2026年高考数学一轮复习 空间向量基本定理及坐标表示（含解析）

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高考数学一轮复习 空间向量基本定理及坐标表示
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 新吴区校级期末）如图，空间四边形OABC中，，，，且OM＝2MA，BN＝NC，则等于（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024秋 牡丹江期末）如图，已知空间四边形OABC，其对角线OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且GN＝2MG，现用向量，，表示向量，设，则x，y，z的值分别为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025春 兰州期中）已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，3，1）、B（4，1，﹣2）、C（6，3，7），则△ABC的重心坐标为（　　）
A．（6，，3） B．（4，，2） C．（8，，4） D．（2，，1）
4．（2025春 高邮市期中）已知向量，且，那么2x+y＝（　　）
A．﹣10 B．﹣2 C．2 D．10
5．（2025春 高邮市期中）对于空间中任意一点O和不共线的三点A，B，C，能得到点P在平面ABC内的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025春 张掖校级期中）如图，在正三棱锥P﹣ABC中，点G为△ABC的重心，点M是线段PG上的一点，且PM＝3MG，记，则（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025 宿迁一模）若，，则等于（　　）
A．﹣5 B．﹣1 C．5 D．7
8．（2025春 盐城月考）若，，则（　　）
A．25 B．﹣25 C．﹣29 D．29
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025春 盐城校级期中）关于空间向量，以下说法正确的是（　　）
A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B．若，则是锐角
C．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
D．已知A，B，C不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面
（多选）10．（2024秋 三明期末）设x，y∈R，向量，，，且，，则下列正确的（　　）
A．x＝2 B．y＝4
C．6 D．
（多选）11．（2025 河北开学）已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．在上的投影向量为
D．
（多选）12．（2024秋 青岛校级期末）已知空间四点O（0，0，0），A（0，1，2），B（2，0，﹣1），C（3，2，1），则下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．点O到直线BC的距离为
D．O，A，B，C四点共面
三．填空题（共4小题）
13．（2025春 合肥校级期末）平面向量的基本定理：如果、是平面上两个不平行的向量，那么该平面上的任意向量，存在唯一的一对实数λ、μ，使得．类推得到空间向量的基本定理：如果、、是 　 　 ，那么对空间中的任意向量，　 　 ，使得 　 　 ．
14．（2025春 张掖校级期中）已知向量，，则 　 　 ．
15．（2025春 江苏校级期中）已知，，当（k）⊥（2）时，实数k的值为 　 　 ．
16．（2025春 杨浦区期中）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，如图建系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标为　 　 ．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春 江苏校级月考）已知空间三点A（0，2，3），B（1，4，6），C（1，5，5）．
（1）若向量与互相垂直，求实数k的值；
（2）求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积．
18．（2025春 兴化市校级月考）已知空间三点A（0，2，3），B（1，4，6），C（1，5，5）．
（1）若向量与互相垂直，求实数k的值；
（2）求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积．
19．（2024秋 松江区校级期中）已知空间中的三点P（1，0，0），M（0，1，0），N（0，﹣1，0），，．
（1）当与垂直，求k的值；
（2）求△PMN的面积．
20．（2024秋 朝阳区校级期中）已知向量．
（1）若向量与垂直，求实数k的值；
（2）若向量和是共面向量，求实数x的值．
高考数学一轮复习 空间向量基本定理及坐标表示
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 新吴区校级期末）如图，空间四边形OABC中，，，，且OM＝2MA，BN＝NC，则等于（　　）
A． B．
C． D．
