2026年高考数学一轮复习 双曲线（含解析）

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高考数学一轮复习 双曲线
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 河南月考）双曲线上的点A到右焦点的距离为19，则它到左焦点的距离为（　　）
A．9 B．7 C．9或29 D．7或19
2．（2025 青秀区校级模拟）双曲线C：1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为yx，则C的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．4
3．（2025春 宝山区校级期末）下列双曲线中，以y＝±x为渐近线的是（　　）
A．1 B．1
C．y2＝1 D．x21
4．（2025春 安徽月考）若椭圆C：的焦点和与焦点共线的顶点分别是双曲线E的顶点和焦点，则双曲线E的标准方程为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025 合肥模拟）已知双曲线的一条渐近线与直线2x+y﹣3＝0垂直，则双曲线的焦距为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025 辽阳校级二模）若双曲线以y＝±2x为渐近线，且A（1，0）为一个顶点，则双曲线的方程为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025 卓尼县校级模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，l1，l2分别为双曲线C的两条渐近线，直线l过点F2，且l∥l1，直线l与l2交于点P，直线l与双曲线C的右半支交于点Q，且，则双曲线C的离心率为（　　）
A． B． C． D．2
8．（2025 和林格尔县校级模拟）双曲线经过点，则C的离心率e等于（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 廊坊模拟）已知点P为双曲线右支上一点，l1，l2为C的两条渐近线，过点P分别作PA⊥l1，PB⊥l2，垂足依次为A，B，且，过点P作PM//l2交l1于点M，过点P作PN∥l1交l2于点N，O为坐标原点，则下列说法正确的是（　　）
A．C的离心率为 B．|OP|≥|AB|
C．△PMN的面积为 D．|MN|≥1
（多选）10．（2025 苏州三模）某数学兴趣小组研究发现，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象是双曲线C，记其焦点分别为M，N，若P为其图象上任意一点，则（　　）
A．y轴是C的一条渐近线
B．点（1，1）是C的一个焦点
C．||PM|﹣|PN||＝2
D．C的离心率为
（多选）11．（2025 重庆模拟）关于双曲线C：x2﹣y2＝1，下列说法正确的是（　　）
A．离心率 B．两条渐近线互相垂直
C．焦距为2 D．实轴长与虚轴长相等
（多选）12．（2025春 平山区校级月考）已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，左，右顶点分别为A，B，点P在C的右支上，C的离心率为e，则下列说法正确的是（　　）
A．若PO＝PF2，则e≥2
B．若△POF2是面积为2的正三角形，则b2＝4
C．在△PAB中，tan∠PAB+2tan∠PBA+e2tan∠APB＝0恒成立
D．若a＝b＝2，则△PF1F2内切圆半径的取值范围为（0，2）
三．填空题（共4小题）
13．（2025春 徐汇区期末）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，设点，则|PF1|﹣|PF2|的值为 　 　 ．
14．（2025春 黄浦区校级期末）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为2x+y＝0，且C的实轴长为4，则C的方程为 　 　 ．
15．（2025春 浦东新区校级期末）已知双曲线C：，则C的离心率为 　 　 ．
16．（2025春 泊头市期末）双曲线的渐近线方程为 　 　 ．
四．解答题（共4小题）
17．（2025 山海关区模拟）已知双曲线的上下焦点分别为F1（0，c）、F2（0，﹣c），离心率为，点F1到渐近线的距离为1，过点F1且斜率为k的直线l1在第一象限交双曲线C于点P，过点F2且斜率为k的直线l2在第四象限交双曲线C于点Q，PF2与QF1交于点M．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若|PF1|﹣|QF2|＝2，求k的值；
（3）证明：|MF1|+|MF2|是定值．
18．（2025春 乐东县校级月考）双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，
