5.2025年高考综合改革适应性演练（含解析）-《巅峰突破》2026版高中数学高三一轮复习

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密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
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姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
2025年高考综合改革适应性演练
满分150分,限时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A={-1,0,1},B={0,1,4},则 A∩B=(　　)
A.{0}　　B.{1}　　C.{0,1}　　D.{-1,0,1,4}
2.函数f(x)=cos的最小正周期是(　　)
A.　　B.　　C.π　　D.2π
3.|2-4i|=(　　)
A.2　　B.4　　C.2　　D.6
4.已知向量a=(0,1),b=(1,0),则a·(a-b)=(　　)
A.2　　B.1　　C.0　　D.-1
5.双曲线x2-=1的渐近线方程为(　　)
A.y=±x　　B.y=±2x　　C.y=±3x　　D.y=±4x
6.底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为(　　)
A.π　　B.π　　C.2π　　D.3π
7.在△ABC中,BC=8,AC=10,cos∠BAC=,则△ABC的面积为(　　)
A.6　　B.8　　C.24　　D.48
8.已知函数f(x)=x|x-a|-2a2.若当x>2时,f(x)>0,则a的取值范围是(　　)
A.(-∞,1]　　B.[-2,1]　　C.[-1,2]　　D.[-1,+∞)
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知F(2,0)是抛物线C:y2=2px的焦点,M是C上的点,O为坐标原点.则(　　)
A.p=4
B.|MF|≥|OF|
C.以M为圆心且过F的圆与C的准线相切
D.当∠OFM=120°时,△OFM的面积为2
10.在人工神经网络中,单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数.双曲正切函数是一种激励函数.定义双曲正弦函数sinh x=,双曲余弦函数cosh x=,双曲正切函数tanh x=.则(　　)
A.双曲正弦函数是增函数　　
B.双曲余弦函数是增函数
C.双曲正切函数是增函数　　
D.tanh(x+y)=
11.下面四个绳结中,不能无损伤地变为下图中的绳结的有(　　)
　　　　　　
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.已知函数f(x)=ax(a>0,a≠1),若f(ln 2)f(ln 4)=8,则a=　　　　.
13.有8张卡片,分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,现从这8张卡片中随机抽出3张,则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为　　　　.
14.已知曲线C:y=x3-,两条直线l1,l2均过坐标原点O,l1和C交于M,N两点,l2和C交于P,Q两点.若△OPM的面积为,则△MNQ的面积为　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)为考察某种药物A对预防疾病B的效果,进行了动物(单位:只)试验,得到如下列联表:
药物 疾病 合计
未患病 患病
未服用 100 80 s
服用 150 70 220
合计 250 t 400
(1)求s,t;
(2)记未服用药物A的动物患疾病B的概率为p,给出p的估计值;
(3)根据小概率值α=0.01的独立性检验,能否认为药物A对预防疾病B有效
附:χ2=,
P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
.
16.(15分)已知数列{an}中,a1=3,an+1=.
(1)证明:数列为等比数列;
(2)求{an}的通项公式;
(3)令bn=,证明:bn17.(15分)已知函数f(x)=aln x+-x.
(1)设a=1,b=-2,求曲线y=f(x)的斜率为2的切线方程;
(2)若x=1是f(x)的极小值点,求b的取值范围.
18.(17分)已知椭圆C的离心率为,左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0).
(1)求C的方程;
(2)已知点M0(1,4),证明:线段F1M0的垂直平分线与C恰有一个公共点;
(3)设M是坐标平面上的动点,且线段F1M的垂直平分线与C恰有一个公共点,证明M的轨迹为圆,并求该圆的方程.
19.(17分)在平面四边形ABCD中,AB=AC=CD=1,∠ADC=30°,∠DAB=120°,将△ACD沿AC翻折至△ACP,其中P为动点.
(1)设PC⊥AB,三棱锥P-ABC的各个顶点都在球O的球面上.
(i)证明:平面PAC⊥平面ABC;
(ii)求球O的半径.
(2)求二面角A-CP-B的余弦值的最小值.
答案全解全析
1.C　由题意可得A∩B={0,1}.
2.D　由题意可得f(x)的最小正周期T==2π.
3.C　由题意可得|2-4i|==2.
4.B　∵a=(0,1),b=(1,0),∴a-b=(-1,1),
∴a·(a-b)=0×(-1)+1×1=1.
5.C　由x2-=1,得a=1,b=3,且双曲线的焦点在x轴上,所以渐近线方程为y=±x=±3x.
