第五章 函数应用
§1 方程解的存在性及方程的近似解
1.1 利用函数性质判定方程解的存在性
基础过关练
题组一 求函数的零点
1.一元二次函数y=2x2+x-1的零点是( )
A.,-1 B.-,1
C.,(1,0) D.,(-1,0)
2.已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为( )
A.,0 B.-2,0
C. D.0
3.已知函数f(x)与g(x)=ex互为反函数,函数y=h(x)的图象与y=f(x)的图象关于x轴对称,则y=h(x)-1的零点为 .
4.函数f(x)=ln x+ln(3-x)的所有零点之和是 .
题组二 函数零点(方程的解)个数的判断
5.若函数f(x)在定义域{x|x∈R,且x≠0}上是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,f(2)=0,则函数f(x)的零点有( )
A.一个 B.两个
C.至少两个 D.无法判断
6.函数f(x)=的零点个数是 .
7.函数f(x)=(k>0)的零点个数为 .
8.(1)判断函数f(x)=ln x+x2-3的零点个数;
(2)已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),且f(1)=-.
求证:函数f(x)有两个不同的零点.
题组三 确定函数零点(方程的解)所在的区间
9.函数f(x)=ln(x+1)-的零点所在的区间是( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,e) D.(3,4)
10.已知f(x)是y=3x的反函数,g(x)=f(x)+2x-6的零点为a,且a∈(n,n+1)(n∈N),则n=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
11.(多选题)设函数f(x)=x-ln x,则函数y=f(x)( )
A.在区间内有零点
B.在区间内无零点
C.在区间(1,e)内有零点
D.在区间(1,e)内无零点
12.已知函数f(x)=ln x+x的零点在[0.5,1]内,且零点附近的函数值如下表:
x 0.5 1 0.75 0.625 0.562 5
f(x) -0.193 1 0.462 0.155 -0.013
则零点所在的区间为( )
A.(0.5,0.562 5) B.(0.625,0.75)
C.(0.562 5,0.625) D.(0.75,1)
13.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a
题组四 根据函数零点(方程的解)的情况求参
14.已知函数f(x)=x2+mx+n的零点为-1和3,则m+n=( )
A.-5 B.-4
C.4 D.5
15. 若函数f(x)=2x-1+21-x+x2-2ax+a2-2存在零点,则实数a的值为( )
A.4 B.3
C.2 D.1
16.已知函数f(x)=写出一个使得关于x的方程f(x)=a有两个不等实根的a的值: .
17.已知函数f(x)=x2-ax+2,在下列条件下,求实数a的取值范围.
(1)零点小于2;
(2)一个零点大于2,一个零点小于2;
(3)在(2,4)内恰有一个零点.
18.已知函数f(x)=|x2-4|+x2+ax,a∈R.
(1)若f(x)为偶函数,求实数a的值;
(2)当a=4时,求函数f(x)的零点;
(3)若方程f(x)=0在(0,4)上有两个不同的实数根x1,x2(x1能力提升练
题组一 函数的零点与方程的解
1.已知函数f(x)=则函数g(x)=f(f(x))-1的零点个数为( )
A.1 B.3 C.4 D.6
2.已知函数f(x)=-log2x,0A.db C.d>c D.d3.已知函数f(x)=函数y=k与y=f(x)的图象有四个交点,横坐标依次为x1,x2,x3,x4且x1A.(0,20) B.(2,20) C.(3,20) D.(6,20)
4.(多选题)已知函数f(x)=令h(x)=f(x)-k,则下列说法正确的是( )
A.函数f(x)的单调递增区间为(-1,+∞)
B.当k∈(-∞,-4)时,h(x)有1个零点
C.当k∈(-4,-3]时,h(x)有3个零点
D.当k=-2时,h(x)的所有零点之和为-1
5.(多选题)定义域和值域均为[-a,a](常数a>0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图象分别如图①②所示,给出下列四个命题,其中正确的是( )
图① 图②
A.方程f(g(x))=0有且仅有三个解
B.方程g(f(x))=0有且仅有三个解
C.方程f(f(x))=0有且仅有九个解
D.方程g(g(x))=0有且仅有一个解
6.已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足:
①对于任意x∈[0,1], f(x)≥0;
②f(1)=1;
③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2).
(1)求f(0)的值;
(2)函数g(x)=f(x)-2x-上有没有零点 若有,求出零点;若没有,请说明理由.
