2026年高考数学一轮复习 概率（含解析）

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高考数学一轮复习 概率
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 绍兴期末）从m，a，t，h，e这五个字母中随机选择一个，则选中元音字母a或e的概率为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025春 清远期末）某班级有42名学生，其中男生、女生的人数及是否喜爱篮球的人数如表所示，从这42名学生中随机选择1人作为体育课代表，若选到的学生喜爱“篮球”，则该学生是女生的概率为（　　）
喜爱“篮球” 不喜爱“篮球” 合计
男生 15 7 22
女生 10 10 20
合计 25 17 42
A． B． C． D．
3．（2025春 广西期末）某网球社团有3名男生和5名女生，从中任选2名同学参加网球比赛，下列各对事件中互斥而不对立的是（　　）
A．至少有1名男生与全是男生
B．至少有1名男生与全是女生
C．恰有1名男生与恰有2名男生
D．至少有1名男生与至少有1名女生
4．（2025 天津）下列说法中错误的是（　　）
A．若X N（μ，σ2），则P（X≤μ﹣σ）＝P（X≥μ+σ）
B．若X N（1，22），Y N（2，22），则P（X＜1）＜P（Y＜2）
C．|r|越接近1，相关性越强
D．|r|越接近0，相关性越弱
5．（2025春 龙岩期末）现有6张卡片，分别写上数字1，2，3，4，5，6．从这6张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P（ξ＝4）＝（　　）
A． B． C． D．
6．（2025春 郑州期末）一个袋子中装有5个白球，3个黑球，从中任选4个球，取到一个白球得1分，取到一个黑球得3分，设得分为随机变量X，则P（X≥6）为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025春 徐汇区期末）如果事件A与事件B独立，且P（A），P（B）∈（0，1），、分别是A、B的对立事件，那么以下等式一定成立的是（　　）
A．P（A∪B）＝P（A）P（B） B．P（A∩B）＝P（A）+P（B）
C． D．
8．（2025春 湖州期末）已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（2＜X≤2.5）＝0.1，则P（X＜2.5）＝（　　）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025春 杭州校级月考）已知随机事件A，B相互独立，且，则（　　）
A． B． C． D．
（多选）10．（2025春 丽水期末）甲乙两个质地均匀的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，记事件A为“两个骰子朝上一面的点数之和为奇数”，事件B为“甲骰子朝上一面的点数为奇数”，事件C为“乙骰子朝上一面的点数为偶数”，下列选项正确的是（　　）
A．事件B、C是互斥事件
B．P（A）＝P（B）＝P（C）
C．事件A、B是相互独立事件
D．
（多选）11．（2025春 新洲区期末）小宁连续抛掷一枚骰子2次，记事件A表示“2次结果中正面向上的点数之和为奇数”，事件B表示“2次结果中至少一次正面向上的点数为偶数”，则（　　）
A．事件A与事件B互斥
B．事件A与事件B不相互独立
C．
D．
（多选）12．（2025春 杭州期末）若，，，则事件A与B的关系是（　　）
A．事件A与B不互斥
B．事件A与B对立
C．事件A与B相互独立
D．事件A与B既互斥又独立
三．填空题（共4小题）
13．（2025春 浦东新区校级期末）有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回地随机取两次，事件A表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件B表示“两次取出的球的数字之和是偶数，则P（B|A）＝ 　 　 ．
14．（2025春 龙岩期末）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.4，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为　 　 ．
15．（2025春 闵行区校级期末）某中学高一、高二、高三的学生人数比例为4：3：3，假设该中学高一、高二、高三的学生阅读完《红楼梦》的概率分别为0.5，0.7，0.9，若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，则这名学生阅读完《红楼梦》的概率 　 　 ．
16．（2025 浦东新区校级模拟）某测试由8道四选一的单选题组成．学生小胡有把握答对其中4道题，且在剩下的4道题中，他对2道有思路，其余2道则完全不会．若小胡答对每道有思路的题的概率为，答对每道不会的题的概率为，则当他从这8道题中任抽1题作答时，能答对的概率为 　 　 ．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春 松江区校级月考）在探索数智技术赋能学科学习的过程中，某中学鼓励学生使用某听说平台进行英语口语自主练习．该中学有初中生1200人，高中生800人．为了解全校学生近一个月内使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数，从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，将他们的使用次数按照[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，五个区间进行分组，所得样本数据如下表：
