2026年高考数学一轮复习 统计（含解析）

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高考数学一轮复习 统计
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 商丘期末）已知两个变量x与y对应关系如下表：
x 1 2 3 4 5
y 5 7.5 n 9 10.5
若y与x满足线性相关关系，且经验回归方程为，则下列说法正确的是（　　）．
A．y与x正相关
B．在x＝4处的残差为0.25
C．n＝8.5
D．变量x每增加一个单位，y的值一定增加1.25个单位
2．（2025春 郑州期末）数据5，7，3，2，11，13的第70百分位数为（　　）
A．7 B．11 C．13 D．17
3．（2025春 怀化期末）某同学8次考试的数学成绩从低到高分别为85，87，89，9θ，92，93，94，96，则这组成绩的75%分位数为（　　）
A．88 B．93 C．93.5 D．94
4．（2025 山东校级模拟）高二（1）班有40名学生，其中男生有16名，已知男生平均体重为68.4kg，总平均体重为60.1kg，则女生的平均体重约为（　　）
A．55.8kg B．54.6kg C．52.4kg D．51.8kg
5．（2025 靖远县校级模拟）某社会实践基地，在实践结束后对学生进行考核评分，某班学生得分的条形图如图所示，则该班学生成绩的75%分位数为（　　）
A．79 B．83 C．87 D．88
6．（2025 安顺模拟）平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关在如图分布形态中，a，b，c分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系正确的是（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
7．（2025春 青秀区校级月考）某学校有高中学生1000人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为320，300，380，为了调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个样本量为200的样本，那么应抽取高二年级学生的人数为（　　）
A．50 B．60 C．70 D．80
8．（2025春 浦东新区校级期末）为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据如表可得回归直线方程x，其中0.78，，据此估计，该社区一户收入为16万元家庭年支出为（　　）
收入x万 8.3 8.6 9.9 11.1 12.1
支出y万 5.9 7.8 8.1 8.4 9.8
A．12.68万元 B．13.88万元 C．12.78万元 D．14.28万元
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025春 温州期末）某电商平台决定对会员进行满意度调查．该平台共有2000名会员，其中女性会员1500人，男性会员500人，采用等比例分层随机抽样的方法抽取容量为80的样本．经计算得女性样本的满意度平均数为9，方差为2，男性样本的满意度平均数为8，方差为1，则（　　）
A．男性会员的样本容量为40
B．每位会员被抽到的概率为
C．估计该平台会员的满意度平均数为8.75
D．估计该平台会员满意度的方差为
（多选）10．（2025春 无锡期末）对于数据2，6，8，3，3，4，6，8，下列说法正确的是（　　）
A．极差为6 B．平均数为5 C．没有众数 D．中位数为5
（多选）11．（2025春 衢州期末）下列说法正确的是（　　）
A．数据2，3，4，5，6，7，8，9的第75百分位数为7
B．若一组样本数据3，a，7，5，4，8的极差为5，则实数a的取值范围为[3，8]
C．x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4的方差分别为和，若yi＝2xi﹣3（i＝1，2，3，4），则
D．在对高一某班学生数学成绩调查中，抽取男生10人，其平均数为105，方差为24，抽取女生5人，其平均数为102，方差为21，则这15名学生数学成绩的方差为25
（多选）12．（2025春 西秀区校级期末）某校有高一学生n名，其中男生数与女生数之比为6：5，为了解学生的视力情况，现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为的样本，若样本中男生比女生多12人，则下列结论正确的是（　　）
A．样本中有60名女生 B．样本容量为132
C．高一学生共有1430人 D．高一有720名男生
三．填空题（共4小题）
13．（2025春 徐汇区期末）对学校高三年级某班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图．若高校A专业对视力要求不低于0.9，则该班学生中有 　 　 人能报考该专业．
14．（2025春 舟山期末）有一组数据：5，7，10，9，8．则其第60百分位数为 　 　 ．
