2025--2026高考数学第一轮复习试卷：导数及其应用 解答题专项练（含解析）

2025--2026高考数学第一轮复习试卷：导数及其应用解答题专项练
一、变化率与导数（本大题共3小题）
1．已知函数．
（1）求的导数；
（2）求曲线在点处的切线方程，并求出切线与坐标轴所围三角形的面积．
2．已知是函数的极值点.
（1）求实数的值
（2）过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围
3．已知函数.
（1）若函数的图象恒过定点，且在定点处的切线方程与直线平行，求定点的坐标和实数的值；
（2）若函数的图象存在与直线垂直的切线，求实数的取值范围.
二、导数在函数问题中的应用（本大题共49小题）
4．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当，时，求曲线过点的切线方程；
（3）若存在三个不同的零点，且，证明：.
5．已经函数，，其中.
（1）若，求的增区间；
（2）当，时，证明不等式恒成立；
（3）若有两个零点，求a的取值范围.
6．已知函数，，.
（1）讨论的单调性；
（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.
7．已知函数．
（1）若，讨论的单调性；
（2）若函数只有一个零点，求的取值范围；
（3）若，证明：方程有唯一解，且直线与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左至右的三个交点的横坐标成等比数列.
8．已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在上单调递增，求实数的取值范围.
9．已知函数的图象在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为.
（1）求；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
10．已知函数，，.
（1）求的极值；
（2）若对任意的，当时，恒成立，求实数的最大值；
（3）若函数恰有两个不相等的零点，求实数的取值范围.
11．已知函数，（）
（1）讨论的单调性；
（2）如果时，恒成立．
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）若正实数、（）满足，证明：．
12．已知函数.
（1）若曲线在处的切线斜率为0，求实数的值；
（2）若，对，不等式恒成立（a,b均为实数），求的最大值；
（3）实数满足对任意的，函数总有两个不同的零点，证明：.
13．已知函数.
（1）若存在极小值，且极小值为0，求；
（2）若不等式恒成立，求的取值范围.
14．已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）画出函数的大致图象．
15．已知在时有极值0．
（1）求常数的值；
（2）求在区间上的最值．
16．已知函数，
（1）若时，求证：当时，；
（2）若函数有4个零点，求实数a的取值范围.
17．已知函数．
（1）当时，求在上的值域；
（2）若方程有三个不同的解，求b的取值范围．
18．已知函数．
（1）讨论函数在区间上的零点个数；
（2）证明：当时，
19．已知函数，，．
（1）若函数存在2个零点，求的取值范围；
（2）记，
①当时，求的最小值；
②若的最小值为2，求的取值范围．
20．已知函数．
（1）求的极值；
（2）若对任意的，都有，求的最大整数值．
参考数据：，．
21．已知.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数恰有两个不同的零点，求m的取值范围.
22．已知函数 ．
（1）求 的极值；
（2）若函数 在定义域内有三个零点，求实数a的取值范围．
23．已知函数．
（1）若在处的切线斜率为，求；
（2）若恒成立，求的取值范围．
24．已知函数．
（1）若函数在区间上单调递增，求的取值范围；
（2）若函数有两个不同的极值点，求证：．
25．已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求的单调区间．
26．已知函数在处的切线方程为.
（1）求实数的值；
（2）求的单调区间和极值.
27．已知函数，．
（1）若，求的极值；
（2）若有两个极值点，，当时，证明：．
28．已知函数.
（1）求函数在上的最大值；
（2）若函数的最小值为1，求实数的值；
（3）求证：.
29．已知函数是偶函数.
（1）求；
（2）设，若函数有且只有一个零点，求的取值范围.
30．已知函数，.
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）若有极大值，且极大值小于0，求的取值范围.
31．若函数满足：在定义域内，对任意实数，，使成立，则称为上的“函数”.
（1）判断函数是否为上的函数，并说明理由；
（2）若函数是上的函数，求实数的取值范围；
（3）已知函数是上的函数，且，，当时，都有成立，求实数的最大值.
32．已知函数．
（1）当时，求的最大值；
（2）若，，求实数a的取值范围．
33．若函数在定义域内存在两个不同的实数，满足，且曲线在点和点处的切线斜率相同，则称函数为“同切函数”．
（1）证明：函数为“同切函数”；
（2）若函数为“同切函数”（其中为自然对数的底数），并设满足条件的两个实数为．
①求实数的取值范围；
②求证：．
34．已知函数.
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）当时，讨论的单调性；
（3）若恒成立，求的取值范围.
35．已知函数在点处的切线斜率为5．
（1）求实数m和n的值；
（2）方程在有解，求实数t的取值范围．
36．已知函数，其中不全为0，并约定，设，称为的“伴生函数”．
（1）若，求；
（2）若恒成立，且曲线上任意一点处的切线斜率均不小于2，证明：当时，；
（3）若，证明：对于任意的，均存在，使得．
37．若二元代数式满足，则称代数式为二元轮换式，记；若三元代数式满足，则称代数式为三元轮换式，记，.
