第三单元 函数单元提升卷（含解析）-《巅峰突破》2026版高中数学高三一轮复习

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密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
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姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
单 元 提 升 卷
满分150分,限时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2025山东滨州渤海综合高中月考)函数f(x)=ln(4x-x2)+的定义域为　(　　)
A.(0,4)　　B.[0,2)∪(2,4]
C.(0,2)∪(2,4)　　D.(-∞,0)∪(4,+∞)
2.(2025四川绵阳南山中学月考)下列函数是偶函数的是　(　　)
A. f(x)=ln(+x)　　B. f(x)=xln
C. f(x)=tan x　　D. f(x)=
3.(2025河南部分名校段考)函数f(x)=的大致图象为(　　)
　　
　　
4.(2025广东佛山顺德高中第四联盟联考)已知a=,b=lo(ln π),c=,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.a5.(2025辽宁点石联考二模)已知函数f(x)=则不等式f(2-x)>f(x)的解集为(　　)
A.(-∞,-1)　　B.(-∞,1)　　C.(-1,+∞)　　D.(1,+∞)
6.(2025皖豫名校联盟联考)某工厂产生的废气经过滤后排放,过滤过程中废气的污染物含量P(单位:mg/L)与时间t(单位:h)之间的关系式为P=P0e-λt(t≥0),其中P0为初始污染物含量,P0,λ均为正的常数,已知过滤前后废气的体积相等,且在前4 h过滤掉了80%的污染物.如果废气中污染物的含量不超过0.04P0时达到排放标准,那么该工厂产生的废气要达到排放标准,至少需要过滤的时间为(　　)
A.4 h　　B.6 h　　C.8 h　　D.12 h
7.(2025北京中国人民大学附属中学质量检测)已知定义域为R的函数f(x)满足f(x-2)是奇函数, f(x)是偶函数,则下列各数一定是f(x)的零点的是(　　)
A.2 019　　B.2 022　　C.2 025　　D.2 028
8.(2025河北保定期中)已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=a至少有5个不等的实数解,则a的取值范围是(　　)
A.[-1,0]　　B.[-2,0]　　C.[-4,0]　　D.[-8,0]
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.(2025山东枣庄第八中学月考)已知函数f(x)=则下列关于函数f(x)的结论正确的是(　　)
A. f(f(-1))=1
B.若f(x)=3,则x的值是
C. f(x)<1的解集为(-∞,1)
D. f(x)的值域为(-∞,4)
10.(2025河北邯郸调研考试)已知函数f(x)满足f(1)=,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),则(　　)
A. f(0)=　　B. f(x)为奇函数　　
C. f(x)为周期函数　　D. f(2)=-
11.(2025江西赣州立德虔州高级中学月考)已知函数f(x)=若f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),且x1A.x1+x2=2　　B.x3x4=1
C.0三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.(2025江西多校联考)若f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时, f(x)=2-x+lox,则f(-2)=　　　　.
13.(2024山东聊城模拟)已知函数f(x)=(x+a)log2的图象关于直线x=b对称,则2a+2b=　　　　.
14.(2025江苏靖江高级中学月考)已知函数f(x)=则函数y=f(f(x))-1的所有零点构成的集合为　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)(2025陕西渭南月考)已知函数f(x)满足f(2x)=,其中a>0且a≠1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若a=2,求函数y=的定义域;
(3)讨论f(x)的值域.
16.(15分)(2025山西晋中部分学校质量检测)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时, f(x)=a·3x-3-x,且f(-1)=.
(1)求a的值,并求出f(x)的解析式;
(2)若λf(x)-9x-9-x-14≤0在x∈(0,+∞)上恒成立,求λ的取值范围.
17.(15分)(2025吉林东北师范大学附属中学摸底考试)某毕业生为帮助某地打造“生态果园特色基地”,决定为该地改良某种珍稀水果树,增加产量,提高收入,他在调研过程中发现此珍稀水果树的单株产量W(单位:千克)与投入成本30x(单位:元)满足如下关系:W(x)=已知这种水果的市场售价为10元/千克,且供不应求,单株水果树获得的利润(单位:元)为f(x).