6.A　由题可知圆锥的底面圆半径为1,母线长为2,则高为=,
∴圆锥=π.
7.C　设AB=x,根据余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos∠BAC,又BC=8,AC=10,cos∠BAC=,
所以82=102+x2-2×10×x×,
即x2-12x+36=0,所以x=6,
由于BC2+AB2=64+36=100=AC2,所以△ABC为直角三角形,且∠B为直角.
故S△ABC=×6×8=24.
8.B　当a>2,x>2时, f(x)=x|x-a|-2a2=
当2此时Δ=a2-4×2a2=-7a2<0,
所以f(x)<0,不满足当x>2时, f(x)>0,故a>2不符合题意;
当02时, f(x)=x|x-a|-2a2=x2-ax-2a2=(x-2a)·(x+a)>0,解得x>2a,
由于x>2时, f(x)>0,故2a≤2,所以0当a=0,x>2时, f(x)=x2>0恒成立,符合题意;
当a<0,x>2时, f(x)=x|x-a|-2a2=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a)>0,解得x>-a,
由于x>2时, f(x)>0,故-a≤2,
所以-2≤a<0.
综上,a的取值范围是[-2,1].
解题关键
解决本题的关键是对a分类讨论,结合因式分解有针对性地求x>2时f(x)>0的解集,从而得解.
9.ABC　因为F(2,0)是抛物线C:y2=2px的焦点,所以=2,解得p=4,故A正确;
设M(x0,y0),因为点M在抛物线C:y2=8x上,所以x0≥0,
所以|MF|=x0+≥=|OF|,故B正确;
因为以M为圆心且过F的圆半径为|MF|=x0+2,
等于M到C的准线的距离,
所以以M为圆心且过F的圆与C的准线相切,故C正确;
当∠OFM=120°时,x0>2,根据对称性不妨设点M在第一象限,
故=tan 60°=,
且=8x0,y0>0,
所以-8y0-16=0,
解得y0=4或y0=-(舍).
所以S△OFM=|OF|·|y0|=4,故D错误.
10.ACD　对于A,令f(x)=sinh x=,
则f'(x)=>0恒成立,故双曲正弦函数是增函数,故A正确;
对于B,令g(x)=cosh x=,则g'(x)=,
由对A的分析知,g'(x)为增函数,
又g'(0)==0,
故当x∈(-∞,0)时,g'(x)<0,
当x∈(0,+∞)时,g'(x)>0,
故g(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故B错误;
对于C,tanh x=====1-,
由y=e2x+1在R上单调递增,且y=e2x+1>1,
得,故C正确;
对于D,由C知tanh x=,
则tanh(x+y)=,
=
=
=
==,
故tanh(x+y)=,故D正确.
11.ABD　选项A,题目所给绳结包含3个不可解开的结,不能变为圆环;
选项D,绳结为三个圆环,不能变成题目所给绳结;
选项C,将绳结下半部分翻到上方,再将下方绳结向外拉动,可变为题目所给绳结;
选项B,此绳结与选项C中绳结互为镜面对称(类同左、右手),无法通过变换形成空间重合,所以该绳结无法变成题目所给形态.
12.e
解析　由f(ln 2)f(ln 4)=8,
可得aln 2·aln 4=8,
即aln 2+ln 4=a3ln 2=8,即(aln 2)3=23,
∵a>0且a≠1,
∴aln 2=2,
根据
13.
解析　从8张卡片中随机抽出3张,则样本空间中总的样本点数为==56,
因为1+2+3+4+5+6+7+8=36,
所以要使抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等,
则抽出的3张卡片上的数字之和为18,
则抽出的3张卡片上的数字的组合有8,7,3或8,6,4或7,6,5,共3种,
所以符合抽出的3张卡片上的数字之和为18的样本点个数为3,
所以抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为.
14.2
解析　y=x3-的定义域为{x|x≠0}.令f(x)=y=x3-,因为f(-x)=(-x)3-=-x3+=-f(x),且f(x)的定义域关于原点对称,所以f(x)为奇函数,曲线C关于原点对称,
当x>0时,函数y=x3-单调递增,
曲线C如图所示,
两条直线l1、l2均过坐标原点O,所以M、N两点关于原点对称,P、Q两点关于原点对称,
根据对称性,不妨设M,N,P,Q位置如图,
可知|OP|=|OQ|,|OM|=|ON|,∠POM=∠QON,
所以△OPM≌△OQN,
所以S△OQN=S△OPM=,
又△OQM和△OQN等底等高,
所以S△OQM=,
所以S△MNQ=2.
