2026年高考数学一轮复习 空间向量及其运算（含解析）

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高考数学一轮复习 空间向量及其运算
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 奉贤区期末）如图，在边长为2的正四面体P﹣ABC中，N是△ABC的中心，则下列正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025春 南京校级月考）若空间向量（2，1，0），（1，0，1），则向量在向量上的投影向量的坐标是（　　）
A．（4，﹣1，0） B．（﹣1，0，﹣1） C．（﹣2，1，0） D．（1，0，1）
3．（2025春 普陀区校级期末）已知空间向量，，且2，56，72，则一定共线的三点是（　　）
A．A、B、C B．B、C、D C．A、B、D D．A、C、D
4．（2025春 河南月考）在四面体OABC中，，则（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025春 虹口区校级月考）已知正六棱柱A1A2A3A4A5A6﹣B1B2B3B4B5B6的底面为边长为2，高为3，则集合，i∈{1，2，3，4，5，6}，j∈{1，2，3，4，5，6}}中元素的个数为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
6．（2025 黄山校级一模）已知正方体ABCD﹣EFGH的棱长为1，若P点在正方体的内部且满足，则P点到直线AB的距离为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025 杨浦区校级模拟）在正四棱锥P﹣ABCD中，，设平面AEF与直线PC交于点，则λ＝（　　）
A． B． C． D．
8．（2025春 江苏校级期中）若，，则（　　）
A．（2，0，﹣3） B．（2，﹣1，1） C．（﹣2，1，﹣1） D．（2，1，﹣3）
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025春 宁远县校级月考）下列四个结论正确的是（　　）
A．任意向量，，若，则或或
B．若空间中点O，A，B，C满足，则A，B，C三点共线
C．空间中任意向量都满足
D．若，，则
（多选）10．（2025春 浙江月考）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝AD＝AA1，，点P为平面ABCD上的动点，则（　　）
A．四边形B1BDD1为矩形
B．在上的投影向量为
C．点B到直线AC1的距离为
D．若直线D1P与直线AB所成的角为，则点P的轨迹为双曲线
（多选）11．（2025春 宜春校级期中）关于空间向量，以下说法正确的是（　　）
A．若对空间中任意一点O，有，则P、A、B、C四点共面
B．已知两个向量，，且，则mn＝﹣3
C．若，且，，则x1x2+y1y2+z1z2＝0
D．点M（3，2，1）关于平面yOz对称的点的坐标是（﹣3，2，1）
（多选）12．（2025春 盐城月考）下列说法正确的是（　　）
A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有
B．单位正交基底中的基向量模为1，且互相垂直
C．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点轨迹是一个圆
D．若空间向量满足，则
三．填空题（共4小题）
13．（2025 甘肃校级模拟）如图，在平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，底面四边形ABCD是菱形，AB＝a，AA′＝b，∠A′AB＝∠A′AD＝2∠BAD＝120°，则A′C的长为 　 　 ，直线BD′与直线AC所成角的余弦值为 　 　 ．（结果用a，b表示）
14．（2025 上海校级模拟）已知空间向量，，共面，则实数m＝　 　 ．
15．（2025春 德州月考）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，点M为AB的中点，动点P满足．当点P在侧面BB1C1C内运动时，点P运动路径的长度为　 　 ．当点P在空间中运动时，最大值为　 　 ．
16．（2024秋 宝山区校级期末）已知O（0，0，0），A（1，2，1），B（2，1，2），P（1，1，2），点Q在直线OP上运动，当取最小值时，点Q的坐标是 　 　 ．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春 南京校级月考）已知向量．
（1）求；
（2）求；
（3）求向量的夹角．
18．（2024秋 徐汇区校级期末）已知空间中三点A（2，0，﹣2）、B（1，﹣1，﹣2）、C（3，0，﹣4），设，．
（1）若||＝3，且∥，求向量；
（2）求以、为一组邻边的平行四边形的面积S．
19．（2024秋 宝山区校级期末）在空间直角坐标系中，设A（0，2，3）、B（﹣2，1，6）、C（1，﹣1，5）、D（3，3，4）．
（1）设，，求的坐标，并判断、是否平行；
（2）求、的夹角θ，以及、为相邻两边的三角形面积S．