题组二 根据函数零点(方程的解)的情况求参
7.(多选题)已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有实根,则实数k的取值可以是( )
A. B.-1 C.1 D.-2
8.已知函数f(x)=若关于x的方程[f(x)]2-bf(x)+1=0有8个不同的实数根,则实数b的取值范围是( )
A. B.(-∞,-2)∪
C. D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
9.若函数f(x)=(2ax-1)2-loga(ax+2)在区间上恰有一个零点,则实数a的取值范围是( )
A. B.[3,+∞)
C.[2,3] D.[2,3)
10.若函数f(x)=|loga(x-2)|-t+1(a>0,a≠1,t∈R)有两个零点m,n(m>n),则下列说法中正确的是 ( )
A.t∈[1,+∞)
B.n>3
C.(m-2)(n-2)=2
D.mn-2(m+n)=-3
11.设f(x)和g(x)是定义在同一个区间[a,b]上的两个函数,若函数y=f(x)-g(x)在x∈[a,b]上有两个不同的零点,则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“集团关联函数”,区间[a,b]称为“集团关联区间”.若f(x)=x2-2x+m与g(x)=-x2-x-m在[0,3]上是“集团关联函数”,则m的取值范围是 .
12.已知函数f(x)=log9(9x+1)+kx(k∈R)是偶函数,若函数h(x)=f(x)-x-b无零点,则实数b的取值范围为 .
13.已知函数f(x)=lo(ax2-x+2a-3),g(x)=xn+x-n.
(1)直接写出x>0时,g(x)的最小值;
(2)当a=2时,F(x)=f(x)+log43在x∈上是否存在零点 给出结论并证明;
(3)若g(2)=,f(g(x))存在两个零点,求a的取值范围.
答案与分层梯度式解析
第五章 函数应用
§1 方程解的存在性及方程的近似解
1.1 利用函数性质判定方程解的存在性
基础过关练
1.A 令2x2+x-1=0,即(2x-1)(x+1)=0,解得x=或x=-1.故选A.
2.D 当x≤1时,令2x-1=0,得x=0;当x>1时,令1+log2x=0,得x=,舍去.综上所述,函数f(x)的零点为0.故选D.
3.答案
解析 因为函数f(x)与g(x)=ex互为反函数,所以f(x)=ln x,
又因为函数y=h(x)的图象与y=f(x)的图象关于x轴对称,所以h(x)=-ln x,
由-ln x=1可得x=.
4.答案 3
解析 由解得0令f(x)=ln x+ln(3-x)=ln(3x-x2)=0,
则3x-x2=1,解得x1=,
∵0∴所有零点之和是x1+x2=3.
5.B f(x)在(0,+∞)上单调递减, f(2)=0,所以f(x)在(0,+∞)上有且仅有一个零点2.又f(x)是偶函数,所以f(x)在(-∞,0)上有且仅有一个零点-2.因此函数f(x)有两个零点.
6.答案 2
解析 由解得x=-2;
当x>0时,f(x)=ln x+x-2单调递增,f(1)=-1<0,f(2)=ln 2>0,所以f(x)在(0,+∞)上有唯一零点.
综上所述,f(x)的零点个数是2.
7.答案 1
解析 函数f(x)的定义域为(0,+∞),易知函数f(x)=(k>0)在(0,+∞)上单调递减,
当k=1时,f(1)=1-1=0,函数f(x)有1个零点;
当00,
f(1)f(k)<0,函数f(x)在(k,1)上有唯一零点;
当k>1时,f(1)=k-1>0,f(k)=1-<0,
f(1)f(k)<0,函数f(x)在(1,k)上有唯一零点.
综上可得,函数f(x)=(k>0)的零点个数为1.
8.解析 (1)解法一:函数对应的方程为ln x+x2-3=0,故原函数的零点个数即为函数y=ln x与y=3-x2的图象的交点个数,在同一平面直角坐标系中,作出两个函数的图象(如图).
两函数的图象只有一个交点,从而ln x+x2-3=0只有一个实数根,即函数f(x)=ln x+x2-3有且只有一个零点.
解法二:∵f(1)=ln 1+12-3=-2<0,
f(2)=ln 2+22-3=ln 2+1>0,
∴f(1)·f(2)<0,
又f(x)=ln x+x2-3的图象在(1,2)上是不间断的,
∴f(x)在(1,2)上必有零点,
又f(x)在(0,+∞)上是单调递增的,
∴函数f(x)的零点有且只有一个.
(2)证明:∵f(1)=a+b+c=--b,
∴f(x)=ax2+bx--b.
对于方程f(x)=0,Δ=b2-4a=b2+6a2+4ab=(2a+b)2+2a2≥0,
又a>0,∴函数f(x)有两个不同的零点.
9.B 易得f(x)=ln(x+1)-在(0,+∞)上单调递增,f(1)=ln 2-2<0,f(2)=ln 3-1>ln e-1=0,即f(1)·f(2)<0,
∴函数f(x)的零点所在的区间是(1,2),故选B.
10.B 由题意知f(x)=log3x,则g(x)=log3x+2x-6,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,
又g(2)=log32+22-6=log32-2<0,g(3)=log33+23-6=3>0,所以a∈(2,3),即n=2.故选B.
11.BC 令f(x)=x-ln x=0,得x=ln x.
作出函数y=x和y=ln x的图象,如图,
由图可知函数y=x和y=ln x的图象在上无交点,在(1,e)上有一个交点,所以f(x)在内无零点,在(1,e)内有零点,故选BC.