（1）已知焦距为8，离心率为2，求双曲线标准方程，顶点坐标、焦点坐标、实轴和虚轴长及渐近线方程．
（2）已知双曲线中，，且经过点（﹣5，2），焦点在x轴上，求该双曲线的标准方程．
19．（2025 临泉县校级开学）已知双曲线C：的右焦点为F（2，0），过点F的直线l与双曲线C交于A，B两点．当l⊥x轴时，．
（1）若A点坐标为（x1，y1），B点坐标为（x2，y2），证明：x1x2+y1y2＝2（y2﹣y1）．
（2）在x轴上是否存在定点M，使得|AM|2+|BM|2﹣|AB|2为定值？若存在，求出定点M的坐标及这个定值；若不存在，请说明理由．
20．（2024秋 亳州期末）如图，过双曲线的右焦点F且垂直于x轴的直线l与E交于A，B两点，线段CD是E的虚轴，四边形ABCD是面积为的矩形．
（1）求E的方程；
（2）设P是E上任意一点，直线PC与l交于点G，直线PD与l交于点H，证明：|AH|2+|BG|2＝|AB|2；
（3）过E的左焦点的直线与E交于M，N两点，以MN为直径的圆被直线x＝t截得的劣弧为TR，若直线MN变化时，劣弧TR所对的圆心角大小为定值，求t的值．
高考数学一轮复习 双曲线
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 河南月考）双曲线上的点A到右焦点的距离为19，则它到左焦点的距离为（　　）
A．9 B．7 C．9或29 D．7或19
【考点】双曲线的定义．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义来求解点A到左焦点的距离．
【解答】解：对于双曲线，可得a＝5．
设双曲线的左右焦点分别为F1，F2，
因为|AF2|＝19．
根据双曲线的定义||AF1|﹣|AF2||＝2a＝10，则有||AF1|﹣19|＝10．
可得|AF1|﹣19＝10或|AF1|﹣19＝﹣10．
当|AF1|﹣19＝10时，|AF1|＝10+19＝29；
当|AF1|﹣19＝﹣10时，AF1＝﹣10+19＝9．
所以点A到左焦点的距离为9或29．
故选：C．
【点评】本题主要考查了双曲线定义的应用，属于基础题．
2．（2025 青秀区校级模拟）双曲线C：1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为yx，则C的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．4
【考点】求双曲线的离心率．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】B
【分析】由双曲线的方程可得渐近线方程，由题意可得a，b的关系，进而求出离心率的值．
【解答】解：双曲线C：1（a＞0，b＞0），可得双曲线的渐近线的方程为y＝±x，
由题意渐近线的一条方程为yx，
即，
所以双曲线的离心率e．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法及离心率的求法，属于基础题．
3．（2025春 宝山区校级期末）下列双曲线中，以y＝±x为渐近线的是（　　）
A．1 B．1
C．y2＝1 D．x21
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】计算题．
【答案】A
【分析】由y＝±x得±0，进而可知±0为渐近线的双曲线为m，令m＝4，则可知A项正确．
【解答】解：由y＝±x得±0，因此以±0为渐近线的双曲线为m（m≠0）
当m＝4时，方程为1，
故选：A．
【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质和标准方程问题．属基础题．
4．（2025春 安徽月考）若椭圆C：的焦点和与焦点共线的顶点分别是双曲线E的顶点和焦点，则双曲线E的标准方程为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】根据双曲线的几何特征求标准方程．
【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】D
【分析】根据条件得出双曲线E的顶点和焦点坐标即可．
【解答】解：椭圆C：，
则椭圆C的焦点坐标为，上下顶点坐标为，
故双曲线E的顶点为，焦点为，
则双曲线E的标准方程为．
故选：D．
【点评】本题主要考查圆锥曲线的性质，属于基础题．
5．（2025 合肥模拟）已知双曲线的一条渐近线与直线2x+y﹣3＝0垂直，则双曲线的焦距为（　　）
A． B． C． D．
【考点】由双曲线的渐近线方程求解双曲线的标准方程或参数．
【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】D
【分析】根据垂直关系解得参数a的值，再根据a，b，c的关系得可得焦距．
【解答】解：双曲线的渐近线方程为，
双曲线的一条渐近线与直线2x+y﹣3＝0垂直，
