2025--2026高考数学第一轮复习：空间向量与立体几何 解答题专项练（含解析）

2025--2026高考数学第一轮复习:空间向量与立体几何解答题专项练
一、空间几何体的表面积与体积（本大题共8小题）
1．如图1，在直角梯形中，，．以直角梯形的下底所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成如图2所示的几何体（由圆锥和圆柱组合而成），且该几何体内接于半径为的球（点和圆柱的上下底面圆周均在球的球面上）．

（1）若，求几何体的体积；
（2）若，求几何体的表面积；
（3）当为何值时，圆柱的侧面积最大．
2．如图，是圆柱的两条母线，，是圆的直径，，且是母线上的动点.
（1）求证：平面平面；
（2）若是线段的中点，求直线与所成角的余弦值；
（3）若四面体的体积为，圆柱的体积为，求的值.
3．如图，某铁质零件由一个正三棱台和一个正三棱柱组成，已知正三棱柱的底面边长与高均为1cm，正三棱台的下底面边长为2cm，且正三棱台的高为1cm，现有一盒这种零件共重（不包含盒子的质量），取铁的密度为．

（1）试问该盒中有多少个这样的零件？
（2）如果要给这盒零件的每个零件表面涂上一种特殊的材料，试问共需涂多少的材料？
4．如图，在矩形和四分之一的拼接的平面图形中，，，将该图形绕所在直线旋转一周形成的面所围成的旋转体记为．
（1）求的体积；
（2）求的表面积．
5．如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，平面平面.
（1）求证：；
（2）求证：为直角三角形；
（3）若，求四棱棱的体积.
6．如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，点在线段上，平面，，是的中点．
（1）证明：平面．
（2）求三棱锥的体积．
7．如图，正四棱锥的底面积为3，为正方形的中心.

（1）若正四棱锥的高为，求它的表面积.
（2）若正四棱锥的外接球的表面积为，求正四棱锥的体积.
8．（1）已知圆锥的母线长是，侧面积是，求该圆锥的高？
（2）已知圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为，求它的体积？
二、直线、平面平行的判定及其性质（本大题共2小题）
9．如图所示，在三棱柱中，过BC的平面与上底面交于GH（GH与不重合）.
（1）求证：；
（2）若E，F，G分别是AB，AC，的中点，求证：平面平面BCHG.
10．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，N，M，Q分别为PB，PD，PC的中点．
（1）求证：QN平面PAD；
（2）记平面CMN与底面ABCD的交线为l，试判断直线l与平面PBD的位置关系，并证明．
三、空间角、距离（本大题共22小题）
11．如图，四棱锥的底面ABCD是正方形，是正三角形，平面平面ABCD，M是PD的中点.
（1）求证：平面MAC；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在棱PC上是否存在点Q使平面平面MAC成立？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.
12．如图，已知三棱台，底面是以为直角顶点的等腰直角三角形，体积为，平面平面，且.
（1）证明：平面；
（2）求点到面的距离；
（3）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由.
13．在中，，．若平面外的点和线段上的点，满足，，四面体的体积为．
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
14．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，.
（1）证明：平面PAC；
（2）求二面角的大小；
（3）点T是棱PC上的动点（不包括端点），求直线TD与平面ABCD所成角的正切值的取值范围.
15．如图，在长方体中，，．
（1）设、分别为和中点，求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的正切值．
16．如图，在多面体中，平面平面，四边形为正方形，四边形为梯形，且.

（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正切值.
17．如图，在三棱台中，和都为等边三角形，且边长分别为和，，，为线段的中点，为线段上的点，平面．
（1）求证：点为线段的中点；
（2）求点到平面的距离．
18．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，、分别是、的中点.

（1）求证：平面；
（2）若二面角的大小为，
（ⅰ）求与所成角的余弦值；
（ⅱ）求直线与平面所成角的大小.
19．如图，在三棱台中，，，，为线段上一点，.
（1）求证：点为线段的中点；
（2）若直线与直线所成角的正切值为5，，求证：平面平面.
（3）设二面角的大小为，直线与平面所成角的大小为，求关于的函数表达式，并求的取值范围.
20．如图，在三棱锥中，，，，.
（1）若为的重心，点在棱上，且，求证：平面；
（2）若三棱锥外接球的表面积为.
（i）求二面角的余弦值；
（ii）若点是棱上的动点（异于端点），求直线与平面所成角的取值范围.
21．如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长均为4，D，E分别为棱的中点，且平面ABC.
（1）求证：平面BDE；
（2）设为棱上一点（不包含端点），
①若为棱的中点（如图①），三棱柱被过G，B，D三点的平面所截，求截面的面积；
②求二面角的取值范围.
22．如图，是的直径，与所在的平面垂直，，是上的一动点（不同于），为线段的中点，点在线段上，且．

（1）求证：
（2）当时，求直线与直线所成角的余弦值
（3）当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值．
23．在中，，，，是边上的动点（不与，重合），过点作的平行线交于点，将沿折起，点折起后的位置记为，得到四棱锥，如图所示．

（1）证明：平面；
（2）若为中点，且平面平面，求二面角的余弦值；
（3）若为中点，是否存在点，，使得，若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．
24．如图，与所在平面互相垂直，在直角三角形中，，在中，，，点、分别在线段、上，将沿直线向上翻折，使点与点重合．
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）判断四棱锥是否存在外接球，若存在，求出外接球半径，若不存在说明理由．
25．如图，已知是圆柱下底面圆的直径，点C是下底面圆周上异于A，B的动点，，是圆柱的两条母线.
（1）证明：平面；
（2）若该圆柱的侧面积等于两底面面积的和，当C为弧的中点时，求直线与平面所成角的正切值.
26．如图是由6个边长为2的正三角形拼接而成的六面体，M，N分别为PC，AB的中点.
（1）求该六面体的体积；
（2）求证：；
（3）求直线MN与平面ABQ所成角的正弦值.
27．如图，四棱锥中，底面，，，，为上一点.