12.C 因为函数y=ln x和y=x在(0,+∞)上均单调递增,所以函数f(x)=ln x+x在(0,+∞)上单调递增.
将题表中数据按照x从小到大排列如下:
x 0.5 0.562 5 0.625 0.75 1
f(x) -0.193 -0.013 0.155 0.462 1
由表格可得f(0.562 5)=-0.013<0,f(0.625)=0.155>0.
由函数零点存在定理可得,零点所在的区间为(0.562 5,0.625).
故选C.
13.答案
解析 由题意得a≠0,f(1)=a+b+c=0,
又a0,<1.
因为a+b+c>a+b+b=a+2b,所以a+2b<0,
所以,所以-<1.
由题意得x0,1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个不同的实数根,
所以-114.A 由题意知-1和3是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标,
所以f(x)=x2+mx+n=[x-(-1)](x-3)=(x+1)(x-3)=x2-2x-3,故m+n=-2+(-3)=-5.
故选A.
15.D f(x)=2x-1+21-x+x2-2ax+a2-2=2x-1+21-x+(x-a)2-2,
令f(x)=0,则2x-1+21-x-2=-(x-a)2,
令g(x)=2x-1+21-x-2,∵2x-1>0,21-x>0,
∴g(x)=2x-1+21-x-2≥2-2=0,当且仅当x-1=1-x,即x=1时等号成立,
令h(x)=-(x-a)2,其图象开口向下,易知h(x)≤0,当且仅当x=a时等号成立,
∴当且仅当a=1时,g(x)=h(x),故选D.
16.答案 9(答案不唯一,符合a>8即可)
解析 作出函数f(x)的图象与直线y=a,如图所示:
当f(x)=a有两个不等实根时,f(x)的图象与直线y=a有两个交点,由图可知a>8.
17.解析 (1)根据题意得
解得a≤-2或2≤a<3,
即实数a的取值范围为(-∞,-2]∪[2,3).
(2)根据题意得f(2)=6-2a<0,解得a>3,
即实数a的取值范围为(3,+∞).
(3)根据题意得f(2)f(4)=(6-2a)(18-4a)<0或解得3综上所述,实数a的取值范围为.
18.解析 (1)由f(-x)=f(x)得|x2-4|+x2-ax=|x2-4|+x2+ax,即2ax=0对任意实数x都成立,∴a=0.
(2)当x∈[-2,2]时, f(x)=4+4x,
令4+4x=0,解得x=-1;
当 x>2或x<-2时,f(x)=2x2+4x-4,
令2x2+4x-4=0,解得x=-1±,
∴x=-1-.
综上,函数f(x)的零点为-1和-1-.
(3)当|x|≤2时, f(x)=ax+4,令ax+4=0,可知方程在(0,2]上最多有一个实数根;
当|x|>2时, f(x)=2x2+ax-4,令2x2+ax-4=0,
若x1,x2均为该方程在(2,4)上的实数根,
则x1x2=-2,不符合题意.
故x1∈(0,2],x2∈(2,4).
由ax1+4=0得a=-,∴a≤-2;
由2+ax2-4=0得a=-2x2,∴-7综上所述,实数a的取值范围为-7能力提升练
1.C 令f(x)=1,当x∈(-1,3)时,|log2(x+1)|=1,解得x1=-,x2=1.当x∈[3,+∞)时,=1,解得x3=5.综上, f(x)=1的解为x1=-,x2=1,x3=5.作出f(x)的图象如图所示.
由图象可得方程f(x)=-无解,方程f(x)=1有3个解,方程f(x)=5有1个解,因此函数g(x)=f(f(x))-1的零点个数为4,故选C.
2.C 因为y=在(0,+∞)上单调递减,y=log2x在(0,+∞)上单调递增,
所以f(x)=-log2x在(0,+∞)上单调递减,
因为0f(b)>f(c),
又因为f(a)f(b)f(c)<0,f(d)=0,
所以若f(a),f(b),f(c)都为负值,则a,b,c都大于d,
若f(a)>0,f(b)>0,f(c)<0,则a,b都小于d,c大于d.
综上可得,d>c不可能成立.
故选C.
3.D 画出f(x)的图象如图所示,
由图可得-x1=x2,x3+x4=6,
令x2-6x+8=0,得x=2或x=4,故x3∈(1,2),lg(-x1)=lg x2,
故lg(-x1)-lg x2+,
∈(2,4),
所以lg(-x1)-lg x2+∈(6,20).故选D.
方法技巧 函数零点问题或方程解的问题通常转化为两函数图象的交点问题,将代数问题几何化,借助图象分析,大大降低了思维难度,注意要熟悉常见的函数图象,如指数函数、对数函数、幂函数等,还要熟练掌握函数图象的变换,包括平移、伸缩、对称和翻折等,涉及零点之和问题,通常考虑图象的对称性.
