2026年高考数学一轮复习 复数（含解析）

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高考数学一轮复习 复数
一．选择题（共8小题）
1．（2025 西湖区校级模拟）设i为虚数单位，若复数，则z＝（　　）
A．﹣3i B．﹣3 C．3i D．3
2．（2025春 南宁期末）若z﹣2i＝2+i，则|z|＝（　　）
A．2 B． C． D．
3．（2025春 舟山期末）已知复数z＝2+3i（i为虚数单位），则的虚部为（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣3i D．3i
4．（2025 沙市区校级模拟）已知a，b∈R，且，则（　　）
A．b＝﹣a2 B．b＝2a C．a＝2b D．|a+b|＝6
5．（2025春 杭州期末）在复平面内，复数z对应的点的坐标为（1，﹣2），则|z+1|＝（　　）
A． B． C．3 D．
6．（2025春 丹阳市期末）已知复数z满足z i＝（1+i），则|z|＝（　　）
A．1 B． C．2 D．
7．（2025春 十堰期末）已知复数z1，z2满足|z1|＝1，|z2|＝2，且，则|z1+z2|＝（　　）
A． B． C．7 D．
8．（2025春 安徽期末）已知复数z满足，则z＝（　　）
A．7﹣i B．7+i C．5﹣i D．5+i
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025春 泰州期末）设是z的共轭复数，则下列说法正确的有（　　）
A．是纯虚数 B．是实数
C．是实数 D．
（多选）10．（2025春 绍兴期末）已知z1＝1+2i，z2＝2﹣i，则（　　）
A．
B．z1﹣z2的共轭复数是1﹣3i
C．z1z2的虚部是3
D．是纯虚数
（多选）11．（2025春 河南月考）设复数z在复平面内对应的点为Z，i为虚数单位，则下列说法正确的是（　　）
A．若|z1|＝|z2|，则
B．若|z1﹣z2|＝0，则z1＝z2
C．若z＝3﹣2i，则复数在复平面内对应的点位于第四象限
D．若1≤|z﹣i|≤2，则点Z的集合所构成的图形的面积为3π
（多选）12．（2025春 黄山校级期末）已知i为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（　　）
A．复数z的虚部是
B．|z|＝1
C．复数z的共轭复数是
D．复数z对应的点位于第一象限
三．填空题（共4小题）
13．（2025春 上城区校级期末）复数z满足i（z+i）＝2+i，则|z|＝　 　 ．
14．（2025春 徐汇区期末）设z∈C，且|z|＝1，z与zi（其中i是虚数单位）在复平面上对应的点分别为Z与Z′，则线段ZZ′的长度为 　 　 ．
15．（2025春 杨浦区校级期末）已知复数为纯虚数，其中i为虚数单位，则实数a＝ 　 　 ．
16．（2025 杨浦区校级模拟）已知复数z满足：i0（i为虚数单位），则|z|＝　 　 ．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春 河南月考）已知复数z，w是方程x2﹣2x+2＝0的两根，且在复平面内，z对应的点在w对应的点的上方．
（1）求z；
（2）求|z﹣3w|；
（3）求在复平面内对应的点的坐标．
18．（2025春 江西月考）已知复数z满足的虚部为﹣2．
（1）求z；
（2）若z的实部为正数，z，z2，2z+z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求cos∠BAC．
19．（2025春 江西期中）已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1（0，1），Z2（2，﹣1）．
（1）若z＝z1﹣z2，求|z|；
（2）若复数z＝z1+mz1z2在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围．
20．（2025春 贵州期中）已知复数z1＝1+i，z2＝a﹣2i（a∈R）．
（1）若z1z2是纯虚数，求a的值；
（2）若复数z1z2在复平面内所对应的点位于第四象限内，求a的取值范围．
高考数学一轮复习 复数
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025 西湖区校级模拟）设i为虚数单位，若复数，则z＝（　　）
A．﹣3i B．﹣3 C．3i D．3
【考点】复数的除法运算．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】A
【分析】利用复数的除法化简复数z即可．
【解答】解：3i．
故选：A．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
2．（2025春 南宁期末）若z﹣2i＝2+i，则|z|＝（　　）
A．2 B． C． D．
【考点】复数的模．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】C
【分析】先根据已知条件求出复数z，再根据复数的模的计算公式求出|z|．