20．（2024秋 铜官区校级期末）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝3，AA1＝4，∠DAB＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，E是CC1的中点，设，，．
（1）用，，表示；
（2）求AE的长．
高考数学一轮复习 空间向量及其运算
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 奉贤区期末）如图，在边长为2的正四面体P﹣ABC中，N是△ABC的中心，则下列正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】空间向量的数乘及线性运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】设基底为，选项中涉及到的向量都用基底表示出来，再验证各个选项是否正确．
【解答】解：在边长为2的正四面体P﹣ABC中，N是△ABC的中心，
设基底为，由于四面体P﹣ABC为正四面体，所以可得基底的两两夹角都为．
对于A：，∴，故A错误；
对于B：，∴，故B错误；
对于C、D：延长CN交AB于M，易得M为AB的中点，由于N是△ABC的中心，如下图所示：
可得．
又，故C错误．
，
，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，向量的基底，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
2．（2025春 南京校级月考）若空间向量（2，1，0），（1，0，1），则向量在向量上的投影向量的坐标是（　　）
A．（4，﹣1，0） B．（﹣1，0，﹣1） C．（﹣2，1，0） D．（1，0，1）
【考点】空间向量的投影向量与投影．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】结合投影向量的求解，即可求解．
【解答】解：空间向量（2，1，0），（1，0，1），
则，，
故向量在向量上的投影向量的坐标是．
故选：D．
【点评】本题主要考查投影向量的求解，属于基础题．
3．（2025春 普陀区校级期末）已知空间向量，，且2，56，72，则一定共线的三点是（　　）
A．A、B、C B．B、C、D C．A、B、D D．A、C、D
【考点】空间向量的共线与共面；平面向量的相等与共线．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合向量的加法，以及向量共线的性质，即可求解．
【解答】解：∵56，72，
∴，
∵2，
∴，即A，B，D共线．
故选：C．
【点评】本题主要考查向量的加法，以及向量共线的性质，属于基础题．
4．（2025春 河南月考）在四面体OABC中，，则（　　）
A． B．
C． D．
【考点】空间向量及其线性运算．
【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】利用空间向量的线性运算法则求解
【解答】解：连接MN，NB，
由已知得（）．
故选：D．
【点评】本题考查向量的运算性质的应用，属于基础题．
5．（2025春 虹口区校级月考）已知正六棱柱A1A2A3A4A5A6﹣B1B2B3B4B5B6的底面为边长为2，高为3，则集合，i∈{1，2，3，4，5，6}，j∈{1，2，3，4，5，6}}中元素的个数为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
【考点】空间向量的数量积运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】A
【分析】根据空间向量数量积公式及运算律计算求解．
【解答】解：正六棱柱A1A2A3A4A5A6﹣B1B2B3B4B5B6的底面为边长为2，高为3，
由题意得知：A1B1⊥平面B1B2B3，所以，
所以，
同理：．
故选：A．
【点评】本题考查的知识点：向量的数量积运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
6．（2025 黄山校级一模）已知正方体ABCD﹣EFGH的棱长为1，若P点在正方体的内部且满足，则P点到直线AB的距离为（　　）
A． B． C． D．
【考点】空间向量及其线性运算．
【专题】计算题．
【答案】A
【分析】分别以AB、AD、AE为x轴、y轴、z轴作出空间直角坐标系，可得向量和的坐标，可以分别计算出它们的长度．然后根据向量数量积的坐标公式得到，再用向量的夹角公式得到，结合同角三角函数的关系得到，最后可求出P点到直线AB的距离为．
【解答】解：分别以AB、AD、AE为x轴、y轴、z轴作出空间直角坐标系如图
∵正方体ABCD﹣EFGH的棱长为1
∴
∵
∴
可得
∵
∴
根据同角三角函数关系，得
∴P点到直线AB的距离为
故选：A．
【点评】本题以正方体中的向量为载体，着重考查了空间向量的数量积、长度公式和夹角公式的应用等知识，属于基础题．
7．（2025 杨浦区校级模拟）在正四棱锥P﹣ABCD中，，设平面AEF与直线PC交于点，则λ＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】空间向量的数乘及线性运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】由，结合已知可得，利用共面向量基本定理求出．
【解答】解：正四棱锥P﹣ABCD中，，设平面AEF与直线PC交于点，