15.解析　(1)由列联表知s=100+80=180,t=80+70=150.(2分)
(2)由列联表知,未服用药物A的动物有s=180(只),
未服用药物A且患疾病B的动物有80(只),(4分)
所以未服用药物A的动物患疾病B的频率为=,
所以未服用药物A的动物患疾病B的概率p的估计值为.(6分)
(3)零假设H0:药物A对预防疾病B无效,
由列联表得到χ2==≈6.734>6.635,(9分)
根据小概率值α=0.01的独立性检验,推断H0不成立,
即认为药物A对预防疾病B有效,该推断犯错误的概率不超过0.01,(11分)
所以根据小概率值α=0.01的独立性检验,能认为药物A对预防疾病B有效.(13分)
16.解析　(1)证明:易知an>0,由an+1=得==·+,(2分)
则1-=-·=,(4分)
所以数列是首项为1-=,公比为的等比数列.　(5分)
(2)由(1)得1-=×=,(7分)
故an==.(9分)
(3)证明:由(2)得bn=
=·=
===1-.(12分)
令f(n)=3·-2,n∈[1,+∞),
因为f(n)=3·-2在n∈[1,+∞)上单调递增,
所以f(n)≥f(1)=3×-2=>0,
所以数列
是递减数列,从而数列{bn}是递增数列,且bn<1,故得bn17.解析　(1)当a=1,b=-2时, f(x)=ln x--x,x>0,
则f'(x)=+-1=,(2分)
令f'(x)=2,得=2,
整理得3x2-x-2=(x-1)(3x+2)=0,解得x=1(负值舍去),(4分)
又f(1)=-3,所以曲线y=f(x)的斜率为2的切线方程为y+3=2(x-1),
即2x-y-5=0.(6分)
(2)由题可得f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=--1=,
由x=1是f(x)的极小值点,得f'(1)=-1+a-b=0,故a=b+1,
则f'(x)==-,(7分)
若b≤0,令f'(x)>0,解得x∈(0,1),
令f'(x)<0,解得x∈(1,+∞),
则f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
得x=1是f(x)的极大值点,不满足题意;(9分)
若00,解得x∈(b,1),
令f'(x)<0,解得x∈(0,b)∪(1,+∞),
则f(x)在(b,1)上单调递增,在(0,b),(1,+∞)上单调递减,
得x=1是f(x)的极大值点,不满足题意;(11分)
若b=1,则f'(x)=-≤0, f(x)在(0,+∞)上单调递减,无极值,不满足题意;(12分)
若b>1,令f'(x)>0,解得x∈(1,b),
令f'(x)<0,解得x∈(0,1)∪(b,+∞),
则f(x)在(1,b)上单调递增,在(0,1),(b,+∞)上单调递减,
得x=1是f(x)的极小值点,满足题意.(14分)
综上,x=1是f(x)的极小值点时,b的取值范围是(1,+∞).(15分)
18.解析　(1)因为椭圆的左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),所以c=1,
又因为椭圆C的离心率为,
所以a=2,(2分)
所以b2=a2-c2=3,所以椭圆C的方程为+=1.(4分)
(2)证明:由M0(1,4),F1(-1,0)得直线F1M0的斜率k=2,线段F1M0的中点坐标为(0,2),
所以线段F1M0的垂直平分线方程为y=-x+2,(6分)
联立消去y得x2-2x+1=0,Δ=(-2)2-4×1×1=0,
所以线段F1M0的垂直平分线与椭圆相切,
故线段F1M0的垂直平分线与C恰有一个公共点.(9分)
(3)解法一　设M(x0,y0),
当y0=0时,F1M的垂直平分线方程为x=,
由题意得=±2,
解得x0=5或x0=-3;(11分)
当y0≠0时,F1M的垂直平分线方程为y=-·+=-x+,(12分)
联立消去y,
得3x2+4-x+x2=12,
即x2-x+-12=0,
因为线段F1M的垂直平分线与C恰有一个公共点,
所以Δ=-43+×-12=0,
即-36-=0,
则+(2-14)+-18-32x0-15=0,
+(2-14)+-2+1-16-32x0-16=0,
+(2-14)+(-1)2-16(x0+1)2=0,
+(2-14)+[(x0+1)(x0-1)]2-16(x0+1)2=0,
即+(2-14)+(x0+1)2(x0+3)(x0-5)=0,
