2024-2025学年上海川沙中学高一下学期数学期末试卷（含答案）

川沙中学2024-2025学年第二学期高一年级数学期末
2025.6
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．已知，则 .
2．底面半径为2，高为2的圆柱的侧面积为 .（结果保留）
3．＂若直线平面，直线在平面上，则直线直线＂是 命题（填＂真＂或＂假＂）．
4．过所在平面外一点，作，垂足为，连接，若，则点是的 心．
5．在平行六面体中，分别是棱的中点，记，则用表示为 .
6．若向量，则在方向上的投影向量的坐标为 .
7．如图，在四棱雉中，底面是边长为的正方形，平面．若，则直线与平面所成的角的大小为 .
8．已知正方体，则二面角的大小为 .
9．在直三棱柱中，若，则异面直线与所成的角的大小为 .
10．已知空间四个点，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是 .
11．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．四面体是一个鳖臑，已知是直角三角形，，则平面截该鳖臑的外接球所得截面的面积为 .
12．设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，求实数的取值范围为 .
二、单选题（）
13．已知空间三点，若向量，则实数（ ）.
A．37 B．36 C．-38 D．-36
14．如图，已知圆锥的轴截面是等边三角形，底面圆的半径为2，现把该圆锥打磨成一个球，则该球半径的最大值为（ ）.
A． B．
C． D．
15．在单位正方体中，点在线段上，点线段上．
（1）二面角的大小为定值；（2）长度的最小值为．
对于以上两个命题，下列判断正确的是（ ）.
A．（1）正确，（2）正确 B．（1）正确，（2）错误
C．（1）错误，（2）正确 D．（1）错误，（2）错误
16．已知平面向量满足且，若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时，的最大值为（ ）.
A． B． C． D．1
三、解答题
17．如图，线段和是以为顶点的圆锥的底面的两条互相垂直的半径，点是母线的中点，已知．
（1）求该圆锥的体积；
（2）求异面直线与所成角的大小．
18．已知平面非零向量与的夹角是．
（1）若，求；
（2）若，求的值，并求与共线的单位向量的坐标．
19．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，平面，四棱锥体积为1．
（1）求点到平面的距离；
（2）求平面绕直线旋转一周所得的几何体的体积．
20．已知梯形中，为上的一点上，将沿翻折使得二面角的平面角为，连接为棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）当时，求直线和平面所成角的大小．
21．已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，定义非零向量的＂相伴函数＂为，向量称为函数的＂相伴向量＂；记平面内所有向量的＂相伴函数＂构成的集合为
（1）已知，若函数为集合S中的元素，求其＂相伴向量＂的模的取值范围；
（2）已知点满足条件：，若向量的＂相伴函数＂在处取得最大值，当在区间变化时，求的取值范围；
（3）当向量时，＂相伴函数＂为，若，方程存在4个不相等的实数根，求实数的取值范围．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.假; 4.外; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．四面体是一个鳖臑，已知是直角三角形，，则平面截该鳖臑的外接球所得截面的面积为 .
【答案】
【解析】设的中点为，连接，因为鳖脯的四个面都是直角三角形，且，所以．
因为，故．
又，所以．
又平面，所以平面，所以．
又，所以平面，所以，
所以点为四面体外接球的球心，所以外接球的半径，
且点到平面的距离为，所以的外接圆半径，
所以平面截四面体的外接球的截面的面积为．故答案为：．
12．设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，求实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】因为，
所以，所以，即，
由在区间上总存在唯一确定的，使得，
所以，由函数在上为增函数，
值域为，且，所以，所以
二、选择题
13.B 14.B 15.A 16.B
15．在单位正方体中，点在线段上，点线段上．
（1）二面角的大小为定值；（2）长度的最小值为．
对于以上两个命题，下列判断正确的是（ ）.
A．（1）正确，（2）正确 B．（1）正确，（2）错误
C．（1）错误，（2）正确 D．（1）错误，（2）错误
【答案】A
【解析】对于（1），平面即为平面，
平面与平面所成的二面角为定值，
故二面角为定值，（1）正确；
对于（2），将平面沿直线翻折到平面内，平面图如下，过点作，
，此时，的值最小．
由题可知，
则，
故，又，故的最小值为，
故（2）正确．故选：．
16．已知平面向量满足且，若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时，的最大值为（ ）.
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】方法一：设，∵
即点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，．
∵，∴
∵，则关于的二次函数开口向上，当时，取得最小值，即
令则
∴函数在上单调递增，在上单调递减，
∴的最大值为．
方法二：令，
则，∴点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
取的中点，
∴点在直线上，
当时，取到最小值，
此时，
而当直线与圆相切时，最大，也即最大，为，
∴的最大值为．故选：B．
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1） （2）
20．已知梯形中，为上的一点上，将沿翻折使得二面角的平面角为，连接为棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）当时，求直线和平面所成角的大小．
【答案】（1）证明见解析 （2）证明略 （3）
【解析】（1）证明：取中点，连接，因为，，
且，得到，所以四边形为平行四边形，
则，又平面平面，则平面．
（2）证明略
（3），则，且，平面，
则平面平面，则平面平面，
二面角的平面角为，
在平面内，过点作交于点，平面，
面面，所以面，
以为正交基底建立如图坐标系，则，
设，则，则，
则，则，所以，
设平面的法向量为，则，
取，则，设直线和平面所成角为，
则所以．
21．已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，定义非零向量的＂相伴函数＂为，向量称为函数的＂相伴向量＂；记平面内所有向量的＂相伴函数＂构成的集合为
（1）已知，若函数为集合S中的元素，求其＂相伴向量＂的模的取值范围；
（2）已知点满足条件：，若向量的＂相伴函数＂在处取得最大值，当在区间变化时，求的取值范围；
（3）当向量时，＂相伴函数＂为，若，方程存在4个不相等的实数根，求实数的取值范围．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）
,∴函数的相伴向量，），
∴时，；时，．
∴的取值范围为．
（2）的相伴函数，
其中．
当，即取得最大值，
（3）,
当时，，由，
得：，∴或，
由，即，而，解得或，
∴在上有两个根，方程
在上存在4个不相等的实数根，
当且仅当且在上有两个不等实根，
在同一坐标系内作出函数在上的图象和直线，如图，
方程在上有两个不等实根，
当且仅当函数在，上的图象和直线有两个公共点，
观察图象知：或．解得或，
所以实数的取值范围为．