（1）若正实数，满足，且，求的最大值；
（2）若代数式为二元轮换式，比较与的大小；
（3）若对任意的正实数x，y，z均有，求整数的最大值.
38．已知函数．
（1）证明：有唯一的极值点；
（2）若，求的取值范围．
39．已知函数在点处的切线与轴平行．
（1）求的值；
（2）求函数的单调区间和极值．
40．已知函数，其导函数为.
（1）讨论的单调性；
（2）求的极值点个数；
（3）求所有极值点的乘积.
41．已知函数，.
（1）求的零点；
（2）若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围.
42．已知函数．
（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；
（2）若在上单调递增，求的取值范围．
43．已知函数.
（1）若在其定义域内单调递减，求实数的取值范围；
（2）是否存在实数，使得函数为偶函数？若存在，求的值，若不存在，说明理由；
（3）函数在区间上有且仅有一个极值点，求正数的取值范围.
44．已知函数．
（1）若在点处的切线方程为，求的值；
（2）求的单调区间．
45．已知函数，．
（1）若函数的极大值与的极大值之和为，求的值；
（2）若，当时，求的最小值；
（3）判断图象上存在多少组关于点对称的点对，说明你的结论和理由．
46．已知函数，．
（1）求的图象在点处的切线方程；
（2）求的单调区间；
（3）若，且不等式对任意恒成立，证明：．
47．已知函数.
（1）若在上恒成立，求的取值范围；
（2）证明：.
48．已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）求在区间上的最值．
49．已知函数．
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）若函数在上单调递减．
①求的取值范围；
②证明：．
50．已知函数．
（1）若，求的单调递增区间．
（2）当时，恒成立，求a的取值范围．
（3）证明：当且时，存在极大值，且极大值大于．
51．已知函数.
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）讨论函数的零点的个数.
52．已知函数.
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）当的最大值为0时，求；
（3）当时，正实数满足，证明：.
三、导数综合问题（本大题共2小题）
53．已知函数．
（1）求函数在处的切线方程；
（2）当时，，求实数的取值范围．
（3）求证：．
54．已知函数.
（1）若，求的极值；
（2）若有且只有两个零点，求证：.
四、导数的实际应用（本大题共1小题）
55．某商场在“五一”劳动节期间，要对某商品进行调价，已知该商品的每日销售量y（单位：）与销售价格x（单位：百元/）满足，其中，该商品的成本为1百元/．
（1）将该商场每日销售该商品所获利润表示为销售价格x的函数；
（2）当每日销售该商品所获利润最大和最小时，销售价格分别是多少？（参考数据：）
参考答案
1．【答案】（1），
（2）；面积为
【详解】（1）因为，所以，
（2）由（1）得，，则所求切线的斜率为1，故所求切线方程为．
当时，；当时，.故切线与坐标轴所围三角形的面积.
2．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由得，.
是的极值点，故，整理得.
解得，或
经检验，当时，不是的极值点，不合题意，故舍去.
故；
（2）由（1）可知，，
设切点坐标为，切线的斜率为.
则切线方程为，将点代入并整理得.
记，由题意得，直线与曲线有三个不同的交点.
，令，得或，
当或时，单调递减，当时，单调递增且.
故.
3．【答案】（1）,的值为;
（2）.
【详解】（1）令，可得，
所以函数的图象恒过定点.
因为，所以.
因为在定点处的切线方程与直线平行，且直线的斜率为，
所以，解得.
验证，点不在直线上，故成立.
所以定点的坐标为，的值为.
（2），直线的斜率为，
若函数的图象存在与直线垂直的切线，
所以有解，即有解.
因为，所以，即，
所以实数的取值范围是.
4．【答案】（1）见详解
（2）或.
（3）见详解
【详解】（1），
①当时，，
所以的单调递增区间为，无单调递减区间；
②当时，令，解得或，令，解得；
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为；
③当时，令，解得或，令，解得；
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为.
综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为.
（2）当，时，，则，
设切点为，
则切线的斜率，
所以切线方程为
又因为经过点，
所以，
即，整理得，
解得或，
所以过点的切线方程为或.
（3）法一：若存在三个不同的零点，
则可设，
整理得，
所以.
因为，所以，
所以，可得.
法二：若存在三个不同的零点，
因为，可设，，，
则，，，
化简可得，，
两式相减可得，
所以，
所以，可得.
法三：若存在三个不同的零点，
则，，，
两两相减可得，，
因为，所以，，
两式相减可得，
所以，
因为，所以.
所以，可得.
5．【答案】（1）
（2）见详解
（3）.
【详解】（1）若，，（）；
的定义域为，
，
令，解得，
所以若，的增区间为（或写）.
（2）当，时，要证明不等式恒成立，
即证明恒成立；
令，
∴，
当，∴，即在上单调递增，
∴，
即（），
令，
∴，
∵，∴，即在上单调递增；
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴成立，
即当，时，不等式恒成立.