因为，
所以，
因为，所以，
所以，
又，所以，
所以，
因为A，E，F，G共面，所以，解得．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，向量共面的充要条件，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
8．（2025春 江苏校级期中）若，，则（　　）
A．（2，0，﹣3） B．（2，﹣1，1） C．（﹣2，1，﹣1） D．（2，1，﹣3）
【考点】空间向量的加减运算．
【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】根据空间向量的坐标运算求得正确答案．
【解答】解：由题可得：．
故选：D．
【点评】本题主要考查空间向量的坐标运算，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025春 宁远县校级月考）下列四个结论正确的是（　　）
A．任意向量，，若，则或或
B．若空间中点O，A，B，C满足，则A，B，C三点共线
C．空间中任意向量都满足
D．若，，则
【考点】空间向量的数量积运算．
【专题】分类讨论；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】AB
【分析】根据向量数量积的概念判断AC的真假；根据三点共线的有关结论判断B的真假；分类讨论说明D的真假．
【解答】解：对A：因为，因为，
则或或，
即或或，故A正确；
对B：因为，而1，所以A，B，C三点共线，故B正确；
对C：因为两个向量的数量积是实数， ， 为实数，
故是与共线的向量，是与共线的向量，
与不一定共线，
所以不一定成立，故C错误；
对D：当时，对任意向量，，都成立，当0时，∥不一定成立，故D错误．
故选：AB．
【点评】本题考查空间向量的运算性质的应用，属于基础题．
（多选）10．（2025春 浙江月考）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝AD＝AA1，，点P为平面ABCD上的动点，则（　　）
A．四边形B1BDD1为矩形
B．在上的投影向量为
C．点B到直线AC1的距离为
D．若直线D1P与直线AB所成的角为，则点P的轨迹为双曲线
【考点】空间向量的投影向量与投影；空间中点到直线的距离及两平行直线间的距离；空间向量的数量积运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑思维；运算求解．
【答案】ABD
【分析】利用基向量求解出即可判断选项A；利用基向量求出，，然后由投影向量的定义求解即可判断选项B；由基向量求得，然后由空间点到直线的向量求法求解即可；由异面直线所成的角得到或，所以点P在以D1为顶点，D1C1或D1C1的反向延长线为轴，D1P为母线的圆锥面上，又P∈平面ABCD，所以P的轨迹是平面ABCD截圆锥面所得的图形，由于C1D1∥平面ABCD，P点轨迹为双曲线，即可判断选项D．
【解答】解：对于A，由已知条件得：0，
所以BD⊥BB1，故四边形B1BDD1为矩形，故A正确；
对于B，，
故，
故在上的投影向量为，故B正确；
对于C，，
所以，
所以点B到直线AC1的距离为，故C错误；
对于D，因为AB∥C1D1，所以直线D1P与直线AB所成的角即为∠C1D1P或其补角，
由直线D1P与直线AB所成角为，所以或，
所以点P在以D1为顶点，D1C1或D1C1的反向延长线为轴，D1P为母线的圆锥面上，
又P∈平面ABCD，所以P的轨迹是平面ABCD截圆锥面所得的图形，
因为C1D1∥平面ABCD，平行于轴的平面截圆锥所得曲线为双曲线，
所以P点轨迹为双曲线，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查的知识点：向量的数量积运算，向量的投影向量，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
（多选）11．（2025春 宜春校级期中）关于空间向量，以下说法正确的是（　　）
A．若对空间中任意一点O，有，则P、A、B、C四点共面
B．已知两个向量，，且，则mn＝﹣3
C．若，且，，则x1x2+y1y2+z1z2＝0
D．点M（3，2，1）关于平面yOz对称的点的坐标是（﹣3，2，1）
【考点】空间向量的共线与共面；空间向量的数量积运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】BCD
【分析】利用空间中四点共面的推论可判断A选项；利用空间向量共线的坐标表示可判断B选项；利用空间向量垂直的坐标表示可判断C选项；根据空间直角坐标系中点的对称性质可判断D选项．
【解答】解：对于A选项：因为对空间中任意一点O有，由于，故P、A、B、C四点不共面，故A错误；
对于B选项，已知两个向量，，且，设，即（1，m，3）＝k（5，﹣1，n），则，解得，故mn＝﹣3，故B正确；
对于C选项，若，且，，则，故C正确；
对于D选项，点M（3，2，1）关于平面yOz对称的点的坐标是（﹣3，2，1），故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查的知识点：向量的坐标运算，向量的数量积运算，向量垂直的充要条件，点关于面的对称问题，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