（1）证明：平面平面；
（2）若为的中点，求二面角的平面角的正切值.
28．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面，为的中点，，.

（1）求证：平面平面；
（2）求四棱锥的体积；
（3）求直线与平面所成角的正弦值.
29．如图，在四棱锥中，底面四边形是正方形，平面，二面角为.
（1）证明：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
30．已知正四棱锥P-ABCD，M，N分别是BC，PD的中点．
（1）证明：平面；
（2）若四棱锥各棱长均为2，求直线CN与AM所成角的余弦值．
31．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点．
（1）证明：平面；
（2）求与平面所成角的大小．
32．如图，在四棱锥中，，为棱的中点，平面，二面角的大小为．
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求点到平面的距离．
四、立体几何综合问题（本大题共2小题）
33．在直角梯形中，，，，（如图1），把沿BD翻折，使得平面BCD，连接AC，M，N分别是BD和BC的中点（如图2），请用几何法求解下列问题：
（1）证明：；
（2）当平面平面时，求二面角的正弦值；
（3）若P，Q分别在线段AB，DN上，且（如图3），令PQ与BD所成的角为，PQ与AN所成的角为，求的取值范围．
34．如图，在三棱锥中，，．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）若，，用平面α将三棱锥分为两部分，求截面面积的最大值．
五、空间向量在立体几何中的应用（本大题共21小题）
35．如图，在长方体中，，，．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
36．如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点，，，，，．
（1）求点到平面的距离；
（2）在线段上是否存在点，使得平面 若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．
37．如图，将沿直线旋转至，再将沿直线旋转至，且使得平面.
（1）证明：；
（2）若为正三角形，且，求直线与平面所成角的正弦值.
38．如图，在多面体中，底面是边长为的正方形，，平面，且三棱锥的体积为．
（1）若平面，求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的正弦值．
39．在平行四边形中，为中点，将沿直线翻折至．设是线段的中点，．

（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积；
（3）求直线与平面所成角的正弦值．
40．如图，在平面四边形中，为等腰直角三角形，为正三角形，，.现将沿翻折至，形成三棱锥，其中为动点.
（1）证明：；
（2）若，三棱锥的各个顶点都在球的球面上，求球心到平面的距离；
（3）求平面与平面夹角余弦值的最小值.
41．如图1，在平行四边形中，，E为的中点．将沿折起，连接与，如图2．

（1）当为何值时，平面平面
（2）设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
（3）当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的内切球的半径．
42．如图，直四棱柱的底面为直角梯形，为的中点，点为棱上一动点.
（1）证明：平面；
（2）当点为棱的中点时，证明：平面平面；
（3）若二面角的余弦值为，求的值.
43．如图，在三棱锥中，为的中点，点F在上，且平面．

（1）若平面，求；
（2）若，求平面与平面夹角的正切值．
44．如图，在三棱柱中，平面ABC，D，E分别为AC，的中点，，．
（1）求证：平面BDE；
（2）求直线DE与平面ABE所成角的正弦值；
（3）求点D到平面ABE的距离．
45．如图，在三棱柱中，，，．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．
46．如图，三棱锥中，，，，平面平面，是中点，且满足.
（1）证明：；
（2）求二面角的正弦值.
47．如图1，在直角梯形中，已知，现将沿折起到的位置，使平面平面，如图2.
（1）求证：；
（2）求与平面所成的角的正弦值；
（3）求二面角的平面角的余弦值.
48．在中,，, 将 绕着CD旋转得到三棱锥
（1）求三棱锥 体积的最大值.
（2）若平面 平面，求平面 与平面BCD夹角的余弦值.
49．如图，在三棱锥中，平面ABC，，M，N分别为PC，AB的中点．
（1）求异面直线PC与AB间的距离；
（2）求二面角的余弦值．
50．如图，在四棱锥中，四边形是菱形， 平面， ，，，分别是线段，上的动点，且，.
（1） 若，求 的值；
（2） 当时，求直线与平面所成角的正弦值；
（3） 若直线与线段交于点，于点，当的长度最小时，求 的值.
51．如图，在平面图形甲中，，，与分别为以斜边的等腰直角三角形，现将该图形沿向上翻折使边重合（重合于），连.图乙中，为中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求平面与平面夹角的正弦值.
52．如图，在四棱锥中，平面PAD，．
（1）证明：平面ABCD；
（2）若底面ABCD是正方形，，E为PB中点，点F在棱PD上，且异面直线AF与PB所成的角为60°．
（ⅰ）求的长度；
（ⅱ）平面AEF交PC于点G，点M在线段PB上，求EG与平面所成角的正弦值的取值范围．
53．如图，在直三棱柱中，，D，E分别为的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，二面角的大小为，求直线与平面所成角的大小.
54．在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，．
（1）用，，表示，，；
（2）求异面直线AC与所成角的正切值．
55．在梯形中，为的中点，线段与交于点，将沿折起到的位置，使得平面平面.

（1）求证：平面；
（2）线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）如图，设球心为，由题知为的中点，且（其中为外接球的半径），
又球半径为，，则，
所以，则圆柱的体积为，圆锥的体积为，
则几何体的体积.