【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．
【专题】数形结合；定义法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】根据空间向量的线性表示，用、和表示出即可．
【解答】解：由题意知，
（）
（）
．
故选：C．
【点评】本题考查了空间向量的线性表示与应用问题，是基础题．
2．（2024秋 牡丹江期末）如图，已知空间四边形OABC，其对角线OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且GN＝2MG，现用向量，，表示向量，设，则x，y，z的值分别为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】空间向量基底表示空间向量．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算法则，即可求解．
【解答】解：GN＝2MG，M，N分别是对边OA，BC的中点，
则，
，
则，故C正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查空间向量的线性运算，属于基础题．
3．（2025春 兰州期中）已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，3，1）、B（4，1，﹣2）、C（6，3，7），则△ABC的重心坐标为（　　）
A．（6，，3） B．（4，，2） C．（8，，4） D．（2，，1）
【考点】空间向量运算的坐标表示．
【专题】空间向量及应用．
【答案】B
【分析】利用三角形的重心坐标公式即可得出．
【解答】解：△ABC的重心坐标为x4，y，z2．
∴△ABC的重心坐标为．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的重心坐标公式，属于基础题．
4．（2025春 高邮市期中）已知向量，且，那么2x+y＝（　　）
A．﹣10 B．﹣2 C．2 D．10
【考点】空间向量数量积的坐标表示．
【专题】对应思想；定义法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】根据空间向量共线定理得出x，y，代入计算即可．
【解答】解：由题意可得，，即x＝﹣4，y＝﹣2，
那么2x+y＝﹣8﹣2＝﹣10．
故选：A．
【点评】本题考查空间向量的坐标运算，属于基础题．
5．（2025春 高邮市期中）对于空间中任意一点O和不共线的三点A，B，C，能得到点P在平面ABC内的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】空间向量基底表示空间向量．
【专题】转化思想；向量法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，当点P满足：，且x+y+z＝1时，可得出点P在平面ABC内，根据这个性质逐项用和表示向量，满足x+y+z＝1的即为正确选项．
【解答】解：A.，所以，3+1﹣1≠1，所以点P不在平面ABC内，A错误；
B.，所以，﹣1﹣1≠1，所以点P不在平面ABC内，B错误；
C.，所以，2+4﹣5＝1，所以点P在平面ABC内，C正确；
D.，所以，，所以点P不在平面ABC内，D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了点P在平面ABC内的充要条件，向量的数乘运算，是基础题．
6．（2025春 张掖校级期中）如图，在正三棱锥P﹣ABC中，点G为△ABC的重心，点M是线段PG上的一点，且PM＝3MG，记，则（　　）
A． B．
C． D．
【考点】空间向量基底表示空间向量．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】结合图形，利用向量的线性运算将所求向量用基底表示化简即得．
【解答】解：如图，连接AG并延长交BC于点D，连接PD．
因G为△ABC的重心，，
故，
又PM＝3MG，
故
．
故选：A．
【点评】本题主要考查空间向量的线性运算，属于基础题．
7．（2025 宿迁一模）若，，则等于（　　）
A．﹣5 B．﹣1 C．5 D．7
【考点】空间向量数量积的坐标表示．
【专题】计算题；对应思想；定义法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】先求出，，再利用空间向量的数量积运算求解即可．
【解答】解：∵，，
∴（1，﹣2，0），（﹣3，1，2），
∴3﹣2+0＝﹣5，
故选：A．
【点评】本题考查空间向量的数量积运算，属于基础题．
8．（2025春 盐城月考）若，，则（　　）
A．25 B．﹣25 C．﹣29 D．29
【考点】空间向量数量积的坐标表示．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】先根据向量的加法、数乘运算法则分别求出与的坐标，再根据向量数量积的坐标运算直接计算即可．
【解答】解：，，
所以，，
所以，
故．
故选：B．
【点评】本题主要考查空间向量数量积的坐标表示，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025春 盐城校级期中）关于空间向量，以下说法正确的是（　　）
A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B．若，则是锐角
C．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