（3）（）有两个零点，即方程有两个解；
等价于方程有两个解；
等价于与的图象有两个交点；
，
令，解得，
当时，，的图象单调递增；
当时，，的图象单调递减；
当时，有极大值也是最大值，；
时，，
时，，
∴，
即有两个零点时，a的取值范围为.
6．【答案】（1）见详解；
（2）.
【详解】（1）函数的定义域为，
求导得
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在，上单调递增；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在和上单调递增，
所以时，的递减区间是，递增区间是；
时，的递增区间是，无递减区间；
时，的递增区间是和，递减区间是；
时，的递增区间是和，递减区间是.
（2）由，得，
由，得，当时，不等式显然成立，
设，，
则，
当时，，函数在上单调递增，则；
当时，设，
则方程有两根，，于是，
当时，，则，在上单调递减，
又，则当时，，不满足条件，
所以的取值范围是.
7．【答案】（1）在和单调递减，在单调递增
（2）或
（3）见详解
【详解】（1）由题意，
在中，
若，，定义域为，
，令，解得，
当变化时，和的变化情况如下表:
1
- 不存在 - 0 +
单调递减 不存在 单调递减 e 单调递增
所以，在和单调递减，在单调递增
（2）由题意及（1）得，
方法一：
在中，定义域为
，
当时，解得：.
- 不存在 - 0 +
单调递减 不存在 单调递减 单调递增
因此，在处取得极小值，为
（i）当时，由（1）知，
当时，，不存在零点；
当时，，不存在零点.
（ii）当时，
当时，恒成立，不存在零点；
当）时，单调递减，至多存在一个零点.
当时，；
当时，又，
所以在上存在一个零点；
当时，又，
所以在上存在一个零点；
（当时，，当时，）
所以，在上存在一个零点.
（iii）当时，
当时，恒成立，不存在零点.
当时，若只有一个零点，则极小值
令，
∴函数在上单调递减，
，解得：
综上，的取值范围为或
方法二：
只有一个零点等价于在只有一个零点，
又，
则在上只有一个零点，
，
（i）当时，恒成立，不存在零点.
（ii）若，则对任意恒成立，可知在上单调递增，
且，
令，所以在上存在一个零点；
（iii）若，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则有极小值.
若只有一个零点，则，
又，则.
又在单调递减，解得
综上，的取值范围为或
（3）由题意及（1）（2）得，
在中，，，
令，解得：．
∴在上，， 单调递减；
在上，， 单调递增.
所以.
由（1）知，在单调递减，在单调递增，，
则直线与、最多有4个交点．
令，
当时， ，所以恒成立.
当时，
令，则，
令，则，
∴在上单调递增，，
∴在上单调递增，，
∴，即，
在中，，
∴，即，
∴，
∴，
∴，即，
所以恒成立.
当时，在上单调递增.
当x→1时，，，
则在有唯一的零点，即存在，使得，
直线与、恰有三个交点，分别记为，，，
不妨设，
由得，即，
要证，即证，
而，即．
由得，即，
又，，，而在单调，
∴，
又由得，即，
又，，而在单调，
所以．
由，得，得证.
8．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）当时，，则，
则，，即切线斜率为0，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2），
若在上单调递增，则在上恒成立，
即，，
令，，
当时，，单调递增，
故当时，取得极小值，也是最小值，且，
所以实数的取值范围为.
9．【答案】（1）
（2）最大值为，最小值为
【详解】（1）由得，
所以，又，
所以在点处的切线方程为，即.
当时，；当时，.
因为与坐标轴所围成的三角形的面积为且，
所以，所以.
（2）由（1）得，.
由得或.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
因为，，
，，且，
所以在上的最大值为，最小值为.
10．【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）最大值为；（3）.
【详解】（1）求出，讨论其符号后可得其极值.
（2）结合（1）的结果可知题设的不等式等价于为上的增函数，利用导数可求实数的最大值.
（3）先讨论的单调性，结合零点存在定理可求实数的取值范围.
【详解】（1），令，得.
当或时，；当时，，
故为的极小值点，无极大值点，
∵，∴的极小值为，无极大值.
（2）由（1）可得在为增函数，
∵，故等价于，
即
设，则在为增函数.
∴在恒成立.
∴恒成立.
设，∵在上恒成立
∴为增函数，∴在上的最小值为.
∴，∴的最大值为.
（3）
①当时，当和时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以的极大值为
，
所以函数至多有一个零点，不合题意，舍.
②当时，，在上单调递增，
此时至多一个零点，不合题意，舍.
③当时，当和时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以的极大值为，
所以函数至多有一个零点，不合题意，舍.
④当时，当，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，
Ⅰ：当时，即时，函数至多一个零点，不合题意，舍.
Ⅱ：当时，，
令，则，
故在为增函数，故，
故，所以，
所以存在，，所以函数在上有唯一的零点.
又，
所以函数在上有唯一的零点.
Ⅲ：当时，，在上仅有零点，舍.