（2）因为，不妨设，
由题知，得到，
则，又，则，
所以圆柱的表面积为，
圆锥的表面积为，
所以几何体的表面积为.
（3）设，则，
则圆柱的侧面积为，
当且仅当，即时取等号，即当时，圆柱的侧面积最大.
2．【答案】（1）见详解
（2）
（3）
【详解】（1）由题意平面，又平面，
，
又，平面，
平面平面，
平面平面.
（2）连接，因为，所以为所求角，
依题意，，所以，
又为正方形的边的中点，所以，
故.
所以.
所以直线与所成角的余弦值为.
（3）平面平面
平面，
到平面的距离等于点到平面的距离，
，
.
3．【答案】（1）100个
（2）
【详解】（1）设等边三角形的边长为，则由三角形面积公式可得该三角形面积为，
故正三棱柱的体积，
正三棱台的体积，
所以该零件的质量为，
所以该盒中共有零件个．
（2）如图，设D，分别为三棱台所在棱的中点，O，分别为三棱台上、下底面的中心，
连接，OD，，．

因为，所以，
同理可得，
所以，
所以三棱台的侧面积为，
所以一个零件的表面积为．
因为，
所以共需涂的材料．
4．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）依题意得，旋转体的上方是一个半球体，下方是一个圆柱，如图所示．
，，
，
，
，
所以的体积为．
（2），，
，
，
．
所以的表面积为．
5．【答案】（1）见详解
（2）见详解
（3）
【详解】（1）作，E为垂足，如图，
在等腰梯形ABCD中，，
∴，，
∴，
∴，∴．
（2）∵，平面平面PCD，平面平面PCD，平面PCD，
∴平面ADP，又平面ADP，
∴，又，
∵平面ACP，
∴平面ACP，
∵平面ACP，∴，
∴，即为直角三角形.
（3）由（1）知在等腰梯形ABCD中，．，
．∴．∴．
又平面ADP，为直角三角形，，
∴，，
∴．
∴．
6．【答案】（1）见详解
（2）4
【详解】（1）证明：因为平面，所以．
又，所以是的中点，
所以，．
取的中点，连接，，
可知，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，从而．
因为平面，平面，
所以平面．
（2）因为平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，
所以，
又因为，，
，所以三棱锥的体积为4.
7．【答案】（1）9
（2）或
【详解】（1）由题意知平面，过点作交于点，连结.
则点为的中点，所以，
因为底面积为3，可得，则.
因为四棱锥的高为，所以.
所以.

（2）设外接球半径为，由外接球表面积，可得.
因为底面积，设底面正方形边长为，
则，，底面正方形对角线长，
所以底面正方形外接圆半径.
由题，正四棱锥外接球的球心在上，
设球心到底面距离为，由，可得，
当顶点与球心在底面异侧时，正四棱锥的高；
当顶点与球心在底面同侧时，正四棱锥的高.
根据正四棱锥体积公式，当时，；
当时，.
8．【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设圆锥的母线长为，高为，底面半径为，
则该圆锥的侧面积为，解得，
故该圆锥的高为；
（2）如图是圆台的轴截面，圆台上、下底面半径分别为、，母线长为，设圆台的高为，
则，解得，
故该圆台的体积为.
9．【答案】（1）见详解
（2）见详解
【详解】（1）在三棱柱中，
平面平面，平面平面，平面平面，
故
（2）在三棱柱中，
，，分别是，，的中点，
，
四边形是平行四边形，，
平面，平面，
平面．
又，平面，平面，
平面．
，平面
平面平面．
10．【答案】（1）见详解
（2）l平面PBD，见详解
【详解】（1）
证明：∵底面ABCD是菱形，N，M，Q分别为PB，PD，PC的中点．
∴QNBC，BCAD，∴QNAD，
∵QN平面PAD，AD 平面PAD，
∴QN平面PAD；
（2）
直线l与平面PBD平行，证明如下：
∵M，N分别为PD，PB的中点，
∴MNBD，
∵BD 平面ABCD，MN平面ABCD，
∴MN平面ABCD，
∵平面CMN与底面ABCD的交线为l，
∴由线面平行的性质得MNl，
∵MNBD，∴BDl，
∵，且BD 平面PBD，平面PBD，
∴l平面PBD．
11．【答案】（1）见详解
（2）
（3）存在，
【详解】（1）设，交于点，连接，则为中点.
在中，，分别为，中点，所以.
因为平面，平面，
所以平面.
（2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接.
因为平面平面，平面平面，
所以平面.
因为平面，所以.
又，，，平面.
所以平面.
因为平面，所以，
则即为平面与底面所成二面角的平面角.
设，则，，故，
所以，
即二面角的余弦值为.
（3）存在点，当时，平面平面.
证明如下：
如图，取中点，连接交于点，连接，
因为是正三角形，所以.
因为平面平面，平面平面，
所以平面.
因为，所以，所以平面.
因为平面，所以.
因为底面是正方形，所以.
又，，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，
所以棱上点存在点，当时，平面平面.
12．【答案】（1）见详解；
（2）；
（3）存在，.
【详解】（1）在三棱台中，平面平面，，
而平面平面，平面，
所以平面.
（2）由棱台性质知：延长交于一点，

