高频微专题12（含解析）-《巅峰突破》2026版高中数学高三一轮复习

(
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
(
姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
高频微专题12　空间几何体的切、接问题
满分51分,限时40分钟
一、单项选择题(本题共6小题,每小题5分,共30分)
1.(2025安徽亳州联考)已知圆柱的底面直径为2,它的两个底面的圆周都在同一个体积为的球面上,则该圆柱的侧面积为(　　)
A.8π　　B.6π　　
C.5π　　D.4π
2.(2025安徽六校教育研究会入学考试)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,AD=4,则该四棱锥外接球的体积为(　　)
A.24π　　B.2π　　
C.20π　　D.8π
3.(2024山西太原二模)已知圆锥的顶点为P,底面圆的直径AB=2,tan∠APB=,则该圆锥内切球的体积为(　　)
A.　　B.　　
C.　　D.4π
4.(2022新高考Ⅱ,7)已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3和4,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为(　　)
A.100π　　B.128π　　
C.144π　　D.192π
5.(2025江西红色十校联考)在体积为12的三棱锥A-BCD中,AC⊥AD,BC⊥BD,平面ACD⊥平面BCD,∠ACD=,∠BCD=,若点A,B,C,D都在球O的表面上,则球O的表面积为(　　)
A.12π　　B.16π　　
C.32π　　D.48π
6.(2022新高考Ⅰ,8)已知正四棱锥的侧棱长为l,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π,且3≤l≤3,则该正四棱锥体积的取值范围是(　　)
A.　　B.　　
C.　　D.[18,27]
二、多项选择题(本题共2小题,共11分,其中第7题5分,第8题6分)
7.(2023新课标Ⅰ,12)下列物体中,能够被整体放入棱长为1(单位:m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有(　　)
A.直径为0.99 m的球体
B.所有棱长均为1.4 m的四面体
C.底面直径为0.01 m,高为1.8 m的圆柱体
D.底面直径为1.2 m,高为0.01 m的圆柱体
8.(2024广东佛山统测)下图是一个封闭的圆台容器(容器壁厚度忽略不计),已知圆台的上、下底面半径分别为3,1,母线长为4,则(　　)
A.圆台容器的容积为π
B.圆台的外接球的半径为
C.容器中可放入一个半径为1.7的球
D.若圆台容器内放入一个可任意转动的正方体,则正方体棱长的最大值为2
三、填空题(本题共2小题,每小题5分,共10分)
9.(2023全国甲文,16)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,O为AC1的中点,若该正方体的棱与球O的球面有公共点,则球O的半径的取值范围是　　　　.
10.(2023全国甲理,15)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,C1D1的中点.以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有　　　　个公共点.
答案全解全析
1.A　由题可知球为圆柱的外接球,设球的半径为R,则球的体积为πR3=,可得R=,
圆柱的底面直径为2,则半径r=1,故圆柱的高h=2×=4,所以该圆柱的侧面积为2πrh=8π.
2.D　解法一　,
显然四棱锥P-ABCD的外接球即为长方体ABCD-PB1C1D1的外接球,
易得PC==2,故外接球的半径R=,
所以外接球的体积V=πR3=8π.
解法二　设外接球球心为O,以A为原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,取底面ABCD的中心E,过点E作直线l⊥平面ABCD(图略),则外接球的球心O在l上,
由题可知P(0,0,2),E(1,2,0),设O(1,2,x),
由OP=OA,得=,解得x=1,所以外接球的半径R=OA=,故外接球的体积V=πR3=8π.
3.C　由圆锥的性质知△PAB为以P为顶点的等腰三角形,
因为tan∠APB=,所以∠APB=,则△PAB为正三角形,边长为2,
如图所示,作出圆锥及其内切球的轴截面,设内切球的球心为O,
解法一　取AB,AP的中点分别为C,E,连接PC,BE.
由正三角形内心的性质知OC=OE=PO=PC=×=×=1,即内切球的半径为1,所以体积为π.
解法二　连接AO,设内切圆的半径为r,则S△ABP=S△ABO+=×2×3r=3r,所以r=体积V=π.