使用次数分组区间 [0，10） [10，20） [20，30） [30，40） [40，50]
初中生 4 38 48 24 6
高中生 3 19 38 17 3
（1）从上面参与问卷调查且使用此听说平台进行英语口语自主练习次数不足10次的学生中随机抽取3人，记X为这3人中高中生的人数，求X的分布和数学期望；
（2）若将自主练习次数不少于20次称为积极，试完成下2×2列联表，并根据α＝0.05判断“学段”与“自主练习的积极性”是否有关．附：，P（χ2≥3.841）＝0.05
练习不积极 练习积极 合计
初中生
高中生
合计
18．（2025春 丹阳市期末）甲、乙两人组成小队参加数学趣味谜题竞猜活动，每轮活动有甲、乙各猜一个谜题，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也相互不影响，该小队共参加了两轮活动．
（1）求小队猜对3个谜题的概率；
（2）求甲猜对谜题数量大于乙猜对谜题数量的概率．
19．（2025春 南开区期末）A，B，C三所学校分别有6%，5%，4%的学生有“强基计划”报名资格，这三个学校的人数比为3：4：3，现从这三个地区中任选一人．
（Ⅰ）求这个人有“强基计划”报名资格的概率；
（Ⅱ）如果此人有“强基计划”报名资格，求此人选自A学校的概率．
20．（2025春 长宁区校级期末）设甲、乙两名同学最近50次的投篮情况如下表所示，已知甲、乙每次投中与否相互独立．
用频率估计概率，解答下列问题：
甲 乙
投中 30次 25次
未投中 20次 25次
（1）若从甲、乙两人中随机选择1人投篮1次，求投中的概率；
（2）若甲、乙两人各投篮2次，求至少投中3次的概率；
（3）若甲、乙进行投篮比赛，约定甲、乙轮流投篮，第一次由甲先投．
规定：若其中一人比另一个人多投中2次，则停止比赛（例如：甲第一次投中，乙第一次未投中，甲第二次投中，则停止比赛，乙不再投第二次），投中次数多的赢得比赛；若甲、乙都投完了5次，则也停止比赛，投中次数多的获胜，次数相同则为平局．求甲投了第三次后停止比赛的概率．
高考数学一轮复习 概率
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 绍兴期末）从m，a，t，h，e这五个字母中随机选择一个，则选中元音字母a或e的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】根据古典概型的概率计算公式求解即可．
【解答】解：从m，a，t，h，e五个字母中随机选择一个，
则样本空间Ω＝{m，a，t，h，e}，n（Ω）＝5，
记事件A＝“选中元音字母a或e”，
则A＝{a，e}，n（A）＝2，
故．
故选：C．
【点评】本题考查古典概型求概率公式，属于基础题．
2．（2025春 清远期末）某班级有42名学生，其中男生、女生的人数及是否喜爱篮球的人数如表所示，从这42名学生中随机选择1人作为体育课代表，若选到的学生喜爱“篮球”，则该学生是女生的概率为（　　）
喜爱“篮球” 不喜爱“篮球” 合计
男生 15 7 22
女生 10 10 20
合计 25 17 42
A． B． C． D．
【考点】古典概型及其概率计算公式；条件概率乘法公式及应用．
【专题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】记事件A：选到的学生喜爱“篮球”，事件B：选到的学生是女生，利用条件概率公式可求出P（B|A）的值．
【解答】解：记事件A：选到的学生喜爱“篮球”，事件B：选到的学生是女生，
则n（A）＝25，n（AB）＝10，
所以．
故选：B．
【点评】本题考查条件概率公式，属于基础题．
3．（2025春 广西期末）某网球社团有3名男生和5名女生，从中任选2名同学参加网球比赛，下列各对事件中互斥而不对立的是（　　）
A．至少有1名男生与全是男生
B．至少有1名男生与全是女生
C．恰有1名男生与恰有2名男生
D．至少有1名男生与至少有1名女生
【考点】互斥事件与对立事件．
【专题】对应思想；综合法；概率与统计；逻辑思维．
【答案】C
【分析】写出各个事件包含的情况，根据互斥事件以及对立事件的概念，依次判断各选项即可．
【解答】解：对于A选项，事件“至少有1名男生”包括：“恰有1名男生”和“全是男生”两种情况，故A选项错误；
对于B选项，事件“至少有1名男生”包括：“恰有1名男生”和“全是男生”两种情况，
与事件“全是女生”是互斥对立事件，故B选项错误；
对于C选项，事件“恰有1名男生”指“有1名男生和1名女生”，
与事件“恰有2名男生”是互斥事件，但不是对立事件，故C选项正确；
对于D选项，事件“至少有1名男生”包括：“恰有1名男生”和“全是男生”两种情况，
事件“至少有1名女生”包括：“恰有1名女生”和“全是女生”两种情况，
两个事件有交事件“恰有1名男生和1名女生”，故D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查互斥事件与对立事件的概念，属于基础题．
4．（2025 天津）下列说法中错误的是（　　）
A．若X N（μ，σ2），则P（X≤μ﹣σ）＝P（X≥μ+σ）
