1恒成立,得f(x)min=loga(8-2a)>1,即8-2a>a,解得a<,又a>1,所以1当01恒成立,得f(x)min=loga(8-a)>1,即8-a4,又0综上,实数a的取值范围是.
易错警示 利用对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的单调性解决问题时,当底数a的值不确定时,要分01两种情况讨论.
11.解析 (1)当a=时,f(x)=(x2-x),
由x2-x>0,解得x<0或x>1,
故f(x)的定义域为(-∞,0)∪(1,+∞).
令t=x2-x=,则该函数在(-∞,0)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
因为函数y=t在(0,+∞)上是减函数,
所以f(x)的单调递增区间为(-∞,0),单调递减区间为(1,+∞).
(2)令g(x)=x2-2ax=(x-a)2-a2,则该函数在(-∞,a]上单调递减,在[a,+∞)上单调递增.
①当a>1时,要使f(x)在[3,4]上单调递增,
则g(x)在[3,4]上单调递增,且g(x)>0恒成立,
故解得a<,
又a>1,所以1②当0则g(x)在[3,4]上单调递减,且g(x)>0恒成立,
故无解.
综上,a的取值范围为.
12.ACD f(x)=lg=lg ,令>0,即<0,解得-1f(x)的定义域关于原点对称,且f(-x)=lg =-f(x),所以f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,故B错误,C正确;
因为y=1-x在(0,1)上单调递减,所以y=-1在(0,1)上单调递增,又y=lg x在(0,+∞)上单调递增,所以y=lg在(0,1)上单调递增,故D正确.故选ACD.
13.B 当1当2≤t<3时,x=[t]=2,f(x)=log22+22=1+4=5.
∴函数y=f(x)的值域为{2,5}.故选B.
14.答案
解析 令u=2kx2-x+,由题意得u=2kx2-x+能取到大于0的一切实数.
①当k=0时,u=-x+,
f(x)的值域为R,符合题意;
②当k≠0时,解得0综上所述,k的取值范围是.
15.答案
解析 g(x)=+4log2x+2,
由题意得∴1≤x≤2,即g(x)的定义域为[1,2],
令t=log2x,x∈[1,2],则t∈,
则h(t)=t2+4t+2在上单调递增,
∴g(x)max=h,g(x)min=h(0)=2,
∴g(x)max-g(x)min=.
16.解析 (1)由得
∴即
(2)由(1)知f(x)=log2(4x-2x),
设t=2x,∵x∈[1,3],∴t∈[2,8].
令u=4x-2x=t2-t=,t∈[2,8],
∴当t=8,即x=3时,umax=56,
又y=log2u在(0,+∞)上单调递增,
∴当u最大时,y也最大,
∴f(x)的最大值为3+log27.
17.解析 (1)因为f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(0)=log2=0,解得a=1,
检验:当a=1时, f(x)=log2(-x),定义域为R,f(-x)=log2(+x),且 x∈R,都有f(-x)+f(x)=log2[(+x)·(-x)]=log21=0,
所以f(x)是定义在R上的奇函数,故a=1.
(2)由(1)知f(x)=log2(-x).
f(x)≥1即log2(-x)≥1=log22,
得-x≥2,即≥x+2,
①当x+2<0,即x<-2时,≥x+2成立;
②当x+2≥0,即x≥-2时,
原不等式等价于x2+1≥x2+4x+4,解得-2≤x≤-.
综上,使不等式f(x)≥1成立的x的取值范围是.
能力提升练
1.B 由log2a+log2b=0(a>0且a≠1,b>0且b≠1),
可得log2(ab)=0,则ab=1,则b=,
则g(x)=logbx=x,
又f(x)=,所以g(x)与f(x)互为反函数,
则g(x)与f(x)的单调性一致,且两函数的图象关于直线y=x对称.故选B.
2.C 作出函数f(x)=|lg(x+1)|的图象,如图:
由图结合题意可知,-lg(a+1)=lg(b+1),-1所以lg(a+1)+lg(b+1)=lg[(a+1)(b+1)]=0,
所以(a+1)(b+1)=1,即ab+a+b=0,所以a+b=-ab,
所以(a-1)(b-1)=ab-a-b+1=1+2ab<1,故选C.
