2025-2026学年北师大版数学必修第一册 第1章 4.2一元二次不等式及其解法 同步练习（含解析）

第一章　§4　4.2一元二次不等式及其解法
一、选择题
1．不等式－x2－x＋2≥0的解集是( )
A．[－2,1]
B．(－2,1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)
2．不等式≥0的解集是( )
A．
B．
C．
D．
3．已知00的解集为( )
A．
B．{x|x>a}
C．
D．
4．二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2,3，a<0，那么ax2＋bx＋c>0的解集为( )
A．{x|x>3或x<－2}
B．{x|x>2或x<－3}
C．{x|－2D．{x|－35．若不等式x2＋kx＋1<0的解集为空集，则k的取值范围是( )
A．－2≤k≤2　　　　　　 B．k≤－2，或k≥2
C．－22
6．已知不等式ax2＋bx＋12>0的解集为{x|－3A．－4 B．0
C．2 D．4
7．已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则 RA＝( )
A．{x|－1C．{x|x<－1}∪{x|x>2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
8．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0A．100台 B．120台
C．150台 D．180台
9．(多选题)已知不等式x2＋5x－6<0的解集为A，集合B＝{x|－3A． RA＝{x|－6≤x≤1}
B．A∩B＝{x|－3C．A∪B＝{x|－6D． RB＝{x|x≤－3或x≥2}
10．(多选题)若“不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立”为假命题，则实数a可能的取值为( 　 )
A．{a|－1≤a≤4} B．{a|－1C．{a|a<－1} D．{a|a>4}
二、填空题
11．函数y＝的定义域为 　.
12．若x2－ax＋2≥0恒成立，则实数a的取值范围　 .
13．已知关于x的不等式mx2＋nx－1<0(m，n∈R)的解集为，则m＋n＝___.
14．若不等式x2＋x－1三、解答题
15．解不等式－116．已知一元二次不等式x2＋px＋q<0的解集为，求不等式qx2＋px＋1>0的解集．
17．解不等式>1(a∈R)．
18．设m∈R，不等式mx2－(3m＋1)x＋2(m＋1)>0的解集记为集合P.
(1)若P＝{x|－1(2)当m>0时，求集合P.
第一章　§4　4.2一元二次不等式及其解法
一、选择题
1．不等式－x2－x＋2≥0的解集是( )
A．[－2,1]
B．(－2,1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)
[解析]　由－x2－x＋2≥0，得x2＋x－2≤0，即(x－1)(x＋2)≤0，解得－2≤x≤1，所以该不等式的解集为[－2,1]．故选A.
2．不等式≥0的解集是( )
A．
B．
C．
D．
[解析]　原不等式可化为
解得－≤x<，
故其解集为.故选B.
3．已知00的解集为( )
A．
B．{x|x>a}
C．
D．
[解析]　因为01，所以a<，
所以不等式的解集为.故选A.
4．二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2,3，a<0，那么ax2＋bx＋c>0的解集为( )
A．{x|x>3或x<－2}
B．{x|x>2或x<－3}
C．{x|－2D．{x|－3[解析]　由已知得a(x＋2)(x－3)>0，
∵a<0，∴(x＋2)(x－3)<0，∴－2∴所求不等式的解集为{x|－25．若不等式x2＋kx＋1<0的解集为空集，则k的取值范围是( )
A．－2≤k≤2　　　　　　 B．k≤－2，或k≥2
C．－22
[解析]　由不等式x2＋kx＋1<0的解集为空集，得对应的二次函数y＝x2＋kx＋1的图象全部在x轴或x轴上方，则Δ＝k2－4×1×1≤0，解得－2≤k≤2.故选A.
6．已知不等式ax2＋bx＋12>0的解集为{x|－3A．－4 B．0
C．2 D．4
[解析]　由不等式的解集为{x|－37．已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则 RA＝( )
A．{x|－1C．{x|x<－1}∪{x|x>2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
[解析]　解不等式x2－x－2>0得x<－1或x>2，即A＝{x|x<－1或x>2}，所以 RA＝{x|－1≤x≤2}．故选B.