4.BC 作出函数y=f(x)的图象如图所示,
函数f(x)在(-1,+∞)上不单调,故A错误;
当k∈(-∞,-4)时,直线y=k与函数y=f(x)的图象有一个交点,即方程f(x)=k有一个解,所以当k∈(-∞,-4)时,h(x)=f(x)-k有1个零点,故B正确;
当k∈(-4,-3]时,直线y=k与函数y=f(x)的图象有3个交点,即方程f(x)=k有3个解,所以当k∈(-4,-3]时,h(x)=f(x)-k有3个零点,故C正确;
当k=-2时,方程f(x)=-2等价于x2+2x-3=-2(x≤0)或-2+ln x=-2(x>0),所以x=-1-或x=1,所以h(x)的所有零点之和为-1-,故D错误.
故选BC.
5.AD 设f(x)的零点为x1,x2,x3,且x1则x1,x2∈(-a,0),x3=a,
设g(x)的零点为x4,则x4∈(0,a).
对于A, f(g(x))=0,即g(x)=x1,x2或x3,由题图②知,g(x)∈[-a,a],且g(x)单调递减,∴g(x)=x1,x2或x3分别有一解,∴方程f(g(x))=0有且仅有三个解,A正确;
对于B,g(f(x))=0,即f(x)=x4,由题图①知,有且仅有两个解,B不正确;
对于C,方程f(f(x))=0,即f(x)=x1,x2或x3,结合题图①易知f(x)=x1与f(x)=x2分别有三个解, f(x)=x3有一个解,所以共有七个解,C不正确;
对于D,g(g(x))=0,即g(x)=x4,结合题图②知有且仅有一个解,D正确.
故选AD.
6.解析 (1)在条件③中,令x1=x2=0,
得f(0)≥f(0)+f(0),即f(0)≤0,
由条件①知f(0)≥0,所以f(0)=0.
(2)没有.理由如下:
任取x1,x2∈[0,1],且x1则x2-x1∈(0,1],则f(x2-x1)≥0,
所以f(x2)=f((x2-x1)+x1)≥f(x2-x1)+f(x1)≥f(x1),
所以f(x)在[0,1]上为增函数,
所以f(x)的最大值是f(1)=1.
取x∈,则2x≥2×=1,
所以对一切实数x∈,都有f(x)≤2x,
所以对一切实数x∈,都有f(x)<2x+,
即对一切实数x∈,都有f(x)-2x-<0,
所以函数g(x)=f(x)-2x-在上没有零点.
7.ACD 方程f(x)=g(x)有实根,即函数f(x)的图象和函数g(x)的图象有交点,
作出f(x)和g(x)的大致图象,如图所示:
由函数f(x)的图象和函数g(x)的图象有交点,
可得k≥或k<-1,故选ACD.
8.C 令t=f(x),则原方程可化为t2-bt+1=0.
作出函数f(x)的图象,如图.
因为方程[f(x)]2-bf(x)+1=0有8个不同的实数根,所以方程t2-bt+1=0的两个实数根t1,t2∈(0,6],且t1≠t2,令g(t)=t2-bt+1,
所以解得29.D 令f(x)=0,则(2ax-1)2=loga(ax+2),易知函数y=(2ax-1)2与y=loga(ax+2)的图象最多有2个交点,所以函数f(x)最多有2个零点,
则函数f(x)在区间上有零点的充分条件为f(0)f ≤0,即(1-loga2)·(1-loga3)≤0,
则或
解得2≤a≤3.
当a=3时,f(x)=(6x-1)2-log3(3x+2),
显然函数f(x)在区间上的图象是一条不间断的曲线,且f =1-1=0, f(0)=1-log32>0,
f -log37<0,所以函数f(x)在上有两个零点,不符合题意.
经检验,当a=2时,符合题意.
故实数a的取值范围为[2,3).故选D.
10.D 对于A,令f(x)=|loga(x-2)|-t+1=0,
则|loga(x-2)|=t-1,
由f(x)有两个零点知|loga(x-2)|=t-1有两个根,
即函数y=|loga(x-2)|,y=t-1的图象有2个交点,作出两函数的图象如图所示,
要使两函数的图象有2个交点,需满足t-1>0,即t∈(1,+∞),A错误;
对于B,由A中分析可知函数y=|loga(x-2)|,y=t-1的图象有2个交点,交点的横坐标即为m,n,由于m>n,结合图象可知m>3,2对于C,D,由题意可知|loga(m-2)|=t-1,|loga(n-2)|=t-1,故|loga(m-2)|=|loga(n-2)|,而m>3,2故选D.
11.答案
解析 因为f(x)=x2-2x+m与g(x)=-x2-x-m在[0,3]上是“集团关联函数”,
所以y=f(x)-g(x)=x2-2x+m-(-x2-x-m)=2x2-x+2m在x∈[0,3]上有两个不同的零点,
即2x2-x+2m=0在x∈[0,3]上有两个不同的根,
设h(x)=2x2-x+2m,其图象的对称轴为直线x=,
则解得0≤m<.
故m的取值范围是.