所以，解得a＝4，
因此，双曲线的焦距为．
故选：D．
【点评】本题主要考查双曲线的性质，以及直线垂直的性质，属于基础题．
6．（2025 辽阳校级二模）若双曲线以y＝±2x为渐近线，且A（1，0）为一个顶点，则双曲线的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】C
【分析】依题意可知双曲线的焦点在x轴，且a＝1，利用排除法即可求得答案．
【解答】解：∵双曲线的一个顶点为A（1，0），
∴其焦点在x轴，且实半轴的长a＝1，
∴可排除A，B，D．
又双曲线以y＝±2x为渐近线，即y＝±x＝±bx＝±2x，
∴b2＝4．
故答案C满足题意．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，判断焦点位置与实半轴的长是关键，属于中档题．
7．（2025 卓尼县校级模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，l1，l2分别为双曲线C的两条渐近线，直线l过点F2，且l∥l1，直线l与l2交于点P，直线l与双曲线C的右半支交于点Q，且，则双曲线C的离心率为（　　）
A． B． C． D．2
【考点】求双曲线的离心率．
【专题】数形结合；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】A
【分析】不妨设直线l的方程为，与l2的方程联立得P的坐标，由得Q的坐标，将Q的坐标代入双曲线方程即可求解．
【解答】解：如图，
由已知，渐近线l1，l2的方程为，
不妨设直线l的方程为，P（x1，y1），Q（x2，y2），
由解得，即，
又，且，所以
解得，所以，
由点Q在双曲线C上，所以，
解得，所以双曲线C的离心率．
故选：A．
【点评】本题主要考查求双曲线的离心率，属于中档题．
8．（2025 和林格尔县校级模拟）双曲线经过点，则C的离心率e等于（　　）
A． B． C． D．
【考点】求双曲线的离心率．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】根据题意求出a，b，c，可得双曲线的离心率．
【解答】解：由题意得，，所以a2＝4，a＝2，
又b2＝1，所以c2＝a2+b2＝5，所以离心率e．
故选：D．
【点评】本题主要考查求双曲线的离心率，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 廊坊模拟）已知点P为双曲线右支上一点，l1，l2为C的两条渐近线，过点P分别作PA⊥l1，PB⊥l2，垂足依次为A，B，且，过点P作PM//l2交l1于点M，过点P作PN∥l1交l2于点N，O为坐标原点，则下列说法正确的是（　　）
A．C的离心率为 B．|OP|≥|AB|
C．△PMN的面积为 D．|MN|≥1
【考点】直线与双曲线的综合．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】ABD
【分析】对于选项A，根据渐近线方程和可求出离心率；对于选项B，根据垂直关系可判断OP，AB是否为圆的直径和弦，进而判断长度大小；对于选项C，首先根据渐近线的斜率可判断出渐近线的夹角，然后可以把|PM|，|PN|表示出来，最后利用三角形面积公式可求出三角形面积；对于选项D，根据余弦定理和基本不等式的性质可求出|MN|的范围．
【解答】解：设P（m，n），
因为点P在双曲线上，
所以m2﹣a2n2＝a2，
因为双曲线C的渐近线方程为，
即x±ay＝0，
所以，
解得，
则C的离心率e，故选项A正确；
因为PA⊥OA，PB⊥OB，
所以O，A，P，B四点共圆，
且OP为该圆的一条直径，AB为该圆的一条弦，
则|OP|≥|AB|，故选项B正确；
因为双曲线C的渐近线的斜率为±，
所以双曲线C的两条渐近线的夹角为，
因为PM∥l2，
所以，
因为PA⊥OA，
所以，
同理得，
则△PMN的面积S|PM| |PN|sin∠MPN，故选项C错误；
因为，且，
由余弦定理得|MN|2＝|PM|2+|PN|2﹣2|PM| |PN| cos∠MPN＝|PM|2+|PN|2﹣1≥2|PM| |PN|﹣1＝1，
当且仅当|PN|＝1时，等号成立，故选项D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
（多选）10．（2025 苏州三模）某数学兴趣小组研究发现，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象是双曲线C，记其焦点分别为M，N，若P为其图象上任意一点，则（　　）
A．y轴是C的一条渐近线
B．点（1，1）是C的一个焦点
C．||PM|﹣|PN||＝2
D．C的离心率为
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据题意，由题意可知反比例函数的图象为等轴双曲线，进一步分别计算出离心率以及a，c即可逐一判断求解．
