2026年高考数学复习资料 真题分类汇编—数列（含解析）

专题 数列
一、单选题
1．（2025·全国二卷·高考真题）记Sn 为等差数列 an 的前 n 项和，若 S3 6, S5 5, 则 S6 （ ）
20
15
10
5
2．（2025·北京·高考真题）已知 an 是公差不为零的等差数列，a1 2 ，若a3 , a4 , a6 成等比数列，则a10 （ ）
20
18
C．16 D．18
3．（2025·天津·高考真题） S n2 8n ，则数列 a 的前12 项和为（ ）
A．112 B．48 C．80 D．64
4．（2025·上海·高考真题）已知数列 a 、 b 、 c 的通项公式分别为a
10n 9 ， b 2n 、，
n n n n n
cn an (1 )bn.若对任意的 0,1 ， an 、bn 、cn 的值均能构成三角形，则满足条件的正整数n 有（ ）
A． 4 个 B．3 个 C．1 个 D．无数个
二、多选题
5．（2025·全国二卷·高考真题）记Sn 为等比数列 an 的前 n 项和， q 为 an 的公比， q 0，若 S3 7, a3 1，
则（ ）
A． q 1
B． a 1
2 5 9
C． S5 8 D． an Sn 8
三、填空题
6．（2025·上海·高考真题）己知等差数列 an 的首项a1 3，公差d 2 ，则该数列的前 6 项和为 ．
7．（2025·全国一卷·高考真题）若一个等比数列的各项均为正数，且前 4 项和为 4，前 8 项和为 68，则该等比数列的公比为 .
四、解答题
8．（2025·全国一卷·高考真题）设数列 a 满足a 3 ， an 1 an 1
证明： nan 为等差数列；
n 1 n n 1
n(n 1)
设 f (x) a x a x2 L
a xm ，求 f ( 2) ．
9．（2025·天津·高考真题）已知数列 an 是等差数列， bn 是等比数列， a1 b1 2, a2 b2 1, a3 b3．
求 an ， bn 的通项公式；
n N* ， I 0,1 ，有Tn p1a1b1 p2a2b2 ... pn 1an 1bn 1 pnanbn | p1, p2 ,..., pn 1, pn I ，
求证：对任意实数t Tn ，均有t an 1bn 1 ;
求Tn 所有元素之和．
一、单选题
1．（2025·陕西汉中·三模）已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若a4 a7 12 ，则 S10 （ ）
A．30 B．40 C．60 D．120
2．（2025·江苏南通·三模）在等比数列 an 中， a5 a6 a7 8 ， a2 a6 20 ，则a4 （ ）
A．36 B． 6
C． 6
D．6
3．（2025·山东青岛·三模）《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有“分钱问题”：现有 5 个人分 5 钱，5人分得钱数依次成等差数列，前两人分得钱数之和等于后三人分得钱数之和，则分得钱数最少的一人钱数为（ ）
A． 1
3
B． 1
2
C． 2
3
D． 5
6
4．（2025·山西吕梁·三模）已知等差数列 a 的公差d 0, a 1, a2 a 9 ，则d （ ）
n 1 2 3
A．4 B．3 C．2 D．1
5．（2025·辽宁大连·三模）已知正项等比数列 an 的前n 项和为Sn ，若 S4 2S3 S2 6, a2 1 ，则a5 （ ）
A．16 B．32 C．27 D．81
6．（2025·湖南岳阳·三模）已知 Sn 为正项等比数列 an 的前 n 项和， a3a5a7 a4 a8 ， S3 7 ，则a1 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
7．（2025·北京海淀·三模）渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄．对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每 4 个月延迟 1 个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十 三周岁．如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如表所示：
出生时间 1965 年 1 月－4月 1965 年 5 月－8月 1965 年 9 月－12月 1966 年 1 月－4月 …
新方案法定退休年龄 60 岁 1 个月 60 岁 2 个月 60 岁 3 个月 60 岁 4 个月 …
那么 1970 年 5 月出生的男职工退休年龄为（ ）
A．61 岁 4 个月 B．61 岁 5 个月
C．61 岁 6 个月 D．61 岁 7 个月
1 a , n为偶数
8．（2025·山东临沂·三模）在数列 a 中，已知a 1， a 2
a
n
1 ,n为奇数
，则a11 （ ）
33
32
33
64
65
64
n
2
65
128