12.答案 (-∞,0]
解析 因为f(x)是偶函数,
所以 x∈R,有f(-x)=f(x),
即log9(9-x+1)-kx=log9(9x+1)+kx,
即2kx=log9(9-x+1)-log9(9x+1)=log9=-x,
所以(2k+1)x=0,所以k=-.
函数h(x)=f(x)-x-b无零点,即log9(9x+1)-x+b无实数解,即log9(9x+1)-x=b无实数解,
令g(x)=log9(9x+1)-x,则g(x)的图象与直线y=b无交点,
g(x)=log9,
因为y=在R上单调递减,所以g(x)=log9在R上单调递减,
当x趋向于正无穷大时,趋近于0,故1+趋近于1,
当x趋向于负无穷大时,1+趋近于正无穷大,
故g(x)∈(0,+∞),
故要使得g(x)的图象与直线y=b无交点,需满足b≤0,即实数b的取值范围为(-∞,0].
13.解析 (1)因为x>0,所以xn>0,x-n>0,所以g(x)=xn+x-n=xn+≥2=2,
当且仅当xn=,即x=1时等号成立,
所以当x>0时,g(x)的最小值为2.
(2)当a=2时,F(x)=f(x)+log43在x∈上存在零点,证明如下:
当a=2时,f(x)=-log3(2x2-x+1),
令t=2x2-x+1=2,则t>0,
函数t=2x2-x+1在上单调递增,又函数y=log3t在(0,+∞)上单调递增,
所以F(x)=-log3(2x2-x+1)+log43在上单调递减,
因为F(1)=-log32+log43,
<1,
所以F(1)=-log32+log43>0,
又F=-log34+log43,log34>1,log43<1,
所以F=-log34+log43<0,
所以F(1)F<0,
所以F(x)在x∈上存在零点.
(3)由g(2)=2n+,解得n=±1,则g(x)=x+∈(-∞,-2]∪[2,+∞).
令t=g(x),则f(g(x))存在两个零点等价于f(t)在t∈(-∞,-2)∪(2,+∞)上存在一个零点或f(t)有-2和2两个零点,令G(x)=ax2-x+2a-4,则G(x)在x∈(-∞,-2)∪(2,+∞)上存在一个零点或G(x)有-2和2两个零点.
①两个零点为-2和2时,代入解得a∈ ,
②有一个零点时,
(i)若a=0,则G(x)=-x-4,令G(x)=0,得x=-4,满足条件.
(ii)若a≠0,则
a.解得a=;
b.G(2)·G(-2)=(6a-6)(6a-2)<0,解得综上所述,a的取值范围是∪.
1(共18张PPT)
§１方程解的存在性及方程的近似解
知识点 1 函数的零点
知识 清单破
1.函数的零点的概念
使得f(x0)=0的数x0称为方程f(x)=0的解,也称为函数f(x)的零点. f(x)的零点就是函数y=f(x)的图
象与x轴交点的横坐标.
2.方程、函数、图象之间的关系
方程f(x)=0有实数解 函数y=f(x)有零点 函数y=f(x)的图象与x轴有交点.
3.零点存在定理
若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,并且在区间端点的函数值一正一负,
即f(a)·f(b)<0,则在开区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即在区间(a,b)内相应的方程f(x)=
0至少有一个解.
对于一般的函数y=f(x),x∈[a,b],若函数y=f(x)的图象是一条连续的曲线,f(a)·f(b)<0,则每
次取区间的中点,将区间一分为二,再经比较,按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的
方法称为二分法.
知识点 2 二分法
给定精确度ε,用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤:
知识点 3 用二分法求函数y=f(x)零点近似值的步骤
1.确定零点x0的初始区间[a,b],验证 f(a)·f(b)<0.
2.求区间(a,b)的中点c.
3.计算f(c),并进一步确定零点所在的区间:
(1)若f(c)=0(此时x0=c),则c就是函数的零点;
(2)若f(a)·f(c)<0 (此时x0∈(a,c)),则令b=c;
(3)若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c,b)),则令a=c.
4.判断是否达到精确度ε:若|a-b|<ε,则得到零点近似值(可以是[a,b]中的任意一个值);否则重复
步骤2~4.
知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” 。
1.所有的函数都有零点. ( )
2.若方程f(x)=0有两个不相等的实数根x1,x2,则函数y=f(x)的零点为(x1,0),(x2,0).( )
3.若函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点,则一定有f(a)·f(b)<0. ( )
4.用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用. ( )
√
5.用二分法求方程的近似解,实质上就是通过“取中点”的方法,运用“逼近”思想逐步缩小
近似解所在的区间. ( )
√
讲解分析
疑难 情境破
疑难 1 函数零点个数的判断及应用
1.判断函数零点个数的主要方法
(1)转化为解相应的方程,根据方程解的个数判断函数零点的个数.
(2)画出函数y=f(x)的图象,判断它与x轴的交点个数,从而判断零点的个数.
(3)借助函数的单调性进行判断.若函数f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,且在区间
(a,b)上单调,满足f(a)·f(b)<0,则函数f(x)在区间(a,b)上有且仅有一个零点.