B．若X N（1，22），Y N（2，22），则P（X＜1）＜P（Y＜2）
C．|r|越接近1，相关性越强
D．|r|越接近0，相关性越弱
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；样本相关系数．
【专题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】由正态分布的性质判断A，B；由相关系数的性质判断C，D．
【解答】解：对于A，由正态分布的性质可知，
当X N（μ，σ2）时，则P（X≤μ﹣σ）＝P（x≥μ+σ），故A正确；
对于B，由正态分布的性质可知，
当X N（1，22），Y N（2，22）时，P（X＜1）P（Y＜2），故B正确；
对于C，D，由相关系数的性质可知，
|r|越接近1，相关性越强，|r|越接近0，相关性越弱，故C，D正确．
故选：B．
【点评】本题考查了正态分布的性质、相关系数的性质，属于基础题．
5．（2025春 龙岩期末）现有6张卡片，分别写上数字1，2，3，4，5，6．从这6张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P（ξ＝4）＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】结合组合数的应用，利用古典概型的概率公式求解即可．
【解答】解：从这6张卡片中随机抽取3张有种情形，
事件ξ＝4只包含4，5，6，这一种情况，
故．
故选：C．
【点评】本题考查古典概型求概率公式，属于基础题．
6．（2025春 郑州期末）一个袋子中装有5个白球，3个黑球，从中任选4个球，取到一个白球得1分，取到一个黑球得3分，设得分为随机变量X，则P（X≥6）为（　　）
A． B． C． D．
【考点】离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式．
【专题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】由题意可得P（X≥6）＝1﹣P（X＝4），计算求解即可．
【解答】解：由题意，从中任选4个球，除取到4个白球得4分外，其他取法的得分都不小于6，
所以 ．
故选：C．
【点评】本题考查离散型随机变量的概率，结合超几何分布求概率等知识点解题，属于基础题．
7．（2025春 徐汇区期末）如果事件A与事件B独立，且P（A），P（B）∈（0，1），、分别是A、B的对立事件，那么以下等式一定成立的是（　　）
A．P（A∪B）＝P（A）P（B） B．P（A∩B）＝P（A）+P（B）
C． D．
【考点】概率的应用；相互独立事件的概率乘法公式；对立事件的概率关系及计算．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】根据独立事件、对立事件的概率公式判断．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，因为事件A与事件B是相互独立事件，则事件A与事件也是相互独立事件，
故P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（A）P（B），A错误；
对于B，事件A与事件B是相互独立事件，P（A∩B）＝P（A）P（B），故B错误；
对于C，事件A与事件也是相互独立事件，则P（A∩）＝P（A）P（），C正确；
对于D，P（A∪）＝P（A）+P（）﹣P（A）＝P（A）+1﹣P（B）﹣P（A）[1﹣P（B）]，D错误．
故选：C．
【点评】本题考查相互独立事件的概率，涉及互斥事件的概率计算，属于基础题．
8．（2025春 湖州期末）已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（2＜X≤2.5）＝0.1，则P（X＜2.5）＝（　　）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】根据正态分布的对称性即可求解．
【解答】解：已知随机变量X～N（2，σ2），其均值μ＝2，
根据正态分布的对称性，P（X≤2）＝0.5，
又因为P（2＜X≤2.5）＝0.1，对于连续型随机变量，单点概率为0，即P（2＜X＜2.5）＝0.1，
因此，P（X＜2.5）＝P（X≤2）+P（2＜X＜2.5）＝0.5+0.1＝0.6．
故选：C．
【点评】本题考查了正态分布的对称性，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025春 杭州校级月考）已知随机事件A，B相互独立，且，则（　　）
A． B． C． D．
【考点】概率的应用；相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；条件概率．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】BCD
【分析】根据条件概率公式和独立事件乘法公式即可判断ABC，再根据即可判断D，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于B，P（AB）＝P（A）P（B|A），B正确；
对于A，P（AB）＝P（A）P（B）P（B），变形可得，故A错误；
对于C，，，故C正确；
对于D，，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查概率的乘法公式、条件概率的计算，涉及概率的性质和应用，属于基础题．