9．（2025·河南三门峡·三模）已知数列 a 的前 n 项和是 S ，若 S ( 1)n 1 a n n 2 ，n N* ，则a
（ ）
A． 1
B．1 C．2 D．3
10．（2025·江苏苏州·三模）已知数列 a 满足a 1, an 1 1 1 a ，则（ ）
n 1 n
n
A． a a
B． a 1
n 1 n n 2
C．1013a2025 1 D． 2025a2025 1
11．（2025·重庆·三模）数列 an 满足an 3 an an 1 an 2 n 1，n N 又a1 1，a2 1，a3 2 则（ ）
A． a2024 1011
C． a2025 1013
B． a2024 1012
D． a2025 1014
12．（2025·上海·三模）设数列 an 的各项均为非零的整数，其前n 项和为Sn ．设i, j 为正整数，若 j i 为正偶数时，都有aj 2ai 恒成立，且S2 0 ，则 S10 的最小值为（ ）【公众号：林樾数学】
A．0 B．22 C．26 D．31
二、多选题
13．（2025·广西河池·二模）已知数列 a 满足a an 1 且a 2 ，则下列说法正确的是（ ）
A． a 1
n n 1
an 3
3 4
B．数列 an 是周期数列

C．

1
是等差数列
n 1
D．数列 a 的通项公式为a 7 3n
n n 3n 1
14．（2025·四川成都·三模）已知公差为 1 的等差数列 an 满足a1, a3 , a7 成等比数列，则（ ）
A． a1 2
B． a 的前n 项和为 n n 3
n 2
1 7
C． a a 的前 8 项和为18
n n 1
D． ( 1)n 1 a 的前 50 项和为 25
15．（2025·广东茂名·二模）等差数列 an 中， a2 a3 12, a5 a7 2 ．记数列 an 前n 项和为Sn ，下列选项正确的是（ ）
A．数列 an 的公差为 2 B． Sn 取最小值时， n 6
C． S4 S7
D．数列 an 的前 10 项和为 50
a n S
π
16．（2025·湖北黄冈·三模）已知数列
定的是（ ）
n 的前
项和为 n ，an sin nπ

2 an 1 n .则下列式子的值可以确
S102
S100
a1 a104
a2 + a100
17．（2025·湖南长沙·三模）已知数列 a 的前n 项和为 S ， a 1，且 a a pn ，则下列结论正确的是
n n 1 n 1 n
（ ）【公众号：林樾数学】
若 a 是递增数列，且3a 、4a 、5a 成等差数列，则 p 3
n
p 1
a
1 2 3
a
5
a 5 1 ( 1)n
若
3 ，且 2n 1
是递增数列，
2n 是递减数列，则 n 4 4
3n 1
若 p 1 ，则存在数列 a ，使得当n 4k k N* 时， S n
若 p 1，则存在数列 a ，使得当n 4k 1 k N* 时， S n
三、填空题
18．（2025·广东揭阳·三模）已知正项等比数列 an 满足a1 1，6a1 ，a3 ，4a2 成等差数列，则其公比为 .
19．（2025·河南许昌·三模）设 Sn 是等比数列 an 的前n 项和，a2 a1 3 ，a3 a2 6 ，则S3 ．
20．（2025·北京·三模）已知等比数列 an 的前n 项和为Sn ，满足a1 1， 2Sn 3an 1 3 .则S2 为 ；满足
Sn 5 的最小的整数n 为 .【公众号：林樾数学】
21．（2025·浙江·二模）已知数列 an 和 bn 满足a1 1， b1 0 ， 4an 1 3an bn 4， 4bn 1 3bn an 4，则
an bn .
22．（2025·天津·二模）数列 an 的项是由 1 或 2 构成，且首项为 1，在第k 个 1 和第k 1 个 1 之间有2k 1
个 2，即数列 an 为：1, 2,1, 2, 2, 2,1, 2, 2, 2, 2, 2,1, .记数列 an 的前n 项和为 Sn ，则 S20 ：
S2025 .
23．（2025·辽宁大连·三模）等差数列 a 的前n 项和为S ，已知 Sn Sn 1 ，且a a 0 ，则 S 取最大值时n
n n n n 1 6 7 n
的值为 .
24．（2025·重庆·三模）对于数列 xn ，若存在常数 M 0 ，使得对一切正整数n ，恒有 xn M 成立，则称 xn
为有界数列.设数列 a 的前n 项和为S ，满足a
，若 S 为有界数列，则实数M 的取值范围
n
是 .
n n n2 4n 3 n
25．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）互素是指两个自然数 a 和 b 的最大公因数为 1．欧拉函数 (n) 表示不大于 n n N* 且与 n 互素的正整数个数，若数列 a 满足a 2n ，且数列 a 的前 n 项和为S ，则满足 Sn 2025 的 n 的最大值为 ．
26．（2025·甘肃白银·三模）若数列 an 是有穷数列，且各项之和为 0，各项的绝对值之和为 1，则称数列 an
是“ n 项优待数列”.若等差数列 bn 是“ 2k 1 项优待数列”， k N* ，则bn .