D．已知A，B，C不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面
【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底；空间向量的共线与共面．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据空间向量共面定理即可判断A；根据可得判断B；运用反证法思想说明不共面即可判断C；根据空间向量共面定理的推论即可判断D．
【解答】解：根据空间向量共面定理知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故A正确；
对于B，由，则，故B错误；
对于C，假设共面，则存在λ，μ∈R，，
因向量组是空间的一个基底，故不存在λ，μ∈R使得成立，
故假设不成立，不共面，即也是空间的一个基底，故C正确；
对于D，因，且，故P，A，B，C四点共面，即D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查空间向量的基本定理，属于基础题．
（多选）10．（2024秋 三明期末）设x，y∈R，向量，，，且，，则下列正确的（　　）
A．x＝2 B．y＝4
C．6 D．
【考点】空间向量线性运算的坐标表示．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】AC
【分析】由条件结合垂直向量的坐标表示和平行向量的坐标关系求x，y，进而逐项判断即可．
【解答】解：因为，，，所以3x﹣12+6＝0，所以x＝2，A正确；
对于B，因为，，，所以，所以y＝﹣4，B错误；
对于C，，，可得，所以，C正确；
对于D，，
则，D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查空间向量共线、垂直的性质，属于基础题．
（多选）11．（2025 河北开学）已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．在上的投影向量为
D．
【考点】空间向量数量积的坐标表示．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据已知条件，结合空间向量的坐标运算，即可依次求解．
【解答】解：，
则，故A正确；
向量，，
则，
，
则，故B错误；
，，
故在上的投影向量为，故C正确；
，，
故，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查空间向量的坐标运算，属于基础题．
（多选）12．（2024秋 青岛校级期末）已知空间四点O（0，0，0），A（0，1，2），B（2，0，﹣1），C（3，2，1），则下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．点O到直线BC的距离为
D．O，A，B，C四点共面
【考点】空间向量数量积的坐标表示；空间中点到直线的距离及两平行直线间的距离；空间中点到平面的距离；空间向量的共线与共面．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】ABC
【分析】计算数量积判断A，求向量夹角判断B，利用向量垂直判断C，根据空间向量共面定理判断D．
【解答】解：由题意可知，，，，
所以，故A正确；
又0×2+1×0+2×（﹣1）＝﹣2，，，
所以，故B正确；
因为，所以，，所以点O到直线BC的距离为，故C正确；
，
假设若O，A，B，C四点共面，则共面，
设，因不共线，
则，此方程组无解，所以O，A，B，C四点不共面，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查空间向量的数量积运算，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025春 合肥校级期末）平面向量的基本定理：如果、是平面上两个不平行的向量，那么该平面上的任意向量，存在唯一的一对实数λ、μ，使得．类推得到空间向量的基本定理：如果、、是 　不共面的向量　 ，那么对空间中的任意向量，　存在唯一的一组实数λ、μ、v　 ，使得 　　 ．
【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底；类比推理；平面向量的基本定理．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；逻辑思维．
【答案】不共面的向量；存在唯一的一组实数λ、μ、v；
【分析】直接类比推理，即可得到答案．
【解答】解：平面向量的基本定理：如果、是平面上两个不平行的向量，
那么该平面上的任意向量，存在唯一的一对实数λ、μ，使得λμ，
类比平面向量基本定理，如果、、是不共面的向量，那么对空间中的任意向量，
存在唯一的一组实数λ、μ、v，使得．
故答案为：不共面的向量；存在唯一的一组实数λ、μ、v；．
【点评】本题考查了类比推理，属于基础题．
14．（2025春 张掖校级期中）已知向量，，则 　　 ．
【考点】空间向量线性运算的坐标表示．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】根据空间向量模的运算求得正确答案．
【解答】解：向量，，
则，
所以．
故答案为：．
【点评】本题主要考查空间向量模的运算，属于基础题．
15．（2025春 江苏校级期中）已知，，当（k）⊥（2）时，实数k的值为 　6　 ．
【考点】空间向量数量积的坐标表示．