【解答】解：根据题意，反比例函数的图象与x轴、y轴无限接近但不相交，则x轴、y轴是曲线C的渐近线，A正确；
由双曲线的对称性，该双曲线的实轴为y＝x，
y＝x与函数的交点为（1，1）和（﹣1，﹣1），即a，
则有||PM|﹣|PN||＝2，C正确；
又由该双曲线的渐近线互相垂直，则该双曲线为等轴双曲线，即e，则有c＝2，D正确；
故双曲线的交点为（，）和（，），B错误．
故选：ACD．
【点评】本题考查双曲线的性质和应用，涉及双曲线的标准方程，属于基础题．
（多选）11．（2025 重庆模拟）关于双曲线C：x2﹣y2＝1，下列说法正确的是（　　）
A．离心率 B．两条渐近线互相垂直
C．焦距为2 D．实轴长与虚轴长相等
【考点】双曲线的几何特征；双曲线的离心率；求双曲线的渐近线方程．
【专题】方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】ABD
【分析】求出双曲线C的a、b、c的值，结合双曲线的几何性质逐项判断即可．
【解答】解：因为双曲线C：x2﹣y2＝1，a＝b＝1，则，
对于A，双曲线C的离心率为，故选项A正确；
对于B，双曲线C的渐近线方程为，两条渐近线的斜率为1、﹣1，
且﹣1×1＝﹣1，故双曲线C的两条渐近线互相垂直，故选项B正确；
对于C，双曲线C的焦距为，故选项C错；
对于D，实轴长与虚轴长都为2，即双曲线的实轴长与虚轴长相等，故选项D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查双曲线方程的应用，属于基础题．
（多选）12．（2025春 平山区校级月考）已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，左，右顶点分别为A，B，点P在C的右支上，C的离心率为e，则下列说法正确的是（　　）
A．若PO＝PF2，则e≥2
B．若△POF2是面积为2的正三角形，则b2＝4
C．在△PAB中，tan∠PAB+2tan∠PBA+e2tan∠APB＝0恒成立
D．若a＝b＝2，则△PF1F2内切圆半径的取值范围为（0，2）
【考点】直线与双曲线的综合；求双曲线的离心率．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】ABD
【分析】对于A，由PO＝PF2，可得，则得e≥2；
对于B，由已知可得，，即可求得b2＝4；
对于C，由已知可得，即，结合，联立化简得tan∠PAB+tan∠PBA+e2tan∠APB＝0，即可判断C；
对于D，由已知，记△PF1F2内切圆半径为r，圆心为O1，则O1B＝r，可得 ，由且∠PF1B＝2∠O1F1B，可得，即，即可判断D．
【解答】解：双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，左，右顶点分别为A，B，如图，
对于选项A，∵PO＝PF2，所以OF2的中垂线与双曲线有交点，
所以，解得e≥2，故A选项正确．
对于选项B，∵△POF2是面积为2的正三角形，∴，
则，
又∵，则，∴，
，即，
∴b2＝c2﹣a2＝4，故B选项正确；
对于选项C，设P（x0，y0），A（﹣a，0），B（a，0），
则，又，
∴，即，
，
又，联立化简得tan∠PAB+tan∠PBA+e2tan∠APB＝0，故C选项错误．
对于选项D，若a＝b＝2，则，
记△PF1F2内切圆半径为r，圆心为O1，圆O1与F1F2切于点B，
则O1B＝r，，，
又且∠PF1B＝2∠O1F1B，
∴，
∴，
即，故D选项正确．
故选：ABD．
【点评】本题列出直线与双曲线以及圆与双曲线的位置关系的应用，是中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025春 徐汇区期末）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，设点，则|PF1|﹣|PF2|的值为 　4　 ．
【考点】双曲线的定义．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】4．
【分析】根据双曲线的定义与方程运算求解．
【解答】解：由双曲线的标准方程可得a＝2，
由P满足方程y2＝1，知点P在双曲线的右支上，
由双曲线的定义可得，|PF1|﹣|PF2|＝2a＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了双曲线定义的应用，属于基础题．
14．（2025春 黄浦区校级期末）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为2x+y＝0，且C的实轴长为4，则C的方程为 　1　 ．
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】1．
【分析】根据双曲线的渐近线方程以及实轴长可得a，b，从而可得双曲线的方程．
【解答】解：由已知得，2，2a＝4，所以a＝2，b＝4，