(1)求f(x)的函数关系式;
(2)当投入成本为多少时,单株水果树获得的利润最大 最大利润是多少
18.(17分)(2025河南部分名校阶段性测试)已知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),对任意x,y∈R且|x|≠|y|,都满足f(x+y)+f(x-y)=f(x2-y2).
(1)求f(1), f(-1);
(2)判断f(x)的奇偶性;
(3)当x>1时, f(x)>0,且f(2)=1,求不等式f(x+2)-f(x-1)<2的解集.
19.(17分)(2025上海南汇中学期中)对于函数f(x),g(x),h(x),如果存在实数a,b,使得h(x)=af(x)+bg(x),那么称h(x)为f(x),g(x)的线性生成函数,(a,b)称为生成系数对.
(1)已知f(x)=x2-x,g(x)=x2+x+1,h(x)=x2-x+1,试判断h(x)是不是f(x),g(x)的线性生成函数,若是,求出生成系数对;若不是,说明理由;
(2)已知f(x)=x,g(x)=的线性生成函数为h(x),生成系数对为(a,1),试讨论h(x)的奇偶性,并说明理由;
(3)已知f(x)=4x+x,g(x)=2x+3x的线性生成函数为h(x),生成系数对为(3,-1),若对于任意x1∈[0,1],总存在x2∈[1,2],使得·h(x1)+·h(x2+m)=10··成立,求实数m的取值范围.
答案全解全析
1.C　根据题意有即解得
所以函数f(x)=ln(4x-x2)+的定义域为(0,2)∪(2,4).
2.B　对于A,函数的定义域为R,
又f(x)+f(-x)=ln(+x)+ln(-x)=ln 1=0,
所以f(-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数;
对于B,令>0,得x<-1或x>1,
故
又f(-x)=-xln =-xln =xln =f(x),
所以函数f(x)为偶函数;
对于C,正切函数f(x)=tan x为奇函数;
对于D,令2x-1≠0,得x≠0,故函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),又f(-x)==≠f(x),所以f(x)不为偶函数.
3.B　函数的定义域为R,且f(-x)===-f(x),
所以函数f(x)是奇函数,故排除A.
当x>0时, f(x)>0,故排除C.
f(x)=≤当且仅当ex=,即x=0时取等号,即当x>0时, f(x)的图象恒在y=的图象下方,故排除D.满足条件的只有B.
4.D　易知a==>π0=1,即a>1;
因为ln π>ln e=1,所以b=lo(ln π)0故可得b5.B　当x≥0时,y=21+x单调递增,当x<0时,y=-21-x单调递增,且在分界点处-21-0<21+0,所以函数f(x)在定义域上单调递增,所以f(2-x)>f(x) 2-x>x,得x<1,
所以不等式的解集为(-∞,1).
考场速解
不妨取x=-1,不等式f(2-x)>f(x)即f(3)>f(-1),即21+3>-21+1,显然成立,可知A,C,D均不符合.
6.C　依题意得,当t=0时,P=P0,当t=4时,P=(1-80%)P0=0.2P0,则P0e-4λ=0.2P0,
可得e-4λ=0.2,即λ=ln 5,所以P=P0,
令P=P0≤0.04P0,解得t≥8,故至少需要过滤8 h才能达到排放标准.
7.B　因为f(x-2)是定义在R上的奇函数,
令x-2=t,可得f(t)=-f(-t-4).
因为f(x)是偶函数,所以f(2)=0且f(-t-4)=f(t+4),
所以f(t+4)=-f(t),所以f(t+8)=-f(t+4)=f(t),
对于A, f(2 019)=f(252×8+3)=f(3),无法判断,故A错误;
对于B, f(2 022)=f(252×8+6)=f(6)=f(-2)=0,故B正确;
对于C, f(2 025)=f(253×8+1)=f(1),无法判断,故C错误;
对于D, f(2 028)=f(253×8+4)=f(4),无法判断,故D错误.