(4)转化成判断两个函数图象的交点个数问题.
2.已知函数零点个数求参数的取值范围,为了便于限制零点个数或零点所在区间,通常要对已
知条件进行变形,变形的方向:(1)化已知函数为常见的基本初等函数;(2)尽量使参数与变量分
离,不能分离时,也要使含参数的部分尽可能简单.
典例 (1)函数f(x)=2x+lg(x+1)-2的零点个数为 ;
(2)已知函数f(x)= 若函数y=2[f(x)]2+3mf(x)+1有6个不同的零点,则实数m的取值
范围是 .
思路点拨 (1)应用零点存在定理及函数单调性求解或将问题转化为求两函数图象的交点个
数问题,通过数形结合进行求解.
(2)由图象法解决函数y=f(x)-t零点的个数问题,再由函数性质确定实数m的取值范围.
1
(-∞,-1)
解析 (1)解法一:∵f(0)=1+0-2=-1<0,f(1)=2+lg 2-2>0,且f(x)在(0,1)上的图象是连续的,∴f(x)
在(0,1)上必定存在零点,
又f(x)=2x+lg(x+1)-2在(-1,+∞)上单调递增,∴函数f(x)有且只有1个零点.
解法二:令h(x)=2-2x,g(x)=lg(x+1).在同一平面直角坐标系中作出h(x)和g(x)的图象,如图所示.
由图可知,g(x)=lg(x+1)的图象和h(x)=2-2x的图象有且只有1个交点,
故f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有1个零点.
(2)令t=f(x),则y=2t2+3mt+1.
作出函数y=f(x)的图象,如图所示.
由图可知:
当t<0时,函数y=f(x)-t有1个零点;
当t=0时,函数y=f(x)-t有3个零点;
当0当t=1时,函数y=f(x)-t有3个零点;
当t>1时,函数y=f(x)-t有2个零点.
要使函数y=2[f(x)]2+3mf(x)+1有6个不同的零点,
则函数y=2t2+3mt+1有两个零点t1,t2,且01,或t1=0,t2=1.
令g(t)=2t2+3mt+1,
则g(0)=1≠0,所以t1=0,t2=1不满足题意,
若01,则g(1)=3m+3<0,
解得m<-1.
故实数m的取值范围是(-∞,-1).
若函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个实数根,判别式Δ=
b2-4ac,k,k1,k2(k1讲解分析
疑难 2 一元二次函数零点的分布问题
根的分布 图象 等价条件
x1kx1x1,x2 ∈(k1,k2)
典例 已知关于x的一元二次方程x2+2mx+2m+1=0.
(1)若方程有两个实数根,其中一个根在区间(-1,0)内,另一个根在区间(1,2)内,求实数m的取值
范围;
(2)若方程有两个不相等的实数根,且均在区间(0,1)内,求实数m的取值范围.
思路点拨 根据一元二次方程根的分布情况,借助函数的图象,从判别式、对称轴、端点函
数值等方面列出关于参数的不等式(组),求解得出参数的取值范围.
解析 令f(x)=x2+2mx+2m+1.
(1)依题意得函数f(x)=x2+2mx+2m+1的图象与x轴的两个交点的横坐标分别在区间(-1,0)和(1,
2)内,画出函数f(x)的大致图象,如图①所示.
由图象得 解得- ∴实数m的取值范围为 .
(2)依题意得,函数f(x)=x2+2mx+2m+1的图象与x轴的两个交点的横坐标均在区间(0,1)内,画出
函数f(x)的大致图象,如图②所示.
图① 图②
由图象得
解得- ∴实数m的取值范围是 .
给定精确度,利用二分法求方程近似解的步骤如图所示.
讲解分析
疑难 3 用二分法求方程的近似解
典例 求方程lg x= -1的一个近似解(精确度为0.1).
解析 在同一平面直角坐标系中作出函数y=lg x和y= -1的图象,如图所示.
由图可知,方程lg x= -1有唯一实数解,且该解在区间(0,1)内.
设f(x)=lg x- +1,则f(1)= >0,用计算器计算,如表所示.
取值区间 中点值 中点函数 近似值 区间长度
(0,1) 0.5 -0.008 1 1
(0.5,1) 0.75 0.280 5 0.5
(0.5,0.75) 0.625 0.147 5 0.25
(0.5,0.625) 0.562 5 0.073 0 0.125
(0.5,0.562 5) 0.531 25 0.033 3 0.062 5
因为区间(0.5,0.562 5)的区间长度为0.062 5<0.1,
所以函数f(x)的一个零点近似值为0.562 5,
即方程lg x= -1的一个近似解为0.562 5.第五章 函数应用
§1 方程解的存在性及方程的近似解
1.2 利用二分法求方程的近似解
基础过关练
题组一 二分法的概念及适用条件
1.下列图象对应的函数能用二分法求零点的是( )
2.用二分法求函数f(x)=3x-2-1的零点时,初始区间可选为( )
A.[-1,0] B.[0,1] C.[1,2] D.[2,3]
3.(多选题)用二分法求函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个零点的近似值(精确度为0.1)时,依次计算得到如下数据:f(1)=-2,f(1.5)=0.625,f(1.25)≈-0.984,f(1.375)≈-0.260,则下列说法正确的是( )
A.函数f(x)在(1.25,1.5)上有零点
B.已经达到精确度,可以取1.375作为近似值
C.没有达到精确度,应该接着计算f(1.312 5)
D.没有达到精确度,应该接着计算f(1.437 5)
4.若用二分法求方程2x3+3x-3=0在初始区间(0,1)内的近似解,则第三次取区间的中点x3= .