15．（2025春 徐汇区期末）某校高中一年级共有男生204名，女生221名．徐老师为了解该校高一年级学生的身高情况，采用分层抽样的方法，随机抽出男生24名，女生n名，则n的值为 　 　 ．
16．（2025春 红桥区校级月考）采用分层抽样的方法抽取一个容量为80的样本，高一年级被抽取20人，高二年级被抽取30人，高三年级共有600人，则这个学校共有高中学生 　 　 人．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春 环县校级期末）今年“双碳”再次成为全国两会的热点词汇．“双碳”即我国提出力争2030年前实现碳达峰，2060年前实现碳中和．低碳生活引领生活时尚，新能源汽车成为当前购车的首选．某新能源汽车销售部为了满足广大客户对新能源汽车性能的需求，随机抽取了500名用户进行问卷调查，根据统计情况，将他们的年龄按[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70]分组，并绘制出了部分频率分布直方图如图所示．
（1）请将频率分布直方图补充完整；
（2）估计样本中所有用户的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）；
（3）销售部从年龄在[20，30），[30，40）两组的样本中用比例分配的分层随机抽样方法抽取4人，再从这4人中随机抽取2人进行电话回访，求这2人取自不同年龄区间的概率．
18．（2025春 七里河区校级期中）某电子商务公司对10000名网络购物者2017年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．
（1）求直方图中的a的值；
（2）估计这10000名网络购物者在2017年度的消费的中位数和平均数．
19．（2025 泰安模拟）某AI大模型想象力引擎处理用户问题分为“深度思考”模式和“联网搜索”模式，用户可根据需求在提问时自由选择．据统计，人们在使用该大模型时，有30%的问题选择“深度思考”模式，70%的问题选择“联网搜索”模式．而在选择“深度思考”模式的问题中40%被检测到包含“科幻”关键词（S），在选择“联网搜索”模式的问题中10%被检测到包含“科幻”关键词（S）．以下记录了5次该大模型回答用户问题的处理时间（单位：分钟）、问题字数（单位：百字）和需求模式的相关数据：
问题 字数（百字） 需求模式 处理时间（分钟）
1 2.0 深度思考 5.0
2 1.5 联网搜索 3.0
3 3.0 深度思考 7.0
4 2.5 联网搜索 4.5
5 4.0 深度思考 8.4
（1）用频率估计概率．
①求问题被检测到包含“科幻”关键词（S）的概率；
②当问题被检测到包含“科幻”关键词（S）时，求用户选择“深度思考”模式的概率；
（2）假设在“深度思考”模式下，处理时间y关于字数x呈线性相关．请预测“深度思考”模式下，处理一个350字用户问题的时间．
（参考公式，）
20．（2025 宁夏二模）某制药厂生产一种治疗流感的药物，该药品有效成分的标准含量为10mg/片．由于升级了生产工艺，需检验采用新工艺生产的药品的有效成分是否达标，现随机抽取了生产的10片药品作为样本，测得其有效成分含量如下：9.7，10，9.7，9.6，9.7，9.9，10.2，10.1，10，10.1．
（1）计算样本的平均数和方差s2；
（2）判断采用新工艺生产的药品的有效成分是否达标（若|10|＞3.25，则认为采用新工艺生产的药品的有效成分不达标；反之认为达标）
高考数学一轮复习 统计
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 商丘期末）已知两个变量x与y对应关系如下表：
x 1 2 3 4 5
y 5 7.5 n 9 10.5
若y与x满足线性相关关系，且经验回归方程为，则下列说法正确的是（　　）．
A．y与x正相关
B．在x＝4处的残差为0.25
C．n＝8.5
D．变量x每增加一个单位，y的值一定增加1.25个单位
【考点】经验回归方程与经验回归直线．
【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】A
【分析】根据回归直线一次项系数判断A；计算残差判断B；利用样本中心在回归直线上求参数判断C；由回归直线的实际意义判断D．
【解答】解：由回归直线的斜率为1.25＞0，可知y与x正相关，故A正确；
当x＝4时，，所以在x＝4处的残差为9﹣9.25＝﹣0.25，故B错误；
因为，所以，
则5+7.5+n+9+10.5＝5×8，解得n＝8，故C错误；
变量x每增加一个单位，y的值很大可能增加1.25个单位，故D错误．
故选：A．
【点评】本题考查经验回归方程及其应用，是基础题．
2．（2025春 郑州期末）数据5，7，3，2，11，13的第70百分位数为（　　）
A．7 B．11 C．13 D．17
【考点】百分位数．
【专题】整体思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】直接例用百分位数的定义求法．
【解答】解：数据5，7，3，2，11，13从小到大依次为2，3，5，7，11，13，
