第五章 一元一次方程
2 一元一次方程的解法
第1课时 等式的性质
1．等式的基本性质
性质1：等式两边都加(或减)________________，所得结果仍是等式。
性质2：等式两边都乘____________(或除以____________________)，所得结果仍是等式。
字母表示：(1)若a＝b，则a＋m＝b＋m，a－m＝b－m；
(2)若a＝b，则am＝bm，＝(m≠0)。
2．解方程的概念
定 义：求方程的解的过程，叫作__________。
注 意：解方程的依据是等式的性质。
类型之一 等式的性质
用适当的代数式填空，使所得结果仍是等式，并说明是根据等式的哪一条性质以及怎样变形的。
(1)如果2x＋3＝4，那么2x＝4＋____________；
根据( )
(2)如果2x＝5－3x，那么2x＋________＝5；
根据( )
(3)如果0.2x＝10，那么x＝________。
根据( )
(1)由＝，能否得到a＝b？为什么？
(2)由a＝b，能否得到＝？为什么？
类型之二 利用等式的性质解方程
解下列方程：
(1)x－8＝24; (2)x＝3；
(3)3x－4＝x; (4)3＋2x＝6＋x。
1．[2024·沈阳三模]已知a＝b，下列等式不一定成立的是( )
A．5a＝5b B．a＋4＝b＋4
C．b－2＝a－2 D．＝
2．在下列各题的横线上填上适当的数或整式，使所得结果仍是等式，并说明是根据等式的哪一条性质以及怎样变形的。
(1)如果－＝，那么x＝__________；
根据( )
(2)如果－2x＝2y，那么x＝________；
根据( )
(3)如果x＝3x＋2，那么x－________＝2。
根据( )
1．[2023·海南]若代数式x＋2的值为7，则x等于( )
A．9 B．－9
C．5 D．－5
2．下列变形正确的是( )
A．由－1＝2，得x－1＝10
B．由8x＋4＝8，得2x＋1＝2
C．由＝0，得x＝3
D．由3x＋9＝24，得3x＝24＋9
3．设“、、”分别表示三种不同的物体，如图所示，前面两架天平保持平衡，如果要使第三架也平衡，那么“？”处可以放的物体为( )
A． B．
C． D．
4．解方程：
(1)x＋7＝26； (2)－5x＝20；
(3)－x－5＝4； (4)x－3＝4x。
5．在公式s＝v0t＋at2中，已知s＝64，v0＝24，t＝2，求a的值。
6．[2023·嘉兴期末]小周学习了“等式的基本性质”后，对等式5m－2＝3m－2进行变形，得出“5＝3”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小周同学的具体解答过程如下：
将等式5m－2＝3m－2变形，
得5m＝3m，(第一步)
∴5＝3。(第二步)
(1)哪一步等式变形产生错误？
(2)请你分析产生错误的原因。
7．(模型观念)幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图。如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为________。
－1 －6 1
0 a －4
－5 2 －3
参考答案
【预习导航】
1．同一个代数式 同一个数 同一个不为0的数
2．解方程
【归类探究】
【例1】(1)(－3) 等式的基本性质1，两边都减3 (2)3x 等式的基本性质1，两边都加3x (3)50 等式的基本性质2，两边都除以0.2
【例2】(1)能。理由如下：∵根据已知等式＝得出c≠0，∴等式两边都乘c即可得出a＝b。
(2)不能。理由如下：当c＝0时，就不能得出＝，只有当c≠0时，才能得出＝。
【例3】(1)x＝32 (2)x＝6 (3)x＝2 (4)x＝3
【当堂测评】
1．D
2．(1)－2y 等式的基本性质2，两边都乘－10
(2)－y 等式的基本性质2，两边都除以－2
(3)3x 等式的基本性质1，两边都减3x
【分层训练】
1．C 2.B 3.C 4.(1)x＝19 (2)x＝－4 (3)x＝－27 (4)x＝ 5.a＝8
6．(1)第二步等式变形产生错误。
(2)第二步产生错误的原因是：等式两边都除以一个可能等于零的m，等式不一定成立。
7．－2
。第五章 一元一次方程
2 一元一次方程的解法
第2课时 解一元一次方程——移项
移项的概念
定 义：把方程中的某一项____________后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫移项。
注 意：(1)移项是解方程中常用的一种变形，它的理论依据是____________________；
(2)移项时不要忘记移动的项要________。
类型之一 利用移项进行方程变形
下列移项变形正确的是( )
A．由5＋3x－2y＝0，得3x－2y＝5
B．由－10x－5＝－2x，得10x－2x＝5
C．由7x＋9＝4x－1，得7x－4x＝－1－9
D．由5x＋4＝9，得5x＝9＋4
类型之二 利用移项解方程
解方程：
(1)－x＋3＝0;