【解答】解：由题意可知，z＝2+i+2i＝2+3i．
所以．
故选：C．
【点评】本题主要考查复数的模的计算公式，属于基础题．
3．（2025春 舟山期末）已知复数z＝2+3i（i为虚数单位），则的虚部为（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣3i D．3i
【考点】共轭复数；复数的实部与虚部．
【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】A
【分析】利用共轭复数的概念和复数的定义可得出结果．
【解答】解：由题意，，虚部为﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查复数的应用，属于基础题．
4．（2025 沙市区校级模拟）已知a，b∈R，且，则（　　）
A．b＝﹣a2 B．b＝2a C．a＝2b D．|a+b|＝6
【考点】复数的除法运算．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】D
【分析】利用复数的乘法运算以及复数相等的概念即可求出a，b，再逐一判断．
【解答】解：由题意可知，9﹣2i＝（b﹣i）（a+i）＝ab+1+（b﹣a）i，
则9＝ab+1，2＝a﹣b，解得a＝4，b＝2或a＝﹣2，b＝﹣4，
若a＝4，b＝2，则AB错误，D正确；
若a＝﹣2，b＝﹣4，则C错误，D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查复数的乘法运算以及复数相等的概念，属于基础题．
5．（2025春 杭州期末）在复平面内，复数z对应的点的坐标为（1，﹣2），则|z+1|＝（　　）
A． B． C．3 D．
【考点】复数的模．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】A
【分析】结合复数的几何意义，以及复数模公式，即可求解．
【解答】解：复数z对应的点的坐标为（1，﹣2），
则z＝1﹣2i，
故|z+1|＝|2﹣2i|．
故选：A．
【点评】本题主要考查复数的几何意义，以及复数模公式，属于基础题．
6．（2025春 丹阳市期末）已知复数z满足z i＝（1+i），则|z|＝（　　）
A．1 B． C．2 D．
【考点】复数的模；复数的除法运算．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】B
【分析】根据复数的除法运算先求解z，然后计算模．
【解答】解：由已知可得，
则．
故选：B．
【点评】本题考查复数的除法，复数的模，属于基础题．
7．（2025春 十堰期末）已知复数z1，z2满足|z1|＝1，|z2|＝2，且，则|z1+z2|＝（　　）
A． B． C．7 D．
【考点】复数的模．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】D
【分析】根据复数的几何意义与加减法的平行四边形法则，结合余弦定理得出|z1+z2|，从而得出结论．
【解答】解：设z1，z2在复平面内对应的向量分别为，，
由题意可知，，，
则以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形中，∠Z1OZ2＝60°；
在△OZ1Z2中，由余弦定理可得．
故选：D．
【点评】本题主要考查复数的几何意义，以及余弦定理，属于基础题．
8．（2025春 安徽期末）已知复数z满足，则z＝（　　）
A．7﹣i B．7+i C．5﹣i D．5+i
【考点】复数的除法运算．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】B
【分析】结合复数的四则运算法则，即可求解．
【解答】解：复数z满足，
则z＝（2+i）（3﹣i）＝7+i．
故选：B．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025春 泰州期末）设是z的共轭复数，则下列说法正确的有（　　）
A．是纯虚数 B．是实数
C．是实数 D．
【考点】共轭复数；复数的模．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】BCD
【分析】利用复数的概念，四则运算及模长公式逐项验证即可．
【解答】解：设复数z＝a+bi（a，b∈R），
所以，当b＝0时，为实数，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，，
所以，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查复数的概念，复数模公式，属于基础题．
（多选）10．（2025春 绍兴期末）已知z1＝1+2i，z2＝2﹣i，则（　　）
A．
B．z1﹣z2的共轭复数是1﹣3i
C．z1z2的虚部是3
D．是纯虚数
【考点】复数的运算；复数的模．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】ACD