8．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0A．100台 B．120台
C．150台 D．180台
[解析]　y－25x＝－0.1x2－5x＋3 000≤0，
即x2＋50x－30 000≥0，
解得x≥150或x≤－200(舍去)．
∴生产者不亏本时的最低产量是150台．故选C.
9．(多选题)已知不等式x2＋5x－6<0的解集为A，集合B＝{x|－3A． RA＝{x|－6≤x≤1}
B．A∩B＝{x|－3C．A∪B＝{x|－6D． RB＝{x|x≤－3或x≥2}
[解析]　不等式x2＋5x－6<0可化为(x＋6)(x－1)<0，解得－6又因为集合B＝{x|－3又A∪B＝{x|－6因为集合B＝{x|－310．(多选题)若“不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立”为假命题，则实数a可能的取值为( 　 )
A．{a|－1≤a≤4} B．{a|－1C．{a|a<－1} D．{a|a>4}
[解析]　若命题为真命题，由于x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，
所以x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.所以题中a可以取的范围为{a|a<－1或a>4}的子集．选项C、D正确．故选CD.
二、填空题
11．函数y＝的定义域为 {x|－3[解析]　由－x2＋x＋12>0，得x2－x－12<0，解得－312．若x2－ax＋2≥0恒成立，则实数a的取值范围 [－2，2]　.
[解析]　由Δ＝a2－8≤0，得－2≤a≤2，∴a的范围是[－2，2]．
13．已知关于x的不等式mx2＋nx－1<0(m，n∈R)的解集为，则m＋n＝_5__.
[解析]　因为关于x的不等式mx2＋nx－1<0(m，n∈R)的解集为，所以－和是方程mx2＋nx－1＝0的两根，
则解得所以m＋n＝5.
14．若不等式x2＋x－1[解析]　原不等式可化为(1－m2)x2＋(1＋m)x－1<0对任意的x∈R恒成立．
①当1－m2＝0时，m＝±1.
当m＝－1时，不等式可化为－1<0，显然成立；
当m＝1时，不等式可化为2x－1<0，解得x<，
故不等式的解集不是R，不合题意；
②当1－m2≠0时，由不等式恒成立可得
解得m<－1或m>，
综上可知：实数m的取值范围为
(－∞，－1]∪.
三、解答题
15．解不等式－1[解析]　原不等式可化为
即即
所以
如图，结合数轴，可得原不等式的解集为{x|－3≤x<－2或016．已知一元二次不等式x2＋px＋q<0的解集为，求不等式qx2＋px＋1>0的解集．
[解析]　因为x2＋px＋q<0的解集为
，所以x1＝－与x2＝是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根，由根与系数的关系得
解得
所以不等式qx2＋px＋1>0即为－x2＋x＋1>0，整理得x2－x－6<0，解得－20的解集为{x|－217．解不等式>1(a∈R)．
[解析]　原不等式等价于－1>0，即>0，所以[(a－1)x－(a－2)](x－2)>0.①
当a＝1时，①式可以转化为x>2；
当a>1时，①式可以转化为(x－2)>0；
当a<1时，①式可以转化为(x－2)<0.
又当a≠1时，2－＝，所以当a>1或a<0时，2>；
当a＝0时，2＝；当0故当a＝1时，原不等式的解集是{x|x>2}；
当a>1时，原不等式的解集是；当018．设m∈R，不等式mx2－(3m＋1)x＋2(m＋1)>0的解集记为集合P.
(1)若P＝{x|－1(2)当m>0时，求集合P.
[解析]　(1)由题意可知，关于x的方程mx2－(3m＋1)x＋2(m＋1)＝0的两根分别为－1,2，且m<0，由解得m＝－.
(2)当m>0时，由mx2－(3m＋1)x＋2(m＋1)>0可得(mx－m－1)(x－2)>0，解方程(mx－m－1)(x－2)＝0，可得x＝>0或x＝2.
①当<2，即m>1时，原不等式为x<或x>2；
②当＝2，即m＝1时，原不等式为(x－2)2>0，即x≠2；
③当>2，即0.
综上所述，当m>1时，P＝；
当m＝1时，P＝{x|x≠2}；
当0