第四章 对数运算与对数函数
§4 指数幂数、幂函数、对数函数增长的比较
§5信息技术支持的函数研究
基础过关练
题组一 不同函数模型增长的比较
1.下列函数中,增长速度越来越慢的是( )
A.y=6x B.y=log6x
C.y=x6 D.y=6x
2.(多选题)函数f(x)=,在区间(0,+∞)上( )
A.f(x)的递减速度越来越慢
B.g(x)的递减速度越来越慢
C.h(x)的递减速度越来越慢
D.g(x)的递减速度慢于h(x)的递减速度
3.三个变量y1,y2,y3随着变量x的变化情况如下表:
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1 715 3 635 6 655
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40
则与x成对数型函数、指数型函数、幂型函数关系的变量依次是( )
A.y1,y2,y3 B.y2,y1,y3
C.y3,y2,y1 D.y3,y1,y2
4.(多选题)已知函数y1=x,y2=x2,y3=x3,当x在(0,+∞)上逐渐增大时,有下列关于这三个函数的描述,其中说法正确的是( )
A.y1的增长速度越来越快
B.y2的增长速度越来越快
C.y3的增长速度一直快于y1
D.y3的增长速度有时慢于y2
5.函数f(x)=x2与g(x)=ln x中,在区间(1,+∞)上增长较快的是 .
6.若x∈(0,+∞),试分别写出使不等式:①log2x<2x题组二 函数图象的确定与选择
7.函数y=2x-x2的图象大致是( )
A B
C D
8.函数y=ax,y=logax,y=log(a+1)x,y=(a-1)x2的图象所对应的曲线的序号依次为( )
A.①②③④ B.①③②④
C.②③①④ D.①④③②
9.图中的文物叫作“垂鳞纹圆壶”,是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿,其身流线自若、纹理分明,展现了古代中国精湛的制造技术.科研人员为了测量其容积,以恒定的流速向其内注水,恰好用时30 s注满,设注水过程中,壶中水面高度(cm)为h,注水时间(s)为t,则下面选项中最符合h关于t的函数图象的是( )
A B
C D
10.如图所示,阴影部分的面积S是h(0≤h≤H)的函数,则该函数的图象是( )
A B
C D
11.水滴进玻璃容器,如图所示(设单位时间内进水量相同),那么水面的高度是如何随时间变化而变化的 请填上与容器匹配的图象的序号.
a: ;b: ;c: ;d: .
12.函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数;
(2)结合函数图象,比较f(6),g(6),f(2 022),g(2 022)的大小.
答案与分层梯度式解析
第四章 对数运算与对数函数
§4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
*§5 信息技术支持的函数研究
基础过关练
1.B 一次函数的增长速度不变,选项A、C中函数的增长速度越来越快,只有B中的对数函数的增长速度越来越慢,符合题意.故选B.
2.ABC 函数f(x),g(x),h(x)在区间(0,+∞)上的图象如图所示,
在(0,+∞)上,
f(x)=的递减速度越来越慢,故A正确;
g(x)=x的递减速度越来越慢,故B正确;
h(x)=的递减速度越来越慢,故C正确;
h(x)的递减速度与g(x)的递减速度的快慢随x的不同取值而有所不同,故D错误.故选ABC.
3.C 指数型函数增长变化率最快,对数型函数增长变化率最慢,幂型函数增长变化率趋于中间,所以y1是幂型函数,y2是指数型函数,y3是对数型函数,故选C.
4.BD 在同一平面直角坐标系中画出函数y1=x,y2=x2,y3=x3的图象,如图所示,
由图可知y1=x的增长速度没有变化,所以A错误;
在(0,+∞)上,y2=x2的增长速度越来越快,所以B正确;
由图可知在(0,1)上,y3的增长速度最慢,而在(1,+∞)上,y3的增长速度最快,所以C错误,D正确.
故选BD.
5.答案 f(x)=x2
解析 任取a,a+1∈(1,+∞),
令,
因为a>1,所以2a+1>3,ln=ln 2<1,所以,
所以函数g(x)=ln x在区间(1,+∞)上的增长速度慢于函数f(x)=x2的增长速度,
故增长较快的为f(x)=x2.
6.解析 在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x,y=x2,y=log2x在(0,+∞)上的图象,可得22=4,24=42=16,下面借助图象解决问题.