【分析】对于A，由复数的加法运算和复数的模的计算公式可判断；对于B，由复数的减法运算及共轭复数的概念即可判断；对于C，由复数的乘法运算可求得z1z2，进而求其虚部；对于D，由复数的除法运算即可求解判断．
【解答】解：z1+z2＝1+2i+2﹣i＝3+i，∴，故A正确；
z1﹣z2＝（1+2i）﹣（2﹣i）＝﹣1+3i，故z1﹣z2的共轭复数是﹣1﹣3i，故B错误；
z1z2＝（1+2i）（2﹣i）＝4+3i，∴z2z2的虚部是3，故C正确；
z1＝1+2i，z2＝2﹣i，
则，故是纯虚数，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，复数的概念，属于基础题．
（多选）11．（2025春 河南月考）设复数z在复平面内对应的点为Z，i为虚数单位，则下列说法正确的是（　　）
A．若|z1|＝|z2|，则
B．若|z1﹣z2|＝0，则z1＝z2
C．若z＝3﹣2i，则复数在复平面内对应的点位于第四象限
D．若1≤|z﹣i|≤2，则点Z的集合所构成的图形的面积为3π
【考点】复数对应复平面中的点；复数的模．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】BD
【分析】结合特殊值法，复数模公式，复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：令z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但，故A错误；
设z1＝a+bi，z2＝c+di，若|z1﹣z2|＝0，则，所以a＝c，b＝d，即z1＝z2，故B正确；
易知，复数z在复平面内对应的点位于第一象限，故C错误；
记z＝x+yi，则，所以1≤x2+（y﹣1）2≤4，
圆x2+（y﹣1）2＝1的面积为π，圆x2+（y﹣1）2＝4的面积为4π，所以点Z的集合所构成的图形的面积为4π﹣π＝3π，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查复数模公式，复数的几何意义，属于基础题．
（多选）12．（2025春 黄山校级期末）已知i为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（　　）
A．复数z的虚部是
B．|z|＝1
C．复数z的共轭复数是
D．复数z对应的点位于第一象限
【考点】复数的除法运算；复数的实部与虚部；复数对应复平面中的点；共轭复数．
【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】AD
【分析】首先化简复数，再根据复数的定义，性质和几何意义，判断选项．
【解答】解：∵，
∴z的虚部是，故A正确；
，故B错误；
，故C错误；
复数z在复平面内对应的点的坐标是，位于第一象限，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念与复数模的求法，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025春 上城区校级期末）复数z满足i（z+i）＝2+i，则|z|＝　　 ．
【考点】复数的模．
【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】．
【分析】先利用复数运算法则求出z，进而求出模长．
【解答】解：根据题意可知，i（z+i）＝2+i，则，
可得到z＝1﹣2i﹣i＝1﹣3i，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查了复数运算法则，属于基础题．
14．（2025春 徐汇区期末）设z∈C，且|z|＝1，z与zi（其中i是虚数单位）在复平面上对应的点分别为Z与Z′，则线段ZZ′的长度为 　　 ．
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的模．
【专题】转化思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】．
【分析】设z＝a+bi（a，b∈R），且a2+b2＝1，根据复数的几何意义，写出Z，Z′的坐标，根据两点间距离公式求解．
【解答】解：由已知可设z＝a+bi（a，b∈R），则a2+b2＝1，且点Z（a，b），
所以zi＝i（a+bi）＝﹣b+ai，则点Z′（﹣b，a），
所以线段ZZ′的长度为．
故答案为：．
【点评】本题考查复数的乘法，模，属于基础题．
15．（2025春 杨浦区校级期末）已知复数为纯虚数，其中i为虚数单位，则实数a＝ 　1　 ．
【考点】纯虚数．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】1．
【分析】由复数除法结合纯虚数定义可得答案．
【解答】解：为纯虚数，
则．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的概念，属于基础题．
16．（2025 杨浦区校级模拟）已知复数z满足：i0（i为虚数单位），则|z|＝　　 ．
【考点】共轭复数；复数的运算．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】．