四、解答题
27．（2025·江西景德镇·三模）已知 Sn Tn 分别是等差数列 an 和等比数列 bn 的前n 项和， S5 15 ，
b2b4 64, a2 b1, S3 T2 ．【公众号：林樾数学】
求数列 an 和 bn 的通项公式；
若 bn 为递增数列， cn anbn ，求数列 cn 的前n 项和 An ．
28．（2025·四川攀枝花·三模）已知数列 a 的首项a 1， a a
3 2n ．
n
求证： a 2n 是等比数列；
求数列 an 的前n 项和 Sn ；
n2
1 n n 1
令bn a ( 1)n ，求数列 bn 的最大项．
n
29．（2025·河南·三模）已知等差数列 an 的前 n 项和为Sn ，且a3 a7 6 ， S12 45 ．
求an ；
an an 2 ,n为奇数
若数列 bn 满足bn
an an 2
2
, n为偶数
，求数列 bn 的前 20 项和T20 ．
30．（2025·广东广州·三模）已知数列 an 满足a1 1， a3 6 ，且对任意的n 2 ， n N* ，都有
an 1 an 1 2 an 3 .
设bn an 1 an ，求证：数列 bn 是等差数列，并求出其的通项公式；
求数列 an 的通项公式；
2 13
1
若cn 3 an 3 n 2 ，求 c 的前 n 项和Tn .
n
31．（2025·河北秦皇岛·一模）设S 为数列 a 的前 n 项和，已知a
4, an Sn 是公比为 2 的等比数列．
n n
证明： an 是等比数列；
求 an 的通项公式以及 Sn ；
1 2a
设b n 5 a ，若 n N* ， 4m 2m 2 b ，求 m 的取值范围．
n n n
32．（2025·广东广州·三模）已知公差不为零的等差数列 an 和等比数列 bn 满足 a1 b1 1 ，且a1, 2a2 , 4a4 成等比数列， 4b2 , 2b3 , b4 成等差数列.
求数列 an 和 bn 的通项公式；
令c 3an ，去掉数列 c 中的第3k 项 k N* ，余下的项顺序不变，构成新数列 t ，写出数列 t 的前
4 项并求 tn 的前2n 项和 S2n ；【公众号：林樾数学】
33．（2025·湖南长沙·三模）已知数列 b ， b N ，记集合 A {t | t bm , k m} 的元素个数为 A .
n n
k
若 bn 为 1，2，4，8，12，写出集合A ，并求 A 的值；
若 bn 为 1，3，a，b，且 A 3 ，求 bn 和集合A ；
若数列 bn 项数为r ，满足bn 1 bn n 1, 2, , r 1 ，求证：“ A r 1”的充要条件是“ bn 为等比数列”.
34．（2025·天津·三模）已知数列 an 和 bn 的满足a1 4,b1 2, an 1 2an bn 2,bn 1 2bn an 2 ，
(1)（i）求a4 b4 的值；
n
2 2
i i
i 1
(2)若数列 c 满足对于 n N*, b c a ，求证： m N* ，使得 ci 2025 ．
n n n n
i 1
ci 1
35．（2025·山东临沂·三模）定义：若数列 a 满足 a n a n 1 n 2, n N* ，则称数列 a 为“数项增数列”.
若a 1 3n， b 2n 3 ，判断数列 a ， b 是否为“数项增数列”？
n n n n
若等差数列 cn 为“数项增数列”，且c1 2 ，求 cn 的公差d 的取值范围；
若数列 dn 为共 4 项的“数项增数列”，满足di 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9 (i 1, 2, 3, 4) ，求所有满足条件的数列
dn 的个数.【公众号：林樾数学】
36．（2025·天津·二模）已知数列 an 是各项均为正数的等比数列，且a1 2 ， a2a4 64 .对于任意k N* ，在ak 和ak 1 之间插入 k 个数 xk1 ， xk 2 ，…， xkk ，使得ak ， xk1 ， xk 2 ，…， xkk ， ak 1 这k 2 个数构成等差数列，记新得到的数列为 bn .
求数列 an 的通项公式；
记cn bn 1 bn ，证明对于任意的n N* ， cn cn 1 ；
求
n (n 1)
bk
k 1
（其中n N* ）.
专题 数列
一、单选题
1．（2025·全国二卷·高考真题）记Sn 为等差数列 an 的前 n 项和，若 S3 6, S5 5, 则 S6 （ ）
20
15
10
5
2．（2025·北京·高考真题）已知 an 是公差不为零的等差数列，a1 2 ，若a3 , a4 , a6 成等比数列，则a10 （ ）
20
18
C．16 D．18
A．112 B．48 C．80 D．64
4．（2025·上海·高考真题）已知数列 a 、 b 、 c 的通项公式分别为a 10n 9 ， b 2n 、，
n n n n n
cn an (1 )bn.若对任意的 0,1 ， an 、bn 、cn 的值均能构成三角形，则满足条件的正整数n 有（ ）
A． 4 个 B．3 个 C．1 个 D．无数个
二、多选题
5．（2025·全国二卷·高考真题）记Sn 为等比数列 an 的前 n 项和， q 为 an 的公比， q 0，若 S3 7, a3 1，
则（ ）
q 1
a 1
2 5 9
S5 8 D． an Sn 8
三、填空题
6．（2025·上海·高考真题）己知等差数列 an 的首项a1 3，公差d 2 ，则该数列的前 6 项和为 ．
7．（2025·全国一卷·高考真题）若一个等比数列的各项均为正数，且前 4 项和为 4，前 8 项和为 68，则该等比数列的公比为 .