题组二 用二分法求函数零点的近似值
5.用二分法求方程3x=8-3x在(1,2)内的近似解时,记f(x)=3x+3x-8,可得f(1)<0, f(1.25)<0, f(1.5)>0, f(1.75)>0,据此判断,方程的根所在的区间是( )
A.(1,1.25) B.(1.25,1.5)
C.(1.5,1.75) D.(1.75,2)
6.已知函数f(x)在区间(0,3)上有两个零点,且都可以用二分法求得,其图象是连续不断的,若f(0)>0,f(1)f(2)f(3)<0,则下列命题不正确的是( )
A.函数f(x)的两个零点可能分别在区间(0,1)和(1,2)内
B.函数f(x)的两个零点可能分别在区间(1,2)和(2,3)内
C.函数f(x)的两个零点可能分别在区间(0,1)和(2,3)内
D.函数f(x)的两个零点不可能同时在区间(1,2)内
7.已知用二分法计算函数f(x)=x3+2x-8的零点时,其附近的函数值参考数据如下表所示:
x 1 2 1.5 1.75 1.625 1.687 5
f(x) -5.00 4.00 -1.63 0.86 -0.46 0.18
则方程x3+2x-8=0的近似解可为(精确度为0.1)( )
A.1.50 B.1.66 C.1.70 D.1.75
8.已知定义在R上的函数f(x)的图象是一条连续的曲线,且函数f(x)在区间(a,b)上有一个零点x0,f(a)·f(b)<0,用二分法求x0时,当f =0时,函数f(x)的零点x0是 .
9.已知函数f(x)=3x2-1在区间(0,1)上有唯一零点x0,如果用二分法求这个零点(精确度ε=0.05)的近似值,那么将区间(0,1)等分的次数至少是 .此时规定只要零点的存在区间(a,b)满足|a-b|<ε,则可用作为零点的近似值,由此求得x0= .
10.求方程lg x=-1的近似解(精确度为0.1).
题组三 二分法思想的应用
11.已知函数f(x)=ax3+2ax+3a-4在区间(-1,1)上有一个零点.
(1)求实数a的取值范围;
(2)若a=,用二分法求方程f(x)=0在区间(-1,1)上的根.
12.为防范某种病毒的境外输入,某机场海关在对入境人员进行检测时采用“优选法”提高检测效率:每32人为一组,把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查.若为阴性,则全部放行;若为阳性,则对该组32人再次抽检确认感染者.某组32人中恰有一人感染(鼻咽拭子样本检验将会是阳性),若逐一检测可能需要31次才能确认感染者.现在先把这32人均分为两组,选其中一组16人的样本混合检查,若为阴性,则认定在另一组;若为阳性,则认定在本组.继续把认定的这组的16人均分为两组,选其中一组8人的样本混合检查……依此类推,最终从这32人中认定那名感染者需要经过检测的次数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
13.已知A地到B地的电话线路发生故障(假设线路只有一处发生故障),这是一条10 km长的线路,应如何迅速查出故障所在
答案与分层梯度式解析
第五章 函数应用
§1 方程解的存在性及方程的近似解
1.2 利用二分法求方程的近似解
基础过关练
1.C 在A和D中,函数虽有零点,但这些零点均是不变号零点,因此都不能用二分法求零点.在B中,函数无零点.在C中,函数图象是一条连续的曲线,且图象与x轴有交点,并且其零点为变号零点,所以C中图象对应的函数能用二分法求零点.
2.A f(-1)=->0,则f(-1)·f(0)<0,即初始区间可选[-1,0].故选A.
3.AD 对于A,f(1.25)f(1.5)<0,由零点存在定理知,函数f(x)=x3+x2-2x-2在(1.25,1.5)上有零点,故A正确;
对于B,1.5-1.375=0.125>0.1,没有达到精确度,故B错误;
对于C、D,没有达到精确度,=1.437 5,所以应该接着计算f(1.437 5),故C错误,D正确.故选AD.
4.答案
解析 设f(x)=2x3+3x-3,则f(0)=-3<0,f(1)=2>0,f(0)·f(1)<0,
∴第一次取区间(0,1)的中点x1=,
f<0, f·f(1)<0,∴f(x)的零点所在的区间为,
∴第二次取区间的中点x2=,
f·f<0,∴f(x)的零点所在的区间为,
∴第三次取区间的中点x3=.
