2026年高考数学一轮复习 空间向量的应用（含解析）

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高考数学一轮复习 空间向量的应用
一．选择题（共8小题）
1．（2025 黄冈校级模拟）在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，顶点S在底面内的射影O在正方形ABCD的内部（不在边上），且SO＝λa，λ为常数，设侧面SAB，SBC，SCD，SDA与底面ABCD所成的二面角依次为α1，α2，α3，α4，则下列各式为常数的是
①cotα1+cotα2
②cotα1+cotα3
③cotα2+cotα3
④cotα2+cotα4
（　　）
A．①② B．②④ C．②③ D．③④
2．（2025春 江西月考）若直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则直线l与平面α所成的角为（　　）
A． B． C．或 D．或
3．（2025春 杨浦区校级月考）在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知点A（﹣1，0，0）、B（0，0，1）、C（1，1，1），则下列向量可以作为平面ABC的一个法向量的是（　　）
A．（﹣1，1，﹣1） B．（﹣1，1，1） C．（1，1，﹣1） D．（﹣1，﹣1，1）
4．（2025春 广安区校级期中）若l∥α，且为直线l的一个方向向量，为平面α的一个法向量，则t的值为（　　）
A．8 B．﹣8 C．﹣6 D．﹣4
5．（2025 丰台区模拟）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长都为2，E、F分别为AB、A1C1的中点，则EF的长是（　　）
A．2 B． C． D．
6．（2025 雨花区校级模拟）经过两条直线l1：x+y＝2，l2：2x﹣y＝1的交点，且直线的一个方向向量 的直线方程为（　　）
A．2x﹣y﹣1＝0 B．2x+y﹣3＝0 C．3x﹣2y﹣5＝0 D．2x+3y﹣5＝0
7．（2025春 长沙月考）已知空间向量（1，n，2），（﹣3，1，3），若与垂直，则||＝（　　）
A． B． C． D．14
8．（2025 江苏模拟）已知α，β为平面，a，b为直线，下列说法正确的是（　　）
A．若直线a，b与平面α所成角相等，则a∥b
B．若a，b α，且a∥β，b∥β，则α∥β
C．若α⊥β，α∩β＝l，a α，b β，若a，b均不垂直于l，则a，b不垂直
D．若α⊥β，a α，b β，b⊥a，则b∥β
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 山西模拟）如图，在圆柱O1O2中，轴截面ABCD是边长为2的正方形，M是以AO2为直径的圆上一动点（异于点A，O2），AM与圆柱的底面圆交于点N，则（　　）
A．MO2∥平面NBO1
B．直线NB与直线AO1有可能垂直
C．当N为的中点时，二面角O1﹣AN﹣B的余弦值为
D．三棱锥M﹣AO1O2的外接球的体积为
（多选）10．（2025春 余江区校级期末）如图，在棱长为2的正方体中ABCD﹣A1B1C1D1，E为线段CC1的中点，F为线段A1B上的动点（含端点），则下列结论正确的有（　　）
A．过A，D1，E三点的平面截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面的面积为
B．存在点F，使得平面EF∥平面AD1C
C．当F在线段A1B上运动时，三棱锥C﹣AFD1的体积不变
D．FA+FC的最小值为
（多选）11．（2025春 芗城区校级期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，，，，M为PC的中点，则（　　）
A．直线AM与BC所成的角为
B．
C．直线AM与平面ADP所成角的余弦值为
D．点M到平面ADP的距离为
（多选）12．（2025春 金昌校级月考）已知直线l经过点A（1，1，1），B（3，2，0），则下列命题是真命题的是（　　）
A．是直线l的一个方向向量
B．若平面α的一个法向量是，则l∥α
C．若平面β的一个法向量是，且l⊥α，则α⊥β
D．若O为坐标原点，且，则A，B，C，D四点共面
三．填空题（共4小题）
13．（2025春 商丘期末）已知平面α的法向量为，直线l在平面α外，且方向向量，则直线l与平面α的位置关系为 　 　 ．
14．（2025春 泰州期末）若向量与垂直，则实数x的值为 　 　 ．
15．（2024秋 上海校级期末）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，二面角A﹣BD﹣A1的大小为　 　