由6×70%＝4.2，可知该组数据的第70百分位数是第5个数，为11．
故选：B．
【点评】本题考查百分位数的求法，是基础题．
3．（2025春 怀化期末）某同学8次考试的数学成绩从低到高分别为85，87，89，9θ，92，93，94，96，则这组成绩的75%分位数为（　　）
A．88 B．93 C．93.5 D．94
【考点】百分位数．
【专题】整体思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】直接利用百分位数的定义求解即可．
【解答】解：数据85，87，89，9θ，92，93，94，96共6个数，且从小到大排列，
由于8×75%＝6，所以这组成绩的75%分位数为第6与第7个数的平均数，等．
故选：C．
【点评】本题考查百分位数的求法，是基础题．
4．（2025 山东校级模拟）高二（1）班有40名学生，其中男生有16名，已知男生平均体重为68.4kg，总平均体重为60.1kg，则女生的平均体重约为（　　）
A．55.8kg B．54.6kg C．52.4kg D．51.8kg
【考点】平均数．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】根据题意，设女生的平均体重为x，分析可得68.4×16+24x＝60×60.1，解可得答案．
【解答】解：根据题意，设女生的平均体重为x，
高二（1）班有40名学生，其中男生有16名，则女生有40﹣16＝24名，
已知男生平均体重为68.4kg，总平均体重为60.1kg，则有68.4×16+24x＝60×60.1，
解可得：x≈54.6，即女生的平均体重约为54.6kg．
故选：B．
【点评】本题考查平均数的计算，注意总体平均数的计算，属于基础题．
5．（2025 靖远县校级模拟）某社会实践基地，在实践结束后对学生进行考核评分，某班学生得分的条形图如图所示，则该班学生成绩的75%分位数为（　　）
A．79 B．83 C．87 D．88
【考点】百分位数．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】先计算出频数，再根据计算一组n个数据的第p百分位数的步骤计算即可．
【解答】解：由题意可知知0.75×20＝15，故该班成绩的75%分位数为第15项与第16项的和的平均数，
由直方图可知第15，1项分别为79，87，
故该班成绩的75%分位数为．
故选：B．
【点评】本题考查了百分位数的求解，属于基础题．
6．（2025 安顺模拟）平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关在如图分布形态中，a，b，c分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系正确的是（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
【考点】平均数；中位数．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】A
【分析】利用数据分布图左拖尾，即平均数小于中位数，再利用众数是用最高矩形的中点值来估计，可判断众数大于中位数，即可作出判断．
【解答】解：根据题意，由数据分布图知，
数据的众数为c，众数是最高矩形下底边的中点横坐标，因此众数c为右起第二个矩形下底边的中点值，
数据的中位数为b，直线x＝b左右两边矩形面积相等，而直线x＝c左边矩形面积大于右边矩形面积，则b＜c，
数据的平均数为a，由于数据分布图左拖尾，则平均数a小于中位数b，即a＜b，
所以a＜b＜c．
故选：A．
【点评】本题考查由数据分布图分析数据，注意平均数、中位数、众数的定义，属于基础题．
7．（2025春 青秀区校级月考）某学校有高中学生1000人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为320，300，380，为了调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个样本量为200的样本，那么应抽取高二年级学生的人数为（　　）
A．50 B．60 C．70 D．80
【考点】分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量．
【专题】整体思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】根据分层抽样原则直接求解即可．
【解答】解：采用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个样本量为200的样本，
那么应抽取高二年级学生的人数为．
故选：B．
【点评】本题考查分层抽样的应用，属于基础题．
8．（2025春 浦东新区校级期末）为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据如表可得回归直线方程x，其中0.78，，据此估计，该社区一户收入为16万元家庭年支出为（　　）
收入x万 8.3 8.6 9.9 11.1 12.1
支出y万 5.9 7.8 8.1 8.4 9.8