综上所述：实数的取值范围为
11．【答案】（1）见详解；
（2）（ⅰ）；（ⅱ）见详解.
【详解】（1）依题意可得的定义域为，
由，
当时，恒成立，此时在上单调递增；
当时，，
令，则，
则令时，得和，
此时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
综上，
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
（2）（ⅰ）根据（1）当时，在上单调递增，且，
所以时，恒成立；
当时，，
则时，成立，
此时在上单调递减，
所以当时，，
所以时，不恒成立．
综上，实数a的取值范围为．
（ⅱ）证明：不妨设，
根据（ⅰ），且、满足，得，
由在上单调递增，
则，
又，
所以只要证明，即证明即可．
设，
则，
所以在上单调递增，
又，所以当时，成立，
即当时，成立，
即成立，
即成立．
12．【答案】（1）
（2）.
（3）见详解
【详解】（1）因，则，解得.
（2）［方法一］当时，不等式可化为恒成立，
不妨设，则，
当，即时，则在R上单调递增，
此时当时，，与矛盾，不合题意；
当时，则；
当时，由，解得，
于是当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减
故，
即，
由于，故，
于是，令，
则，
当时，则在上单调递增；
当时，则在上单调递减
所以，，
此时，
因此，当时，的最大值为.
［方法二］依题意，可得恒成立，
设，则，
当时，，则在上单调递增，
又，所以存在，使得，所以不符题意；
当时，要使恒成立，则，所以；
当且时，在上恒成立，
又因，
故可转化为恒成立，即恒成立，
令，则，
但时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以，
当且仅当时取得等号，即当时，
即的最大值为，
即当时，对任意满足恒成立，
所以当时，对任意恒成立，
当且时，，
所以的最大值为.
（3）［方法一］有2个不同零点，则，因，
故函数的零点一定为正数.
由于函数有2个不同零点，，
，
设，
记，易知定义域上单调递增，又，
所以当时，，；当时，，
即在单调递减，单调递增，
故，又由知，
则，
要证，只需，
因且关于的函数在上单调递增，
则
所以只需证，
只需证，
只需证在时恒成立，
，只需证在时为正，
由于，故函数在上单调递增，
又，故在时为正，
从而题中的不等式得证.
［方法二］ 有2个不同零点，
，由得（其中）
且.
要证，只需证，
即证，只需证
又，所以，即
所以只需证，而，
所以，又，只需证
所以，
原命题得证.
［方法三］ 若，
同法二知有两个零点且
又，故进一步有
由可得且，
从而，
因为，所以，只需证
又因为在区间内单调递增，
故只需证，即，
注意时有，故不等式成立
13．【答案】（1）.
（2）.
【详解】（1）因为，
当时，，所以函数无极值，
当时，，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的极小值为，
令，所以，
由有，有，
所以在单调递增，在单调递减，且，
所以.
（2）因为不等式恒成立，即，得，
即.
令，则，
当时，，即单调递减，
当时，，即单调递增，
所以，则，
所以的取值范围为.
14．【答案】（1）极小值为，无极大值．
（2）图象见详解
【详解】（1），函数定义域为R，
，
，解得；，解得，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
极小值为，无极大值．
（2）当时，﹔，，，结合函数单调性，可画出函数的大致图象，如下图所示︰
15．【答案】（1）；
（2）最大值为4，最小值为0
【详解】（1）由题意知：，，解得或，
当时，，单调递增，无极值，不合题意；
当时，，当或时，，单调递增，
当时，，单调递减，在时有极值，符合题意；故；
（2）由（1）知，，在上单调递增，在单调递减，
故在取极大值，极大值为，在取极小值，极小值为，
又，，故的最大值为4，最小值为0.
16．【答案】（1）见详解；（2）
【详解】（1）当时，有，
令，即，
则
令，则，当时，，
所以在区间上是增函数，，
所以，在区间上是增函数，
所以，故.
（2）因为函数有4个零点，所以有4个单调区间，即其导函数有3个零点，显然是函数的一个零点，
令，则函数有2个零点，故.
由于，令，得，
故，故.
又，，只需证明，
令，，则，
所以在上单调递增，，所以，即，
所以存在，使得，所以有3个零点，1，.
x 1
0 0 0
递减 极小 递增 极大 递减 极小 递增
所以要有4个零点，只需，即，
因为此时，，
，
设（），，所以在上
，
所以，即，又
，
综上，当且仅当时，函数有4个零点.
17．【答案】（1）；（2）
【详解】（1）求出函数的导数，令，列出的变化情况表，即可求出最值；
（2）题目等价于有三个不同的解，根据（1）得出的单调性和极值，即可求出的范围.
【详解】（1）当时，，
，
令，解得，
当变化时，的变化情况如下表：
1 2 3
0 0
可得当时，取得最小值为，
当时，取得最大值为，
在上的值域为；
（2）方程有三个不同的解，
即有三个不同的解，
由（1）知，在单调递增，在单调递减，
在处取得极大值为，在处取得极小值为，
，解得.