16．（2025春 杨浦区月考）中国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝1，则二面角C1﹣AB﹣A1的大小为 　 　 ．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春 杨浦区校级期末）如图．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC1的中点．
（1）求证：直线DE与BC是异面直线；
（2）求直线DE与平面ABCD所成角的大小．
18．（2025 安顺模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，平面ABCD⊥平面ADP，BC∥．
（1）E为PD上一点，∥平面ABP，求m的值；
（2）平面ABP与平面DCP的交线为l，求l与平面BCP所成角的正弦值．
19．（2025春 宝山区校级期末）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，点G在棱CD上，且CGCD，H为C1G的中点．
（1）求证：EF⊥B1C；
（2）求EF与C1G所成角的余弦值；
（3）求FH的长．
20．（2024秋 市中区期末）已知点A（0，1，﹣1），B（2，2，1），O为坐标原点，向量，计算：
（1）求向量同向的单位向量；
（2）若，求k的值．
高考数学一轮复习 空间向量的应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025 黄冈校级模拟）在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，顶点S在底面内的射影O在正方形ABCD的内部（不在边上），且SO＝λa，λ为常数，设侧面SAB，SBC，SCD，SDA与底面ABCD所成的二面角依次为α1，α2，α3，α4，则下列各式为常数的是
①cotα1+cotα2
②cotα1+cotα3
③cotα2+cotα3
④cotα2+cotα4
（　　）
A．①② B．②④ C．②③ D．③④
【考点】二面角的平面角及求法．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】B
【分析】过O点作MN⊥BC，根据二面角的定义易得∠SMO即为侧面SBC与底面ABCD所成的二面角，∠SNO即为侧面SDA与底面ABCD所成的二面角，根据余切函数的定义及SO＝λa，λ为常数，易得到答案．
【解答】解：过O点作MN⊥BC，则BC⊥AD
则OM，ON分别为BM，BN在底面ABCD上的射影
则∠SMO即为侧面SBC与底面ABCD所成的二面角，∠SNO即为侧面SDA与底面ABCD所成的二面角，
∴∠SMO＝α1，∠SNO＝α3，
故cotα1，cotα3
则cotα1+cotα3
即cotα1+cotα3为定值
同理可得cotα2+cotα4为定值
故选：B．
【点评】本题以余切函数的定义为载体考查了二面角的定义，其中根据二面角的定义求出二面角的平面角是解答的关键．
2．（2025春 江西月考）若直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则直线l与平面α所成的角为（　　）
A． B． C．或 D．或
【考点】空间向量法求解直线与平面所成的角．
【专题】转化思想；向量法；立体几何；运算求解．
【答案】A
【分析】求出方向向量和法向量夹角余弦值绝对值后，可得直线l与平面α所成的角的正弦，进而可得解．
【解答】解：设直线l与平面α所成的角为θ，
因为直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，
则．
因为，所以．
故选：A．
【点评】本题考查向量法的应用，属于基础题．
3．（2025春 杨浦区校级月考）在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知点A（﹣1，0，0）、B（0，0，1）、C（1，1，1），则下列向量可以作为平面ABC的一个法向量的是（　　）
A．（﹣1，1，﹣1） B．（﹣1，1，1） C．（1，1，﹣1） D．（﹣1，﹣1，1）
【考点】平面的法向量．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】先求出和，然后求出平面ABC的法向量，再逐个分析各个向量是否与法向量共线即可．
【解答】解：根据题意，A（﹣1，0，0），B（0，0，1），C（1，1，1），
则，，
设平面ABC的法向量为，