（多选）12．（2025春 盐城月考）下列说法正确的是（　　）
A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有
B．单位正交基底中的基向量模为1，且互相垂直
C．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点轨迹是一个圆
D．若空间向量满足，则
【考点】空间向量的共线与共面；平面向量的相等向量．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据空间向量的加法计算判断A，再根据基底定义判断B，根据单位向量判断C，应用向量相等判断D．
【解答】解：若A，B，C，D是空间任意四点，
则有，A正确；
单位正交基底中的基向量模为1，且互相垂直，B正确；
空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个球面，故C错误；
，则明显成立，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查向量的概念，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025 甘肃校级模拟）如图，在平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，底面四边形ABCD是菱形，AB＝a，AA′＝b，∠A′AB＝∠A′AD＝2∠BAD＝120°，则A′C的长为 　　 ，直线BD′与直线AC所成角的余弦值为 　　 ．（结果用a，b表示）
【考点】空间向量的数量积运算；异面直线及其所成的角．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】； ．
【分析】直接利用向量的线性运算求出，，再利用向量的数量积运算求出向量的模长，根据，，应用向量数量积的运算律及夹角公式求异面直线的夹角．
【解答】解：利用向量的线性运算：，
则
＝b2+a2+a2+2abcos60°+2abcos60°+2a2cos60°
＝b2+3a2+2ab，
所以；
由，，
所以，
，
ab；
所以，
则直线BD′与直线AC所成角的余弦值为．
故答案为：，．
【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，向量的数量积运算，向量的夹角运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
14．（2025 上海校级模拟）已知空间向量，，共面，则实数m＝　3　 ．
【考点】空间向量的共线与共面；空间向量的数量积判断向量的共线与垂直．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】3．
【分析】根据已知条件，结合空间向量的共面定理，即可求解．
【解答】解：，，共面，
则存在实数λ，μ使得，，即，解得．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查空间向量的共面定理，属于基础题．
15．（2025春 德州月考）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，点M为AB的中点，动点P满足．当点P在侧面BB1C1C内运动时，点P运动路径的长度为　　 ．当点P在空间中运动时，最大值为　　 ．
【考点】空间向量的数量积运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】
【分析】根据题给条件建立空间直角坐标系，设P（x，y，z），根据列等式．
（1）当点P在侧面BB1C1C内运动时，令x＝0，化简等式即可得到点P的轨迹方程，即可求其运动路径的长度．
（2）当点P在空间中运动时，可求得点P的轨迹为球，利用坐标表示，写出计算结果的几何意义，利用球上一点到某一点距离的最大值为球上一点与圆心距离加上半径，即可求解．
【解答】解：因为，所以∠ABC＝90°，AB⊥BC，则A1B1⊥B1C1，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中BB1⊥平面A1B1C1，所以BB1，A1B1，B1C1两两垂直，
如图：
以B1为坐标原点，以B1A1，B1C1，BB1的方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系．
则；
设P（x，y，z），
当点P在侧面BB1C1C内运动时，则P（0，y，z），因为，
则
化简得，即．
则点P的轨迹是以为圆心，半径的圆．
所以点P运动路径的长度为圆的周长．
当点P在空间中运动时，
则
化简得
所以点P在球心为，半径的球上运动．
（x﹣1）2+（y﹣1）2+z2﹣2．
（x﹣1）2+（y﹣1）2+z2最大值的几何意义为点P到点（1，1，0）距离的最大值的平方．
又点P到点（1，1，0）距离的最大值d为球心到点（1，1，0）的距离加上半径R，
即d；
所以，则．
故答案为：；．
【点评】本题考查的知识点：空间直角坐标系，曲线的方程的求法，两点间的距离公式，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
16．（2024秋 宝山区校级期末）已知O（0，0，0），A（1，2，1），B（2，1，2），P（1，1，2），点Q在直线OP上运动，当取最小值时，点Q的坐标是 　（1，1，2）　 ．