四、解答题
8．（2025·全国一卷·高考真题）设数列 a 满足a 3 ， an 1 an 1
证明： nan 为等差数列；
n 1 n n 1
n(n 1)
设 f (x) a x a x2 L
a xm ，求 f ( 2) ．
9．（2025·天津·高考真题）已知数列 an 是等差数列， bn 是等比数列， a1 b1 2, a2 b2 1, a3 b3．
求 an ， bn 的通项公式；
n N* ， I 0,1 ，有Tn p1a1b1 p2a2b2 ... pn 1an 1bn 1 pnanbn | p1, p2 ,..., pn 1, pn I ，
求证：对任意实数t Tn ，均有t an 1bn 1 ;
求Tn 所有元素之和．
则由题得 2 d 2q 1 d 3 ，
2 2d 2q 2 q 2

所以an 2 3 n 1 3n 1, bn 2 2n 1 2n ；
（2）（i）证明：由（1） p a b 3n 1 2n p 0 或 p a b 3n 1 2n 0 ， a b 3n 2 2n 1 ，
n n n n
当 pnanbn 3n 1 2n 0 时，
n n n
n 1 n 1
设 Sn p1a1b1 p2a2b2 ... pn 1an 1bn 1 pnanbn 2 2 5 22 ... 3n 4 2 n 1 3n 1 2 n ，
所以2S 2 22 5 23 ... 3n 4 2n 3n 1 2n 1 ，
所以
Sn 4 3 2
2 23
... 2n
3n 1 2
n 1
2 n 1
4 3 1 2 3n 1 2
n 1
8 4 3n 2
n 1 ，
所以 Sn 8 3n 4 2n 1 ，为T 中的最大元素，
此时an 1bn 1 Sn 3n 2 2n 1 8 3n 4 2n 1 6 2n 1 8 0 恒成立，
所以对 t Tn ，均有t an 1bn 1 .
（ii）法一：由（i）得 Sn 8 3n 4 2n 1 ，为T 中的最大元素，
由题意可得Tn 中的所有元素由以下系列中所有元素组成：
当 p1 , p2 ,..., pn 1 , pn 均为 1 时：此时该系列元素只有 Sn 8 3n 4 2n 1 即C0 个；
当 p1 , p2 ,..., pn 1 , pn 中只有一个为 0，其余均为 1 时：
此时该系列的元素有 Sn a1b1,Sn a2b2 ,Sn a3b3 ,...,Sn anbn 共有C1 个，
则这n 个元素的和为C1 S a b a b ... a b C1 C0 S ；
当 p1 , p2 ,..., pn 1 , pn 中只有 2 个为 0，其余均为 1 时：
此时该系列的元素为 S a b a b i, j 1, 2,..., n , i j 共有C2 个，
n i i j j n
则这n 个元素的和为C2S C1 a b a b ... a b C2 C1 S ；
当 p1 , p2 ,..., pn 1 , pn 中有2 个为 0，其余均为 1 时：此时该系列的元素为
S a b a b a b i, j, k 1, 2,..., n , i j k 共有C3 个，
n i i j j k k n
则这n 个元素的和为C3 S C2 a b a b ... a b C3 C2 S ；
n n n 1
…
1 1 2 2
n n n n 1 n
当 p , p ,..., p , p 中有n 1个为 0，1 个为 1 时：此时该系列的元素为 a b , a b ,..., a b 共有Cn 1 个，
1 2 n 1 n 1 1 2 2 n n n
则这n 个元素的和为Cn 1S Cn 2 a b a b ... a b Cn 1 Cn 2 S ；
当 p , p ,..., p , p 均为 0 时：此时该系列的元素为0 Cn Cn 1 S 即Cn 1个，
综上所述， Tn 中的所有元素之和为
S C1 1 S C2 C1 S C3 C2 S ... Cn 1 Cn 2 S 0
一、单选题
1．（2025·陕西汉中·三模）已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若a4 a7 12 ，则 S10 （ ）
A．30 B．40 C．60 D．120
2．（2025·江苏南通·三模）在等比数列 an 中， a5 a6 a7 8 ， a2 a6 20 ，则a4 （ ）
A．36 B． 6
C． 6
D．6
3．（2025·山东青岛·三模）《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有“分钱问题”：现有 5 个人分 5 钱，5人分得钱数依次成等差数列，前两人分得钱数之和等于后三人分得钱数之和，则分得钱数最少的一人钱数为（ ）
A． 1
3
B． 1
2
C． 2
3
D． 5
6
4．（2025·山西吕梁·三模）已知等差数列 a 的公差d 0, a 1, a2 a
9 ，则d （ ）
n 1 2 3
A．4 B．3 C．2 D．1
5．（2025·辽宁大连·三模）已知正项等比数列 an 的前n 项和为Sn ，若 S4 2S3 S2 6, a2 1 ，则a5 （ ）