则，令x＝1，则y＝﹣1，z＝﹣1，
故，
依次分析选项：
对于A，对于向量（﹣1，1，﹣1），因为，所以此向量与不共线，不能作为平面ABC的法向量，所以A错误，
对于B，对于向量（﹣1，1，1），因为，所以此向量与共线，可以作为平面ABC的法向量，所以B正确，
对于C，对于向量（1，1，﹣1），因为，所以此向量与不共线，不能作为平面ABC的法向量，所以C错误，
对于D，对于向量（﹣1，﹣1，1），因为，所以此向量与不共线，不能作为平面ABC的法向量，所以D错误．
故选：B．
【点评】本题考查平面法向量的计算，涉及平面向量的坐标计算，属于基础题．
4．（2025春 广安区校级期中）若l∥α，且为直线l的一个方向向量，为平面α的一个法向量，则t的值为（　　）
A．8 B．﹣8 C．﹣6 D．﹣4
【考点】空间向量语言表述线面的垂直、平行关系；空间直线的方向向量、空间直线的向量参数方程；平面的法向量．
【专题】计算题；方程思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】根据题意，分析可得 2+t+2＝0，解可得答案．
【解答】解：根据题意，若l∥α，必有⊥，
则有 2+t+2＝0，解可得t＝﹣4．
故选：D．
【点评】本题考查平面法向量的定义和应用，涉及直线与平面平行的性质，属于基础题．
5．（2025 丰台区模拟）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长都为2，E、F分别为AB、A1C1的中点，则EF的长是（　　）
A．2 B． C． D．
【考点】点、线、面间的距离计算．
【专题】空间位置关系与距离．
【答案】C
【分析】由已知中正三棱柱ABC﹣A1B1C1（底面是正三角形的直棱柱为正三棱柱）的每条棱长均为2，E、F分别是BC、A1C1的中点，我们可以建立空间坐标系，求出E，F两点的坐标后，代入空间两点间的距离公式，即可得到答案．
【解答】解：以E为坐标原点，以EC，EA和竖直向上的方向分别为X，Y，Z轴的正方向建立坐标系，
∵E是BC的中点，
则E（0，0，0），A（0，，0），C（1，0，0）
A1（0，，2），C1（1，0，2）
F是A1C1的中点，则F点的坐标为（，，2）
则|EF|
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是空间点、线、面的距离，其中建立坐标系，求出E，F两点的坐标，是解答本题的关键．
6．（2025 雨花区校级模拟）经过两条直线l1：x+y＝2，l2：2x﹣y＝1的交点，且直线的一个方向向量 的直线方程为（　　）
A．2x﹣y﹣1＝0 B．2x+y﹣3＝0 C．3x﹣2y﹣5＝0 D．2x+3y﹣5＝0
【考点】空间直线的方向向量、空间直线的向量参数方程；直线的点斜式方程．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】D
【分析】根据题意，求出直线l1与l2的交点，设交点为A，再设直线上任意一点为M，其坐标为（x，y），分析可得∥，由向量的坐标计算可得4（x﹣1）＝﹣6（y﹣1），变形可得答案．
【解答】解：根据题意，，解可得，即两直线的交点为（1，1），设A（1，1），
设直线上任意一点为M，其坐标为（x，y），
直线的一个方向向量，则∥，
则有4（x﹣1）＝﹣6（y﹣1），即4x+6y﹣10＝0，变形可得2x+3y﹣5＝0，
故要求直线的方程为2x+3y﹣5＝0．
故选：D．
【点评】本题考查直线的方向向量，涉及直线的一般式方程，属于基础题．
7．（2025春 长沙月考）已知空间向量（1，n，2），（﹣3，1，3），若与垂直，则||＝（　　）
A． B． C． D．14
【考点】空间向量的数量积判断向量的共线与垂直．
【专题】转化思想；向量法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】根据与垂直即可求出n，然后即可得解．
【解答】解：∵，
∴，解得n＝﹣3，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，向量坐标的数量积运算，根据向量坐标求向量长度的公式，是基础题．
8．（2025 江苏模拟）已知α，β为平面，a，b为直线，下列说法正确的是（　　）
A．若直线a，b与平面α所成角相等，则a∥b
B．若a，b α，且a∥β，b∥β，则α∥β
C．若α⊥β，α∩β＝l，a α，b β，若a，b均不垂直于l，则a，b不垂直
D．若α⊥β，a α，b β，b⊥a，则b∥β
【考点】几何法求解直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．