【考点】空间向量的数量积运算．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】（1，1，2）．
【分析】根据已知条件，结合空间向量的坐标运算法则，以及二次函数的性质，即可求解．
【解答】解：设Q（x，y，z），
点Q在直线OP上运动，
则存在实数λ，使得，
P（1，1，2），
则Q（λ，λ，2λ），
A（1，2，1），B（2，1，2），
则，，
所以（1﹣λ）（2﹣λ）+（2﹣λ）（1﹣λ）+（1﹣2λ）（2﹣2λ）＝6（λ2﹣2λ+1），该二次函数的对称轴为λ＝1，开口向上，
故当λ＝1时，取最小值，此时点Q（1，1，2）．
故答案为：（1，1，2）．
【点评】本题主要考查空间向量的数量积运算，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春 南京校级月考）已知向量．
（1）求；
（2）求；
（3）求向量的夹角．
【考点】空间向量的数量积运算．
【专题】转化思想；向量法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】（1）；
（2）6；
（3）．
【分析】（1）根据空间向量的坐标运算及向量模的坐标表示求解；
（2）根据空间向量的数量积的坐标运算求解；
（3）根据空间向量垂直的坐标表示计算即可得解．
【解答】解：（1）∵，
∴，
∴；
（2），
则；
（3），
∴，
则，
所以向量的夹角为．
【点评】本题考查了向量坐标的加法、减法、数乘和数量积的运算，向量垂直的充要条件，是基础题．
18．（2024秋 徐汇区校级期末）已知空间中三点A（2，0，﹣2）、B（1，﹣1，﹣2）、C（3，0，﹣4），设，．
（1）若||＝3，且∥，求向量；
（2）求以、为一组邻边的平行四边形的面积S．
【考点】空间向量的共线与共面．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意，求出的坐标，由向量平行的坐标表示方法，可以设t（2t，t，﹣2t），由向量模的计算公式求出t的值，计算可得答案；
（2）根据题意，求出、的坐标，由数量积的计算公式可得cosA，进而求出sinA，又由S＝||||×sinA，计算可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，B（1，﹣1，﹣2）、C（3，0，﹣4），则（2，1，﹣2），
若∥，设t（2t，t，﹣2t），
又由||＝3，则4t2+t2+4t2＝9t2＝9，解可得t＝±1，
故（2，1，﹣2）或（﹣2，﹣1，2）；
（2）根据题意，（﹣1，﹣1，0），（1，0，﹣2），
则||，||， 1，
则cosA＝cos，，故sinA，
故S＝||||×sinA3．
【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及空间向量的平行，属于基础题．
19．（2024秋 宝山区校级期末）在空间直角坐标系中，设A（0，2，3）、B（﹣2，1，6）、C（1，﹣1，5）、D（3，3，4）．
（1）设，，求的坐标，并判断、是否平行；
（2）求、的夹角θ，以及、为相邻两边的三角形面积S．
【考点】空间向量的共线与共面．
【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）平行；（2）；．
【分析】（1）直接利用向量的坐标运算判断向量间的共线；
（2）首先利用向量的夹角公式求出cos，进一步利用三角形的面积公式求出结果．
【解答】解：（1）设A（0，2，3）、B（﹣2，1，6）、C（1，﹣1，5）、D（3，3，4），
故，
故，故、平行．
（2）由于A（0，2，3）、B（﹣2，1，6）、C（1，﹣1，5）、D（3，3，4），
所以，，且、的夹角θ
故cosθ，
由于θ∈[0，π]，所以，
所以．
故．
【点评】本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量的夹角运算，向量的数量积运算，三角形的面积公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
20．（2024秋 铜官区校级期末）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝3，AA1＝4，∠DAB＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，E是CC1的中点，设，，．
（1）用，，表示；
（2）求AE的长．
【考点】空间向量及其线性运算；点、线、面间的距离计算．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】（1）；（2）3．
【分析】（1）根据已知条件，结合向量的线性运算法则，即可求解．
（2）结合（1）的结论，将平方，即可求解．
【解答】解：（1），，，则．
（2）∵AB＝5，AD＝3，AA1＝4，∠DAB＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，
∴
＝25+9+4+0+（20+12） cos60°＝54，
∴．
【点评】本题主要考查空间向量的线性运算法则，属于基础题．
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