由，得，点到平面的距离为到平面距离的2倍，则，
于是，由平面，得为点到平面的距离，
又，则是的中点，，即为正三角形，为正三角形，
设，则，
，解得，
，由平面，得，，
，设点到平面的距离为，
由，得，解得：.
即点到平面的距离为.
（3）由平面，平面，得平面平面，取中点，连接，
在正中，，而平面平面，则平面，而平面，
则，又平面，则平面平面，作于，
平面平面，则平面，，而平面，则，
作于，连接，，平面，则平面，
而平面，于是，即二面角的平面角，
设，由（2）知：，，
由，得，，
由，得，
若存在使得二面角的大小为，
则，解得，
，
所以存在满足题意的点，.
13．【答案】（1）见详解
（2）
【详解】（1）取中点，连接，
由，，
得，，
又因为，且，平面，
所以平面，
因为平面，所以．
（2）设点到平面的距离为，直线与平面所成角为，
则四面体的体积为，
由题意有，得，
故，即直线与平面所成角的正弦值为．
14．【答案】（1）见详解
（2）
（3）
【详解】（1），
所以，
所以在中，由余弦定理得
所以，所以
因为底面ABCD，平面ABCD，所以.
又平面PAC，所以平面PAC.
（2）取BP的中点E，过点D作平面PBC，DF交平面PBC于点F，连接CF.
因为平面ABCD，平面PAB，所以平面平面ABCD.
因为平面平面，所以平面PAB.
因为平面PAB，所以.
因为，所以
又BP，平面PBC，，所以平面PBC.
因为平面PBC，平面PBC，所以平面PBC，
所以点A到平面PBC的距离等于点D到平面PBC的距离，所以
由（1）知平面PAC，因为平面PAC，所以.
因为平面PBC，平面PBC，所以.
又DF，平面CDF，，所以平面CDF.
因为平面CDF，所以.
由，平面平面，知是二面角的平面角的补角.
由，得.
所以二面角的大小为.
（3）过点T作TG平行于PA，交AC于点G，连接GD.
因为平面ABCD，AB，平面ABCD，所以.
因为，所以.
因为，AB，平面ABCD，所以平面ABCD，
所以TD与底面ABCD所成的角为.
设，所以，即，所以.
所以.
由函数单调递增，得：
所以直线TD与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为.
15．【答案】（1）见详解
（2）
【详解】（1）取中点，连接、，如图所示：
因为为中点，所以，且，
又是长方体，所以或，
因为为中点，所以且，
所以，且，四边形为平行四边形，所以．
又平面，平面，因此，平面．
（2）连接，如图所示：
因为平面，平面，所以，
又，所以是异面直线与所成角（或其补角），
由勾股定理可得，
因此，异面直线与所成角的正切值为．
16．【答案】（1）见详解
（2）
【详解】（1）证明：因为四边形为正方形，所以，
又因为平面平面平面，平面平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面.
（2）连接，设.
因为.
所以，
又因为，所以.
由余弦定理得，
所以，即，
由（1）知平面平面，则，
而平面，
所以平面，
所以就是直线BE与平面所成的角，
在中，，
所以直线与平面所成角的正切值为.

17．【答案】（1）见详解
（2）
【详解】（1）由已知为三棱台，
则，
又，，且点为中点，
，，
四边形为平行四边形，
，
又平面，平面，
平面，
平面，且，，平面，
平面平面，
平面平面，平面平面，
，
为中点；
（2）
连接，，
由（1）可知，，
又，
即，，
又，，平面，
平面，
，
易知四边形为直角梯形，则，
同理，
四边形为等腰梯形，
且等腰梯形的高为，
则，
设点到平面的距离为，
则，
即，
解得.
18．【答案】（1）见详解
（2）；
【详解】（1）如图，因为点是正方形的对角线的中点，所以三点共线，连结，
点是对角线的交点，所以是的中点，是的中点，
所以，
平面，平面，
所以平面

（2）（ⅰ）连结，
若二面角的大小为，
则平面平面，且平面平面，
，且平面，
所以平面，平面，
所以，

又因为，所以，则，
又，，
异面直线与所成的角为与所成的角，为或其补角，
中，，
所以异面直线与所成角的余弦值为；
（ⅱ）取的中点，连结，因为，所以，
所以平面，
连结，为直线与底面所成的角，
因为底面边长为1，，
所以,，
,
所以.

所以直线与平面所成角的大小为.
19．【答案】（1）见详解
（2）见详解
（3）
【详解】（1）过作交于点，连接.
，，平面，.
，为的中点.
在梯形中，，∴梯形为等腰梯形.
又，为线段的中点.
（2）由（1）知，为二面角的平面角，过作交于点，则，连接.
在等腰梯形中，，.
.又，∴四边形为平行四边形，
.
为直线与所成角（或补角），
，.
在中，，.
由余弦定理得：，得：
，解得，或（舍），
在中，，，，.
.
二面角为直二面角，即平面与平面所成二面角为直二面角，
平面平面.
（3）设在底面的投影分别为，，N到平面的距离为，
则，则为直线与平面所成角，.
，，.
为钝角时，在的外部，，
，
.
当为锐角时，在的内部，
，.
.
当为直角时，也符合，
综上，.
设是（上半圆，不包括与轴的交点）上任意一点，
则可看作是半圆上一点与点连线的斜率.
直线与半圆相切时，直线的斜率最小值为.
与连线的斜率的取值范围为，
的取值范围为.
20．【答案】（1）见详解；
（2）（i）；（ii）.
【详解】（1）证明：取中点，连接，
因为为的重心，所以在且，
因为点在棱上，且，
所以，又在平面外，平面，
所以平面；
（2）（i）因为三棱锥外接球的表面积为，所以三棱锥外接球的半径为，
在中，所以球心即为中点，
所以.
因为，所以与全等，，
过作交于点，连接，则，
所以为二面角的平面角，
因为，，
所以二面角的余弦值；
（ii）由题可得，又由（i）可得，
因为，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，
过作平面交平面于点，则，连接，
则即为直线与平面所成角，
设，
在中，
所以，
所以，则，
在中，
所以，
因为，
所以，
所以，即直线与平面所成角的取值范围为.
21．【答案】（1）见详解
（2）①；②二面角的取值范围
【详解】（1）如图所示，连接，由题意可知平面，四边形是菱形，
平面，所以，又因为D为棱的中点，是正三角形，
所以，又，不面，
所以平面，
又因为平面，所以，
在菱形中，有，
而D，E分别为棱的中点，则，所以，
因为，平面，所以平面；
（2）①取的中点，取的中点，连接，
则且，又且，
所以且，所以四边形是平行四边形，
所以且，因为分别为的中点，
所以且，所以，
所以过过G，B，D三点的截面即为四边形，
因为平面，平面，所以，
故截面为直角梯形，又底面是边长为4的等边三角形且，
所以，，
所以截面面积为；
②过作交于，连接，则，
因为平面，平面，所以，
故二面角的平面角即为，
若为棱上一点，且，
因为，
所以，
，
所以，
令，
，
由双勾函数的性质可得在上单调递减，
所以，所以，
所以，
故二面角的取值范围.
22．【答案】（1）见详解
（2）
（3）
【详解】（1）因为平面，平面，所以，
又因为，平面，所以平面，
又因为在平面内，所以
又因为，平面，所以平面，
又因为平面，所以．
（2）因为，所以，所以
又因为为等腰直角三角形，为的中点，所以
取的中点为，连接，则，且，
所以为异面直线，所成的角或其补角
在直角中，，所以，
在中，，
所以，
直线与直线所成角的余弦值为．
（3）设，则，