【专题】转化思想；转化法；立体几何；逻辑思维．
【答案】C
【分析】对于A：根据线面角的定义可分析得出；对于B：根据面面平行的判定定理即可判断；对于C：分情况讨论即可判断；对于D：作出图形即可判断．
【解答】对于A：若a∥b，显然a、b与平面α所成的角相等；
若a、b为圆锥的两条母线所在的直线，显然a、b与平面α所成的角相等，此时a、b为相交直线；
若a、b为异面直线，若满足a∥α，b∥α，此时a、b与平面α所成的角相等，均为0，
故a与b的位置关系是平行、相交或异面．故A不正确；
对于B：若a，b α，且a∥β，b∥β，则α∥β或α与β相交，故B不正确；
对于C：若a∥l，b∥l，则a//b，即a与b不垂直；若a∥l，b斜交于l，则b与a也斜交，即a与b不垂直；若b∥l，a斜交于l，则a与b也斜交，即a与b不垂直；
若a，b与l都斜交，若a⊥b，则a⊥面β，即a⊥l与假设不符，所以a与b不垂直，故C正确；
对于D：如图：b可能与β相交，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查线面位置关系的判定，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 山西模拟）如图，在圆柱O1O2中，轴截面ABCD是边长为2的正方形，M是以AO2为直径的圆上一动点（异于点A，O2），AM与圆柱的底面圆交于点N，则（　　）
A．MO2∥平面NBO1
B．直线NB与直线AO1有可能垂直
C．当N为的中点时，二面角O1﹣AN﹣B的余弦值为
D．三棱锥M﹣AO1O2的外接球的体积为
【考点】空间向量法求解二面角及两平面的夹角；球的体积；直线与平面平行．
【专题】转化思想；转化法；立体几何；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据已知结合圆的性质得出MO2∥NB，进而即可根据线面平行的判定定理得出A；
假设NB⊥AO1，然后根据线面垂直的性质定理以及判定定理得出NB⊥AO2，与已知矛盾，即可判断B项；
建立空间直角坐标系，根据向量法求解即可判断C项；
根据已知推得球心位置，进而求出球的半径，根据球的体积公式求解，即可得出答案．
【解答】解：对于选项A，由已知可得，在平面ABN中，AB，AO2分别为两圆的直径，
所以有MO2⊥AN，NB⊥AN，
所以MO2∥NB，
又MO2 平面NBO1，MO2 平面NBO1，
所以，MO2∥平面NBO1，故选项A正确；
对于选项B，由A知MO2∥NB，
假设NB⊥AO1，则MO2⊥AO1．
又O1O2⊥平面ABN，MO2 平面ABN，
所以O1O2⊥MO2．
又O1O2∩AO1＝O1，AO1 平面AO1O2，O1O2 平面AO1O2，
所以有MO2⊥平面AO1O2，进而可得NB⊥平面AO1O2，
又AO2 平面AO1O2，所以有NB⊥AO2，
这与NB⊥AN相矛盾，假设错误，故选项B错误；
对于选项C，连接O2N，当N为的中点时，有O2N⊥O2B．
如图，以点O2为原点，建立空间直角坐标系，
则由已知可得O2（0，0，0），A（0，﹣1，0），B（0，1，0），N（﹣1，0，0），O1（0，0，2），
则，，，
易知为平面ANB的一个法向量，
设为平面ANO1的一个法向量，
则，则有，
令x＝2，则y＝2，z＝﹣1，
所以即为平面ANO1的一个法向量，
所以．
又由图可知二面角O1﹣AN﹣B为锐角，
所以二面角O1﹣AN﹣B的余弦值为，故选项C正确；
对于选项D，如图2，分别取DO1，AO2的中点为E1，E2，连接E1E2，
则有E1E2⊥平面AMO2，
根据球的性质，易知球心O应在E1E2上．
又O1O2⊥平面AMO2，
所以有E1E2∥O1O2．
根据球的对称性可知，球心O应为E1E2的中点，
所以半径，
则三棱锥M﹣AO1O2的外接球的体积为，故选项D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查立体几何综合问题，属于中档题．
（多选）10．（2025春 余江区校级期末）如图，在棱长为2的正方体中ABCD﹣A1B1C1D1，E为线段CC1的中点，F为线段A1B上的动点（含端点），则下列结论正确的有（　　）
A．过A，D1，E三点的平面截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面的面积为
B．存在点F，使得平面EF∥平面AD1C
C．当F在线段A1B上运动时，三棱锥C﹣AFD1的体积不变
D．FA+FC的最小值为
【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面的基本性质及推论．