A．12.68万元 B．13.88万元 C．12.78万元 D．14.28万元
【考点】经验回归方程与经验回归直线．
【专题】方程思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】A
【分析】由表格中的数据可求出，再根据，求出，从而得到线性回归方程为，再把x＝16代入回归方程即可得解．
【解答】解：由表中的数据可知，，
，
因为0.78，，所以，
所以，
当x＝16时，．
故选：A．
【点评】本题考查线性回归方程，考查学生数据分析能力和运算能力，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025春 温州期末）某电商平台决定对会员进行满意度调查．该平台共有2000名会员，其中女性会员1500人，男性会员500人，采用等比例分层随机抽样的方法抽取容量为80的样本．经计算得女性样本的满意度平均数为9，方差为2，男性样本的满意度平均数为8，方差为1，则（　　）
A．男性会员的样本容量为40
B．每位会员被抽到的概率为
C．估计该平台会员的满意度平均数为8.75
D．估计该平台会员满意度的方差为
【考点】方差．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】BCD
【分析】结合样本容量的定义，平均数、方差的公式，即可求解．
【解答】解：选项A：等比例分层抽样中，男性样本容量为，故A错误；
选项B：每位会员被抽到的概率为，故B正确；
选项C：总体满意度平均数估计为各层平均数按比例加权平均，女性占比，男性占比，则总体平均数为，故C正确；
选项D：总体方差估计需计算各层方差与层间差异的加权和．
设总体平均数μ＝8.75，
男性层：比例，方差，平均数，
则，贡献为，
女性层：比例，方差，平均数，
则，贡献为；
总体方差为，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查样本容量的定义，平均数、方差的公式，属于基础题．
（多选）10．（2025春 无锡期末）对于数据2，6，8，3，3，4，6，8，下列说法正确的是（　　）
A．极差为6 B．平均数为5 C．没有众数 D．中位数为5
【考点】用样本估计总体的集中趋势参数．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】ABD
【分析】结合极差、众数、中位数的定义，以及平均数的公式，即可求解．
【解答】解：将数据进行排序：2，3，3，4，6，6，8，8，极差为8﹣2＝6，故A正确；
平均数为（2+3+3+4+6+6+8）＝5，故B正确；
众数为3，6，8，故C错误；
中位数为，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查极差、众数、中位数的定义，以及平均数的公式，是基础题．
（多选）11．（2025春 衢州期末）下列说法正确的是（　　）
A．数据2，3，4，5，6，7，8，9的第75百分位数为7
B．若一组样本数据3，a，7，5，4，8的极差为5，则实数a的取值范围为[3，8]
C．x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4的方差分别为和，若yi＝2xi﹣3（i＝1，2，3，4），则
D．在对高一某班学生数学成绩调查中，抽取男生10人，其平均数为105，方差为24，抽取女生5人，其平均数为102，方差为21，则这15名学生数学成绩的方差为25
【考点】百分位数；方差．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】BCD
【分析】对于A求出第75百分位数即可判断，对于B根据极差的定义即可判断，对于C根据方差的性质即可判断，对于D计算分成抽样的方差即可判断．
【解答】解：数据2，3，4，5，6，7，8，9，
由8×75%＝6，所以第75百分位数为，故A错误；
若一组样本数据3，a，7，5，4，8的极差为5，所以3≤a≤8，故B正确；
若yi＝2xi﹣3（i＝1，2，3，4），即，故C正确；
，抽取男生10人，其平均数为105，抽取女生5人，其平均数为102，
则这15名学生数学成绩的平均数为，
所以这15名学生数学成绩的方差为，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查概率、统计的知识，属于基础题．
（多选）12．（2025春 西秀区校级期末）某校有高一学生n名，其中男生数与女生数之比为6：5，为了解学生的视力情况，现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为的样本，若样本中男生比女生多12人，则下列结论正确的是（　　）
A．样本中有60名女生 B．样本容量为132
C．高一学生共有1430人 D．高一有720名男生
【考点】分层随机抽样．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解．
【解答】解：某校有高一学生n名，其中男生数与女生数之比为6：5，样本中男生比女生多12人，
则，解得n＝1320，故C错误；
样本容量为，故B正确；
高一有男生，故D正确；