3.D 在同一平面直角坐标系中画出y=x的图象,如图所示:
根据图象知n4.AC 由题知f3(x)=log2x2=2log2|x|,
f4(x)=log2(2x)=log2x+1.
对于A,将f2(x)的图象先向右平移2个单位长度,再将所得图象向上平移1个单位长度,可以得到f4(x)的图象,故A符合;
对于C,将f1(x)的图象先向右平移1个单位长度,再将所得图象向上平移1个单位长度,可以得到f4(x)的图象,故C符合;
对于B,D,因为f3(x)为分段函数,其图象不能通过f1(x)或f4(x)的图象平移得到,故B,D均不符合.
故选AC.
5.ACD 因为e2x+1>1,
所以函数f(x)的定义域为R,故A正确;
f(x)=ln(e2x+1)-x=ln(e2x+1)-ln ex=ln=ln(ex+e-x),
因为ex+e-x≥2,当且仅当ex=e-x,即x=0时取等号,所以f(x)≥ln 2,故B错误;
因为f(-x)=ln(e-x+ex)=f(x),所以f(x)是R上的偶函数,故C正确;
函数t=ex在[0,+∞)上单调递增,且t=ex≥1,根据对勾函数的性质可知u=t+在[1,+∞)上单调递增,
又函数y=ln u为增函数,故函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数,故D正确.故选ACD.
6.C 由-x=0得=x,
在同一平面直角坐标系中画出函数y=与y=x的图象,如图所示,
由图可知,0由x2-4x+3>0,解得x<1或x>3,故f(x)的定义域为{x|x<1或x>3}.
当x∈(-∞,1)时,y=x2-4x+3单调递减,所以f(x)单调递增;
当x∈(3,+∞)时,y=x2-4x+3单调递增,所以f(x)单调递减.
所以函数f(x)的减区间为(3,+∞).故选C.
7.A 由2-|x|>0得-2若f(x)是偶函数,则f(-x)=f(x),
即-(-x)2-ax+2+lg(2-|-x|)=-x2+ax+2+lg(2-|x|),解得a=0,故f(x)=-x2+2+lg(2-|x|),
当0≤x<2时,f(x)=-x2+2+lg(2-x),
由y=-x2+2,y=lg(2-x)在[0,2)上均单调递减,知f(x)在[0,2)上单调递减,
则不等式f(1-m)解得-1所以实数m的取值范围是.故选A.
8.答案 2
解析 ∵ x1∈[-2,-1], x2∈[0,1],使得f(x1)≥g(x2),∴f(x)min≥g(x)min.
∵f(x)在[-2,-1]上单调递减,∴f(x)min=f(-1)=2-m.
∵u=x2+1在[0,1]上单调递增且u≥1,y=ln u在(0,+∞)上单调递增,
∴g(x)=ln(x2+1)在[0,1]上单调递增,
∴g(x)min=g(0)=ln 1=0.
∴2-m≥0,解得m≤2,则实数m的最大值为2.
9.答案 2+1
解析 由ex+x-2 023=-ln(y+2 023),
得ex+x=+2 023-ln(y+2 023),
得ex+ln ex=+ln e2 023-ln(y+2 023)=+ln ,
令f(x)=x+ln x,则f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(ex)=f,所以ex=,
则ex+y+2 024=+(y+2 023)+1≥2+1,
当且仅当=y+2 023,即y=-2 023时等号成立,
所以ex+y+2 024的最小值是2+1.
解后反思 本题把ex+x-2 023=-ln(y+2 023)变形为ex+ln ex=,通过构造函数f(x)=x+ln x,利用函数的单调性得到ex=是解题的关键,这种构造函数的思想在解题中会经常用到,同学们平时要多积累总结.
10.解析 (1)因为函数f(x)=ax+b的图象经过点A(0,2),B(1,3),
所以解得
(2)当a>1时,函数f(x)=ax+b在[-1,0]上单调递增,
由题意可得无解;
当0由题意可得解得
所以a+b=-.
