高频微专题14（含解析）-《巅峰突破》2026版高中数学高三一轮复习

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密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
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姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
高频微专题14　圆锥曲线中的最值与范围问题
满分57分,限时60分钟
解答题(本题共4小题,共57分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
1.(12分)(2023全国甲理,20)已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,|AB|=4.
(1)求p;
(2)设F为C的焦点,M,N为C上两点,且·=0,求△MFN面积的最小值.
2.(15分)(2024四川南充高级中学期中)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1,过点M(3,0)的直线与椭圆C相交于两点A,B.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设P为椭圆上一点,且满足+=t(O为坐标原点),当|AB|<时,求实数t的取值范围.
3.(15分)(2024江苏苏州段考)在平面直角坐标系Oxy中,已知动点M到定点F(,0)的距离和它到定直线x=的距离的比值为,记M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程;
(2)已知点A(0,1),不过A的直线l与C交于P,Q两点,直线AP,PQ,AQ的斜率依次成等比数列,求点A到直线l的距离的取值范围.
4.(15分)(2024湖北荆州中学期末)如图,已知椭圆+y2=1.设A,B是椭圆上异于点P(0,1)的两点,且点Q在线段AB上,直线PA,PB分别交直线y=-x+3于C,D两点.
(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值;
(2)求|CD|的最小值.
答案全解全析
1.解析　(1)联立消去x得y2-4py+2p=0.
由题知Δ=16p2-8p>0,且p>0,∴p>,
设A(xA,yA),B(xB,yB),则yA+yB=4p,yAyB=2p,
∴|AB|=|yA-yB|==4,∴p=2或p=-(舍去).(3分)
(2)由(1)知C:y2=4x,F(1,0),易知直线MN的斜率不为0,设直线MN的方程为x=my+n,M(x1,y1),N(x2,y2),
联立消去x得y2-4my-4n=0.
Δ=16m2+16n>0,∴m2+n>0①,(5分)
y1+y2=4m,y1y2=-4n,∴x1+x2=4m2+2n,x1x2=n2,
=(x1-1,y1),=(x2-1,y2),
∴·=(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,即x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=0,即4m2=n2-6n+1②,(7分)
联立①②可得+n>0,解得n≠1,
又n2-6n+1=4m2≥0,∴n≤3-2或n≥3+2.(9分)
S△MFN=|MF||NF|=(x1+1)(x2+1)=(x1x2+x1+x2+1)=(2n2-4n+2)=(n-1)2.
又∵n≤3-2或n≥3+2,
∴当n=3-2时,(S△MFN)min=(2-2)2=12-8.(12分)
2.解析　(1)由已知得e==,所以=,所以a2=4b2,c2=3b2,所以椭圆方程为+=1,(3分)
又过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为=1,所以b2=1,a2=4,所以椭圆C的方程为+y2=1.(5分)
(2)由题知直线AB的斜率存在.设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),直线AB:y=k(x-3),联立消去y并整理,得(1+4k2)x2-24k2x+36k2-4=0,(7分)
则Δ=242k4-16(9k2-1)(1+4k2)>0,解得k2<,
由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=,(8分)
则+=(x1+x2,y1+y2)=t(x,y),
故x=(x1+x2)=,
y=(y1+y2)=[k(x1+x2)-6k]=,(9分)
由点P在椭圆上,得+=4,
整理得36k2=t2(1+4k2),(10分)
又|AB|=|x1-x2|<,所以(1+k2)·<3,即(1+k2)[-4x1x2]<3,
即(1+k2)<3,
即(8k2-1)(16k2+13)>0,所以8k2-1>0,即k2>,
所以由36k2=t2(1+4k2)得t2==9-,所以33.解析　(1)设M(x,y),由题意得=,(2分)
化简得-y2=1,所以曲线C:-y2=1.(4分)
(2)由题意知直线l的斜率存在且不为0,
设直线l的方程为y=kx+b(k≠0,b≠1),P(x1,y1),Q(x2,y2).
联立
得(1-2k2)x2-4kbx-2b2-2=0,
易知1-2k2≠0,且Δ=(-4kb)2-4(1-2k2)(-2b2-2)=8b2+8-16k2>0,
由根与系数的关系得(6分)
由已知得kAP·kAQ=,
即=k2,
所以(kx1+b-1)(kx2+b-1)=k2x1x2,
所以k(b-1)(x1+x2)+(b-1)2=0,(7分)
又b≠1,所以k(x1+x2)+(b-1)=0,
所以(2k2+1)b+2k2-1=0,所以b=.(9分)
所以点A到直线l的距离d===,(11分)
将b=代入Δ=4(2b2-4k2+2)>0,得(1-2k2)(2k2+4k4+2)>0,解得k2<,又k≠0,所以0令t=,则t∈,d==4×.(13分)
当t∈时,d't=4×>0恒成立,
所以d=4×在区间上单调递增,(14分)
所以d∈,
即点A到直线l的距离的取值范围为.(15分)
4.解析　(1)设M(2cos θ,sin θ)是椭圆上一点,
∵P(0,1),
∴|PM|2=12cos2θ+(sin θ-1)2=13-11sin2θ-2sin θ=-11≤,故|PM|的最大值是,即点P到椭圆上点的距离的最大值为.(3分)
(2)由题易知直线AB的斜率存在,设直线AB:y=kx+,
将直线AB的方程与椭圆方程联立,消去y,整理得(12k2+1)x2+12kx-9=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-,(6分)
易得直线PA:y=x+1,联立得xC==,
同理可得xD==,(9分)
则|CD|=|xC-xD|
=
=2
=2
=2
=×=×=×(点拨),
当且仅当k=时取到等号,经检验符合题意.
故|CD|的最小值为.(15分)
专题通法
　　与圆锥曲线有关的最值或取值范围问题,通常有两类:一类是有关长度或面积的最值或取值范围问题;一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值或取值范围问题.求解该类问题有以下几种方法:(1)不等关系法:根据题意建立含参数的不等式,通过解不等式求最值(范围);(2)基本不等式法:根据题意将所求变形为两项和或积的形式,利用基本不等式求最值(范围);(3)函数法:用其他变量表示该参数,建立函数关系,利用函数单调性求最值(范围).