A．16 B．32 C．27 D．81
6．（2025·湖南岳阳·三模）已知 Sn 为正项等比数列 an 的前 n 项和， a3a5a7 a4 a8 ， S3 7 ，则a1 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
7．（2025·北京海淀·三模）渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄．对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每 4 个月延迟 1 个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十 三周岁．如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如表所示：
出生时间 1965 年 1 月－4月 1965 年 5 月－8月 1965 年 9 月－12月 1966 年 1 月－4月 …
新方案法定退休年龄 60 岁 1 个月 60 岁 2 个月 60 岁 3 个月 60 岁 4 个月 …
那么 1970 年 5 月出生的男职工退休年龄为（ ）
A．61 岁 4 个月 B．61 岁 5 个月
C．61 岁 6 个月 D．61 岁 7 个月
1 a , n为偶数
8．（2025·山东临沂·三模）在数列 a 中，已知a 1， a 2
a
n
1 ,n为奇数
，则a11 （ ）
33
32
33
64
65
64
n
2
65
128
9．（2025·河南三门峡·三模）已知数列 a 的前 n 项和是 S ，若 S ( 1)n 1 a n n 2 ，n N* ，则a
（ ）
A． 1
B．1 C．2 D．3
10．（2025·江苏苏州·三模）已知数列 a 满足a
1, an 1 1 1 a ，则（ ）
n 1 n
n
a a
a 1
n 1 n n 2
1013a2025 1 D． 2025a2025 1
11．（2025·重庆·三模）数列 an 满足an 3 an an 1 an 2 n 1，n N 又a1 1，a2 1，a3 2 则（ ）
A． a2024 1011
C． a2025 1013
B． a2024 1012
D． a2025 1014
12．（2025·上海·三模）设数列 an 的各项均为非零的整数，其前n 项和为Sn ．设i, j 为正整数，若 j i 为正偶数时，都有aj 2ai 恒成立，且S2 0 ，则 S10 的最小值为（ ）
A．0 B．22 C．26 D．31
二、多选题
13．（2025·广西河池·二模）已知数列 a 满足a an 1 且a 2 ，则下列说法正确的是（ ）
a 1
n n 1
an 3
3 4
数列 an 是周期数列



1
是等差数列
n 1
数列 a 的通项公式为a 7 3n
n n 3n 1
14．（2025·四川成都·三模）已知公差为 1 的等差数列 an 满足a1, a3 , a7 成等比数列，则（ ）
a1 2
a 的前n 项和为 n n 3
n 2
1 7
a a 的前 8 项和为18
n n 1
( 1)n 1 a 的前 50 项和为 25
15．（2025·广东茂名·二模）等差数列 an 中， a2 a3 12, a5 a7 2 ．记数列 an 前n 项和为Sn ，下列选项正确的是（ ）
A．数列 an 的公差为 2 B． Sn 取最小值时， n 6
C． S4 S7
D．数列 an 的前 10 项和为 50
n S π
16．（2025·湖北黄冈·三模）已知数列 an 的前
定的是（ ）
项和为 n ，an sin nπ

an 1 n .则下列式子的值可以确
S102
S100
a1 a104
a2 + a100
17．（2025·湖南长沙·三模）已知数列 a 的前n 项和为 S ， a 1，且 a a pn ，则下列结论正确的是
n n 1 n 1 n
（ ）
若 a 是递增数列，且3a 、4a 、5a 成等差数列，则 p 3
n
p 1
a
1 2 3
a
5
a 5 1 ( 1)n
若
3 ，且 2n 1
是递增数列，
2n 是递减数列，则 n 4 4
3n 1
若 p 1 ，则存在数列 a ，使得当n 4k k N* 时， S n
若 p 1，则存在数列 a ，使得当n 4k 1 k N* 时， S n
【答案】ABC
【分析】由 a 是递增数列，先得到a a pn ；再由3a , 4a , 5a 成等差数列，a 1，列出方程求出 p 的
n n 1 n 1 2 3 1
a a
0 a a 0
( 1)n 1
值，即可得出结果，可判断 A 选项；先由题中条件，得到 2n 2n 1 ， 2n 1 2n ，推出an 1 an 3n ，
再由累加法，即可求出数列 an 的通项公式，可判断 B 选项；由 an 1 an 1，得到an 1 an 1 ；讨论n 4k
或n 4k 3 k N* ； n 4k 2 或n 4k 1 k N* 两类情况，即可分别得出结论，可判断 CD 选项.