【分析】根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．
【解答】解：∵i0，
∴，
∴z＝﹣1﹣2i，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春 河南月考）已知复数z，w是方程x2﹣2x+2＝0的两根，且在复平面内，z对应的点在w对应的点的上方．
（1）求z；
（2）求|z﹣3w|；
（3）求在复平面内对应的点的坐标．
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】（1）z＝1+i；
（2）；
（3）（0，1）．
【分析】（1）求解一元二次方程，然后根据复数z，w的位置关系即可确定复数z．
（2）先求出复数z﹣3w，然后求模即可．
（3）先求出复数，然后求出，最后确定点的坐标即可．
【解答】解：（1）因为复数z，w是方程x2﹣2x+2＝0的两根，
则 （x﹣1）2＝﹣1，解得x1＝1﹣i或x2＝1+i；
又因为在复平面内，z对应的点在w对应的点的上方，
所以z的虚部更大，故z＝1+i；
（2）由（1）可得z＝1+i，w＝1﹣i，
故z﹣3w＝﹣2+4i，
故．
（3）由题意可得，
所以，
所以在复平面内对应的点的坐标为（0，1）．
【点评】本题主要考查复数的几何意义，复数的四则运算，属于基础题．
18．（2025春 江西月考）已知复数z满足的虚部为﹣2．
（1）求z；
（2）若z的实部为正数，z，z2，2z+z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求cos∠BAC．
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的实部与虚部．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】（1）z＝1﹣i或z＝﹣1+i；
（2）．
【分析】（1）设z＝x+yi（x，y∈R），根据复数的乘方、模的公式及虚部的定义求解即可；
（2）由（1）可得z＝1﹣i，进而求得z2＝﹣2i，2z+z2＝2﹣4i，可得A，B，C的坐标，再结合平面向量夹角余弦的坐标表示求解即可．
【解答】解：（1）设z＝x+yi（x，y∈R），则z2＝（x+yi）2＝x2﹣y2+2xyi，
复数z满足的虚部为﹣2．
则，解得或，
∴z＝1﹣i或z＝﹣1+i．
（2）∵z的实部为正数，∴z＝1﹣i，
∴z2＝（1﹣i）2＝﹣2i，2z+z2＝2﹣4i，
z，z2，2z+z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，
则A（1，﹣1），B（0，﹣2），C（2，﹣4），
则，
∴．
【点评】本题主要考查向量的坐标运算法则，以及复数的几何意义，属于基础题．
19．（2025春 江西期中）已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1（0，1），Z2（2，﹣1）．
（1）若z＝z1﹣z2，求|z|；
（2）若复数z＝z1+mz1z2在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围．
【考点】复数对应复平面中的点；复数的模．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）由题可知：z1＝i，z2＝2﹣i，进而可求z和其模长；
（2）整理可得z＝m+（2m+1）i，结合复数的几何意义运算求解．
【解答】解：（1）复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1（0，1），Z2（2，﹣1）．
则z1＝i，z2＝2﹣i，则z＝z1﹣z2＝i﹣（2﹣i）＝﹣2+2i，
所以．
（2）由题意可知：z＝z1+mz1z2＝i+mi（2﹣i）＝m+（2m+1）i，
因为复数z在复平面内对应的点位于第二象限，则，解得，
故实数m的取值范围为．
【点评】本题主要考查复数的几何意义，以及复数模公式，属于基础题．
20．（2025春 贵州期中）已知复数z1＝1+i，z2＝a﹣2i（a∈R）．
（1）若z1z2是纯虚数，求a的值；
（2）若复数z1z2在复平面内所对应的点位于第四象限内，求a的取值范围．
【考点】复数对应复平面中的点；纯虚数．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】（1）a＝﹣2；
（2）（﹣2，2）．
【分析】（1）首先计算z1z2，再根据复数的特征，即可求解；
（2）根据复数的几何意义，列不等式求解．
【解答】解：（1）复数z1＝1+i，z2＝a﹣2i，
则．
因为z1z2是纯虚数，
所以，解得a＝﹣2；
（2）复数z1z2在复平面内所对应的点位于第四象限内，
则，解得﹣2＜a＜2，即a的取值范围为（﹣2，2）．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
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