【专题】转化思想；转化法；立体几何；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据正方体的性质，结合线面平行、面面平行的判定定理和性质定理逐项判定可①②③确定ABC的正误，利用展开法和点距离的三角不等式，结合余弦定理计算可求得FA+FC的最小值，进而判定D．
【解答】解：对于选项A，∵正方体的对面互相平行，
∴过A，D1，E三点的平面截正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对面ADD1A1，BCC1B1所得截线互相平行，
又∵E为线段CC1的中点，∴截面交BC于其中点G，
连接AG，GE，ED1，D1A，则四边形AD1EG即为所求截面，显然为等腰梯形，
且，
梯形的高，
面积为，故选项A正确；
对于选项B：过E与平面AD1C平行的直线都在过E与平面AD1C平行的平面内，
易知过E与平面AD1C平行的平面截正方体ABCD﹣A1B1C1D1的截面为如图所示1的六边形EGHIJK，其各顶点都是正方体的相应棱的中点，
由于A1B∥IH，A1H 平面EGHIJK，∴平面EGHIJK∥直线A1B，
∴平面EGHIJK与线段A1B没有公共点，故选项B错误；
对于选项C：∵A1B∥D1C，D1C 平面AD1C，A1B 平面AD1C，
∴A1B∥平面AD1C，
又∵F∈A1B，∴F到平面AD1C的距离为定值，又∵△AD1C的面积为定值，
∴当F在线段A1B上运动时，三棱锥C﹣AFD1的体积不变，故选项C正确；
对于选项D：将矩形A1D1CB展开到与等腰直角三角形A1AB在同一平面内，如图2所示，
，
当A，F，C共线时取等号，故选项D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查立体几何综合问题，属于中档题．
（多选）11．（2025春 芗城区校级期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，，，，M为PC的中点，则（　　）
A．直线AM与BC所成的角为
B．
C．直线AM与平面ADP所成角的余弦值为
D．点M到平面ADP的距离为
【考点】空间向量法求解直线与平面所成的角；空间中点到平面的距离；异面直线及其所成的角．
【专题】转化思想；转化法；立体几何；运算求解．
【答案】AD
【分析】过A作AE⊥CD，垂足为E，以A为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐一判断各个选项即可．
【解答】解：过A作AE⊥CD，垂足为E，则DE＝2，
以A为坐标原点，分别以AE，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则B（0，2，0），，，P（0，0，2），，
所以，，．
对于A，因为，
所以直线AM与BC所成的角为，故A正确．
对于B，因为，所以B不正确．
对于C，设平面ADP的法向量为，
因为，，
则，所以，
令，得．
设直线AM与平面ADP所成的角为α，
则，
所以直线AM与平面ADP所成角的正弦值为，
所以其余弦值为，故C错误．
对于D，设点M到平面ADP的距离为d，
则，
即点M到平面ADP的距离为，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查向量法的应用，属于中档题．
（多选）12．（2025春 金昌校级月考）已知直线l经过点A（1，1，1），B（3，2，0），则下列命题是真命题的是（　　）
A．是直线l的一个方向向量
B．若平面α的一个法向量是，则l∥α
C．若平面β的一个法向量是，且l⊥α，则α⊥β
D．若O为坐标原点，且，则A，B，C，D四点共面
【考点】平面的法向量．
【专题】分类讨论；综合法；平面向量及应用；逻辑思维．
【答案】ACD
【分析】利用方向向量的性质判断A，利用空间位置关系的向量证明判断B，C，仿照给定条件建立等式，判断共面即可．
【解答】解：对于A，因为直线l经过点B（3，2，0），A（1，1，1），
所以，则是直线l的一个方向向量，故A正确；
对于B，因为，所以，则l α或l∥α，故B错误；
对于C，因为，所以，
因为l⊥α，所以l的方向向量为α的法向量，则由可得α⊥β，故C正确；
对于D，因为B（3，2，0），A（1，1，1），所以，，
则，而，
故，即，
得到，即A，B，C，D四点共面，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查平面的法向量和直线的方向向量，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025春 商丘期末）已知平面α的法向量为，直线l在平面α外，且方向向量，则直线l与平面α的位置关系为 　l∥α　 ．