(3)因为22a+1>25a-2,所以2a+1>5a-2,解得a<1,
又a>0,所以0所以当x=3时,g(2x-1)取得最小值-2,
即g(2×3-1)=loga(2×3-1)=loga5=-2,解得a=.
11.解析 (1)由题知log2(2-x+1)-kx-log2(2x+1)-kx=0,
即2kx=log2(2-x+1)-log2(2x+1)=log2=-x,
所以k=-,故f(x)=log2(2x+1)-x.
(2)g(x)=f(x)+x=log2(2x+1)+x,
所以g(x)在R上单调递增,
所以不等式g(4x-a·2x+1)>g(-3)恒成立等价于4x-a·2x+1>-3,即a<恒成立.
设t=2x,则t>0,≥4,当且仅当t=,即t=2,即x=1时取等号,
所以a<4,故实数a的取值范围是(-∞,4).
(3)因为对任意的x1∈[0,3],存在x2∈[1,3],使得g(x1)≥h(x2),
所以g(x)在[0,3]上的最小值不小于h(x)在[1,3]上的最小值.
因为g(x)=log2(2x+1)+x在[0,3]上单调递增,
所以当x∈[0,3]时,g(x)min=g(0)=1.
又h(x)=x2-2mx+1的图象的对称轴为直线x=m,
所以当m≤1时,h(x)在[1,3]上单调递增,h(x)min=h(1)=2-2m,所以2-2m≤1,解得m≥,所以≤m≤1;
当1当m≥3时,h(x)在[1,3]上单调递减,h(x)min=h(3)=10-6m,所以10-6m≤1,解得m≥,所以m≥3.
综上可知,实数m的取值范围是.
12.解析 (1)函数f(x)是奇函数.
证明:由>0,解得x<-1或x>1,故f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),关于原点对称.
因为f(-x)=loga=-f(x),
所以f(x)是奇函数.
(2)当a=2时,f(x)=log2,
y=f(2x)=log2,
因为1+>0,所以2x-1<-2(舍去)或2x-1>0,
所以∈(0,+∞),1+∈(1,+∞),
所以log2∈(0,+∞),
所以y=f(2x)的值域是(0,+∞).
(3)f(x)=loga.因为函数f(x)在上的值域为(1,2),a>0,且a≠1,
结合f(x)的定义域可知 (1,+∞),
所以a>b>1.
①当0所以即
因为b>1,所以1+>1,所以1+=a无解或因为a>1,所以1+>1,所以1+=a2无解,
故此时不存在实数a,b满足题意;
②当a>1时,函数f(x)在上单调递减,
所以即
解得a=2或a=-(舍去),b=.
综上,存在a=2,b=满足题意.
18(共19张PPT)
§3 对数函数
知识点 1 对数函数的概念
知识 清单破
1.对数函数的概念
将函数y=logax(a>0,且a≠1)称为对数函数,其中a称为底数.
2.常用对数函数与自然对数函数
我们称以10为底的对数函数为常用对数函数,记作y=lg x;称以无理数e为底的对数函数为自
然对数函数,记作y=ln x.
3.指数函数与对数函数的关系
指数函数y=ax(a>0,且a≠1)是对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的反函数,对数函数y=logax也是指
数函数y=ax的反函数,即它们互为反函数.
a>1 0图象
知识点 2 对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象和性质
性质 定义域:(0,+∞) 值域:R 过定点(1,0),即当x=1时,y=0 奇偶性:既不是奇函数,也不是偶函数 当x>1时,y>0;当01时,y<0;当00
在定义域(0,+∞)上是增函数. 当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于正无穷大;当x值趋近于0时,函数值趋近于负无穷大 在定义域(0,+∞)上是减函数.