5.B 因为y=3x与y=3x-8在R上均单调递增,所以f(x)=3x+3x-8在R上单调递增,
因为f(x)的图象连续不断,f(1.25)<0, f(1.5)>0,所以f(x)在(1.25,1.5)上有唯一零点x0,即+3x0-8=0,故=8-3x0,所以方程的根落在区间(1.25,1.5)内,且为x=x0.故选B.
6.C 对于A,令f(1)<0,f(2)>0,f(3)>0,则函数f(x)的两个零点可能分别在区间(0,1)和(1,2)内,故A中命题正确;
对于B,令f(1)>0,f(2)<0,f(3)>0,则函数f(x)的两个零点可能分别在区间(1,2)和(2,3)内,故B中命题正确;
对于C,已知f(0)>0,若函数f(x)的两个零点分别在区间(0,1)和(2,3)内,则必有f(1)<0,f(2)<0,f(3)>0,与f(1)f(2)f(3)<0矛盾,故C中命题错误;
对于D,如果函数f(x)的两个零点都在区间(1,2)内,f(0)>0,那么必有f(1)>0,f(2)>0,进而有f(3)>0,与f(1)f(2)f(3)<0矛盾,所以函数f(x)的两个零点不可能同时在区间(1,2)内,故D中命题正确.
故选C.
7.B 由题表可知函数的零点在区间(1.625,1.687 5)内,结合选项知方程的近似解可为1.66,故选B.
8.答案
解析 因为f =0,所以函数f(x)的零点是.
9.答案 5;
解析 开区间(0,1)的长度等于1,每经过一次操作,区间长度变为原来的一半,经过n(n∈N+)次操作后,区间长度变为,故有<0.05,即2n>20,因为24=16,25=32,所以n≥5.
故计算5次就可满足要求,所以将区间(0,1)等分的次数至少是5.
f(0)=-1<0,f(1)=2>0.
因为f <0,所以第一次得到的区间为;
因为f >0,所以第二次得到的区间为;
因为f >0,所以第三次得到的区间为;
因为f <0,所以第四次得到的区间为;
因为f >0,所以第五次得到的区间为.
因为<0.05,所以函数零点为.
10.解析 作出y=-1与y=lg x的图象,如图所示.
由函数y=lg x与y=-1的图象可知,方程lg x=-1有唯一实数解,且在区间(0,1)内.
设f(x)=lg x-+1, f(1)=>0,用计算器计算,列表如下:
零点所在区间 中点的值 中点函数 近似值 区间长度
(0,1) 0.5 -0.008 1 1
(0.5,1) 0.75 0.280 5 0.5
(0.5,0.75) 0.625 0.147 5 0.25
(0.5,0.625) 0.562 5 0.073 0 0.125
(0.5,0.562 5) 0.062 5
由于|0.562 5-0.5|=0.062 5<0.1,所以函数f(x)的零点的一个近似值为0.562 5,即方程lg x=-1的近似解为0.562 5.
11.解析 (1)若a=0,则f(x)=-4,与题意不符.
故a≠0,则易得f(x)在(-1,1)上是单调连续函数,
∵f(x)在区间(-1,1)上有一个零点,
∴f(-1)·f(1)=-4(6a-4)<0,解得a>,
故实数a的取值范围为.
(2)若a=,则f(x)=,
∵f(-1)=-4<0, f(0)=-<0, f(1)=>0,
∴函数f(x)的零点在区间(0,1)上,
又f =0,
∴方程f(x)=0在区间(-1,1)上的根为.
12.C 第1次检验:32人均分为两组,每组16人,若第一组检测结果为阳性,则放行第二组,留下第一组继续检测,若第一组检测结果为阴性,则放行第一组,留下第二组继续检测;
第2次检验:留下的16人均分为两组,每组8人,若第一组检测结果为阳性,则放行第二组,留下第一组继续检测,若第一组检测结果为阴性,则放行第一组,留下第二组继续检测;
第3次检验:留下的8人均分为两组,每组4人,若第一组检测结果为阳性,则放行第二组,留下第一组继续检测,若第一组检测结果为阴性,则放行第一组,留下第二组继续检测;
第4次检验:留下的4人均分为两组,每组2人,若第一组检测结果为阳性,则放行第二组,留下第一组继续检测,若第一组检测结果为阴性,则放行第一组,留下第二组继续检测;
第5次检验:任意检验其中的1人,若该人检测结果为阴性,则另一个人感染,若该人检测结果为阳性,则该人感染.
综上,最终从这32人中认定那名感染者需要进行的检测次数为5.故选C.
13.解析 如图,可首先从中点C开始检查,若AC段正常,则故障在BC段;再从BC段的中点D检查,若CD段正常,则故障在BD段;再从BD段的中点E检查,……,每检查一次就可以将待查的线路长度缩短一半,这样即可迅速找到故障所在.
2