小题速解
已知圆锥的底面半径为r,高为h,母线长为l,则该圆锥的内切圆半径R=,故本题中内切圆半径R==1,则内切球的体积V=π.
4.A　由题意易得上底面所在平面截球面所得圆的半径为3,下底面所在平面截球面所得圆的半径为4,设该球的半径为R,当正三棱台的上、下底面在球心异侧时,有+=1,R无解,所以正三棱台的上、下底面在球心同侧,所以有-=1,解得R2=25,因此该球的表面积为4πR2=100π.
5.D　如图,取CD的中点O,连接AO,BO,
因为AC⊥AD,,因此点O为球心,又∠BCD=,故△BCD是等腰直角三角形,所以OB⊥CD.
因为平面ACD⊥平面BCD,平面ACD∩平面BCD=CD,OB 平面BCD,所以OB⊥平面ACD.
设球O的半径为R,则OB=R,在Rt△ACD中,因为∠ACD=,所以AC=R,AD=R,所以三棱锥A-BCD的体积V=S△ACD·OB=××AC·AD·OB=R3=12,
所以R=2,所以球O的表面积为4πR2=48π.
6.C　设正四棱锥的底面边长为2a,高为h,由球的体积为36π,得球的半径R=3,
易知l2=2a2+h2,32=2a2+(3-h)2,
所以6h=l2,2a2=l2-h2=l2-.
正四棱锥的体积V=×4a2×h=××=,3≤l≤3,
所以V'==l3·,
当3≤l≤2时,V'≥0,
当2所以当l=2时,正四棱锥的体积V最大,为,
又当l=3时,V=,当l=3时,V=,
所以正四棱锥的体积V的最小值为,
所以该正四棱锥体积的取值范围是.
小题速解
由上述分析知V=a2h=(6h-h2)h=(12-(当且仅当h=4时取等号),结合选项知选C.
7.ABD　解法一　选项A,正方体的棱长为1 m,能完全放入的最大球体为其内切球,易知其内切球的直径为1 m,所以直径为0.99 m的球体可以完全放入,故选项A正确;
选项B,棱长为1 m的正方体6条面对角线构成的四面体为正四面体,其棱长为 m,又因为1.4<,所以棱长均为1.4 m的四面体可以完全放入,故选项B正确;
选项C,底面直径为0.01 m,高为1.8 m的圆柱体由于其,则该圆柱体能否被整体放入棱长为1 m的正方体容器中等价于长度为1.8 m的线段能否完全在棱长为1 m的正方体的内部,由于正方体内最长的线段为体对角线,故棱长为1 m的正方体内最长的线段长度为 m,因为<1.8,所以该圆柱体无法完全放入,故选项C错误;
选项D,底面直径为1.2 m,高为0.01 m的圆柱体由于其高远小于底面直径,故可忽略不计,则该圆柱体能否被整体放入棱长为1 m的正方体容器中等价于直径是1.2 m的圆面能否完全放入棱长为1 m的正方体的内部,需要寻找正方体内最大的截面,如图1所示,取6条棱的中点A,B,C,D,E,F,则正六边形ABCDEF是正方体内最大的截面图形,在图2中,连接BD,易知BC= m,截面六边形ABCDEF的内切圆的直径为BD,在△BCD中,BC=CD= m,∠BCD=120°,所以BD= m,又因为>1.2,所以底面直径为1.2 m,高为0.01 m的圆柱体可以完全放入,故选项D正确.
图1　　　　　　　　　　图2　
解法二　选项A,B的分析同解法一.
选项C,D的分析如下:
设以O1O2为轴的圆柱内切于正方体(棱长为1 m),则点O1,O2在正方体的体对角线AC1上,如图1,显然圆柱的底面半径r越大,圆柱的高h=O1O2越小,为了探索两者的关系,过圆O2作平面,该平面与平面A1B1C1D1,平面B1BCC1,平面D1DCC1的交线分别为直线l1,l2,l3,此三条直线围成的三角形中,设M为FG的中点,连接O2M,C1M,易知3O2M=3r=FM,所以FM=r,在等腰直角三角形FC1G中,C1M=FM=r,所以在Rt△C1O2M中,C1O2==r,此时圆柱的高O1O2=-2r.