设，则．
过点作的垂线，垂足为，
由于是确定的，
所以当三棱锥的体积最大时，
即为点到平面的距离最大，
即点到平面的距离最大．
过点向作垂线，垂足为，又因为平面，
所以，平面，所以平面，
所以为点到平面的距离．
故，
，
当，即时等号成立
此时，，则点到平面的距离为
，
故直线与平面所成角的正弦值为．
23．【答案】（1）见详解
（2）
（3）存在；
【详解】（1）由题意知，又平面，平面
所以平面
（2）在中，由余弦定理
，，
，
在翻折过程中，，
为二面角的平面角
平面平面，
，
又，且，平面，
平面
为中点，
法1：作于，连接
则在平面的射影为
平面，
且，平面，
平面
，平面，，
为二面角的平面角，设
法2：，，
取中点为，连，，则，
为二面角的平面角，设
，，
又，，
，，
二面角的余弦值为
（3），
，平面，，
平面
平面，
平面平面
过作于，
平面平面，平面，
平面
平面，
当且仅当，显然，在线段延长线上
如图，作于

则和都是等腰直角三角形
为中点，
设，则，
，
即，，故存在，使得
其中，在平面上射影为
在延长线上，且
24．【答案】（1）见详解
（2）
（3）不存在外接球，理由见详解．
【详解】（1）因为平面平面，平面平面，，平面，故平面
而平面，所以
又，平面，
所以平面，又平面，
所以.
（2）连接．设，则，，
由（1）知：平面，平面，则
在中，又得：
又，，故，
所以，即为的中点．
设与平面所成的角为，点到平面的距离为，
则，
所以与平面所成的角的正弦值为．
（3）由（1）平面，因平面，则，
由得：，解得：，则
所以
取的中点，连结，．在中，，
由（1）知：，
即为三棱锥的外接球的球心．
又，即
故四棱锥不存在外接球．
25．【答案】（1）见详解
（2）
【详解】（1）因为，是圆柱的两条母线，
所以，且，所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）因为是下底面圆的直径，C是下底面圆周上异于A，B的动点，
所以，
又因为是圆柱的一条母线，所以底面，
而底面，所以.
因为平面，平面，且，
所以平面.
又由（1）知，所以平面
所以为直线与平面所成的角.
设圆柱的底面圆半径为r，母线长为l，
因为圆柱的侧面积等于两底面面积的和，所以，得，
又C为弧的中点，所以，
所以在中，
在中，
所以直线与平面所成角的正切值为.
26．【答案】（1）
（2）见详解
（3）
【详解】（1）由题可知该六面体是由两个正四面体组成，在底面ABC的射影位于底面中心，
在中，，
.
（2）证明：连接CN，PN
为正三角形，为AB中点，，
又平面，平面PCN，
又平面.
（3）平面，同理可得平面，三点共线，
又，与CN交于点，四点共面，
连接QN，过作直线NQ的垂线交QN于点，
可知平面PCN，由（2）知，
又平面，
即为直线MN与平面ABQ所成的角，
因为，在中，
，，
，，
，
即直线MN与平面ABQ所成角的正弦值为.
27．【答案】（1）见详解
（2）
【详解】（1）连接、，设，
因为，，，所以，
所以，故，
因为平面，平面，所以，
因为，、平面，故平面，
因为平面，因此平面平面.
（2）当为的中点时，连接，
由（1）可知，因为，则为的中点，所以，
因为平面，所以底面，
因为平面，所以，
又因为，，、平面，所以平面.
过点在平面内作于，连接，

因为平面，平面，所以，
因为，、平面，所以平面，
因为平面，所以，
所以即为二面角的平面角，
因为，在直角三角形中，，
，
因为底面，平面，所以，
所以，
因为，由等面积法可得，
所以，故二面角的正切值为.
28．【答案】（1）见详解；
（2）；
（3）.
【详解】（1）平面，平面，
，
为等边三角形，为的中点，
，
又，平面，
平面，
又平面，
平面平面.
（2）由（1）知平面，
，，
又为的中点，根据三线合一的性质，，
平面，平面，
，根据勾股定理，
，
，
，
.
（3）过点作于，连接，

