2026年高考数学一轮复习 二项式定理（含解析）

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高考数学一轮复习 二项式定理
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 温州期末）（x2+1）3展开式中x2的系数是（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．3
2．（2025春 青州市校级期末）（2x﹣1）5的展开式的第二项的二项式系数为（　　）
A．10 B．5 C．﹣10 D．﹣5
3．（2025春 郑州期末）若a∈N，且0≤a＜9，若442025+a能被9整除，则a的值为（　　）
A．1 B．3 C．6 D．8
4．（2025春 辽宁期末）（　　）
A．﹣10+2i B．﹣2+i C．10+2i D．﹣2﹣2i
5．（2025春 台山市期中）已知（1+3x）n的展开式共有9项，则n的值为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．（2025春 惠城区校级月考）已知（x）n的展开式中第3项与倒数第3项的二项式系数之和等于72，则该展开式中的常数项为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025 中山市校级模拟）已知，则a0+a2+a4+a6等于（　　）
A．1094 B．1093 C．﹣1093 D．﹣1094
8．（2025春 鲤城区校级期中）（x+2y﹣1）4的展开式中，x2y的系数为（　　）
A．24 B．﹣24 C．12 D．﹣48
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 新余校级模拟）已知，且n为偶数，则（　　）
A． B．a0＝1
C． D．
（多选）10．（2025 保山校级模拟）若的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的可能值为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
（多选）11．（2025春 郑州校级期中）在二项式的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则（　　）
A．n＝10
B．展开式中没有常数项
C．展开式所有二项式系数和为1024
D．展开式所有项的系数和为256
（多选）12．（2025春 浙江期中）已知（3x+1）n的展开式中含x2项的系数为324，若，则（　　）
A．n＝9
B．a4＝10206
C．
D．当x＝4时，（3x+1）n被6除的余数为1
三．填空题（共4小题）
13．（2025春 浦东新区校级期末）在（x+1）5的二项展开式中，x2项的系数为 　 　 ．
14．（2025春 宁波期末）（﹣x2+y）5的展开式中x6y2的系数为 　 　 ．
15．（2025 个旧市校级模拟）若在二项式的展开式中，有且只有第4项的二项式系数最大，则展开式中x2的系数为 　 　 ．
16．（2025春 广东期中）（x+1）n的展开式中x4的系数为15，则n＝ 　 　 ．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 甘肃期末）在的展开式中．
（1）求二项式系数最大的项；
（2）系数的绝对值最大的项是第几项？
（3）求系数最大的项．
18．（2025春 湖北月考）已知（1+2x）6﹣（x﹣1）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6．
（1）求a2的值；
（2）求a1+a2+a3+a4+a5的值；
（3）求a1﹣2a2+3a3﹣4a4+5a5﹣6a6的值．
19．（2024秋 红桥区期末）已知展开式的二项式系数和为64．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）若展开式中的常数项为20，求m的值．
20．（2025春 台州期中）若x∈R，，求：
（1）求a0+a1+a2+a3+ +a10的值；
（2）求a0+a2+a4+ +a10的值；
（3）求ai（i＝0，1，2， ，10）的最大值．
高考数学一轮复习 二项式定理
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 温州期末）（x2+1）3展开式中x2的系数是（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．3
【考点】二项展开式的通项与项的系数．
【专题】整体思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】D
【分析】利用通项公式求解可得．
【解答】解：（x2+1）3展开式的通项，
令6﹣2r＝2，得r＝2，
可得x2项的系数为．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二项式定理的应用，属于基础题．
2．（2025春 青州市校级期末）（2x﹣1）5的展开式的第二项的二项式系数为（　　）