(2)5x－2＝8;
(3)3x－7＋6x＝4x－8。
【点悟】 移项、合并同类项、系数化为1是解一元一次方程的基本步骤。
类型之三 利用移项解一元一次方程的应用
将一堆糖果分给幼儿园某班的小朋友，如果每人分2颗，那么还多8颗；如果每人分3颗，那么还差12颗，这个班共有多少名小朋友？
1．下列选项中，移项正确的是( )
A．方程8－x＝6变形为－x＝6＋8
B．方程5x＝4x＋8变形为5x－4x＝8
C．方程3x＝2x＋5变形为3x－2x＝－5
D．方程3－2x＝x＋7变形为x－2x＝7＋3
2．方程3x－5＝2x＋2变形为3x－2x＝2＋5。这步变形叫作________，其依据是____________________。
3．补全下列解方程的过程：
(1)5x－8＝－3x－2；
解：移项，得5x＋________＝－2________。
合并同类项，得________＝______。
系数化为1，得x＝______。
(2)3x＋7＝32－2x。
解：移项，得3x__________＝32________。
合并同类项，得________＝________。
系数化为1，得x＝______。
1．将方程3x＋6＝2x－8移项后，四位同学的结果分别是①3x＋2x＝6－8；②3x－2x＝－8＋6；③3x－2x＝8－6；④3x－2x＝－6－8，其中正确的是( )
A．① B．②
C．③ D．④
2．方程3x＝2x＋7的解是( )
A．x＝4 B．x＝－4
C．x＝7 D．x＝－7
3．解方程：
(1)x－2＝3－x；
(2)－x＝1－2x；
(3)x－2x＝1－x；
(4)x－3x－1.2＝4.8－5x。
4．在公式s＝s0＋vt中，s＝100，s0＝25，v＝10，求t的值。
5．我们知道，无限循环小数都可以转化为分数。例如，将0. 转化为分数时，可设0.＝x，则x＝0.3＋x，解得x＝，即0.＝。仿此方法，将0.化成分数是______。
6．某制药厂制造一批药材，若用旧工艺，则废水排量比环保限制的最大量还多160 t；若用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少80 t，新、旧工艺的废水排量之比为2∶3，两种工艺的废水排量各是多少？
7．(模型观念)(1)有一列数，按一定的规律排列成，－1,3，－9,27，－81，…，若其中某三个相邻数的和是－567，则这三个数中第一个数是__________；
(2)有一列数，按一定的规律排列成－4，－8，－12，－16，－20，－24，…，若其中某三个相邻数的和是－672，则这三个相邻数中最小的数是____________；
(3)有一列数，按一定的规律排列成1，－2,4，－8,16，－32，…，若其中某三个相邻数的和是－384，则这三个数中，中间的一个数为__________。
参考答案
【预习导航】
改变符号 等式的基本性质1 变号
【归类探究】
【例1】C
【例2】(1)x＝3 (2)x＝2 (3)x＝－0.2
【例3】这个班共有20名小朋友。
【当堂测评】
1．B 2.移项 等式的基本性质1 3.(1)3x ＋8 8x 6 (2)＋2x －7 5x 25 5
【分层训练】
1．D 2.C
3．(1)x＝ (2)x＝1 (3)x＝－3 (4)x＝2
4．t＝7.5 5.
6．用新工艺的废水排量为480 t，用旧工艺的废水排量为720 t。
7．(1)－81 (2)－228 (3)256
。第五章 一元一次方程
2 一元一次方程的解法
第3课时 解一元一次方程——去括号
去括号时应注意的问题
注 意：去括号时应按去括号法则进行，系数乘括号里的每一项，要特别注意括号前是负号时，去括号后括号里各项都要________。
类型之一 利用去括号解一元一次方程
解方程：
(1)4－3(8－x)＝5(x－2)；
(2)3(2y＋1)＝2(1＋y)＋3(y＋3)；
(3)1－8＝3(1－2x)。
类型之二 利用一元一次方程解决数字问题
有一个两位数，十位数字比个位数字的2倍多1，将两个数字对调后，所得的两位数比原两位数小36，求原两位数。
类型之三 利用一元一次方程解决公式变形问题
在梯形面积公式S＝(a＋b)h中，
(1)已知S＝30，a＝6，h＝4，求b的值；
(2)已知S＝60，b＝4，h＝12，求a的值；
(3)已知S＝50，a＝6，b＝a，求h的值。
【点悟】 把已知数据代入公式，得到一个一元一次方程，再根据解一元一次方程的一般步骤解答。
1．对于方程4x＋3(x－2)＝5－(2＋x)，下列去括号正确的是( )
A．4x＋3x－2＝5－2＋x
B．4x＋3x－6＝5－2－x
C．4x－3x＋6＝5－2－x
D．4x＋3x－6＝5－2＋x
2．如果－2(x－1)与4－3(x－1)互为相反数，那么x的值为( )
A． B．－
C．－ D．
3．一个两位数的十位数字与个位数字的和是9，把这个两位数加上27后，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，则这个两位数是________。
1．下列方程变形中，正确的是( )