抽取了名女生，故A正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025春 徐汇区期末）对学校高三年级某班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图．若高校A专业对视力要求不低于0.9，则该班学生中有 　20　 人能报考该专业．
【考点】频率分布直方图．
【专题】数形结合；数形结合法；概率与统计；运算求解．
【答案】20．
【分析】先求得视力在0.9以上的频率，再根据频数、频率、样本容量的关系即可求得答案．
【解答】解：由频率分布直方图知：视力在0.9以上的频率为（1.00+0.75+0.25）×0.2＝0.4，
所以该班学生中有50×0.4＝20人能报考该专业．
故答案为：20．
【点评】本题考查频率分布直方图，属于基础题．
14．（2025春 舟山期末）有一组数据：5，7，10，9，8．则其第60百分位数为 　8.5　 ．
【考点】百分位数．
【专题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】8.5．
【分析】先将这组数据由小到大进行排序，再结合百分位数的定义求解即可．
【解答】解：将这组数据由小到大依次排序为：5，7，8，9，10，
共有5个数据，所以5×60%＝3，
则这组数据的第60百分位数为8.5．
故答案为：8.5．
【点评】本题考查百分位数的求解，属于基础题．
15．（2025春 徐汇区期末）某校高中一年级共有男生204名，女生221名．徐老师为了解该校高一年级学生的身高情况，采用分层抽样的方法，随机抽出男生24名，女生n名，则n的值为 　26　 ．
【考点】分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量．
【专题】转化思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】26．
【分析】利用抽样比相等可求n的值．
【解答】解：由已知可得．
故答案为：26．
【点评】本题考查分层抽样，属于基础题．
16．（2025春 红桥区校级月考）采用分层抽样的方法抽取一个容量为80的样本，高一年级被抽取20人，高二年级被抽取30人，高三年级共有600人，则这个学校共有高中学生 　1600　 人．
【考点】分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】1600．
【分析】首先求出高三年级抽取的人数，再根据抽样比即可求出总人数．
【解答】解：采用分层抽样的方法抽取一个容量为80的样本，高一年级被抽取20人，高二年级被抽取30人，高三年级共有600人，
可得高三年级共抽取80﹣20﹣30＝30人，
又高三年级共有600人，所以抽样比为，
所以学校共有高中生人．
故答案为：1600．
【点评】本题主要考查分层抽样的应用，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春 环县校级期末）今年“双碳”再次成为全国两会的热点词汇．“双碳”即我国提出力争2030年前实现碳达峰，2060年前实现碳中和．低碳生活引领生活时尚，新能源汽车成为当前购车的首选．某新能源汽车销售部为了满足广大客户对新能源汽车性能的需求，随机抽取了500名用户进行问卷调查，根据统计情况，将他们的年龄按[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70]分组，并绘制出了部分频率分布直方图如图所示．
（1）请将频率分布直方图补充完整；
（2）估计样本中所有用户的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）；
（3）销售部从年龄在[20，30），[30，40）两组的样本中用比例分配的分层随机抽样方法抽取4人，再从这4人中随机抽取2人进行电话回访，求这2人取自不同年龄区间的概率．
【考点】补全频率分布直方图．
【专题】应用题；数形结合；分析法；概率与统计；数据分析．
【答案】（1）答案见解析；
（2）45岁；
（3）．
【分析】（1）根据频率分布直方图计算缺少的部分的频率，再补充频率分布直方图即可；
（2）利用频率分布直方图中平均数估计的计算公式计算即可；
（3）根据分层抽样，计算年龄在[20，30）内的有1人，记为A；年龄在[30，40）内的有3人，分别记为 B1，B2，B3，由列举法及古典概型的计算公式计算可得答案．
【解答】解：（1）年龄在[30，40）的频率为1﹣（0.008+0.040+0.016+0.012）×10＝0.24，补充完整的频率分布直方图如下图：
（2）所有用户的平均年龄的估计值为10×（0.008×25+0.024×35+0.040×45+0.016×55+0.012×65）＝45，故估计样本中所有用户的平均年龄为45岁；
（3）由分层随机抽样的方法可知，抽取的4人中，年龄在[20，30）内的有1人，记为A；
年龄在[30，40）内的有3人，分别记为 B1，B2，B3，
则从这4人中随机抽取2人的所有基本事件有 （A，B1），（A，B2），（A，B3），（B1，B2），（ B1，B3），（B2，B3） 共6种；