当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于负无穷大;当x值趋近于0时,函数值趋近于正无穷大
知识拓展 如图,直线y=1与四个对数函数的图象交点的横坐标即相应的底数,结合图象知0<
c
知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” 。
1.y=logx 和y=2log3x都是对数函数.( )
2.函数y= 的反函数是y=logx . ( )
3.函数y=ax与y=logax(a>0,且a≠1)的单调区间相同. ( )
4.对于底数a>1的对数函数,在区间(1,+∞)内,底数越大,图象越靠近x轴.( )
√
5.y=log2|x-3|的图象关于直线x=3对称.( )
√
讲解分析
疑难 情境破
疑难 1 对数函数的图象及应用
1.对数型函数图象过定点问题
求函数y=m+loga f(x)(a>0,且a≠1)的图象所过的定点时,只需令f(x)=1,求出x,即得定点,其坐标
为(x,m).
2.函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象与函数y=lo x(a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称.
3.函数图象的变换规律
(1)一般地,函数y=f(x+a)+b(a,b为实数)的图象可由函数y=f(x)的图象沿x轴向左(a>0)或向右(a
<0)平移|a|个单位长度,再将所得图象沿y轴向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到.
(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.
典例 函数y=|lg(x+1)|的图象是 ( )
A B
C D
A
解析 因为函数y=lg(x+1)的图象可由函数y=lg x的图象向左平移一个单位长度而得到,函数y
=lg x的图象与x轴的交点是(1,0),所以函数y=lg(x+1)的图象与x轴的交点是(0,0),然后将函数y=
lg(x+1)位于x轴上方的图象保持不变,将x轴下方的图象沿x轴对称翻转到x轴上方,即得函数y=
|lg(x+1)|的图象,只有A选项满足.故选A.
讲解分析
疑难 2 与对数函数有关的函数的单调性及应用
1.求复合函数单调性的两个要点
(1)单调区间是定义域的子集.
(2)若a>1,则y=loga f(x)的单调性与y=f(x)的单调性相同;若0(x)的单调性相反.
2.比较对数值大小常用的四种方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性比较大小.
(2)同真数的利用对数函数的图象比较大小,也可以利用换底公式转化为同底数的,再进行比
较.
(3)底数和真数都不同的,找中间量.
(4)若底数为同一参数,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论.
3.对数不等式的常见类型及解题方法
(1)形如logax>logab的不等式,借助函数y=logax(a>0,且a≠1)的单调性求解,如果a的取值不确
定,需分a>1和0(2)形如logax>b的不等式,应将b化为以a为底数的对数,即b=logaab,再借助函数y=logax(a>0,且a
≠1)的单调性求解.
(3)形如logf(x)a>logg(x)a的不等式,利用换底公式化为同底数的对数进行求解,或利用函数图象求
解.
典例1 (1)设a=log2 ,b=log3 ,c=lo ,则a,b,c的大小关系是 .
(2)解下列关于x的不等式:
①loga(2x-5)>loga(x-1);②logx >1.
c>a>b
解析 (1)由题意得a=log23-1,b=log34-1,c=log34,
∵log23=lo 33=log827,log34=lo 42=log916,且0∴log827>log927>log916,∴log23>log34,
∵1a>b>0.
又∵c=log34>1,∴c>a>b.
(2)①当a>1时,原不等式等价于
解得x>4;
当0解得 综上所述,当a>1时,原不等式的解集为{x|x>4};当0②当x>1时,由logx >1,得logx >logxx,解得0当01,得logx >logxx,解得x> ,此时 综上所述,原不等式的解集为 .
典例2 (1)求函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间;
(2)已知对数函数y=logax(a>0,且a≠1),且loga 0的解集.
解析 (1)由x2-2x-8>0,得x>4或x<-2.
令t=x2-2x-8(x>4或x<-2),则原函数化为y=ln t(t>0).
根据复合函数的单调性可知,要求f(x)的单调递增区间,只需求出t=x2-2x-8在定义域内的单调
递增区间即可.
∵函数t=x2-2x-8(x>4或x<-2)的单调递增区间为(4,+∞),单调递减区间为(-∞,-2),
∴函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是(4,+∞).
(2)已知loga 当0 ,无解;
当a>1时, < ,∴a>1.