18．【答案】（1）见详解．
（2）见详解
【详解】（1）由题可得函数的定义域为
令，可得，令，则，
由可得，由可得，
故在上单调递增，在上单调递减．
且.
所以当或时，直线与函数图象无交点，此时函数无零点；
当或时，直线与函数图象有1个交点，此时函数有1个零点；
当时，直线与函数图象有2个交点，此时函数有2个零点．
（2），则．
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
所以．
要证，即证，
即证恒成立，令，
则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
则恒成立，所以当时，恒成立．
19．【答案】（1）
（2）①最小值2；②
【详解】（1）函数的定义域为，令，则，
设，则，令，得
，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，，当时，，所以．
（2）①当时，，
设，则，
令，得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，取到最小值2．
②，
由①知，，当且仅当取到等号，所以，
所以．
20．【答案】（1）极小值为，无极大值．
（2）4
【详解】（1）由题可知的定义域为，，
令，得，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以当时，取得极小值，且极小值为，无极大值．
（2）令，则，
由（1）知在上单调递增，
且，，
则在内存在唯一的，使得，即．
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
则，
于是，
所以的最大整数值为．
21．【答案】（1） 增区间是，递减区间是；（2）
【详解】解:（1）的定义域是R，且.
①当时，恒成立，在R上单调递增，
②当时，令，则，即函数的增区间是，
同理，由得函数的递减区间是.
（2）由（1）知，当时，函数单调递增，与条件不符.
当时，函数)在上单调递增，在上单调递减，
∴
由条件得，，解得.
又∵，
∴在上存在唯一零点，
.
令，则
∴当时，单调递增，.
∴
即在上存在唯一零点．
综上所述：.
22．【答案】（1）极大值为 ，极小值为 ；（2） ．
【详解】由题意可知函数 的定义域为R．
（1）因为 ．
所以 ，
由 ，得 ， ，
当 时， ，函数单调递增，
当 时， ，函数单调递减，
当 时， ，函数单调递增，
因此，当 时， 有极大值，并且极大值为 ；
当 时， 有极小值，并且极小值为 ．
（2）因为 ，
所以 为一个零点．
所以“函数 ，在定义域内有三个零点”可以转化为“方程 有两个非零实根”．
令 ，则 ，
所以，当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， 有最小值 ， 时， ， 时， ．
若方程 有两个非零实根，则 ，即 ．
若 ，方程 只有一个非零实根，
所以 ．
综上， ．
23．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为，
所以，依题意，解得；
（2）因为的定义域为，
又，
所以恒成立，
令，，则，
令，，则，所以在上单调递增，
又，，
所以使得，即，，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
即实数的取值范围为.
24．【答案】（1）
（2）见详解
【详解】（1）在上连续不断，且，
由在上单调递增，因，则在上恒成立，
即在恒成立，
因在上单调递增，则，
故，即；
（2）由（1）可知：，且，令，可得，
由函数有两个不同的极值点，等价于有2个实根，
则，解得：，
由韦达定理可得：，则，
由，
因，则，，故．
25．【答案】（1）
（2）见详解
【详解】（1）当时，．
，即切点为．
，则．
所以切线方程为，即．
（2）．
①当时，，所以在单调递增．
②当时，由可得，由可得．
所以在单调递减，在单调递增．
综上所述，当时，在单调递增；当时，
在单调递减，在单调递增．
26．【答案】（1）
（2）单调递增区间为，单调递减区间为；极大值为，极小值为
【详解】（1），切点坐标为，
，即，解得，
.
（2），定义域为，
得或，
得或得；
的单调递增区间为，单调递减区间为；
的极大值为的极小值为.
27．【答案】（1）的最小值是，无最大值；
（2）见详解.
【详解】（1）由题意的定义域为，
且，
因为恒成立，
所以在上单调递增，
又，所以时，，时，，
即在上递减，在上递增，
所以的最小值是，无最大值；
（2）的定义域为，
，
因为是的两个极值点，
所以是方程的两个正根，且，
由得，
，
令，
则，
所以在上单调递减，故，
即
28．【答案】（1）
（2）
（3）见详解
【详解】（1）解：由，可得，
令，可得，因为，所以或，
当时，，当上，；
当 上，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以在上的最大值为.
（2）解：由函数，可得，
则，
当时，，所以在上单调递减，没有最小值；
当时，令，可得，令得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，则.
（3）证明：根据题意，要证成立，即证成立，
由（2）知当时，，
所以，即，所以，
令，则，
所以在上单调递增，所以，
所以，即成立，所以原不等式成立.
29．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为函数是偶函数，
所以有，
；
（2）由（1）可知，
因为函数有且只有一个零点，
所以方程有唯一实数根，
，
令，，
，
函数有且只有一个零点，
等价于方程有唯一正实数根，且，
当时，，，符合题意，
当时，方程有两个相等的正实数根，
则有，或，
当时，方程化简为：，不符合题意；
当时，方程化简为：，
所以符合题意；
当时，方程有两个不相等的实数根，且一正一负，
所以有，显然成立，
综上所述：的取值范围.