【专题】方程思想；定义法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】6．
【分析】根据空间向量的垂直关系列方程求解即可．
【解答】解：因为（3，2，﹣1），（2，1，2），且（k）⊥（2），
所以（k） （2）＝k（2k﹣1） 20，
即（9+4+1）k﹣（2k﹣1）（6+2﹣2）﹣2×（4+1+4）＝0，
解得k＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了空间向量的数量积运算问题，是基础题．
16．（2025春 杨浦区期中）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，如图建系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标为　（﹣4，3，2）　 ．
【考点】空间向量运算的坐标表示．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】（﹣4，3，2）．
【分析】根据空间向量的坐标表示可得．
【解答】解：由题意，故AD＝4，AB＝3，BB1＝3，
故C1（0，3，3），A（4，0，0），
故，
故答案为：（﹣4，3，2）．
【点评】本题主要考查空间向量的坐标表示，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春 江苏校级月考）已知空间三点A（0，2，3），B（1，4，6），C（1，5，5）．
（1）若向量与互相垂直，求实数k的值；
（2）求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积．
【考点】空间向量数量积的坐标表示；空间向量的数量积判断向量的共线与垂直．
【专题】转化思想；向量法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】（1）．
（2）．
【分析】（1）根据空间向量坐标运算公式求出的坐标，再根据已知，解得即可求得k值．
（2）根据空间向量数量积公式△ABC中角A的余弦值即cos∠BAC，进而求出sin∠BAC，再由面积公式求出S△ABC，即可求四边形面积．
【解答】解：（1）因为A（0，2，3），B（1，4，6），C（1，5，5），
所以，，
所以，
∵向量（）⊥，∴，
解得．
（2）∵，，
∴由数量积公式得出向量夹角余弦值，即，
则，
以AB，AC为邻边构成平行四边形面积S＝2S△ABC，而，
∴以AB，AC为邻边的平行四边形的面积S．
【点评】本题考查空间向量线性运算即数量积运算，属于基础题．
18．（2025春 兴化市校级月考）已知空间三点A（0，2，3），B（1，4，6），C（1，5，5）．
（1）若向量与互相垂直，求实数k的值；
（2）求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积．
【考点】空间向量数量积的坐标表示；空间向量的数量积判断向量的共线与垂直．
【专题】转化思想；向量法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】（1）．
（2）．
【分析】（1）根据空间向量坐标运算求出的坐标，依题意，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可．
（2）根据数量积公式求出三角形ABC中角A余弦值即cos∠BAC，再由面积公式求出S△ABC，即可得出平行四边形面积．
【解答】解：（1）∵A（0，2，3），B（1，4，6），C（1，5，5），
∴，，
∴，
∵与互相垂直，∴，
解得．
（2）∵，，
∴，则，
∴，
∴以AB，AC为邻边的平行四边形的面积S四边形．
【点评】本题考查空间向量的线性运算及数量积运算，属于基础题．
19．（2024秋 松江区校级期中）已知空间中的三点P（1，0，0），M（0，1，0），N（0，﹣1，0），，．
（1）当与垂直，求k的值；
（2）求△PMN的面积．
【考点】空间向量数量积的坐标表示．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】（1）k＝±1；
（2）1．
【分析】（1）根据给定重要人物，利用向量的坐标表示，再利用向量模的坐标表示及垂直关系的向量表示列式计算即得．
（2）由（1）求出向量夹角，进而求出三角形面积．
【解答】解：（1）P（1，0，0），M（0，1，0），N（0，﹣1，0），，．
则，
故，
当与垂直时，，
所以k＝±1．
（2）由（1）知，，则，即∠MPN＝90°，
所以△PMN的面积．
【点评】本题主要考查空间向量垂直的性质，属于基础题．
20．（2024秋 朝阳区校级期中）已知向量．
（1）若向量与垂直，求实数k的值；
（2）若向量和是共面向量，求实数x的值．
【考点】空间向量数量积的坐标表示．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】（1）；
（2）﹣2．
【分析】（1）根据向量的加法和数乘，可得坐标表示，根据垂直向量的坐标计算公式，可得答案；
（2）根据向量共面定理，建立向量和之间的表示，可得方程组，解得答案．
【解答】解：（1）由，，
则，
因为，
所以，则26k+13＝0，解得．
（2）由向量和是共面向量，则存在λ，μ，使得，
则，解得，则x＝﹣2．
【点评】本题主要考查空间向量的坐标表示，属于基础题．
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