①∵log2x<2x∴自变量x的取值范围为(2,4).
②∵log2x4,
∴自变量x的取值范围为(0,2)∪(4,+∞).
7.A 易知在区间(0,+∞)上,当x∈(0,2)时,2x>x2,即y>0;当x∈(2,4)时,2xx2,即y>0.当x=-1时,y=2-1-1<0,据此可知只有A选项符合条件.
8.B ①是y=ax,②是y=log(a+1)x,③是y=logax,④是y=(a-1)x2,故选B.
9.A 水壶的结构为下端与上端细、中间粗,所以在注水速度恒定的情况下,开始时水面的高度增加得快,然后变得越来越慢,最后水面上升的速度又变得越来越快.故选A.
10.C 由题可知,当 h∈[0,H]时,S是减函数,故A、B错;由题中阴影面积的变化趋势来看,函数图象从左到右下降得越来越慢,故选C.
11.答案 (3);(2);(4);(1)
解析 容器a和b的水面上升速度是匀速的,且容器a的水面上升得快,因此a对应(3),b对应(2);容器c的水面开始是缓慢上升,后来上升得快,而容器d的水面是开始上升得快,中间较缓慢,后来又加快,因此c对应(4),d对应(1).
12.解析 (1)曲线C1对应的函数为g(x)=x3,曲线C2对应的函数为f(x)=2x.
(2)∵f(1)=2>g(1)=1, f(2)=4g(10)=1 000,
∴1由题图可以看出,当x1∴f(6)当x>x2时, f(x)>g(x),∴f(2 022)>g(2 022).
又g(2 022)>g(6),
∴f(2 022)>g(2 022)>g(6)>f(6).
2(共7张PPT)
§4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
知识点 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
知识 清单破
* §5 信息技术支持的函数研究
y=ax(a>1) y=xα(α>0,x>0) y=logax(a>1)
图象 图象与α的值有关
在(0,+∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增
增长的速度 先慢后快 随着α值的不同而不同 先快后慢
图象的变化 随着x的增大,图象上
升的速度逐渐变快 随着x值的不同而不同 随着x的增大,图象上
升的速度逐渐变慢
知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” 。
1.当0x2>log2x. ( )
√
2.一定存在x0∈R,当x>x0时,总有ax>xα>logax(a>1,α>0). ( )
√
3.不存在实数m,使得当x>m时,1.1x>x100. ( )
4.y=lo x的函数值衰减的速度越来越慢. ( )
√
讲解分析
疑难 情境破
疑难 几类常见函数模型增长差异的比较
1.线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变.
2.指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即增
长速度急剧,形象地称为“指数爆炸”.
3.对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,
即增长速度平缓.
4.幂函数模型y=xα(α>0,x>0)适合于描述增长速度一般的变化规律.
典例 甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)
关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1, f2(x)=x2, f3(x)=x, f4(x)=log2(x+1),有以下结论:
①当x>1时,甲在最前面;
②当x>1时,乙在最前面;
③当01时,丁在最后面;
④丙不可能在最前面,也不可能在最后面;
⑤如果它们一直运动下去,那么最终在最前面的是甲.
其中,正确结论的序号为 .
③④⑤
解析 在同一平面直角坐标系中作出这四个函数的图象,如图所示.
①错误,
因为f1(2)=22-1=3, f2(2)=22=4,
所以f1(2)所以当x=2时,乙在甲的前面.
②错误,
因为f1(5)=25-1=31, f2(5)=52=25,
所以f1(5)>f2(5),
所以当x=5时,甲在乙的前面.
③正确,
当0象的上方,即丁在最前面;
当x>1时,函数f4(x)的图象在最下方,即丁在最后面.
④正确,
当0当x>1时,丙在丁前面,在甲、乙后面;
当x=1时,甲、乙、丙、丁四人并驾齐驱.
⑤正确,
当x充分大时,指数函数的增长速度越来越快,函数f1(x)的图象必定在函数f2(x), f3(x), f4(x)的图
象的上方,所以最终在最前面的是甲.
方法指导 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法:
(1)构建函数模型法.当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象.
(2)验证法.当根据题意不易建立函数模型时,可根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结
合图象的变化趋势,验证是否吻合,从而选择符合实际的情况.