（多选）10．（2025春 丽水期末）甲乙两个质地均匀的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，记事件A为“两个骰子朝上一面的点数之和为奇数”，事件B为“甲骰子朝上一面的点数为奇数”，事件C为“乙骰子朝上一面的点数为偶数”，下列选项正确的是（　　）
A．事件B、C是互斥事件
B．P（A）＝P（B）＝P（C）
C．事件A、B是相互独立事件
D．
【考点】概率的应用；相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】BC
【分析】由互斥事件的定义分析A，由古典概型公式分析B、D，由相互独立事件的定义分析C，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，则Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），
（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，6），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），
（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），
（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），
（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}
依次分析选项：
对于A，事件B、C可以同时发生，不是互斥事件，A错误；
对于B，A＝{（1，2），（1，4），（1，6），（2，1），（2，3），（2，5），（3，2），（3，4），（3，6），
（4，1），（4，3），（4，5），（5，2），（5，4），（5，6），（6，1），（6，3），（6，5）}，有18个基本事件，
则P（A），
B＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（3，1），（3，2），（3，3），
（3，4），（3，5），（3，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6）}，有18个基本事件，
P（B），
C＝{（1，2），（2，2），（3，2），（4，2），（5，2），（6，2），
（1，4），（2，4），（3，4），（4，4），（5，4），（6，4），
（1，6），（2，6），（3，6），（4，6），（5，6），（6，6）}，
则有P（A）＝P（B）＝P（C），B正确；
对于C，AB＝{（1，2），（1，4），（1，6），（3，2），（3，4），（3，6），（5，2），（5，4），（5，6）}，有9个基本事件，
则P（AB），则P（AB）＝P（A）P（B），事件A、B是相互独立事件，C正确；
对于D，ABC＝{（1，2），（1，4），（1，6），（3，2），（3，4），（3，6），（5，2），（5，4），（5，6）}，
则P （ABC），D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查互斥事件、相互对立事件的判断，涉及古典概型的计算，属于基础题．
（多选）11．（2025春 新洲区期末）小宁连续抛掷一枚骰子2次，记事件A表示“2次结果中正面向上的点数之和为奇数”，事件B表示“2次结果中至少一次正面向上的点数为偶数”，则（　　）
A．事件A与事件B互斥
B．事件A与事件B不相互独立
C．
D．
【考点】求解条件概率；事件的互斥（互不相容）及互斥事件；由两事件交事件的概率判断两事件的相互独立性．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】BD
【分析】根据题意，由互斥事件的定义分析A，由相互独立事件的性质分析B，由古典概型公式分析C，由条件概率公式分析D，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，P（A），P（B）＝1，
依次分析选项：
对于A，P（AB），事件A、B可以同时发生，A、B不是互斥事件，A错误；
对于B，易得P（A）P（B）≠P（AB），事件A与事件B不相互独立，B正确；
对于C，P（AB），C错误；
对于D，P（A|B），D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查古典概型的计算，涉及互斥事件、相互独立事件的性质，属于基础题．
（多选）12．（2025春 杭州期末）若，，，则事件A与B的关系是（　　）
A．事件A与B不互斥
B．事件A与B对立
C．事件A与B相互独立
D．事件A与B既互斥又独立
【考点】互斥事件与对立事件；由两事件交事件的概率判断两事件的相互独立性．
【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】AC
【分析】根据概率即可依次判断．
【解答】解：因为，所以A与B能同时发生，不是互斥事件，故A正确，D错误；
因为，所以，因为，则，所以事件A与B不是互为对立事件，故B错误；
因为，所以事件A与B相互独立，故C正确．
故选：AC．