A．10 B．5 C．﹣10 D．﹣5
【考点】二项式定理的应用．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】B
【分析】求出展开式的第二项的二项式系数可得答案．
【解答】解：二项式（2x﹣1）5的展开式的第2项的二项式系数为．
故选：B．
【点评】本题考查了二项式定理，属于基础题．
3．（2025春 郑州期末）若a∈N，且0≤a＜9，若442025+a能被9整除，则a的值为（　　）
A．1 B．3 C．6 D．8
【考点】二项式定理的应用．
【专题】整体思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】A
【分析】由已知结合二项式定理即可求解．
【解答】解：若a∈N，且0≤a＜9，
因为442025+a＝（45﹣1）2025+a45202545202445a能被45整除，
所以a﹣1为9的倍数，且a∈N，且0≤a＜9，即﹣1≤a﹣1＜8，
所以a﹣1＝0，即a＝1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二项式定理的应用，属于基础题．
4．（2025春 辽宁期末）（　　）
A．﹣10+2i B．﹣2+i C．10+2i D．﹣2﹣2i
【考点】二项式定理．
【专题】整体思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】B
【分析】根据复数的除法运算法则计算即可．
【解答】解：原式i（1+i）+（）1010
＝﹣1+i+（﹣i）1010＝﹣1+i﹣1＝﹣2+i．
故选：B．
【点评】本题主要考查了复数的运算，属于基础题．
5．（2025春 台山市期中）已知（1+3x）n的展开式共有9项，则n的值为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【考点】二项式定理的应用．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】C
【分析】根据二项式展开式性质得出参数即可．
【解答】解：由已知可得二项式的展开式共有n+1项，
则n+1＝9，所以n＝8．
故选：C．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．
6．（2025春 惠城区校级月考）已知（x）n的展开式中第3项与倒数第3项的二项式系数之和等于72，则该展开式中的常数项为（　　）
A． B． C． D．
【考点】二项式系数与二项式系数的和．
【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑思维；运算求解．
【答案】A
【分析】直接利用二项式的展开式以及组合数的应用求出结果．
【解答】解：已知（x）n的展开式中第3项与倒数第3项的二项式系数之和等于72，
由于，
故，解得n＝9（负值舍去）．
所以的展开式为（r＝0，1，…，9），
当r＝3时，该展开式中的常数项为．
故选：A．
【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
7．（2025 中山市校级模拟）已知，则a0+a2+a4+a6等于（　　）
A．1094 B．1093 C．﹣1093 D．﹣1094
【考点】二项式定理．
【专题】方程思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】D
【分析】利用赋值法即可得所求系数之和．
【解答】解：令x＝1，得1①，
再令x＝﹣1，得a0﹣a1+...﹣a7＝（﹣1﹣2）7＝﹣2187②，
则可得：．
故选：D．
【点评】本题考查了二项式定理，属于基础题．
8．（2025春 鲤城区校级期中）（x+2y﹣1）4的展开式中，x2y的系数为（　　）
A．24 B．﹣24 C．12 D．﹣48
【考点】二项展开式的通项与项的系数．
【专题】对应思想；转化法；二项式定理；运算求解．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用组合应用问题列式计算得解．
【解答】解：（x+2y﹣1）4的展开式中，x2y项是4个多项式中取2个用x，一个用2y，余下一个用﹣1，
该项为．
∴x2y的系数为﹣24．
故选：B．
【点评】本题考查二项展开式的系数与通项，是基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 新余校级模拟）已知，且n为偶数，则（　　）
A． B．a0＝1
C． D．
【考点】二项式定理．
【专题】转化思想；转化法；二项式定理；运算求解．
【答案】AD
【分析】借助赋值法，分别令x＝0、x＝﹣1可得A、B；令x+1＝t，则可得，即可得ak正负，再令t＝﹣1即可得C；由可得D．
【解答】解：，
对A：令x＝0，则有，故A正确；
对B：令x＝﹣1，则有，故B错误；
对C：令x+1＝t，则，
则，
由n为偶数，则当k为偶数时，ak＞0，当k为奇数时，ak＜0，
则，令t＝﹣1，则（﹣5）n＝an﹣an﹣1+ ﹣a1+a0，
则，故C错误；
对D：由，