【考点】空间向量语言表述线面的垂直、平行关系；平面的法向量．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】l∥α．
【分析】根据空间向量法计算法向量及方向向量垂直得出线面平行即可．
【解答】解：根据题意，平面α的法向量为，直线l的方向向量，
由于，
所以，所以l α或l∥α．
因为l α，所以l∥α．
故答案为：l∥α．
【点评】本题考查直线与平面的位置关系，涉及平面的法向量，属于基础题．
14．（2025春 泰州期末）若向量与垂直，则实数x的值为 　﹣5　 ．
【考点】空间向量的数量积判断向量的共线与垂直．
【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】﹣5．
【分析】根据空间向量互相垂直则数量积为零列式计算即可．
【解答】解：因为向量与，且两向量垂直，
根据向量数量积的坐标表示可得，1×1+2x+3×3＝0，解得x＝﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】本题主要考查了空间向量数量积的坐标表示，属于基础题．
15．（2024秋 上海校级期末）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，二面角A﹣BD﹣A1的大小为　arctan　
【考点】二面角的平面角及求法．
【专题】计算题；数形结合；转化思想；综合法；空间角．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接AC，AC∩BD＝O，连接A1O，则∠A1OA为二面角A﹣BD﹣A1的平面角；
【解答】解：连接AC，AC∩BD＝O，连接A1O，则∠A1OA为二面角A﹣BD﹣A1的平面角
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，
∴AO，
∴tan∠A1OA；
所以∠A1OA＝arctan．
故答案为：arctan．
【点评】本题考查面面角与线面角，解题的关键是确定线面角与面面角，属于基础题．
16．（2025春 杨浦区月考）中国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝1，则二面角C1﹣AB﹣A1的大小为 　　 ．
【考点】几何法求解二面角及两平面的夹角．
【专题】转化思想；转化法；空间角；运算求解．
【答案】．
【分析】先证∠A1AC1为二面角C1﹣AB﹣A1的平面角，再解三角形即可．
【解答】解：因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，
所以AA1⊥平面ABC，因为AB 平面ABC，
所以A1A⊥AB，因为AB⊥AC，且AA1∩AC＝A，AA1，AC 平面AA1C1C，
所以AB⊥平面AA1C1C，又因为AC1 平面AA1C1C，
所以AB⊥AC1，
故∠A1AC1为二面角C1﹣AB﹣A1的平面角，
又因为AC＝AA1＝1，所以四边形AA1C1C为正方形，
故∠A1AC1．
故答案为：．
【点评】本题考查二面角的计算，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春 杨浦区校级期末）如图．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC1的中点．
（1）求证：直线DE与BC是异面直线；
（2）求直线DE与平面ABCD所成角的大小．
【考点】几何法求解直线与平面所成的角；异面直线的判定．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；运算求解．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）利用反证法可证明．
（2）取BC的中点F，连接EF，DF；先根据正方体的性质及线面所成角的定义确定直线DE与平面ABCD所成角；再结合直角三角形中正切的定义即可求解．
【解答】解：（1）证明：用反证法证明：
假设直线DE与BC不是异面直线，则直线DE与BC可以确定一个平面，记为平面α，
所以点E，点B，点C在平面α上．
又根据题意可知：点E，点B，点C在平面ABCD上
所以点E，点B，点C三点共线，这与点E是BC1的中点相矛盾，
故假设不成立，
所以直线DE与BC是异面直线．
（2）根据题意，取BC的中点F，连接EF，DF，
如图：
因为E是BC1的中点，则EF∥CC1，且．