所以双曲线的方程为1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查求双曲线的方程，属于基础题．
15．（2025春 浦东新区校级期末）已知双曲线C：，则C的离心率为 　　 ．
【考点】求双曲线的离心率．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】．
【分析】根据离心率公式直接求解即可．
【解答】解：因为双曲线C：，
所以a＝2，b，c3，
所以e．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了双曲线离心率的求解，属于基础题．
16．（2025春 泊头市期末）双曲线的渐近线方程为 　y＝±2x　 ．
【考点】求双曲线的渐近线方程．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】y＝±2x．
【分析】根据双曲线方程直接代入渐近线方程计算可得结果．
【解答】解：由双曲线可得其标准方程为，所以渐近线方程为y＝±2x．
故答案为：y＝±2x．
【点评】本题主要考查求双曲线的渐近线方程，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
17．（2025 山海关区模拟）已知双曲线的上下焦点分别为F1（0，c）、F2（0，﹣c），离心率为，点F1到渐近线的距离为1，过点F1且斜率为k的直线l1在第一象限交双曲线C于点P，过点F2且斜率为k的直线l2在第四象限交双曲线C于点Q，PF2与QF1交于点M．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若|PF1|﹣|QF2|＝2，求k的值；
（3）证明：|MF1|+|MF2|是定值．
【考点】双曲线的定点及定值问题；根据双曲线的几何特征求标准方程．
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）；
（2）；
（3）证明过程见解析．
【分析】（1）由焦点到渐近线的距离可求得b＝1，再结合离心率以及a2+b2＝c2可得出a2的值，即可得出双曲线C的方程；
（2）设P（x1，y1）、Q（x2，y2），Q关于原点的对称点记为N（x3，y3），将直线PF1的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式以及|PF1|﹣|QF2|＝2，可得出k的等式，结合k＞0可求得k的值；
（3）分析可知△PF1M∽△F2QM，可得出，同理可得，化简得出，结合弦长公式计算出的值，即可证得结论成立．
【解答】解：（1）易知双曲线的一条渐近线方程为，
即ax﹣by＝0，
所以焦点F1到渐近线的距离为，
因为双曲线C的离心率，
又a2+b2＝c2，
解得a2＝2，b2＝1，
则双曲线C的方程为；
（2）设P（x1，y1）、Q（x2，y2），Q关于原点的对称点记为N（x3，y3），
此时x3＝﹣x2，y3＝﹣y2．
因为，，，
所以，
因为，
即，
所以P、F1、N三点共线，
因为NQ与F1F2互相平分，
所以四边形F1NF2Q为平行四边形，
此时|NF1|＝|QF2|，
所以|PF1|﹣|QF2|＝|PF1|﹣|NF1|＝2，
设PF1的直线方程为，
联立，消去y并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，，
因为，
所以，
此时，
整理得（2k2﹣1）（k2+4）＝0，
因为，
所以k＞0，
解得；
（3）证明：因为直线PF1与直线QF2斜率相等，
所以PF1∥QF2，
此时△PF1M∽△F2QM，
所以，
此时，
同理得，
所以
，
因为．
所以．
【点评】本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
18．（2025春 乐东县校级月考）双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，
（1）已知焦距为8，离心率为2，求双曲线标准方程，顶点坐标、焦点坐标、实轴和虚轴长及渐近线方程．
（2）已知双曲线中，，且经过点（﹣5，2），焦点在x轴上，求该双曲线的标准方程．
【考点】根据双曲线的几何特征求标准方程；由双曲线的渐近线方程求解双曲线的标准方程或参数．
【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】（1）答案见解析；
（2）．
【分析】（1）根据已知条件依次求出c，a，b，然后可得标准方程，再直接写出相关结果．
（2）由双曲线方程，结合已知列式求出a，b即可．
【解答】解：（1）由双曲线的焦距为8，得c＝4，由离心率为2，得a＝2，则，
所以双曲线标准方程为：，该双曲线的顶点坐标为（±2，0），
焦点坐标为（±4，0），实轴长2a＝4，虚轴长，渐近线方程为．