30．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）当时，则，，
所以，
所以函数在点处的切线方程为，
即；
（2）函数的定义域为，
又，
当时恒成立，
在上单调递增，无极值.
当时，由，解得，
由，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极大值，极大值为.
令，
解得，所以的取值范围为.
31．【答案】（1）是，理由见详解
（2）
（3）6
【详解】（1）因为，
因为时，，所以是上的函数.
（2）由题知，在上恒成立，
则，令，，
则，
当时，；当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以实数的取值范围为.
（3）因为对上恒成立，
所以，
当时，得，
又，当且仅当时取等号；
且当时，单调递减，
所以当时，有最大值，即，
当时，恒成立；
当时，，
又，当且仅当时取等号，
又时，单调递减，
所以当时，有最小值，即，
综上得，
不妨设，则，即，
令，则，使函数在上单调递增，.
则，即，即，对成立，即，
所以实数的最大值为6.
32．【答案】（1）
（2）
【详解】（1），定义域是，
，
当时，，递增，时，，递减，
所以时，取得极大值也是最大值；
（2），，则，
设，
则，
时，，递增，时，，递减，
所以，
所以，即的取值范围是.
33．【答案】（1）见详解
（2）①；②见详解
【详解】（1）假设存在满足题意，意知．
由得，解得．
由得，化简得．
代入上式可解得，或，
因此为“同切函数”．
（2）由题可知，因为为“同切函数”，故存在不同的，不妨设，
使得，
即，．
（i）先证：，即证：，
令，则由，可知，要证上式，只需证：
，易知，
故在单调递减，所以，故有成立，
由上面（2）式可得得；
由上面（2）式可得：，代入到（1）式中可得：
即．
又，因此实数的取值范围．
（ii）因为，所以，
故要证，只需证，
即证．
设，即证，
，令，
，
由，得，所以，
在单调递增，故，
下面证明在上恒成立，
令，则，所以当时，，
当时，，所以在处取得最小值，，
所以在上恒成立，所以当时，，即，
故在上单调递增，则，
所以原不等式成立．
34．【答案】（1）；
（2）见详解；
（3）.
【详解】（1）当时，，求导得，则，而，
所以函数的图象在处的切线方程为.
（2）函数的定义域为，求导得，
当时，由，得或，
①当时，由，得或，由，得，
函数在和上单调递增，在上单调递减；
②当时，由，得或，由，得，
函数在和上单调递增，在上单调递减；
③当时，由，得，由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减；
④当时，由，则函数在上单调递增.
所以当时，函数的单调增区间为，减区间为；
当时，函数的单调增区间为和，减区间为；
当时，函数的单调增区间为，无减区间；
当时，函数的单调增区间为和，减区间为.
（3）当时，不等式转化为，
令函数，求导得，
令（），求导得，函数在上单调递减，
且，，则函数在内存在唯一的零点，
当时，，，在上单调递减，
当时，，，在上单调递增，
则，又，即，
则，即，
所以，即实数的取值范围为.
35．【答案】（1）
（2）
【详解】（1），
由函数在点处的切线斜率为5，
可得，
解得.
（2）方程在有解，等价于求在区间上的值域，
由第一问知，
当时，解不等式，可得或，此时递增，
解不等式，可得，此时递减，
因此在上递增，在上递减，在上递增，
由于，所以是函数的极大值点，极大值为，
是函数的极小值点，极小值为，
又因为，所以函数的最大值为12，最小值为0，
即函数的值域为，
所以实数的取值范围为.
36．【答案】（1）
（2）见详解
（3）见详解
【详解】（1）由题可知．
所以，
故的伴生函数为．
（2）由已知得，
所以
．
因为曲线上任意一点处的切线斜率均不小于2，
故在上恒成立．
又，所以，
所以当时，．
（3）因为，所以．
设，则．
注意到，则在上一定存在极值点．
令为其中一个极值点，则，
即，所以，
因为，所以，故．
37．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）正实数满足，可得，即，
所以，
又，所以，所以当即时，取得最大值为．
（2）依题意可得，即，
由对称性不妨假设，令，则有，
则有，
设
所以在单调递增，则有，
所以，即，即，即，
综上，．
（3）已知对任意的正实数，均有，
不妨设是中的最小值，则令，其中.
将代入不等式并化简可得.
若或，则不等式对任意实数均成立.
因为，所以要使不等式成立，即.
若，则不等式对任意实数均成立.
若，设.
当时，不等式可整理为.
设，对其进行变形可得.
对求导，，令，，
因为，所，即在上单调递增.
令，即，化简可得，
令，则，解得(舍去），即.
则存在，且，所以在上单调递减，在上单调递增.
所以，因为，所以，则，所以.
又因为，所以，则，
因为，所以，所以，所以，所以.
当时，不等式可整理为，
此时，所以时，不等式恒成立.
