3.3 探索与表达规律 学案（含答案）2025-2026学年数学北师大版（2024）七年级上册

第三章　整式及其加减
3　探索与表达规律
探索规律的一般方法
一般方法：(1)从具体的、实际的问题出发，观察各个数量的特点及相互之间的变化规律；
(2)由此及彼，合理联想，变换思维方式，大胆进行猜想；
(3)找出不同事物间的相似点或共同点；
(4)总结规律，得出结论；
(5)验证结论是否正确。
类型之一　日历问题
　图1是某月的月历，用图2恰好能完全遮盖住月历表中的5个数，设带阴影的“×”形中的5个数的最小数为a。
(1)请用含a的代数式表示这5个数。
(2)这5个数的和与“×”形中心的数有什么关系？
(3)盖住的5个数的和能为105吗？为什么？
类型之二　图形规律型问题
　 [2025·安徽宣城一模]如图，将形状，大小完全相同的“·”和线段按照一定的规律摆成下列图形，第1个图案中“·”的个数为3，第2个图案中“·”的个数为8，第3个图案中“·”的个数为15……以此类推。
(1)第5个图案中“·”的个数是________；
(2)请用含n的代数式表示第n个图案中“·”的个数；
(3)请用含n的代数式表示第n个图案中最长的线段上“·”的个数。
1．在日历上任意选择2×2方格中的4个数，若最小的数为x，则最大的数可表示为(　 　)
A．x＋7 B．x＋1
C．x＋2 D．x＋8
2．观察下图，先填空，然后回答问题：
(1)由上而下第10行，白球有________个，黑球有________个；
(2)若第n行白球与黑球的总数记作y，则y＝__________________________(用含n的代数式表示)。
3．[2023·绥化]在求1＋2＋3＋…＋100的值时，发现：1＋100＝101，2＋99＝101……从而得到1＋2＋3＋…＋100＝101×50＝5 050。按此方法可解决下面问题：图1有1个三角形，记作a1＝1；分别连接这个三角形三边中点得到图2，有5个三角形，记作a2＝5；再分别连接图2中间的小三角形三边中点得到图3，有9个三角形，记作a3＝9；按此方法继续下去，则a1＋a2＋a3＋…＋an＝___________ (结果用含n的代数式表示)。
4.[2024·沈阳期末]如图，用大小相等的正六边形拼成蜂巢图，拼第1个蜂巢图需要4个正六边形，拼第2个蜂巢图需要7个正六边形……按照这样的方法拼成的第n个蜂巢图需要2026个正六边形，则n的值为_______。
1．礼堂第一排有a个座位，后面每排都比前一排多一个座位，则第n排座位个数是(　 　)
A．a＋(n－1) B．n＋1
C．a＋n D．a＋(n＋1)
2．[2024·济源期末]英语字母表中的字母排列顺序是:a,b,c,d,e，f,g,h,i,j,k,l,m,n，
o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z,若尾字母z的后面又接上首字母a，则可将26个字母排成一个循环圆圈，现给定一个破译密码“x－4”（其中x代表字母表中的任意一个字母，－4表示将该字母换成从它向前移动4位的字母)，就可以将暗语破译成明语，如暗语“ciw”可通过破译密码“x一4”破译成明语“yes”，则利用该破译密码把暗语“ribx”破译成明语是(　 　)
A．hear B．need
C．next D．read
3．[2024·和平区期末]用棋子摆成如图所示的“T”字图案。按这样的规律摆下去，摆成第n个“T”字需________________个棋子(用含n的代数式表示)。
4．[2023·重庆]用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍……按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是________，第n个图案用的木棍根数是________________。
5．按下图方式摆放桌子和椅子，n张桌子可坐____________人。
6．观察图中用棋子摆出的图形，再填表、填空。
(1)填写下表：
图形编号 ① ② ③ ④
棋子个数 3
(2)按此方法摆下去，摆第n个图形要用______个棋子；
(3)摆第100个图形，要用______________个棋子。
7．甲、乙两同学玩猜数游戏，甲说：“你随便选定一个三位数，按如下的步骤做，(1)百位上的数字乘5；(2)结果加上5；(3)再乘2；(4)再加上十位上的数字；(5)乘10；(6)最后加上个位数字。只要你告诉我最后的结果，我便可以说出那个三位数。”乙同学试了几次，果真如此。请你指出甲同学是如何猜出这个三位数的，并用数学知识说明理由。
8．(模型观念)已知图1是某月的月历，带阴影的框中的4个数均满足“对角线上的两个数和相等”。
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27
28 29 30 31
图1
理由如下：
设阴影框左上角的数为x，则阴影框中的4个数可分别表示为
x x＋1
x＋7 x＋8
∵对角线的和分别为x＋(x＋8)＝2x＋8，(x＋1)＋(x＋7)＝2x＋8，
∴x＋(x＋8)＝(x＋1)＋(x＋7)。
∵x可取日历中的任何数值，
∴阴影框中的4个数均满足对角线上的两个数和相等。
(1)请你根据上述的探究过程，猜测图2中带阴影的方框中的9个数的和与方框正中心的数有什么关系，并说明理由。
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27
28 29 30 31
图2
(2)如图3，对于带阴影的框中的4个数，你能得到什么结论？请你说明理由。
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27
28 29 30 31
图3
参考答案
【归类探究】
【例1】(1)这5个数是a，a＋2，a＋8，a＋14，a＋16。
(2)这五个数的和是“×”形中心的数的5倍。
(3)能。理由略。
【例2】(1)35　(2)n(n＋2)或(n＋1)2－1 (3)n＋1
【当堂测评】
1．D　2.(1)10　19　(2)3n－1(n为正整数)　
3．2n2－n 4．675
【分层训练】
1．A　2.C 3.(3n＋2)　4.44　(4＋5n)　5.(4n＋2)　6.(1)6　10　15　(2)　(3)5 151
7．只要将说出的三位数减去100就知道了。理由略。
8．(1)方框中9个数之和为方框正中心的9倍。
(2)左下角，右上角两个数的和与中间两个数的和相等。理由略。
。