由（1）知平面平面，平面平面，
平面，
直线与平面所成角即为，
又，，
根据相似三角形对边成比例，在Rt中，，
，，
，，
，即直线与平面所成角的正弦值为.
29．【答案】（1）见详解；
（2）.
【详解】（1）在四棱锥中，由平面，平面，得，
由四边形是正方形，得，而平面，
因此平面，又平面,
所以平面平面.
（2）由（1）知，平面，而，则平面，又平面，
于是，为二面角的平面角，则，
令正方形的棱长为4，而，则，
取中点，连接，则，由（1）知平面平面，
又平面平面，平面，则平面，
是直线与平面所成的角，而，
，所以直线与平面所成角的正弦值为.
30．【答案】（1）见详解
（2）
【详解】（1）取的中点为，连接,
由于是中点，故,且，
又且，
故,则四边形为平行四边形，
故平面, 平面,
故平面
（2）由（1）知：故或其补角即为直线CN与AM所成角，
由于为边长为2的等边三角形，故，
,
故,
故直线CN与AM所成角的余弦值为
31．【答案】（1）见详解
（2）
【详解】（1）因为，E为线段的中点，所以，
又底面，底面为正方形，
所以，，，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，，平面，
所以平面；
（2）由（1）知，平面，
所以为直线与平面所成的角，
设，则，，
在直角三角形中，，
所以直线与平面所成角为.
32．【答案】（1）见详解；（2）；（3）.
【详解】（1）连接为的中点，
，
四边形为平行四边形，
，在中，，
又平面平面，
∵平面，平面，
又平面，平面，
又平面平面平面.
（2）∵平面平面，，
又，平面，平面，
又平面，，
故为二面角的平面角，∴，
在中，作，垂足为，
由（1）知，平面平面，平面平面平面，
平面，则直线为直线在平面上的射影，
为直线与平面所成的角，
四边形为平行四边形，，
在中，，
.
（3）在三棱锥中，平面，
为三棱锥底面上的高，
又，
，
在三棱锥中，设到平面的距离为，
，
，
又.
33．【答案】（1）见详解；
（2）；
（3）.
【详解】（1）在直角梯形中，，，则，
在中，，，
则，即，由，点是的中点，得，
由点是的中点，得，则，而，平面，
所以平面.
（2）由平面平面，平面平面，，平面，
得平面，而平面，则，取的中点，连结，
由，得，而，
则，又平面，
因此平面，又平面，
则，为二面角的平面角，
在中，，，，
所以二面角的正弦值为.
（3）在线段上取点，使得，
则，，，，
由平面，平面，得，因此，
于是，
则，
所以的取值范围是.
34．【答案】（1）见详解；
（2）；
（3）.
【详解】（1）如图所示，取中点，连接， ，
因为，，可得且，
又因为，且平面，所以平面，
因为平面，所以.
（2）作交于H，连接，，
由（1）平面，平面所以平面平面，
因为平面平面，且平面，所以平面，
所以为直线与平面所成角，
又因为，所以，
因为，可得，
又因为，所以 ，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）如图所示，设平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，
因为，且平面，所以，
同理可证，，，即，
由（1）知，所以，所以截面为矩形，
设，其中，则，
所以矩形的面积，
当且仅当，即时，等号成立，所以截面面积的最大值为.
35．【答案】（1）见详解
（2）
【详解】（1）由长方体可知，，两两垂直，以为坐标原点，
向量，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
有，，，，，，．
因为，，，
所以，，
所以，，
又因为，平面，所以平面；
（2）设平面的法向量为，
由，，有
取，，，可得平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，
因为，所以，
，，
所以，
所以直线与平面所成的角的正弦值为．
36．【答案】（1）
（2）存在，点是中点
【详解】（1）因为平面平面，平面平面，
且平面，故平面．
以为原点，所在直线为轴，过点平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，得平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离为；
（2）由（1）知，平面的一个法向量为，
“线段上存在点，使得平面”等价于“”．
因为，设，，
则，，
所以，解得，
所以线段上存在点，即中点，使得平面.
37．【答案】（1）见详解
（2）
【详解】（1）如图：
过点作，垂足为，连接.
因为，所以，
又，平面，故平面.
又平面，所以.
（2）方法一：因为为正三角形，且，所以三棱锥为正三棱锥.
设正三棱锥的棱长均为，如图，取的中点，连接，，，
易知，，.
作平面于点，连接，易知点为的中心，且在线段上，.
由（1）知，同理，
因为平面，所以平面.
设平面平面，则直线过点且，所以直线即直线，
又平面，所以.
因为，所以，.
所以且，所以四边形为平行四边形，所以，
所以为直线与平面所成的角.
因为，，，
所以，
所以.
所以直线与平面所成角的正弦值.
方法二：如图，取的中点，连接，，，作平面于点，易知点为的中心，且在线段上，以为原点，直线，分别为y，z轴，过点且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系.
设正三棱锥的棱长均为，易知，，，
则，，.
由（1）知，同理，所以平面，
设平面平面，则直线过点B且，所以直线即直线，
又平面，所以.
因为，所以，.
所以，，，，，
则，，.
设平面的法向量为，
则，可取.
设直线与平面所成的角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
38．【答案】（1）见详解；
（2）
【详解】（1）因为，平面，平面，
所以平面，和到平面的距离相等．
因为三棱锥的体积为，所以三棱锥的体积也为．
因为平面，
所以，解得．
因为平面，所以，.
以为正交基底建立如图2所示的空间直角坐标系，则，，，，，，．
设平面的一个法向量，则即
令，解得 ，，．
设，则，．
因为，所以，①．
因为平面，所以，即②．
由①②，得，所以，
所以，，所以平面．
（2）由（1）知，平面的一个法向量为．
因为平面，所以平面的一个法向量为．
设平面与平面的夹角为，则，
所以，即平面与平面的夹角的正弦值为．
39．【答案】（1）见详解
（2）
（3）
【详解】（1）因为为中点，
所以，，
即为等边三角形，所以，
在中，，所以，
因为，所以，
又，，平面，
所以平面；
（2）由（1）可知，为三棱锥的高，
，
所以；
（3）由（1）可知，，故以为原点，为轴，为，垂直平面的直线为轴，建立如图空间直角坐标系，
,,，,，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，即，
设直线与平面所成角为，
故，
所以直线与平面所成角的正弦值为．