则，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．
（多选）10．（2025 保山校级模拟）若的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的可能值为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【考点】二项式系数的性质．
【专题】对应思想；定义法；二项式定理；运算求解．
【答案】BCD
【分析】根据二项式系数的性质分别进行求解即可．
【解答】解：当n＝7时，第4，第5项二项式系数最大，此时满足条件，
当n＝8时，此时只有第5项二项式系数最大，此时满足条件，
当n＝9时，第5，第6项二项式系数最大，此时满足条件，
故选：BCD．
【点评】本题主要考查二项式系数的性质，利用分类讨论思想进行求解是解决本题的关键，是基础题．
（多选）11．（2025春 郑州校级期中）在二项式的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则（　　）
A．n＝10
B．展开式中没有常数项
C．展开式所有二项式系数和为1024
D．展开式所有项的系数和为256
【考点】二项式系数的性质．
【专题】转化思想；转化法；二项式定理；运算求解．
【答案】BD
【分析】根据已知条件，结合二项式定理，即可求解．
【解答】解：∵只有第5项的二项式系数最大，且第5项的二项式为，
∴n＝8，故A错误，
∵，k＝0，1，2，…，8，
∵5k﹣24≠0，
∴二项式的展开式中没有常数项，故B正确，
展开式所有二项式系数和为28＝256，故C错误，
令x＝1，可得展开式所有项系数和为（﹣2）8＝256，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查了二项式定理，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
（多选）12．（2025春 浙江期中）已知（3x+1）n的展开式中含x2项的系数为324，若，则（　　）
A．n＝9
B．a4＝10206
C．
D．当x＝4时，（3x+1）n被6除的余数为1
【考点】二项式定理的应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑思维；运算求解．
【答案】ABD
【分析】由二项式定理写出展开式的通项，根据指定项的系数，建立方程，可得A的正误；根据通项，结合题干中的指定项，可得B的正误；根据赋值法，分别赋值0与1，相减可得C的正误；利用二项式定理展开式，由6的倍数，可得D的对错．
【解答】解：已知（3x+1）n的展开式中含x2项的系数为324，
由（3x+1）n，则其展开式的通项为，（r∈N）
令n﹣r＝2，则，即，解得n＝9（舍负），故A正确，
由，则，故B正确；
令x＝0，则（3×0+1）9＝1＝a0+a1 0+ +a9 0＝a0，
令x＝1，则（3×1+1）9＝49＝a0+a1 1+ +a9 1＝a0+a1+ +a9，
两式相减可得，故C错误；
当x＝4时，，
由12为6的倍数，则（3x+1）n被6除的余数为1，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，赋值法，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025春 浦东新区校级期末）在（x+1）5的二项展开式中，x2项的系数为 　10　 ．
【考点】二项展开式的通项与项的系数．
【专题】对应思想；定义法；二项式定理；运算求解．
【答案】10．
【分析】利用二项式展开式的通项公式求解．
【解答】解：二项式展开式的通项公式为Tk+1x5﹣k，k＝0，1，2，3，4，5，
令5﹣k＝2，解得k＝3，
则x2项的系数为10．
故答案为：10．
【点评】本题考查二项式定理的应用，属于基础题．
14．（2025春 宁波期末）（﹣x2+y）5的展开式中x6y2的系数为 　﹣10　 ．
【考点】二项展开式的通项与项的系数．
【专题】整体思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】﹣10．
【分析】结合二项展开式的通项即可求解．
【解答】解：（﹣x2+y）5的展开式中x6y2的通项Tr+1，
令r＝2，则x6y2的系数为．
故答案为：﹣10．
【点评】本题主要考查了二项式的定理的应用，属于基础题．
15．（2025 个旧市校级模拟）若在二项式的展开式中，有且只有第4项的二项式系数最大，则展开式中x2的系数为 　60　 ．
【考点】二项式系数的性质；二项展开式的通项与项的系数．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】60．
【分析】根据题意确定n的值，然后写出的展开式的通项，令6﹣2r＝2，求解即可．
【解答】解：由题意知n＝6，则二项式的展开式通项公式为，r＝0，1，…，6，
令6﹣2r＝2，则r＝2，
所以x2的系数为．
故答案为：60．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．