【点评】本题考查了互斥事件和对立事件，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025春 浦东新区校级期末）有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回地随机取两次，事件A表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件B表示“两次取出的球的数字之和是偶数，则P（B|A）＝ 　　 ．
【考点】求解条件概率．
【专题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】．
【分析】先求出P（A），P（AB），然后结合条件概率公式即可得解．
【解答】解：由题意，
，
则．
故答案为：．
【点评】本题考查条件概率公式，属于基础题．
14．（2025春 龙岩期末）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.4，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为　/0.352　 ．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】/0.352．
【分析】各次投篮是否投中相互独立，可以看成独立重复试验，利用独立事件概率求法计算得解．
【解答】解：由题各次投篮是否投中相互独立，该同学通过测试分为恰好投中两次或者恰好投中三次，
所以其概率为/0.352．
故答案为：/0.352．
【点评】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，结合二项分布求解概率等知识点解题，属于基础题．
15．（2025春 闵行区校级期末）某中学高一、高二、高三的学生人数比例为4：3：3，假设该中学高一、高二、高三的学生阅读完《红楼梦》的概率分别为0.5，0.7，0.9，若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，则这名学生阅读完《红楼梦》的概率 　0.68　 ．
【考点】全概率公式．
【专题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】0.68．
【分析】根据全概率公式计算即可．
【解答】解：因为该中学高一、高二、高三的学生人数比例为4：3：3，
所以选取选手来自高一、高二、高三的概率分别为0.4，0.3，0.3，
若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，
则这名学生阅读完《红楼梦》的概率为0.4×0.5+0.3×0.7+0.3×0.9＝0.68．
故答案为：0.68．
【点评】本题考查全概率公式，属于基础题．
16．（2025 浦东新区校级模拟）某测试由8道四选一的单选题组成．学生小胡有把握答对其中4道题，且在剩下的4道题中，他对2道有思路，其余2道则完全不会．若小胡答对每道有思路的题的概率为，答对每道不会的题的概率为，则当他从这8道题中任抽1题作答时，能答对的概率为 　　 ．
【考点】全概率公式．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】设小胡从这8题中任选1题，且作对为事件A，选到能完整做对的4道题为事件B，选到有思路的2道题为事件C，选到完全没有思路为事件D，利用全概率公式进行求解即可．
【解答】解：根据题意，设事件A＝“小胡从这8题中任选1题，且能答对”，
B＝“选到能完整做对的4道题”，C＝“选到有思路的2道题”，D＝“选到完全没有思路”，
则，，，
，
则P（A）＝P（B）P（A|B）+P（C）P（A|C）+P（D）P（A|D）．
故答案为：．
【点评】本题考查全概率公式，涉及条件概率的计算，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春 松江区校级月考）在探索数智技术赋能学科学习的过程中，某中学鼓励学生使用某听说平台进行英语口语自主练习．该中学有初中生1200人，高中生800人．为了解全校学生近一个月内使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数，从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，将他们的使用次数按照[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，五个区间进行分组，所得样本数据如下表：
使用次数分组区间 [0，10） [10，20） [20，30） [30，40） [40，50]
初中生 4 38 48 24 6
高中生 3 19 38 17 3
（1）从上面参与问卷调查且使用此听说平台进行英语口语自主练习次数不足10次的学生中随机抽取3人，记X为这3人中高中生的人数，求X的分布和数学期望；
（2）若将自主练习次数不少于20次称为积极，试完成下2×2列联表，并根据α＝0.05判断“学段”与“自主练习的积极性”是否有关．附：，P（χ2≥3.841）＝0.05
练习不积极 练习积极 合计
初中生
高中生
合计
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；独立性检验．
【专题】对应思想；分析法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）分布列见解析；；
（2）列联表见解析；无关．
【分析】（1）根据古典型概率公式求出对应的概率，列出分布列，结合数学期望的公式进行求解即可；