+(2-14)+(+2x0+1)(-2x0-15)=0,
即(++2x0+1)(+-2x0-15)=0,
因为++2x0+1=(x0+1)2+>0,
所以+-2x0-15=0,(15分)
又(5,0),(-3,0)也满足该式,
故点M的轨迹是圆,该圆的方程为x2+y2-2x-15=0,即(x-1)2+y2=16.(17分)
解法二　设线段F1M的垂直平分线l与C恰有一个公共点P,
则当点P不在长轴上时,线段F1M的垂直平分线l即为椭圆C在点P处的切线,且l平分∠F1PM,(11分)
所以∠F1PE+∠F1PH=90°,
则∠F2PH+∠EPM=90°,
故∠F2PF1+∠F1PM=180°,
所以M,P,F2三点共线,
所以|MF2|=|MP|+|PF2|=|PF1|+|PF2|=4,
所以点M的轨迹是以F2为圆心,4为半径的圆,y≠0,(13分)
当P在椭圆长轴上时,M点为(5,0)或(-3,0),也满足|MF2|=4,(15分)
故点M的轨迹是圆,该圆的方程为(x-1)2+y2=16.(17分)
方法点睛
　判断直线与椭圆公共点的个数问题的步骤
(1)根据题意得到直线和椭圆方程;
(2)联立直线和椭圆方程,消元得到一元二次方程;
(3)计算Δ,根据Δ>0,Δ<0,Δ=0,判断直线与椭圆公共点的个数.
19.解析　(1)在△ACD中,由AC=CD=1,∠ADC=30°得∠CAD=∠ADC=30°,
所以AD=2ACcos∠DAC=2×1×cos 30°=,
因为∠BAC=∠DAB-∠CAD=120°-30°=90°,所以AB⊥AC.(2分)
(i)证明:因为AB⊥AC,PC⊥AB,PC∩AC=C,PC、AC 平面PAC,
所以AB⊥平面PAC,又AB 平面ABC,
所以平面PAC⊥平面ABC.(5分)
(ii)解法一　以A为原点,AB,AC所在直线分别为x轴,y轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,
则A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P,设球心O的坐标为(a,b,c),半径为R,
由题意得AO=BO=CO=PO=R,
即a2+b2+c2=(a-1)2+b2+c2=a2+(b-1)2+c2=a2++=R2,
解得a=,b=,c=,R=,(9分)
所以球O的半径为.
解法二　易知Rt△ABC的外接圆圆心(设为O1)位于BC中点处,作C关于AP的对称点O2,
有O2C=O2A=O2P=1,O2为△ACP的外接圆圆心,
作O1H⊥AC,垂足为H,连接O2H,易知H为AC中点,O1H⊥平面ACP,O1H⊥O2H,
因为△O2AC为等边三角形,所以O2H⊥AC,而外接球圆心O满足OO1⊥平面ABC,OO2⊥平面ACP,
则有OO1=O2H=,OO2=O1H=,OH=1,
在Rt△OAH中,OA==,故球O的半径为.(9分)
(2)在平面PAC内,过P作PG⊥AC于G,在平面ABC内,过G作GM⊥AC,
又GM∩PG=G,GM,PG 平面PGM,
所以AC⊥平面PGM.
易知AP=,在Rt△APG中,AG=cos 30°=,PG=sin 30°=,
设∠PGM=θ,θ∈(0,π),以G为原点,GM,CG所在直线分别为x轴,y轴,建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz,则点P在平面xGz内,
G(0,0,0),A,B,C,P,
所以=(0,-1,0),=(1,-1,0),=cos θ,,sin θ,(11分)
设平面PAC的法向量为m=(x1,y1,z1),
则
取x1=sin θ,则z1=-cos θ,
故m=(sin θ,0,-cos θ).
设平面PBC的法向量为n=(x2,y2,z2),
则
取x2=1,则y2=1,z2=-,
故n=,(13分)
所以cos===,(15分)
令t=cos θ+,则由θ∈(0,π)得t∈(-1,+1),则∈,
于是cos====≥=,当且仅当=,即t=时等号成立,
所以二面角A-CP-B的余弦值的最小值为.(17分)
方法点睛
求二面角的常用方法
(1)定义法:根据定义作出二面角的平面角;
(2)垂面法:作二面角棱的垂面,则垂面与二面角两个面的两条交线所成的角就是二面角的平面角;
(3)向量法:建立空间直角坐标系,求出两个面的法向量,直接由公式计算即可(注意二面角与两向量夹角的关系);
(4)射影面积法:求出斜面面积和它在有关平面的射影的面积,再由射影面积公式计算求解.