【详解】对于 A 选项，因为 an 是递增数列，所以an 1 an an 1 an pn ．
因为a1 1，所以 a2 1 p ， a3 1 p p2 ．【公众号：林樾数学】
又因为3a1 、4a2 、5a3 成等差数列，所以8a2 3a1 5a3 ，
即8 1 p 3 5 1 p p2 ，即5 p2 3 p 0 ，解得 p 0 或 p 3 ．
5
当 p 0 时， a a ，这与 a 是递增数列相矛盾，所以 p 3 ，A 对；
n 1 n n 5
对于 B 选项，因为 a2n 1 是递增数列，则有a2n 1 a2n 1 0 ，于是(a2n 1 a2n ) (a2n a2n 1) 0 ①
因为 1 1 ，所以 a a a a ②
32n 32n 1
2n 1 2n
2n 2n 1
由①、②得， a2n a2n 1 0 ，
1 2n 1
( 1)2n
因此a2n a2n 1 3 ，即a2n a2n 1 32n 1 ③
又因为 a2n 是递减数列，则有a2n 2 a2n 0 ，于是(a2n 2 a2n 1 ) (a2n 1 a2n ) 0 ④
因为 1 1 ，所以 a a a a ⑤
32n 1
32n
2n 2 2n 1 2n 1 2n
由④、⑤得， a2n 1 a2n 0 ，
1 2n
( 1)2n 1
因此a2n 1 a2n 3
，即a2n 1 a2n
( 1)n 1
⑥
32n
由③、⑥可得an 1 an 3n ．
三、填空题
18．（2025·广东揭阳·三模）已知正项等比数列 an 满足a1 1，6a1 ，a3 ，4a2 成等差数列，则其公比为 .
19．（2025·河南许昌·三模）设 Sn 是等比数列 an 的前n 项和，a2 a1 3 ，a3 a2 6 ，则S3 ．
20．（2025·北京·三模）已知等比数列 an 的前n 项和为Sn ，满足a1 1， 2Sn 3an 1 3 .则S2 为 ；满足
Sn 5 的最小的整数n 为 .
21．（2025·浙江·二模）已知数列 an 和 bn 满足a1 1， b1 0 ， 4an 1 3an bn 4， 4bn 1 3bn an 4，则
an bn .
22．（2025·天津·二模）数列 an 的项是由 1 或 2 构成，且首项为 1，在第k 个 1 和第k 1 个 1 之间有2k 1
个 2，即数列 an 为：1, 2,1, 2, 2, 2,1, 2, 2, 2, 2, 2,1, .记数列 an 的前n 项和为 Sn ，则 S20 ：
S2025 .
23．（2025·辽宁大连·三模）等差数列 a 的前n 项和为S ，已知 Sn Sn 1 ，且a a 0 ，则 S 取最大值时n
n n n n 1 6 7 n
的值为 .
Sn 1 d n 1 a d ， Sn 1 Sn d ，
n 1 2 1 2 n 1 n 2 Sn d 所以数列 n 是等差数列，公差为 2 . S S S 因为 n n 1 ，所以数列 n 单调递减， n n 1 n 所以 d 0 ，即d 0 ，所以等差数列 a 单调递减. 2 n 因为数列 Sn 单调递减，所以 S11 S13 ， n 11 13 因为 S11 a 11 1 d a 5d a ， 11 1 2 1 6 S13 a 13 1 d a 6d a ，所以a a .
13 1 2 1 7 6 7 因为等差数列 an 单调递减，且a6a7 0 ，所以a6 0, a7 0 ，所以当n 6 时， Sn 取最大值.【公众号：林樾数学】 故答案为：6
24．（2025·重庆·三模）对于数列 xn ，若存在常数 M 0 ，使得对一切正整数n ，恒有 xn M 成立，则称 xn
为有界数列.设数列 a 的前n 项和为S ，满足a
1 ，若 S 为有界数列，则实数M 的取值范围
n
是 .
n n n2 4n 3 n
25．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）互素是指两个自然数 a 和 b 的最大公因数为 1．欧拉函数 (n) 表示不大于 n n N* 且与 n 互素的正整数个数，若数列 a 满足a 2n ，且数列 a 的前 n 项和为S ，则满足 Sn 2025 的 n 的最大值为 ．
26．（2025·甘肃白银·三模）若数列 an 是有穷数列，且各项之和为 0，各项的绝对值之和为 1，则称数列 an
是“ n 项优待数列”.若等差数列 bn 是“ 2k 1 项优待数列”， k N* ，则bn .
【答案】 n 1
k k 1
【分析】根据等差数列分d 0 ， d 0 两种情况讨论，再结合等差数列求和公式计算求解通项.
【详解】设等差数列b1, b2 , b3 , b2k 1 k 1 的公差为d ， d 0 ，则b1 b2 b3 b2k 1 0 ①，
b1 b2 b3 b2k 1 1 ②，
所以 2k 1 b1 k 2k 1 d 0 ，所以b1 kd 0 ，所以bk 1 0 ，所以bk 2 d ，
当d 0 时，由①②，得b b b b 1 ，所以kd k k 1 d 1 ，即d 1 ，
k 1 k 2
k 3 2k 1 2
2 2 k k 1
由b 0 ，得b k 0 ，即b 1 ，所以b
1 n 1 n 1
，n N* ，n 2k 1 ，
k 1
1 k k 1
1 k 1
n k 1
k k 1
k k 1 k
当d 0 时，同理可得kd k k 1 d 1 ，即d 1 ，由b 0 ，得b k 0 ，即b 1 ，
2 2 k k 1
k 1
1 k k 1
1 k 1
1 n 1 n 1
所以bn k ， n N* ， n 2k 1 .