（2）双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，
，且经过点（﹣5，2），
则，解得，
所以所求双曲线的标准方程为．
【点评】本题主要考查双曲线的性质，属于基础题．
19．（2025 临泉县校级开学）已知双曲线C：的右焦点为F（2，0），过点F的直线l与双曲线C交于A，B两点．当l⊥x轴时，．
（1）若A点坐标为（x1，y1），B点坐标为（x2，y2），证明：x1x2+y1y2＝2（y2﹣y1）．
（2）在x轴上是否存在定点M，使得|AM|2+|BM|2﹣|AB|2为定值？若存在，求出定点M的坐标及这个定值；若不存在，请说明理由．
【考点】双曲线的定点及定值问题；根据abc及其关系式求双曲线的标准方程．
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）证明过程见解析；
（2）存在定点，使得|AM|2+|BM|2﹣|AB|2为定值．
【分析】（1）易得，再由a2+b2＝4求得双曲线方程，再分l⊥x轴和直线l的斜率存在由kAF＝kBF求解；
（2）设点M的坐标为（m，0），|AM|2+|BM|2﹣|AB|2＝λ，由l⊥x轴和l⊥y轴，求得，，再由l不与坐标轴垂直时，设直线l的方程为，与双曲线方程联立，结合韦达定理验证即可．
【解答】解：（1）证明：因为当l⊥x轴时，，
所以，
因为双曲线的右焦点为F（2，0），
所以a2+b2＝4，
又a＞0，
解得，
所以双曲线C的方程为，
当l⊥x轴时，直线l的方程为x＝2，
此时x1＝x2＝2，
则x1x2+y1y2＝2（y2﹣y1）成立；
当直线l的斜率存在时，kAF＝kBF，
所以，
整理得x1x2+y1y2＝2（y2﹣y1），
综上所述，x1x2+y1y2＝2（y2﹣y1）成立；
（2）设M（m，0），|AM|2+|BM|2﹣|AB|2＝λ，
当l⊥x轴时，直线l的方程为x＝2，
设，，
此时，
当l⊥y轴时，直线l的方程为y＝0，
将y＝0代入双曲线的方程中，
解得，
设，
此时，
令，
解得，
所以，
当l不与坐标轴垂直时，
设直线l的方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去x并整理得（t2﹣3）y2+4ty+1＝0，
由韦达定理得，
对于，
此时，
．
综上所述：存在定点，使得|AM|2+|BM|2﹣|AB|2为定值．
【点评】本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
20．（2024秋 亳州期末）如图，过双曲线的右焦点F且垂直于x轴的直线l与E交于A，B两点，线段CD是E的虚轴，四边形ABCD是面积为的矩形．
（1）求E的方程；
（2）设P是E上任意一点，直线PC与l交于点G，直线PD与l交于点H，证明：|AH|2+|BG|2＝|AB|2；
（3）过E的左焦点的直线与E交于M，N两点，以MN为直径的圆被直线x＝t截得的劣弧为TR，若直线MN变化时，劣弧TR所对的圆心角大小为定值，求t的值．
【考点】直线与双曲线的综合．
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）；
（2）证明过程见解析；
（3）t＝﹣1．
【分析】（1）根据方程可得，，结合题意列式求得，即可得方程；
（2）根据题意求点G，H的坐标，结合双曲线方程分析证明；
（3）直线MN的方程为y＝k（x+2），联立方程结合韦达定理可得，结合定值分析求解，注意讨论直线MN的斜率是否存在．
【解答】解：（1）设F（c，0）（c＞0），
易知C（0，b），D（0，﹣b）．
将代入椭圆方程中，
解得，
即，，
因为四边形ABCD是面积为的矩形，
所以，
解得，
则E的方程为；
（2）证明：设P（m，n），
由（1）知，，，，
因为直线PC的方程为，
令x＝2，
解得y，
即，
所以．
直线PD的方程为，
令x＝2，
解得y，
即，
所以．
因为点P在双曲线E上，
所以n2＝m2﹣2，
所以，
因为，
所以|AH|2+|BG|2＝|AB|2；
（3）由（1）知E的左焦点的坐标为（﹣2，0），
当直线MN的斜率存在时，
设直线MN的方程为y＝k（x+2），M（x1，y1），N（x2，y2），
联立，消去y并整理得（1﹣k2）x2﹣4k2x﹣4k2﹣2＝0，
此时1﹣k2≠0且Δ＝16k4+4（1﹣k2）（4k2+2）＞0，
解得k≠±1，
由韦达定理得，，
以MN为直径的圆的圆心到直线x＝t的距离，
半径，
若劣弧TR所对的圆心角θ为定值，
则为定值，
此时需满足2+t＝﹣t，
即t＝﹣1，
可得，为定值；
当直线MN的斜率不存在时，
此时直线MN的方程为x＝﹣2，
以MN为直径的圆的圆心到直线x＝﹣1的距离d＝|﹣2+1|＝1，
半径，同样有．
综上所述，t＝﹣1．
【点评】本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
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