40．【答案】（1）见详解；
（2）；
（3）
【详解】（1）取的中点，连接.
因为，，且的中点，
所以，，
又平面，
所以平面，
因为平面，所以.
（2）当时，由，可得.
取的中点，连接，则到四点的距离相等，
故为三棱锥外接球的球心.
因为所以.
设到平面的距离为，到平面的距离为.
因为而，,
所以.
因为
所以，
所以
又点是的中点，所以到平面的距离为.
（3）以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系.
过点作平面的垂线，垂足为.
设，则，，，
故，，
，，.
设平面的一个法向量为，则
取得，.
设平面的一个法向量维，则
取，得，.
设平面平面与的夹角为，则
.
令，则，，
因为，
所以，当且仅当，即时取等号.
故平面与平面夹角余弦值的最小值为.
41．【答案】（1）
（2）存在，
（3）
【详解】（1）连接，由题意得，，
则为等边三角形，，
在中，，
由余弦定理得，
所以，由，
则，故.
若平面平面，
由平面平面，平面，，
则平面，平面，则，
所以.
下面证明当时，平面平面.
证明：由，则，
所以，又，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面，
故当时，平面平面；
（2）由（1）知，，则平面平面.
在平面内过作，
由平面平面，平面，
则平面，平面，则.
如图，以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，过垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
故，
由，
，
因为轴垂直平面，故可取平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
所以，
化简得，解得或（舍去），
故当时，存在，使直线与平面所成角的正弦值为；
（3）设点到平面的距离为，
由，其中为定值，
则要使三棱锥的体积最大时，则点到平面的距离取最大，
取中点，连接，则，
当平面时，点到平面的距离最大，
此时，由平面，则平面平面，
由（1）知，，为直角三角形， .
则，
，
，
在中，，取中点，
则，且，
所以，
设内切球球心为，内切球半径为，由等体积法知，
其中，，
故，
故当三棱锥的体积最大时，三棱锥的内切球的半径为.
42．【答案】（1）见详解
（2）见详解
（3）
【详解】（1）取的中点，连接，
在中，为中位线，所以，且，
因为四边形为直角梯形，，所以，
又，所以，
所以，且，所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面平面，
所以平面.
（2）易知两两垂直，以为坐标原点，
以直线，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，，
因为，
且，
所以，即，
因为平面，所以平面，
又平面，故平面平面.
（3）设，则由（2）知，所以，
设平面的一个法向量，则，即，
取，解得，所以，
由（2）可知，向量是平面的一个法向量，
因为二面角的余弦值为，
所以，
整理，得，解得，或（舍去），
所以，则，故.
43．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）法一：依题意，为正三角形，取中点N，连接，则，
由平面平面，得，而平面，则，
又E为的中点，则F为中点，，
而平面平面，平面平面，
所以，.

法二：由平面平面，得，
由，得，则，
为正三角形，取中点O，连结，则，
取中点Q，连结，则，又与是平面内相交直线，
则平面，即平面，直线两两垂直，
以O为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，