1 k k 1 k k 1 k
综上， b n 1 .
n
故答案为： b
k k 1
n


1
n k k 1
四、解答题
27．（2025·江西景德镇·三模）已知 Sn Tn 分别是等差数列 an 和等比数列 bn 的前n 项和， S5 15 ，
b2b4 64, a2 b1, S3 T2 ．
求数列 an 和 bn 的通项公式；
若 bn 为递增数列， cn anbn ，求数列 cn 的前n 项和 An ．
28．（2025·四川攀枝花·三模）已知数列 a 的首项a 1， a a
3 2n ．
n
求证： a 2n 是等比数列；
求数列 an 的前n 项和 Sn ；
n2
1 n n 1
令bn
an ( 1)
n ，求数列 bn 的最大项．
29．（2025·河南·三模）已知等差数列 an 的前 n 项和为Sn ，且a3 a7 6 ， S12 45 ．
求an ；
an an 2 ,n为奇数
若数列 bn 满足bn
an an 2
2
, n为偶数
，求数列 bn 的前 20 项和T20 ．
30．（2025·广东广州·三模）已知数列 an 满足a1 1， a3 6 ，且对任意的n 2 ， n N* ，都有
an 1 an 1 2 an 3 .
设bn an 1 an ，求证：数列 bn 是等差数列，并求出其的通项公式；
求数列 an 的通项公式；
2 13
1
若cn 3 an 3 n 2 ，求 c 的前 n 项和Tn .
n
31．（2025·河北秦皇岛·一模）设S 为数列 a 的前 n 项和，已知a
4, an Sn 是公比为 2 的等比数列．
n n
证明： an 是等比数列；
求 an 的通项公式以及 Sn ；
1 2a
设b n 5 a ，若 n N* ， 4m 2m 2 b ，求 m 的取值范围．
n n n
32．（2025·广东广州·三模）已知公差不为零的等差数列 an 和等比数列 bn 满足 a1 b1 1 ，且a1, 2a2 , 4a4 成等比数列， 4b2 , 2b3 , b4 成等差数列.
求数列 an 和 bn 的通项公式；
令c 3an ，去掉数列 c 中的第3k 项 k N* ，余下的项顺序不变，构成新数列 t ，写出数列 t 的前
4 项并求 tn 的前2n 项和 S2n ；
33．（2025·湖南长沙·三模）已知数列 b ， b N ，记集合 A {t | t bm , k m} 的元素个数为 A .
n n
k
若 bn 为 1，2，4，8，12，写出集合A ，并求 A 的值；
若 bn 为 1，3，a，b，且 A 3 ，求 bn 和集合A ；
若数列 bn 项数为r ，满足bn 1 bn n 1, 2, , r 1 ，求证：“ A r 1”的充要条件是“ bn 为等比数列”.
34．（2025·天津·三模）已知数列 an 和 bn 的满足a1 4,b1 2, an 1 2an bn 2,bn 1 2bn an 2 ，
(1)（i）求a4 b4 的值；
n
2 2
i i
i 1
(2)若数列 c 满足对于 n N*, b c a ，求证： m N* ，使得 ci 2025 ．
n n n n
i 1
ci 1
an 1 bn 1 3 ，
an bn
所以数列{an bn } 是以6 为首项， 3 为公比的等比数列.
1 n
根据等比数列通项公式可得an bn 6 3n 2 3 .
所以a4 b4 2 34 2 81 162 .
（ii）将an 1 2an bn 2 与bn 1 2bn an 2两式相减可得：
an 1 bn 1 2 an bn 2 (2bn an 2) an bn 4
即an 1 bn 1 (an bn ) 4 ，又a1 b1 4 2 2 ，
所以数列{an bn } 是以2 为首项， 4 为公差的等差数列.【公众号：林樾数学】所以an bn 2 4( n 1) 4n 2.
由平方差公式a2 b2 (a b )(a b ) ，则 (a2 b2 ) (a b )(a b ) (2 3i )(4i 2)
i i i i i i
i 1
i i i i i i i 1
i 1
4 (2i 1) 3i
i 1
设 S 1 3 3 32 5 33 (2n 1) 3 n ①
则3S 1 32 3 33 (2n 3) 3n (2n 1) 3n 1 ②
① - ②得：
2S 3 2 32 2 33 2 3n (2n 1) 3n 1
9(1 3n 1 )
n 1
3 2 (2n 1) 3
1 3
3 3n 1 9 (2 n 1) 3n 1
6 (2n 2) 3n 1
所以 S 3 (n 1) 3n 1
n
2 2
i i n
4 [3 (n 1) 3n 1] 12 4(n 1) 3n 1 .
i 1
（2）因为b c
a ，所以 ci
> bi .
n n n c a
i 1 i 1
由an bn 2 3n ， an bn 4n 2 ，可得bn 3n 2n 1 ， a 3n 2n 1 .