在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，有CC1⊥平面ABCD，则EF⊥平面ABCD，
则∠EDF是直线DE与平面ABCD所成角，
设正方体的棱长为2a，
则|EF|＝a，，
故，
又由，则．
【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，涉及异面直线的判断，属于基础题．
18．（2025 安顺模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，平面ABCD⊥平面ADP，BC∥．
（1）E为PD上一点，∥平面ABP，求m的值；
（2）平面ABP与平面DCP的交线为l，求l与平面BCP所成角的正弦值．
【考点】空间向量法求解直线与平面所成的角；直线与平面平行．
【专题】转化思想；转化法；立体几何；运算求解．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）设F为AP上一点，且满足EF∥CB，利用线面平行的性质，结合三角形中位线性质推理即得．
（2）延长AB，DC相交于点G，取AD的中点O，利用面面垂直的性质证得GO⊥平面ADP，以O为原点建立空间直角坐标系，求出平面BCP的法向量，利用线面角的向量求法求解即得．
【解答】解：（1）设F为AP上一点，且满足EF∥CB，连接EF，BF．
由CE∥平面ABP，且平面BFEC∩平面ABP＝BF，得CE∥BF，即四边形BFEC为平行四边形，
在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，AD＝2BC＝4，则FE∥AD，2FE＝AD，
所以E为PD的中点，，即，
（2）延长AB，DC相交于点G，设O为AD中点，
则平面ABP与平面DCP的交线l为直线GP，连接GO，PO，
由，得GO⊥AD，且GO＝2，
又平面ABCD⊥平面ADP，平面ABCD∩平面ADP＝AD，
则GO⊥平面ADP，在△ADP中，，于是PO⊥AD，且PO＝2，
以O为原点，直线OP，OD，OG分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则B（0，﹣1，1），C（0，1，1），P（2，0，0），G（0，0，2），
则，
设平面BCP法向量，
则，取x＝1，
得，
设l与平面BCP所成角为θ，
则，
所以l与平面BCP所成角的正弦值为．
【点评】本题考查线面平行的应用，以及线面角的计算，属于中档题．
19．（2025春 宝山区校级期末）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，点G在棱CD上，且CGCD，H为C1G的中点．
（1）求证：EF⊥B1C；
（2）求EF与C1G所成角的余弦值；
（3）求FH的长．
【考点】点、线、面间的距离计算；异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．
【专题】数形结合；向量法；空间位置关系与距离；直观想象．
【答案】（1）证明见解析，（2），（3）．
【分析】（1）建立空间坐标系，计算0可得出EF⊥B1C；
（2）利用向量的夹角公式计算异面直线所成角；
（3）根据向量的模长公式计算两点间的距离．
【解答】解：如图，建立直角坐标系如图所示：
则E（0，0，），F（，，0），C（0，1，0），B1（1，1，1），G（0，，0），
（1）∵（，，），（﹣1，0，﹣1），
∴（）×（﹣1）＝0，
∴，
∴EF⊥B1C．
（2）（0，，﹣1），||，||，
（）×（﹣1），
∴cos，
∴EF与C1G所成角的余弦值为．
（3）F（，，0），H（0，，），
∴（，，），
∴FH＝||．
【点评】本题考查了空间向量与位置关系证明，空间角计算和空间距离的计算，属于基础题．
20．（2024秋 市中区期末）已知点A（0，1，﹣1），B（2，2，1），O为坐标原点，向量，计算：
（1）求向量同向的单位向量；
（2）若，求k的值．
【考点】空间向量的数量积判断向量的共线与垂直．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据单位向量定义求向量同向的单位向量；
（2）应用向量的线性运算和垂直的坐标表示列方程求参数．
【解答】解：（1）因为B（2，2，1），O为坐标原点，
则，，
所以与同向的单位向量为．
（2）因为，
，
又，
所以，即（2，k+2，1﹣k） （﹣2，1，﹣4）＝0 ﹣4+k+2﹣4（1﹣k）＝0 ．
【点评】本题主要考查单位向量的定义，以及向量垂直的性质，属于基础题．
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