∴对数函数y=logax(a>0,且a≠1)在(0,+∞)上单调递增,
∵loga(2x-3)>0=loga1,
∴2x-3>1,解得x>2,
∴不等式loga(2x-3)>0的解集为(2,+∞).
求与对数函数有关的值域或最值的常用方法
讲解分析
疑难 3 与对数函数有关的值域或最值
1.直接法:根据函数解析式的特征,从函数自变量的变化范围出发,通过对函数定义域、性质
的理解,结合解析式,直接得出函数的值域(最值).
2.配方法:当所给的函数可化为一元二次函数形式时(形如y=m·[f(logax)]2+nf(logax)+c,a>0,且a
≠1,m≠0),可以用配方法求函数的值域(最值).
3.单调性法:根据在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性,求出函数的值域(最值).
4.换元法:求形如y=loga f(x)(a>0,且a≠1)的值域(最值)的步骤:
(1)换元,令u=f(x),利用函数图象和性质求出u的取值范围;
(2)利用y=logau的单调性和图象求出y的取值范围.
典例 (1)函数f(x)=lo (x2+2x+3)的值域是 .
(2)已知f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求y=[f(x)]2+f(x2)的最大值及y取最大值时x的值.
解析 (1)f(x)=lo (x2+2x+3)
=lo [(x+1)2+2],
∵(x+1)2+2≥2,
∴lo [(x+1)2+2]≤lo 2=-1,
∴函数f(x)的值域是(-∞,-1].
(2)∵f(x)=2+log3x,x∈[1,9],
∴y=[f(x)]2+f(x2)=(2+log3x)2+2+log3x2
=(log3x)2+6log3x+6
=(log3x+3)2-3.
要使函数y=[f(x)]2+f(x2)有意义,
(-∞,-1]
必须满足
∴1≤x≤3,∴0≤log3x≤1,
∴6≤(log3x+3)2-3≤13,
当log3x=1,即x=3时,ymax=13.
∴当x=3时,函数y=[f(x)]2+f(x2)取得最大值,最大值为13.第四章 对数运算与对数函数
§3 对数函数
3.1 对数函数的概念 3.2 对数函数y=log2x的图象和性质
基础过关练
题组一 对数函数的概念
1.给出下列函数:①y=x2;②y=log3(x-1);③y=log(x+1)x;④y=logπx.其中对数函数的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.函数 y=loga(x+2)+1(a>0且a≠1)的图象过定点( )
A.(1,2) B.(2,1) C.(-2,1) D.(-1,1)
3.若函数f(x)=log(a+1)x+a2-2a-8是对数函数,则a= .
题组二 反函数
4.如果函数f(x)的图象与函数y=2x-1的图象关于直线y=x对称,那么f(x)的解析式是( )
A.f(x)=log2(x+1) B.f(x)=log2x+1
C.f(x)=log2(x-1) D.f(x)=log2x-1
5.已知函数y=ex和y=ln x的图象与直线y=2-x交点的横坐标分别为a,b,则( )
A.a>b B.a+b<2 C.ab>1 D.a2+b2>2
题组三 对数函数y=log2x的基本性质
6.函数y=的定义域是( )
A.[1,2] B.[1,2)
C. D.
7.函数f(x)=log2(1-x2)的单调递减区间为( )
A.(-∞,0) B.(-1,0) C.(0,1) D.(0,+∞)
8.已知函数f(x)=若f(x0)>2,则x0的取值范围是( )
A.-14 B.x0<-1或x0>4
C.09.若2a+log2a<22b+log2b+1,则( )
A.ln(2b-a+1)<0 B.ln(2b-a+1)>0
C.ln|a-2b|>0 D.ln|a-2b|<0
10.(多选题)下列结论正确的有( )
A.函数y=的最小值为2
B.函数f(x)=log2(2x-1)+1的图象恒过定点(1,1)
C.f(x)=log2(x2-mx+1)的定义域为R,则m∈(-∞,-2)∪(2,+∞)
D.f(x)=log2(x2-mx+1)的值域为R,则m∈(-∞,-2]∪[2,+∞)
11.若函数f(x)=log2(3-ax)在[-1,3]上的最大值为2,则实数a= .