A．由4x＋3(2x－3)＝12－(x＋4)，得4x＋6x－9＝12－x＋4
B．由6＋2x＝7－，得3x－4＋2x＝7－x＋1
C．由2(10－0.5y)＝－(1.5y＋2)，得20－y＝－1.5y＋2
D．由40－5(3x－7)＝－4(x＋17)，得40－15x＋35＝－4x－68
2．根据下图提供的信息，可知一个杯子的价格是( )
A．51元 B．35元
C．8元 D．7.5元
3．利用去括号解方程：
(1)4x＋3(2x－3)＝12－(x＋4)；
(2)6＋2x＝7－；
(3)2－3(x＋1)＝1－2(1＋0.5x)。
4．解方程：
(1)4(x－2)－[5(1－2x)－4(5x－1)]＝0；
(2)2{3[4(5x－1)－8]－20}－7＝1。
5．一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了4 h；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了5 h。已知船在静水中的平均速度是27 km/h。求：
(1)水流速度；
(2)两个码头之间的距离。
6．(模型观念)计算：(－6)×－23。圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了。
(1)如果被污染的数字是，请计算(－6)×－23；
(2)如果计算结果等于6，求被污染的数字。
参考答案
【预习导航】
变号
【归类探究】
【例1】(1)x＝－5 (2)y＝8 (3)x＝2
【例2】原两位数是73。
【例3】(1)b＝9 (2)a＝6 (3)h＝
【当堂测评】
1．B 2.D 3.36
【分层训练】
1．D 2.C
3．(1)x＝ (2)x＝6 (3)x＝0
4．(1)x＝ (2)x＝1
5．(1)水流速度为3 km/h。
(2)两个码头之间的距离是120 km。
6．(1)－9 (2)被污染的数字是3。
。第五章 一元一次方程
2 一元一次方程的解法
第4课时 解一元一次方程——去分母
解一元一次方程的步骤
去分母：在方程的左、右两边都乘各个分母的______________，从而去掉分母。去分母时每一项都要乘，不要漏乘，特别是不含分母的项。
去括号：去括号时应注意括号前的系数，系数乘括号里的每一项，同时应注意括号前的符号。如果括号前是“－”号，去掉括号和它前面的“－”号时，括号里的各项均要____________。
移 项：一般把含有未知数的项移到方程的左边，移项必须____________。
合并同类项：把方程化成ax＝b(a≠0)的形式。
未知数的系数化为1：方程的左、右两边都除以未知数的系数，得x＝。
注 意：解方程时，五个基本步骤并不一定完全用上，要根据方程的特征，灵活选择方法。
类型之一 解分母为整数的一元一次方程
[2024·沈阳期末]解方程：
(1)＝；
(2)－＝1。
类型之二 解分母为小数的一元一次方程
解方程：
(1)－＝1；
(2)－＝1.2。
1．方程－1＝在去分母时，方程两边都乘最简公分母( )
A．10 B．12
C．4 D．6
2．解方程：3x＋＝－。
解：两边都乘________，去分母，得_________________________________ _____________________________。
去括号，得________________________________________。
移项，得________________________________________。
合并同类项，得________________。
系数化为1，得x＝_______。
3．当x＝_______时，代数式与互为相反数。
1．将方程－＝1去分母得到新方程6x－3－2x－2＝6，其错误是因为( )
A．分母的最小公倍数找错
B．去分母时，分子部分的代数式未添括号，造成符号错误
C．去分母时，漏乘了分母为1的数
D．去分母时，分子未乘相应的数
2．解方程：
(1)＝；
(2)＝－1；
(3)－＝1；
(4)－2＝－。
3．解方程：
(1)－1＝；
(2)＝。
4．某同学在解关于y的方程－＝1时，去分母忘记将方程右边的1乘12，从而求得方程的解为y＝10。求：
(1)a的值；
(2)方程正确的解。
5．(模型观念)以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，井深几尺？那么该问题的井深是多少尺？
参考答案
【预习导航】
最小公倍数 改变符号 改变符号
【归类探究】
【例1】(1)x＝－1 (2)x＝－3
【例2】(1)x＝ (2)x＝5.5
【当堂测评】
1．B 2.12 12×3x＋6(x－1)＝3(x＋1)－4(2x－1) 36x＋6x－6＝3x＋3－8x＋4 36x＋6x－3x＋8x＝3＋4＋6 47x＝13 3.
【分层训练】
1．B
2．(1)x＝2 (2)x＝0 (3)x＝－9 (4)x＝
3．(1)x＝97 (2)y＝3
4．(1)a＝1
(2)方程正确的解为y＝－1。
5．井深是8尺。
。