则，
由平面平面，平面平面，则，
由，得，
，
所以.
（2）由（1）法二中的空间直角坐标系，得，
，是平面的法向量，
设平面的法向量，则，取，得，
平面与平面夹角为，则，
因此，，
所以平面与平面夹角的正切值为.
44．【答案】（1）见详解；
（2）；
（3）.
【详解】（1）在三棱柱中，，为，的中点，∴，
∵平面，∴平面，
∵平面，∴，
在三角形中，，为中点，∴，
∵，平面，∴平面.
（2）
如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
在直角三角形中，，，∴，
，，，，
，，，
设平面的法向量为，
，令，则，，所以，
设直线与平面所成角为，
所以.
（3）设点到平面的距离为，所以.
45．【答案】（1）见详解
（2）
【详解】（1）根据题意，设，
.
因为；
，
所以，所以.
又三棱柱中，四边形为平行四边形，
所以四边形为矩形.
（2）取的中点，连接.作交于点.
由（1）知，四边形为矩形，所以.
因为，所以.
因为为等腰直角三角形，是中点，所以.
又，所以平面.
因为平面，所以.
又，所以平面.
在中，由余弦定理得：.
所以.
在中，由勾股定理可得.
在中，由余弦定理得：.
所以，从而.
由此可得.
以为原点，分别以所在直线为轴，过作垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
设平面的法向量为，则为平面的一个法向量.
因为，
所以，.
设平面的法向量为，则
，所以，令，
则平面的一个法向量为.
所以.
所以平面与平面夹角的余弦值为.
46．【答案】（1）证明见详解；
（2）.
【详解】（1）连接，因为，是中点，所以.又，所以，所以.
因为平面平面，平面平面，
且平面，，
所以平面，又因为平面，所以，
由，得，又，，所以，所以，所以；
（2）由（1）知，，，两两垂直，建立如图坐标系，
则，，，，
所以，，
所以，
设，分别是平面和平面的法向量，二面角记为，
则令，得，
所以，
同理令，得，
所以，
所以，所以，
故二面角的正弦值为.
47．【答案】（1）见详解
（2）
（3）
【详解】（1）因为，则，
可得，则.
又因为平面平面，且平面平面平面，
可得平面，
且平面，所以.
（2）法一（几何法）：过点作，交于点.
因为，则为的中点，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
连接，则为与平面所成的角.
由（1）知，
因为，则，
所以直线与平面所成的角的正弦值.
法二（空间向量法）：过点作，交于点.
因为，则为的中点，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
以为坐标原点，所在的直线为轴，过且平行于所在的直线为轴，所在的直线为轴，如图建立空间直角坐标系，
则，可得，
因为平面，所以平面的一个法向量可为，
可得.
直线与平面所成的角的正弦值为.
（3）法一（几何法）：由（2）知平面平面，所以.
过作交于点，连接，
因为，平面，所以平面，
且平面，所以，
可知为二面角的平面角.
在中，，则，
可得，
所以二面角的平面角的余弦值为；
法二（空间向量法）：由（2）知，
则.
设平面的法向量为，
则，即，令，可得，
所以平面的一个法向量为，
且平面的一个法向量可为.可得，
由图可知二面角的平面角为锐角，
所以二面角的平面角的余弦值为.
48．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为底面面积不变， 故当平面平面时三棱锥 的体积最大，
过作 于点，因平面平面，且平面平面 ，
又平面，则 平面，则 ，
又 ，故 .
（2）法一： 由（1） 知， 可过作交BD延长线于点， 连结，
因 平面，平面，则，
又且是平面内的两条相交直线，故平面，
又平面，则，故为二面角 的平面角.
又因 则，
故平面与平面夹角的余弦值为 .
法二： 由（1）知， ，
故可以点为坐标原点，所在直线方向分别为轴建立空间直角坐标系.
则
，
则平面的法向量可取为
设平面的一个法向量为，
则故可取 ，
则 ，
故平面与平面夹角的余弦值为 .
49．【答案】（1）；
（2）.
【详解】（1）方法一：连接BM，CN，
因为平面ABC，平面ABC，所以，
又因为，平面PAB，平面PAB，
，所以平面PAB，
又因为平面PAB，所以,
在中，M为PC的中点，所以,
因为平面ABC，平面ABC，所以．
在中，M为PC的中点，所以，
所以．
又因为N为AB中点，所以．
在和中，，
所以，所以，又M为PC的中点，．
故线段MN的长即为异面直线AB与PC间的距离．
在中，，
在中，，
所以，因为，所以,
故异面直线AB与PC间的距离为．
方法二：因为平面ABC，平面ABC，所以．
如图，在平面ABC中，过点A作直线AB的垂线为x轴，以AB为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设与和都垂直，
则即
则，不妨取，则，
所以异面直线AB与PC间的距离．
（2）因为M，N分别为PC，AB的中点，所以，
则，
设是平面AMN的一个法向量，
所以即
不妨取，则，
设是平面PMN的一个法向量，
所以即
不妨取，则．
设二面角的平面角为，
由图可知为锐角，则，
所以二面角的余弦值为．
50．【答案】
（1） 取的中点，由于四边形是菱形，且 ，所以，因为，所以，
又 平面，故,,两两垂直，以为坐标原点，,,的方向分别为,,轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则,，，，，所以，，，由，，
可知，，
所以，易知，因为，所以，得到，所以.
（2） 由（1）知,,，,，
设平面的法向量为，则
令，则，，.
设直线与平面所成的角为 ，
则,.
（3） 设，，则，
由，，三点共线，不妨设，易知，
因为，所以，则，
所以，
则，
即，
则.
记，
则，
令，解得（负舍），
当时，，当时，，可知在上单调递减，在区间上单调递增，
所以在处取到极小值，也为最小值，此时的长度最小，此时.
51．【答案】（1）见详解
（2）见详解
（3）
【详解】（1）图乙中，由题意知，所以，
，平面，所以平面；
（2）取中点为，由于为中点，
故且，结合，
所以且，
故四边形为平行四边形，
所以，而平面，平面，
故平面
（3）在等腰梯形中，设，
过C作，则所以，
在中，由余弦定理得，所以,所以，
如图以分别为轴建立空间直角坐标系：
，
设平面法向量为，则，
即，令，则，则，
平面法向量可取为，
设平面与平面夹角为，
所以，故
52．【答案】（1）证明见详解；
（2）（ⅰ）；（ⅱ）.
【详解】（1）证明：因为平面，平面PAD，
所以，
又因为平面ABCD，平面ABCD，，
所以平面ABCD．
（2）（i）由（1）可知平面ABCD，所以AB，AD，AP两两垂直，
故以A为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
依题意可得，
所以，
设，
则，
因为异面直线AF与PB所成角为60°，
所以，
解得，所以．
（ⅱ）设，
则，
，
设平面AEF的法向量为，则，即，
取，得，
因为，所以，即，解得，
所以，所以，
因为M在线段PB上，所以，
则，
设平面MAD的法向量，则，即，
取，得，
设EG与平面MAD所成角为，
则，
因为，所以，所以，
即EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围为.
53．【答案】（1）见详解
（2）
【详解】（1）取的中点M，连结，
则，且，且.
所以，且，所以四边形为平行四边形，
所以.
又平面平面，
所以平面.
（2）以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，
则，
所以.
因为，所以，所以.
又，
设平面的一个法向量，
则，所以，
令，则，所以；
又平面的一个法向量，所以，
即，解得，所以.
又，
所以，
所以直线与平面所成角为.
54．【答案】（1），，
（2）
【详解】（1），
，
；
（2）因为，
，
又，，
所以，
，
，
设异面直线AC与所成角为，
则，
所以，故，
所以异面直线AC与所成角的正切值为.
55．【答案】（1）见详解
（2）存在，
【详解】（1）

在梯形中连接，
因为，，为中点，所以，，
所以四边形为菱形，
所以是中点，
又为中点，所以，
因为平面，平面，
所以∥平面.
（2）因为四边形为菱形，所以，，即，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，，
所以，，两两垂直，
则以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
因为，所以，，
，，，，，，，，
设 ，则，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，，
所以，
因为与平面所成角的正弦值为，
所以，解得或2（舍去），
所以线段上存在点使得与平面所成角的正弦值为，.
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