38．【答案】（1）见详解；
（2）.
【详解】（1）函数的定义域为，
求导得，
令，求导得，函数在上单调递增，
又，取，且，
显然，因此存在唯一，使得，
当时，单调递减，当时，单调递增，
当时，取得极小值，无极大值，
所以有唯一极值点.
（2）由（1）知，，即，
依题意，，将代入整理得，，
设，求导得，
于是函数在上单调递减，又，则，解得，
因此，解得，
所以的取值范围是.
39．【答案】（1）
（2）见详解
【详解】（1）由题意，函数的定义域为，
则，
因为函数在处的切线与轴平行，
所以，
解得．
（2）函数的定义域为
且，
当时，；
当时，，
所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．
所以当时，函数取到极大值，
当时，函数取到极小值．
40．【答案】（1）在，上单调递增
（2）在其定义域上存在两个极值点
（3）1
【详解】（1）的定义域为，
当时，，由，
所以可得，
当时，，则，
综上可得，
令，则恒成立，
所以在，上单调递增.
（2）因为，，
所以，使，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以在（0，1）上有一个极小值点.
因为，，
所以，使，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以在上有一个极小值点，
所以在其定义域上存在两个极值点.
（3）由（2）知，是函数的零点，
所以，
所以，所以.
因为，所以，且在，上各存在一个零点，，
所以，即，
所以所有极值点的乘积为.
41．【答案】（1）1；
（2）.
【详解】（1）函数的定义域为，求导得，
函数在上单调递增，而，
所以的零点是1.
（2）函数的定义域为，求导得，
当时，，函数在上单调递增，无极值；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得极小值，
依题意，，即，
由（1）知，在上单调递增，且，
因此不等式的解集为，
所以a的取值范围为.
42．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）设曲线在点处的切线的斜率，
直线的斜率为，
因为曲线在点处的切线与直线垂直，
所以，即，
又的导函数，
所以，
所以，
所以，
（2）由若在上单调递增，可得在上恒成立，
由（1）可得在上恒成立，
所以在上恒成立，
所以，其中，
又当时，，当且仅当时等号成立，
所以，
所以，
所以的取值范围为.
43．【答案】（1）
（2）存在；
（3）
【详解】（1），则，
因为在其定义域内单调递减，所以恒成立，
结合二次函数的性质，开口向下，令可得.
（2）设存在，
则，即，
代入展开可得，
比较的系数可得，即，
验证其它项也满足，故.
（3）
，
令，因为，所以，
则原函数可变为，则，
因为函数在区间上有且仅有一个极值点，
所以在上有且仅有一个极值点，即在有且仅有一个变号零点，
，，
所以，
所以正数的取值范围为.
44．【答案】（1）
（2）见详解
【详解】（1）因为，所以，
因为过点，所以解得，
又因为，在点处的切线方程为，
所以，,
所以.
（2）因为，令，
解得，，
①当即时，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
当时，，为增函数；
②当即时，，
在上为增函数；
③当即时，
当时，，为增函数；
当时，，为减函数；
当时，，为增函数；
综上：当时，的单调递增区间为和，递减区间为；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为和，递减区间为.
45．【答案】（1）
（2）
（3）见详解
【详解】（1）因为，所以
令得，的变化情况列表如下：
增函数 极大值 减函数
所以的极大值为，
因为，所以，
令得，的变化情况列表如下：
增函数 极大值 减函数
所以的极大值为，
所以由已知得，即.
（2）由题意可知：，，即，
所以即且，
又因为，
设，由（1）知在上单调递增，所以，
，令，
则，
在上，，在单调递减，
在上，，在单调递增，
所以，即的最小值为；
（3）存在唯一的点对关于对称，
理由：假设存在，设，
于是，
得，即，
令，则，
所以在上单调递减，，
由零点存在定理，使得
即存在唯一的点对关于对称.
46．【答案】（1）
（2）单调递增区间为，单调递减区间为．
（3）见详解
【详解】（1）由题可知，则，
又，所以的图象在点处的切线方程为．
（2）由题可知，令，可得，
当时，，当时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
（3）由题可知不等式即．
因为在上单调递增，
，，
所以，使得．
当时，，即．
设，则在上，，
所以在上单调递减，
所以当时，．
当时，，即．
设，，
则．
令，，则．
令，，
则，得在上单调递增，
所以，
得在上单调递增，所以，
则，在上单调递增，
则．
由题可知，解得．
又，所以．
47．【答案】（1）
（2）见详解.
【详解】（1），
原不等式可化为，
设，
因为，当且仅当时等号成立，
当时，，所以在上单调递减，
故，满足题意；
当时，令，可得，设方程的解为，
因为在上单调递增，所以在上单调递减，
则当时，，当时，，
所以函数在上增，在上递减，
又，所以时，，不满足题意；
当时，，故在上单调递增，所以，不符合题意；
综上，a的取值范围为.