12.已知f(x)=logax+loga(4-x)(a>0且a≠1),且f(2)=2.
(1)求a的值及f(x)的定义域;
(2)求f(x)在上的值域.
答案与分层梯度式解析
第四章 对数运算与对数函数
§3 对数函数
3.1 对数函数的概念
3.2 对数函数y=log2x的图象和性质
基础过关练
1.A 函数y=logax(a>0,且a≠1)叫作对数函数,故①②③不是对数函数,④是对数函数.
2.D 因为y=logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0),
y=loga(x+2)+1的图象可以由y=logax的图象向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到,
所以y=loga(x+2)+1的图象过定点(-1,1).故选D.
3.答案 4
解析 由题意可知解得a=4.
4.B 因为函数f(x)与函数y=2x-1的图象关于直线y=x对称,所以两函数互为反函数,由y=2x-1得x-1=log2y,整理得x=log2y+1,所以f(x)=log2x+1.
5.D 在同一平面直角坐标系中作出函数y=ex和y=ln x的图象以及直线y=2-x,如图,
由图象可知0易知A(a,ea),B(b,ln b),或A(a,2-a),B(b,2-b),
因为函数y=ex和y=ln x互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称,而A,B分别为y=ex和y=ln x的图象与直线y=2-x的交点,所以点A,B关于直线y=x对称,故a=2-b,则a+b=2,B错误;
由0因为02ab,∴2(a2+b2)>(a+b)2,
结合a+b=2,得a2+b2>2,D正确.故选D.
6.C 由题意得即解得x≥,故选C.
7.C 易得f(x)的定义域为(-1,1).因为y=1-x2在(0,1)上单调递减,在(-1,0)上单调递增,函数y=log2x为(0,+∞)上的增函数,所以f(x)的单调递减区间为(0,1).
8.A 当x0≤0时,不等式化为>2,
即x0+2>1,解得x0>-1,∴-1当x0>0时,不等式化为log2x0>2,解得x0>4,
∴x0>4.
综上,x0的取值范围是-14,故选A.
9.B 2a+log2a<22b+log2b+1=22b+log2(2b),
令f(x)=2x+log2x,其中x>0,则f(a)因为函数y=2x,y=log2x在(0,+∞)上均为增函数,
所以函数f(x)=2x+log2x在(0,+∞)上为增函数,
所以2b>a>0,则2b-a>0,所以2b-a+1>1,则ln(2b-a+1)>ln 1=0,A错误,B正确;
无法确定|a-2b|与1的大小,C,D错误.故选B.
10.BD y=≥2,当且仅当,即=1时等号成立,此式无解,所以函数y=的最小值不为2,故A错误;
令2x-1=1,得x=1,则f(1)=log21+1=1,故f(x)=log2(2x-1)+1的图象恒过定点(1,1),故B正确;
若f(x)=log2(x2-mx+1)的定义域为R,则x2-mx+1>0在R上恒成立,
所以Δ=(-m)2-4<0,解得-2若f(x)=log2(x2-mx+1)的值域为R,则x2-mx+1≤0在R上有解,
所以Δ=(-m)2-4≥0,解得m≤-2或m≥2,故D正确.故选BD.
11.答案 -
解析 若a=0,则f(x)=log23,不满足题意,所以a≠0;
若a>0,则y=3-ax在[-1,3]上为减函数,所以无解;
若a<0,则y=3-ax在[-1,3]上为增函数,所以解得a=-.
综上,a=-.
12.解析 (1)由f(2)=2得loga2+loga(4-2)=2,即2loga2=2,所以loga2=1,解得a=2,
所以f(x)=log2x+log2(4-x),
由得0(2)f(x)=log2x+log2(4-x)=log2[x(4-x)]=log2[-(x-2)2+4],
设t(x)=-(x-2)2+4,x∈,则t(x)max=t(2)=4,
又t(1)=3,t,所以t(x)min=t,
即t(x)∈,
所以f(x)max=log24=2,f(x)min=log2=log27-2,
所以f(x)在上的值域为[log27-2,2].
2