（2）由题意完成表格，由卡方的计算判断可得．
【解答】解：（1）由题意可知，样本空间中，初中生有4人，高中生有3人．
故X的所有取值范围为0，1，2，3，
，
，
得到X的分布列如下所示：
X 0 1 2 3
P
将数据代入期望公式可得X的数学期望；
（2）补全联表如下：
练习不积极 练习积极 合计
初中生 42 78 120
高中生 22 58 80
合计 64 136 200
零假设为H0：“学段”与“自主练习的积极性”无关，
易知，因此零假设成立，
所以根据α＝0.05判断“学段”与“自主练习的积极性”无关．
【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望以及独立性检验，属于中档题．
18．（2025春 丹阳市期末）甲、乙两人组成小队参加数学趣味谜题竞猜活动，每轮活动有甲、乙各猜一个谜题，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也相互不影响，该小队共参加了两轮活动．
（1）求小队猜对3个谜题的概率；
（2）求甲猜对谜题数量大于乙猜对谜题数量的概率．
【考点】概率的应用；相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】分类讨论，根据互斥事件以及对立事件的概率公式，即可求解（1）（2）．
【解答】解（1）根据题意，小队猜对3个谜题共有2种情况：
①甲队猜对2个，乙队猜对1个；②甲队猜对1个，乙队猜对2个，
故要求概率P．
（2）根据题意，甲猜对谜题数量大于乙猜对谜题数量的情况有：
①甲猜对1个，乙猜对0个；②甲猜对2个，乙猜对1个；③甲猜对2个，乙猜对0个；
故要求概率P．
【点评】本题考查互斥事件的概率计算，涉及相互独立事件的概率计算，属于基础题．
19．（2025春 南开区期末）A，B，C三所学校分别有6%，5%，4%的学生有“强基计划”报名资格，这三个学校的人数比为3：4：3，现从这三个地区中任选一人．
（Ⅰ）求这个人有“强基计划”报名资格的概率；
（Ⅱ）如果此人有“强基计划”报名资格，求此人选自A学校的概率．
【考点】概率的应用；相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）0.05；
（2）0.36．
【分析】（1）根据题意，现从这三个地区中任选一人，设A＝“选出的人选自A学校”，B＝“选出的人选自B学校”，C＝“选出的人选自C学校”，E＝“选出的人有“强基计划”报名资格”，由全概率公式计算可得答案；
（2）根据题意，由贝叶斯公式计算可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，现从这三个地区中任选一人，设A＝“选出的人选自A学校”，B＝“选出的人选自B学校”，C＝“选出的人选自C学校”，
E＝“选出的人有“强基计划”报名资格”，
则P（A）＝0.3，P（B）＝0.4，P（C）＝0.3，
P（E|A）＝0.06，P（E|B）＝0.05，P（E|C）＝0.04，
则P（E）＝P（A）P（E|A）+P（B）P（E|B）+P（C）P（E|C）＝0.3×0.06+0.4×0.05+0.3×0.04＝0.05；
（2）根据题意，P（A|D）0.36．
【点评】本题考查贝叶斯公式、条件概率公式的应用，涉及互斥事件的概率计算，属于基础题．
20．（2025春 长宁区校级期末）设甲、乙两名同学最近50次的投篮情况如下表所示，已知甲、乙每次投中与否相互独立．
用频率估计概率，解答下列问题：
甲 乙
投中 30次 25次
未投中 20次 25次
（1）若从甲、乙两人中随机选择1人投篮1次，求投中的概率；
（2）若甲、乙两人各投篮2次，求至少投中3次的概率；
（3）若甲、乙进行投篮比赛，约定甲、乙轮流投篮，第一次由甲先投．
规定：若其中一人比另一个人多投中2次，则停止比赛（例如：甲第一次投中，乙第一次未投中，甲第二次投中，则停止比赛，乙不再投第二次），投中次数多的赢得比赛；若甲、乙都投完了5次，则也停止比赛，投中次数多的获胜，次数相同则为平局．求甲投了第三次后停止比赛的概率．
【考点】概率的应用；相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）根据题意，由全概率公式计算可得答案；
（2）根据题意，由互斥事件和相互独立事件的概率公式计算可得答案；
（2）根据题意，分两种情况讨论甲投了第三次后停止比赛，由互斥事件的加法公式计算可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，由题目的表格，甲同学的投篮命中率为，乙同学的投篮命中率为，
从甲、乙中随机选择1人投篮1次，投中的概率P；
（2）根据题意，至少投中3次即两人投中3次或投中4次，
其概率P；
（3）根据题意，甲投了3次，则乙投了2次，又甲比乙多投中2次，则有2种情况，
第一种情况：甲投中了3次，乙投中了1次，
即甲每次投篮都投中，乙第一次投篮投中，第二次投篮没投中，
其概率为；
第二种情况，甲投中了2次，乙投中了0次，
即甲第一、三次投篮都投中，第二次投篮没投中，乙每次投篮都没投中；或甲第二、三次投篮投中，第一次投篮没投中，乙每次投篮都没投中，
则其概率为，
综合可得：甲投了第三次后停止比赛的概率为．
【点评】本题考查互斥事件、相互独立事件概率的计算，注意分析事件之间的关系，属于基础题．
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