b 3i 2i 1 3i 2i 1 3i 2i 1 3i 2i 1 1 2i 1
则 i > .
ai 1
3i 1 2(i 1) 1 3i 1 2i 1 3i 1 3i
4 3i
4 4 3i
m ci
m 1 2i 1
m 1 m
2i 1
c > (
) i
i 1 i 1 i 1 4 4 3 4 4 i 1 3
m 2i 1 1 3 5 2m 1
设Tm 3i ③
i 1
3 3 3 3
则 1 T 1 3 2m 3 2m 1 ④ 3 m 32 33 3m 3m 1 ③ - ④得： 2 T 1 2( 1 1 1 ) 2m 1
3 m 3 32 33 3m 3m 1 1 (1 1 ) 1 2 9 3m 1 2 m 1 3 1 1 3 m 1 3 1 1 (1 1 ) 2m 1 3 3 3m 1 3m 1 2 2m 2 3 3m 1 所以T 1 m 1 . m 3m m ci m 1 m 1 m 1 m 1 则 c > 4 4 (1 3m ) 4 4 3m . i 1 i 1 m 1 m ci 当m 足够大时， 会大于 2025，所以 m N* ，使得 >2025 4 i 1 ci 1
35．（2025·山东临沂·三模）定义：若数列 an 满足 an n an 1 n 1 n 2, n N* ，则称数列 a 为“数 n
项增数列”.
若a 1 3n， b 2n 3 ，判断数列 a ， b 是否为“数项增数列”？
n n n n
若等差数列 cn 为“数项增数列”，且c1 2 ，求 cn 的公差d 的取值范围；
若数列 dn 为共 4 项的“数项增数列”，满足di 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9 (i 1, 2, 3, 4) ，求所有满足条件的数列
dn 的个数.
36．（2025·天津·二模）已知数列 an 是各项均为正数的等比数列，且a1 2 ， a2a4 64 .对于任意k N* ，在ak 和ak 1 之间插入 k 个数 xk1 ， xk 2 ，…， xkk ，使得ak ， xk1 ， xk 2 ，…， xkk ， ak 1 这k 2 个数构成等差数列，记新得到的数列为 bn .
求数列 an 的通项公式；
记cn bn 1 bn ，证明对于任意的n N* ， cn cn 1 ；
求
n (n 1)
bk
k 1
（其中n N* ）.
【答案】(1) a 2n ；
(2)证明见解析；
(3)
n( n 1)
bk
(3n 2) 2n 1 1.
k 1
【分析】（1）根据给定条件，借助等比中项求出公比，进而求出通项公式.
求出插入区间[ak , ak 1 ] 内项后的等差数列公差，再按数列{bn }的相邻 3 项在同一等差数列内和在相邻两个等差数列内分类证明.【公众号：林樾数学】
求出数列{bk } 中2n 项及前面的项数和，再利用分组求和法，结合等比数列前 n 项和公式及错位相减法
求和.
【详解】（1）设数列 a 的公比为q ，因为数列 a 是各项均为正数，故a 0 n N ， q 0 ，
因为a a 64 ， a2 a a ，
2 4 3 2 4
所以a2 64 ，解得a 8 ，而a 2 ，则公比q a3 2 ，
3 3 1
1
所以数列 an 的通项公式为an
a qn 1 2n .
a a
2k 1 2k 2k
由（1）得等差数列ak , xk1 , xk 2 , , xkk , ak 1 的公差d
k 1 k ，
k k 1
k 1
k 1
当bn ,bn 1,bn 2 [ak , ak 1] 时， bn 1 bn bn 2 bn 1 dk ，则cn cn 1 ；
b [a , a
), b
(a , a ]
b a
2k 2k 1
当 n k k 1
n 2
k 1 k 2
时，则
n 1
k 1 ， cn dk k 1 ,cn 1 dk 1 k 2 ，
2k 1 2k
k 2 1
k 2k
cn 1 cn 2 ( ) 0 ，因此cn cn 1 ，
k 2
所以cn cn 1 .
k 1
k 1
k 2
k
k 1 (k 2)(k 1)
{b }
(k 1)(2k 1 2k )
k 2
依题意，在(2 , 2 ), k 2 内的数列
n 的所有项和为
2
n(n 1)
3(k 1) 2 ，
n(n 1)
数列{bk } 中， 2n 项及前面的项数和为n [1 2 3 (n 1)] n ，
2 2
当n 2 时，
n ( n 1)
bk
k 1
2 22 23 2n 3[1 20 2 21 3 22 (n 1) 2n 2 ]
令 Sn 1 20 2 21 3 22 (n 1) 2n 2，
则2Sn 1 21 2 22 3 23 ( n 2) 2n 2 (n 1) 2n 1 ，
两式相减得 Sn 1 21 22 2n 2 (n 1) 2n 1 2n 1 1 (n 1) 2n 1 (2 n) 2n 1 1 ，解得 Sn (n 2) 2n 1 1，而2 22 23 2 n 2 n 1 2 ，