记这2人取自不同年龄区间为事件M，其基本事件有 （A，B1），（A，B2），（A，B3），共3种，
故这2人取自不同年龄区间的概率为．
【点评】本题考查频率分布直方图的性质和古典概率模型，属于基础题．
18．（2025春 七里河区校级期中）某电子商务公司对10000名网络购物者2017年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．
（1）求直方图中的a的值；
（2）估计这10000名网络购物者在2017年度的消费的中位数和平均数．
【考点】补全频率分布直方图．
【专题】数形结合；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）a＝3．
（2）中位数为，平均数为0.537．
【分析】（1）由频率分布直方图的性质列方程能求出a．
（2）由频率分布直方图的性质能求出中位数和平均数．
【解答】解：（1）由频率分布直方图的性质得：
0.02+0.08+0.15+0.2+0.25+0.1a＝1，
解得a＝3．
（2）0.5﹣0.15﹣0.25＝0.1，
∴中位数为：，
平均数：0.35×0.15+0.45×0.25+0.55×0.3+0.65×0.2+0.75×0.08+0.85×0.02＝0.537．
【点评】本题考查频率分布直方图、中位数、平均数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19．（2025 泰安模拟）某AI大模型想象力引擎处理用户问题分为“深度思考”模式和“联网搜索”模式，用户可根据需求在提问时自由选择．据统计，人们在使用该大模型时，有30%的问题选择“深度思考”模式，70%的问题选择“联网搜索”模式．而在选择“深度思考”模式的问题中40%被检测到包含“科幻”关键词（S），在选择“联网搜索”模式的问题中10%被检测到包含“科幻”关键词（S）．以下记录了5次该大模型回答用户问题的处理时间（单位：分钟）、问题字数（单位：百字）和需求模式的相关数据：
问题 字数（百字） 需求模式 处理时间（分钟）
1 2.0 深度思考 5.0
2 1.5 联网搜索 3.0
3 3.0 深度思考 7.0
4 2.5 联网搜索 4.5
5 4.0 深度思考 8.4
（1）用频率估计概率．
①求问题被检测到包含“科幻”关键词（S）的概率；
②当问题被检测到包含“科幻”关键词（S）时，求用户选择“深度思考”模式的概率；
（2）假设在“深度思考”模式下，处理时间y关于字数x呈线性相关．请预测“深度思考”模式下，处理一个350字用户问题的时间．
（参考公式，）
【考点】一元线性回归模型．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）①0.19；②；
（2）7.65分钟．
【分析】（1）①根据给定条件，利用全概率公式列式计算；②由①，利用条件概率公式计算得解．
（2）利用最小二乘法公式求出回归方程，再求出处理问题时间的估计值．
【解答】解：（1）①记事件A＝“选择深度思考模式”，事件B＝“被检测到包含科幻关键词（S）”，
则，，
由全概率公式得，
所以问题被检测到包含“科幻”关键词（S）的概率为0.19；
②由①得，
所以用户选择“深度思考”模式的概率为；
（2）依题意，，
，
则，，
因此处理时间y关于字数x的回归方程为，
当x＝3.5时，（分钟），
所以处理一个350字用户问题的时间约为7.65分钟．
【点评】本题考查了回归方程，属于中档题．
20．（2025 宁夏二模）某制药厂生产一种治疗流感的药物，该药品有效成分的标准含量为10mg/片．由于升级了生产工艺，需检验采用新工艺生产的药品的有效成分是否达标，现随机抽取了生产的10片药品作为样本，测得其有效成分含量如下：9.7，10，9.7，9.6，9.7，9.9，10.2，10.1，10，10.1．
（1）计算样本的平均数和方差s2；
（2）判断采用新工艺生产的药品的有效成分是否达标（若|10|＞3.25，则认为采用新工艺生产的药品的有效成分不达标；反之认为达标）
【考点】方差；平均数．
【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）平均数9.9，方差s2＝0.04；
（2）达标．
【分析】（1）根据题意，由平均数和方差公式计算可得答案；
（2）根据题意，计算并比较|10|和3.25的大小，即可得结论．
【解答】解：（1）根据题意，样本数据为：9.7，10，9.7，9.6，9.7，9.9，10.2，10.1，10，10.1，
则其平均数（9.7+10+9.7+9.6+9.7+9.9+10.2+10.1+10+10.1）＝9.9mg，
其方差S2（0.04+0.01+0.04+0.09+0.04+0+0.09+0.04+0.01+0.04）＝0.04，
（2）根据题意，由（1）的结论，样本的平均数9.9，方差s2＝0.04，
则有|10|＝0.1，而3.25，
则有|10|＜3.25，故采用新工艺生产的药品的有效成分达标．
【点评】本题考查数据平均数、方差的计算公式，注意平均数、方差的计算公式，属于基础题．
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