（2）由（1）知，当时，在上恒成立，
即在上恒成立，当等号成立，
令，可得，
即，
由同向不等式相加可得，
，
即.
所以
48．【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是
（2）最大值，最小值
【详解】（1）定义域为，，
令，得，
列表如下：
2
0
↗ ↘
由上表知，在上，单调递增；
在上，单调递减；
∴的单调递增区间是，单调递减区间是；
（2），，
∵，∴，
由（1）知，在上递增，在上递减，
∴当时，取最大值；
∴当时，取最小值.
49．【答案】（1）
（2）① ；②见详解
【详解】（1），则，
所以，即切线斜率为1，切点为，
故处的切线方程为，即.
（2）①函数在上单调递减，
所以在恒成立，即在恒成立，
令，
当时，，
所以在上递减，则，
所以，解得，即的取值范围是.
②设为数列的前项和，
则，可知不等式成立．
当时，
，
欲证明，即，
只需证明，即，
因为当时，，所以，
由①知，当，函数在上单调递减，
所以，
即，当且仅当时等号成立，
因为，所以，
所以，即，
则，即，
所以.
50．【答案】（1）；
（2）；
（3）见详解.
【详解】（1）时，，
令，
，.
则的单调递增区间为：
（2），
则时，恒成立，
等价于时，恒成立.
令，则
注意到，则，对恒成立的一个必要条件为，
下面证明也是所涉恒成立的充分条件.
令，则，
即在上单调递增，
当时，注意到，，
结合在上单调递增，则使，
则，
则在上单调递减，则当时，，这与题意不符；
当时，，则，则在上单调递增，
又，则时，.
综上可知，当，恒成立时，；
（3），
其中满足，则令，
，
则在上递增，在上递减，
则极大值为.
要证，即证，注意到，
则
，其中.
令，.
因，.
则，
令，
则，
则在上单调递增，又，
则，使，
.
则，，
则在上递减，在上单调递增，
则，
令，
则，得在上递增，
则.
即当时，，故命题得证.
51．【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间是，极小值为，无极大值；（2）详见详解.
【详解】（1）函数的定义域为，且，
令得，则，的变化情况如下表示：
0
单调递减 单调递增
∴得单调递减区间是，单调递增区间是.
当，有极小值为，无极大值.
（2）令有：当时，；当时，，且经过，，.
当，与一次函数相比，指数函数增长更快，从而；当时，，，根据以上信息，画出大致图象如下图所示.
函数的零点的个数为与的交点个数.
当时，有极小值.
∴关于函数的零点个数有如下结论：
当时，零点的个数为0个；
当或，零点的个数为1个；
当时，零点的个数为2个.
52．【答案】（1）
（2）
（3）证明过程见详解
【详解】（1）当时，，求导得，
所以，
故所求为；
（2），求导得，
若，则恒成立，
这意味着此时在上单调递增，但这与的最大值为0矛盾，
故，
当时，，
，
所以在上单调递增，在上单调递减，
记，则
所以的最大值为，
设，
因为都是增函数，
所以是增函数，
注意到，
所以，解得，
综上所述，当的最大值为0时， ；
（3）当时，正实数满足，
即，
进一步变形得，
令，求导得，
，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，
解得或，
但由于都是正实数，
所以.
53．【答案】（1）；（2）；（3）见详解
【详解】（1），令时，，
∴函数恒过点 ．
，∴．
∵函数在处的切线方程为：，即．
（2）令．.
则，
∴时，函数单调递增，因此，因此．
①若，则，
则，可得：．
∴时，时，恒成立．
②时，时，．
令．
由，可得，
时，化为，恒成立，．
时，化为：．
下面证明：．
令．
．．
，
∴．
∴函数在上单调递增，∴．
∴成立，并且是其最小值．
∴．
综上可得：实数的取值范围是．
（3）由（2）知：当时，，
∴，
令 ，∴，
∴，
累加得：∴，
∴．
54．【答案】（1）极大值0，无极小值
（2）见详解
【详解】（1）当时,,
令则在上单调递减 ,又故存在唯一的,使即可推出
又,
在上恒为正,在上恒为负,
在上单调递增,在上单调递减,
,无极小值.
（2）
令则
在上单调递增,在上单调递减,又,有且只有一个零点有且只有两个零点等价于,有且只有两个零点,
令,,
当时,,在上单调递增,不合题,舍.
当时,,
在上单调递增,在上单调递减,又,,所以只需
此时有且只有两个零点,不妨设,
令,
则
,,在上单调递增,
,,
又,又,在上单调递减,.
55．【答案】（1），（）
（2）当销售单价（百元）时，利润最大；当销售单价（百元）时，利润最小.
【详解】（1）由题意：，（）.
（2）因为，（）.
设，（）.
则，因为，所以.
所以函数在上单调递增.
又，，
又
当时，，所以，所以在上单调递减；
当时，，所以，所以在上单调递增.
又，
，
.
所以当销售单价（百元）时，利润最大；当销售单价（百元）时，利润最小.
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