2024-2025学年上海上师大附中高二下学期数学期末试卷（含答案）

上师大附中2024-2025学年第二学期高二年级数学期末
2025.6
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1. 已知集合，集合，则 .
2. 已知复数，（i是虚数单位），则 .
3. 函数，则 .
4. 已知随机变量，且，则 .
5. 盒子里有5个球，其中有2个白球和3个红球，每次从中抽出1个球，抽出的球不再放回，则在第1次抽到白球的条件下，第2次抽到红球的概率为 .
6. 某公司生产的糖果每包的标识质量是500克，但公司承认实际质量存在误差．已知每包糖果的实际质量服从正态分布，且任意一包的糖果质量介于495克到505克之间的可能性为，则随意买一包该公司生产的糖果，其质量超过505克的可能性约为 .（精确到）
7. 曲线在处的切线方程为 .
8．某测试由8道四选一的单选题组成．学生小胡有把握答对其中4道题，且在剩下的4道题中，他对2道有思路，其余2道则完全不会．若小胡答对每道有思路的题的概率为，答对每道不会的题的概率为，则当他从这8道题中任抽1题作答，能答对的概率为 .
9. 函数在时有极小值0，则 .
10. 已知函数，，若存在三个互不相等的实数，使得，则实数的取值范围是 .
11. 已知常数，集合，，若，则t的取值范围是 .
12. 设集合是由所有满足下面条件的有序数组构成的：每一个元素等于、、中之一，其中 那么集合中满足条件“”的元素有 个.
二．选择题（13-14每题4分，每题5分，共18分）
13.已知（）是实系数一元二次方程的两根，则的值为（ ）.
A． B． C． D．
14. 已知集合，，，若集合有3个真子集，则实数的值可能为（ ）.
A． B． C． D．
15.春节期间，小明和弟弟玩起了一种自定义游戏，规定先由弟弟掷一颗质量均匀的骰子，若弟弟掷出的点数为6，则吃1颗花生；若掷出其他点数，则记下这个点数，然后由小明开始两个人轮流掷这颗骰子，直至任意一方掷出这个记下的点数或者6，一次游戏结束.若掷出的是这个记下的点数，则弟弟吃1颗花生；若是6，则小明吃3颗花生.任意一次游戏中弟弟能吃到1颗花生的概率为（ ）.
A． B． C． D．
16. 已知线性相关系数是描述成对数据线性相关程度的统计量，也称为皮尔逊相关系数；一元线性回归分析是基于拟合误差取最小值的假设进行的，最终可得回归方程（回归直线）. 现有个数据点小明对它们进行了一元线性回归分析，得到线性相关系数和回归方程，随后发现自己漏掉了一个数据点且恰好，重新计算个数据点得到线性相关系数和回归方程，对于下面两个说法：
①一定小于； ②与一定重合，则（ ）.
A．①正确②错误 B．①正确②正确 C．①错误②正确 D． ①错误②错误
三、解答题（17-19每题14分，20-21每题18分，共78分）
17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知函数，其中．
(1)若，求方程的解；
(2)若，求不等式的解．
18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知函数.
(1)当时，求函数的最大值.
(2)讨论函数的单调性.
19.（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分5分．
为了研究高三学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了40名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计得部分数据如下：
数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计
每天都整理数学错题人数 14
不是每天都整理数学错题人数 15 20
合计 40
(1)完成上述样本数据的列联表，求每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率；
(2)是否有的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”？
附：；
0.10 0.01 0.001
2.706 6.635 10.828
(3)从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀的人数为，求的分布列和期望.
20.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
问题：正实数满足，求的最小值.
其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.
学习上述解法并解决下列问题：
(1)若正实数满足，求的最小值；
(2)若实数满足，求证：；
(3)求代数式的最小值，并求出使得最小的的值.
21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
设是的一个非空子集，函数的定义域为，若在上不是单调函数，且存在常数，使得对任意的成立，则称函数具有性质H，称为该函数的一个下界．
（1）设，，判断函数，是否具有性质H；
（2）设为常数，，，当且仅当满足什么条件时，函数，具有性质H，且是该函数的一个下界；
（3）设，，，若函数，具有性质H，求的取值范围；当在上述范围内变化时，若总是该函数的下界，求的取值范围．
上师大附中2024-2025学年第二学期高二年级数学期末
2025.6
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1. 已知集合，集合，则 .
【答案】
2. 已知复数，（i是虚数单位），则 .
【答案】
3. 函数，则 .
【答案】
4. 已知随机变量，且，则 .
【答案】12
5. 盒子里有5个球，其中有2个白球和3个红球，每次从中抽出1个球，抽出的球不再放回，则在第1次抽到白球的条件下，第2次抽到红球的概率为 .
【答案】
6. 某公司生产的糖果每包的标识质量是500克，但公司承认实际质量存在误差．已知每包糖果的实际质量服从正态分布，且任意一包的糖果质量介于495克到505克之间的可能性为，则随意买一包该公司生产的糖果，其质量超过505克的可能性约为 .（精确到）
【答案】
7. 曲线在处的切线方程为 .
【答案】
8．某测试由8道四选一的单选题组成．学生小胡有把握答对其中4道题，且在剩下的4道题中，他对2道有思路，其余2道则完全不会．若小胡答对每道有思路的题的概率为，答对每道不会的题的概率为，则当他从这8道题中任抽1题作答，能答对的概率为 .
【答案】
9. 函数在时有极小值0，则 .
【答案】11
10. 已知函数，，若存在三个互不相等的实数，使得，则实数的取值范围是 .