对于C,令r=0.005 m,则h=-2×0.005≈1.72 m,1.72<1.8,故选项C错误;
对于D,令r=0.6 m,则h=-2×0.6≈0.035 m,0.035>0.01,故选项D正确.
图1
图2
8.ACD　作出圆台的轴截面,如图1所示,过C作CE⊥AB,连接AC.
易得圆台的高为=2,所以圆台容器的容积V=(π+9π+)×2=π,故A正确.
易知圆台的外接球的球心在圆台的轴上,等腰梯形ABCD的外接圆的半径即为外接球的半径,即△ABC的外接圆的半径.设圆台的外接球的半径为R,在△ABC中,易知B=,AC=2,由正弦定理得==2R,解得R=,故B错误.
假设圆台存在内切球O,则球心O为圆台两底面圆心连线的中点,且球面与圆台的侧面相切,根据A中求得的圆台的高可知,内切球的半径r=,下面判断球面与圆台的侧面是不是相切.如图2所示,设切点为P,连接OA,OD,OP,则AO2=32+=12,DO2=12+=4,所以AD2=AO2+DO2,所以AO⊥OD,即△AOD为直角三角形,所以AO·DO=AD·OP,解得OP=,所以圆台存在内切球,且半径为>1.7,故C正确.
由正方体可以任意转动,可知最大的正方体是圆台内切球的内接正方体(关键点),
设正方体的棱长为a,由C中分析知,最大正方体的体对角线长l==2,所以a=2,故D正确.
9.[2,2]
解析　由该正方体的棱与球O的球面有公共点,可知最小球为与棱相切的球,最大球为正方体的外接球.
当球与棱相切时,设球的半径为R1,
则有2R1=×4,
所以R1=2;
当球为正方体的外接球时,设球的半径为R2,
则有(2R2)2=42+42+42,
所以R2=2.
所以球O的半径的取值范围是[2,2].
10.12
解析　如图,易知BE C1F,所以四边形BEFC1为平行四边形,所以EF∥BC1.
由AB⊥平面BCC1B1知AB⊥BC1,所以EF⊥AB.
设点P为棱AB上除点E外任一点,EF的中点为O,连接OP.
在Rt△OEP中,有OP>OE.又易知EF的中点O为球心,OE为球O的半径,所以点P在球O外,所以棱AB上恰有一点E在球面上.又点O为正方体中心,所以由对称性知正方体各棱均与球面恰有一个公共点(各棱中点),共计12个.
考场速解
由题可知,以EF为直径的球为正方体的棱切球,所以共有12个公共点.
记忆结论
常见几何体的内切球、外接球的相关结论
1.正方体(棱长为a)外接球球心是正方体的中心,直径为体对角线长,半径为a;内切球球心是正方体的中心,直径为棱长,半径为;与各条棱都相切的球的球心是正方体的中心,直径为面对角线长,半径为a.
2.长方体(长、宽、高分别为a,b,c)外接球球心是体对角线的交点,直径为体对角线长,半径为.
3.正四面体(棱长为a)外接球的半径为,内切球的半径为,外接球与内切球的半径之比为3∶1,与所有棱长都相切的球的半径为.
4.三棱锥的内切球半径r可以利用公式V=·S·r计算(S为三棱锥的表面积).
5.圆柱(高为h,底面半径为r)外接球的半径为,当圆柱的高与底面圆的直径相等时才有内切球,其直径为高(或底面圆的直径).
6.圆锥(底面半径、高、母线长分别为r,h,l)外接球的半径为,内切球的半径为.
专题通法
求解与球有关的切、接问题,关键是确定球心的位置,如果是内切球,球心到切点的距离相等且为半径;如果是外接球,球心到接点的距离相等且为半径.此外,还可将几何体补形成长方体或正方体,利用该几何体的外接球与长方体或正方体的外接球相同的特征,由长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点求解.