16．（2025春 广东期中）（x+1）n的展开式中x4的系数为15，则n＝ 　6　 ．
【考点】二项展开式的通项与项的系数．
【专题】方程思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】6．
【分析】利用二项式展开式定理求出展开式中含x4的项，进而建立方程即可求解．
【解答】解：由二项式定理可得展开式中含x4的项为，
则，解得n＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 甘肃期末）在的展开式中．
（1）求二项式系数最大的项；
（2）系数的绝对值最大的项是第几项？
（3）求系数最大的项．
【考点】二项式定理．
【专题】转化思想；转化法；二项式定理；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由二项式系数的性质即可得到结果；
（2）由展开式的通项公式列出不等式，代入计算，即可得到结果；
（3）结合展开式的通项公式，由（2）中的结论，代入计算，即可得到结果．
【解答】解：（1）二项式系数最大的项为中间项，即第5项，；
（2）的展开式的通项为：
，r≤8，r∈N，
设第r+1项系数的绝对值最大，显然0＜r＜8，则，整理得，
解得5≤r≤6，而r∈N，则r＝5或r＝6，
所以系数的绝对值最大的项是第6项和第7项；
（3）由（2）知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，
第7项的系数为正，所以系数最大的项为第7项．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．
18．（2025春 湖北月考）已知（1+2x）6﹣（x﹣1）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6．
（1）求a2的值；
（2）求a1+a2+a3+a4+a5的值；
（3）求a1﹣2a2+3a3﹣4a4+5a5﹣6a6的值．
【考点】二项式定理的应用；二项展开式的通项与项的系数．
【专题】转化思想；转化法；二项式定理；运算求解．
【答案】（1）a2＝70；
（2）663；
（3）﹣92．
【分析】（1）根据通项求解即可；
（2）令x＝0求出a0，令x＝1，求出a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6，进而得到结果．
（3）对等式两边求导，令x＝﹣1，求解即可．
【解答】解：（1）由题意得：．
（2）令x＝0，则，
再令x＝1，则，
又，
所以a1+a2+a3+a4+a5＝729﹣2﹣64＝663．
（3）两边同时求导得：
，
令x＝﹣1，则．
【点评】本题主要考查二项式定理，属于基础题．
19．（2024秋 红桥区期末）已知展开式的二项式系数和为64．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）若展开式中的常数项为20，求m的值．
【考点】二项式系数与二项式系数的和．
【专题】方程思想；定义法；二项式定理；运算求解．
【答案】（Ⅰ）n＝6；（Ⅱ）m＝1．
【分析】（Ⅰ）由二项式系数和为2n，列方程求得n；
（Ⅱ）根据展开式中的常数项，用通项公式求出常数项，再列方程求m．
【解答】解：（Ⅰ）因为展开式的二项式系数和为64，即2n＝64，解得n＝6；
（Ⅱ）若展开式中的常数项为20，则由Tr+1 x6﹣r x6﹣2r mr，
令6﹣2r＝0，解得r＝3，所以 m3＝20，即m3＝1，解得m＝1．
【点评】本题考查了二项式定理应用问题，是基础题．
20．（2025春 台州期中）若x∈R，，求：
（1）求a0+a1+a2+a3+ +a10的值；
（2）求a0+a2+a4+ +a10的值；
（3）求ai（i＝0，1，2， ，10）的最大值．
【考点】二项式定理的应用．
【专题】整体思想；综合法；二项式定理；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）310；
（2）；
（3）15360．
【分析】（1）已知等式右边是关于（x﹣2）的多项式，令x＝3，此时（x﹣2）都变为1，等式左边就是310，右边就是所求式子的值．
（2）分别令x＝3和x＝1得到两个等式，两式相加后，含奇数项系数的部分正负抵消，剩下的就是2倍所求式子，再除以2即可．
（3）先把x10变形为[2+（x﹣2）]10，根据二项式展开得到.设ai最大，列出ai≥ai﹣1且ai≥ai+1的不等式组，解出i的范围，结合i是自然数确定i的值，进而求出ai最大值．
【解答】（1）已知，
令x＝3，则可得；
（2）令x＝3，得310＝a0+a1+a2+...+a10 ①，令x＝1，得110＝a0﹣a1+a2﹣a3+...+a10 ②，
①+②得：310+110＝2（a0+a2+a4+...+a10）
所以；
（3）因为x10＝[2+（x﹣2）]10，根据二项式定理，可得，所以．
设ai最大，则，即．
由可得：
，解得；
由可得：
，解得；
所以，又因为i∈N，所以i＝3．
则．
【点评】本题主要考查二项式定理，属于中档题．
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