【答案】
11. 已知常数，集合，，若，则t的取值范围是 .
【答案】
12. 设集合是由所有满足下面条件的有序数组构成的：每一个元素等于、、中之一，其中 那么集合中满足条件“”的元素有 个.
【答案】
二．选择题（13-14每题4分，每题5分，共18分）
13.已知（）是实系数一元二次方程的两根，则的值为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
14. 已知集合，，，若集合有3个真子集，则实数的值可能为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
15.春节期间，小明和弟弟玩起了一种自定义游戏，规定先由弟弟掷一颗质量均匀的骰子，若弟弟掷出的点数为6，则吃1颗花生；若掷出其他点数，则记下这个点数，然后由小明开始两个人轮流掷这颗骰子，直至任意一方掷出这个记下的点数或者6，一次游戏结束.若掷出的是这个记下的点数，则弟弟吃1颗花生；若是6，则小明吃3颗花生.任意一次游戏中弟弟能吃到1颗花生的概率为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
16. 已知线性相关系数是描述成对数据线性相关程度的统计量，也称为皮尔逊相关系数；一元线性回归分析是基于拟合误差取最小值的假设进行的，最终可得回归方程（回归直线）. 现有个数据点小明对它们进行了一元线性回归分析，得到线性相关系数和回归方程，随后发现自己漏掉了一个数据点且恰好，重新计算个数据点得到线性相关系数和回归方程，对于下面两个说法：
①一定小于； ②与一定重合，则（ ）.
A．①正确②错误 B．①正确②正确 C．①错误②正确 D． ①错误②错误
【答案】C
三、解答题（17-19每题14分，20-21每题18分，共78分）
17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知函数，其中．
(1)若，求方程的解；
(2)若，求不等式的解．
【答案】（1） （2）
【解析】（1），因为，所以，
因为，所以，所以，
即，所以，所以方程的解为；
（2）因为，即，因为，所以函数在单调递减，所以，则不等式，即，
所以，即，解得，所以不等式的解为.
18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知函数.
(1)当时，求函数的最大值.
(2)讨论函数的单调性.
【答案】（1）
（2）在上单调递增；在上单调递减.
【解析】（1）当时，，
由，所以，
当时，，所以函数在上单调递增；
当时，，所以函数在上单调递减；
故；
（2）定义域为，，
当时，，在上递增；
当时，令，解得，
令，解得.
于是在上单调递增；在上单调递减.
19.（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分5分．
为了研究高三学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了40名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计得部分数据如下：
数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计
每天都整理数学错题人数 14
不是每天都整理数学错题人数 15 20
合计 40
(1)完成上述样本数据的列联表，求每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率；
(2)是否有的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”？
附：；
0.10 0.01 0.001
2.706 6.635 10.828
(3)从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀的人数为，求的分布列和期望.
【答案】（1） （2）有关 （3）分布列见解析，
【解析】（1）完善列联表，如下：
数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计
每天都整理数学错题人数 14 6 20
不是每天都整理数学错题人数 5 15 20
合计 19 21 40
每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率为.
（2）由（1）得，
所以有的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”.
（3）不是每天都整理数学错题的学生有20人，其中数学成绩总评优秀人数为5，
的所有可能值为0，1，2，3，
，
，
所以的分布列为：
0 1 2 3
期望.
20.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
问题：正实数满足，求的最小值.
其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.
学习上述解法并解决下列问题：
(1)若正实数满足，求的最小值；
(2)若实数满足，求证：；
(3)求代数式的最小值，并求出使得最小的的值.
【答案】（1） （2）证明见解析 （3）时，取得最小值．
【解析】（1）因为,，
所以，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值是．
（2），
又，当且仅当时等号成立，
所以，
所以，当且仅当且同号时等号成立．
此时满足.
（3）令，，由得，
，又，所以，
构造，由，可得，因此，
由（2）知，
取等号时，且同正，结合，解得，
即，．所以时，取得最小值．
21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
设是的一个非空子集，函数的定义域为，若在上不是单调函数，且存在常数，使得对任意的成立，则称函数具有性质H，称为该函数的一个下界．
（1）设，，判断函数，是否具有性质H；
（2）设为常数，，，当且仅当满足什么条件时，函数，具有性质H，且是该函数的一个下界；
（3）设，，，若函数，具有性质H，求的取值范围；当在上述范围内变化时，若总是该函数的下界，求的取值范围．
【答案】（1）不具有 （2）当且仅当时，函数，具有性质H，且是该函数的一个下界． （3）
【解析】（1）当时，函数的值域为．
因为不存在常数，使得对任意的成立，
所以函数，不具有性质H．
（2）对求导，得．
令，得，，此函数有两个驻点．
当时，，函数严格增；
当时，，函数严格减；
当时，，函数严格增．
函数在处取到极大值，在处取到极小值．
令，得为该方程的另一解．
①当时，，此时的取值范围是，不满足是该函数的一个下界；
②当时，，此时该函数具有性质H，且是该函数的一个下界；
③当时，函数在上严格增，不具有性质H．
综上，当且仅当时，函数，具有性质H，且是该函数的一个下界．
（3）对求导，得．
当时，，函数在上严格增，不具有性质H．
因此，当且仅当时，函数，具有性质H．
于是对任意的及任意的成立．
令，其中．
因为当时，，所以函数严格减，当时，函数取到最小值．
于是对任意的成立．
令，求导，得，令，得为该函数的一个驻点．
当时，，函数严格减；当时，，函数严格增．
该函数在处取到极小值．
因此的取值范围是．