2025-2026学年北师大版数学必修第一册 第1章 3.2.1基本不等式 同步练习（含解析）

第一章　§3　3.2.1基本不等式
一、选择题
1．下列不等式中正确的是( )
A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab
C．≥ D．x2＋≥2
2．已知x>0，若x＋的值最小，则x为( )
A．18 B．9
C．3 D．16
3．已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是( )
A．10 B．25
C．5 D．2
4．已知0A． B．
C． D．
5．设0A． B．b
C．2ab D．a2＋b2
6．已知a>0，b>0，A＝，B＝，C＝，则A，B，C的大小关系为( )
A．A≤B≤C B．A≤C≤B
C．B≤C≤A D．C≤B≤A
7．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，当3x＋4y取得最小值时，x＋2y的值为( )
A． B．2
C． D．5
8．若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是( )
A． B．
C． D．
9．(多选题)设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有( 　 )
A．ab<1 B．1<
C．ab< D．10．(多选题)下列结论正确的是( 　 )
A．当x>0时，＋≥2
B．当x>2时，x＋的最小值是2
C．当x<时，y＝4x－2＋的最小值为5
D．当x>0，y>0时，＋≥2
二、填空题
11．若a<1，则a＋与－1的大小关系是　.
12．设x>0，则的最小值为　.
13．当x>1时，x＋的最小值为___.
14．已知3a＋2b＝1，a>0，b>0，则＋的最小值为 　.
三、解答题
15．当x取什么值时，x2＋取得最小值？最小值是多少？
16．已知x，y都是正数，且x≠y，求证：
(1)＋>2；
(2)<.
17．设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：
(1)ab＋bc＋ac≤；
(2)＋＋≥1.
18．已知实数a，b满足a>0，b>0，a＋b＝2，且＋≥m恒成立，求实数m的最大值．
第一章　§3　3.2.1基本不等式
一、选择题
1．[解析]　a<0，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2<4ab，故B错；a＝4，b＝16，则<，故C错；由基本不等式可知D项正确．故选D.
2．[解析]　因为x>0，所以x＋≥2＝18，当且仅当x＝时，等号成立，即x＝9.故选B.
3．[解析]　a＋b≥2＝2，等号在a＝b＝时成立．故选D.
4．[解析]　因为00，所以x(1－x)≤2＝，
当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立．故选B.
5．[解析]　∵ab<2，∴ab<，∴2ab<.
∵>>0，a＋b＝1，
∴>，∴a2＋b2>.
∵b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2
＝ab－a2＝a(b－a)>0，∴b>a2＋b2，∴b最大．故选B.
6．[解析]　由基本不等式可知，A≥B，≤＝，所以B≥C，当a＝b时等号成立．故选D.
7．[解析]　∵x＋3y＝5xy，x>0，y>0，
∴＋＝1，∴3x＋4y＝(3x＋4y)·＝＋＋≥＋2·＝5，
当且仅当＝，即x＝2y＝1时取等号，
∴当3x＋4y取得最小值时，x＝2y＝1，∴x＋2y的值为2.故选B.
8．[解析]　由x2＋3xy－1＝0可得y＝.
因为x>0，所以x＋y＝＋≥2＝2＝.故x＋y的最小值为.故选B.
9．[解析]　∵ab≤2，a≠b，∴ab<1，
又∵>，a＋b＝2，
∴>1，∴ab<1<.故选ABC.
10．[解析]　在A中，当x>0时，>0，＋≥2，当且仅当x＝1时取等号，结论成立；在B中，当x>2时，x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时取等号，但x>2取不到1，因此x＋的最小值不是2，结论错误；在C中，因为x<，所以5－4x>0，则y＝4x－2＋＝－＋3≤－2×＋3＝1，当且仅当5－4x＝，即x＝1时取等号，结论错误；显然D正确．故选AD.
二、填空题
11． a＋≤－1　.
[解析]　因为a<1，即a－1<0，
所以－＝(1－a)＋≥2＝2(当且仅当1－a＝，即a＝0时取等号)．即a＋≤－1.
12． 2－1　.
[解析]　由x>0，可得x＋1>1.
令t＝x＋1(t>1)，则x＝t－1，则＝＝t＋－1≥2－1＝2－1，当且仅当t＝，即x＝－1时，等号成立．
13． _7__.
[解析]　因为x－1>0，所以x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝7，当且仅当x－1＝，即x＝4时，x＋的最小值为7.
14． 8＋4　.
[解析]　∵3a＋2b＝1，∴＋＝(3a＋2b)＝8＋＋≥8＋2＝8＋4，当且仅当＝及3a＋2b＝1，解得a＝，b＝时取到最小值．
三、解答题
15．[解析]　x2＋≥2＝2，当且仅当x2＝，即x＝±1时等号成立．
∴x＝1或－1时，x2＋取得最小值，最小值为2.
16．[证明]　(1)∵x>0，y>0，∴>0，>0，
∴＋≥2＝2，∴＋≥2.
由于当且仅当＝，即x＝y时取“＝”，但x≠y，因此不能取“＝”．
∴＋>2.
(2)∵x>0，y>0，x≠y，∴x＋y>2，∴<1，又∵>0，
∴<，∴<.
17．[证明]　(1)因为a，b，c均为正数，由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，
得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.(当且仅当a＝b＝c时等号成立)
由题设得(a＋b＋c)2＝1，
即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.
(2)因为a，b，c均为正数，所以＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)(当且仅当a＝b＝c时取等号)，即＋＋≥a＋b＋c.
又a＋b＋c＝1，所以＋＋≥1.
18． [解析]　∵a>0，b>0，a＋b＝2，
令a＋1＝p，b＋1＝q，则p>1，q>1，
∴a＝p－1，b＝q－1，p＋q＝4，
∴＋＝＋
＝p＋q－4＋＋＝≥＝1，(当且仅当p＝q＝2时的等号)
∴m≤1，所以实数m的最大值为1.