8.B　当-1≤x<1时, f(x)=|x|-1,
当1≤x<3时,-1≤x-2<1,所以f(x)=2f(x-2)=2(|x-2|-1)=2|x-2|-2,
当3≤x<5时,1≤x-2<3,所以f(x)=2f(x-2)=2(2|x-2-2|-2)=4|x-4|-4,
当5≤x≤7时,3≤x-2≤5,所以f(x)=2f(x-2)=2(4|x-2-4|-4)=8|x-6|-8,
问题转化为函数f(x)的图象与直线y=a至少有5个交点,由图可知,a的取值范围是[-2,0].
解后反思
由方程解的个数确定参数范围的突破口是转化为对应函数的图象交点问题,图象的准确绘制是得到正确结果的关键.
9.ABD　对于A,因为f(x)=所以f(-1)=-1+2=1,所以f(f(-1))=f(1)=12=1,故A正确.
对于B,当x≤-1时,由f(x)=3得x+2=3,解得x=1(舍去);
当-1∴f(x)=3的解为x=,故B正确.
对于C,当x≤-1时,由f(x)<1得x+2<1,解得x<-1;
当-1∴f(x)<1的解集为(-∞,-1)∪(-1,1),故C错误.
对于D,当x≤-1时, f(x)=x+2≤-1+2=1;
当-1∴f(x)的值域为(-∞,4),故D正确.
一题多解
作出y=f(x)的图象如图.
由图易知f(f(-1))=f(1)=1, f()=3, f(x)<1时,对应的x∈(-∞,-1)∪(-1,1), f(x)的值域为(-∞,4),故A,B,D正确.
10.ACD　令x=1,y=0,则4f(1)f(0)=f(1)+f(1)=2f(1),
因为f(1)=,所以f(0)=,故A正确,B错误;
令y=1,则4f(x)f(1)=f(x+1)+f(x-1),即f(x)=f(x+1)+f(x-1),
,
所以f(x)是周期为6的周期函数,故C正确;
又f(0)=, f(1)=,所以f(2)=f(1)-f(0)=-,故D正确.
11.BCD　函数f(x)的图象如图所示.
设f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=t,则0则直线y=t与函数y=f(x)的图象的4个交点的横坐标分别为x1,x2,x3,x4.
对于A,因为函数y=-x2-2x的图象关于直线x=-1对称,所以x1+x2=-2,故A错误;
对于B,由图象知|log2x3|=|log2x4|且0对于C,由图象知t=|log2x3|∈(0,1),则0<-log2x3<1,得,故C正确;
对于D,由图象知-212.-2
解析　由题意得, f(2)=2-2+lo2=2.
∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(-2)=-f(2)=-2.
13.
解析　易得函数f(x)的定义域为(2,4),
因为函数f(x)的图象关于直线x=b对称,
所以=b,所以b=3.
解法一　(特殊值法)因为f=f,所以log2=log2,解得a=-3,经检验,满足题意,所以2a+2b=2-3+23=.
解法二　(换元法)在f(x)=(x+a)log2中,令x=t+3,则t∈(-1,1),故f(x)=(x+a)log2可转化为g(t)=(t+a+3)log2,t∈(-1,1),因为f(x)的图象关于直线x=3对称,所以g(t)的图象关于直线t=0对称,所以函数g(t)为偶函数,易知y=log2是奇函数,所以y=t+a+3也是奇函数,所以a+3=0,解得a=-3,所以2a+2b=2-3+23=.
14.{-1,1,4}
解析　f(f(x))-1=0等价于或
解得f(x)=0或f(x)=2,
即或或或
所以x=-1或x=1或x=4,
故y=f(f(x))-1的所有零点构成的集合为{-1,1,4}.
15.解析　(1)f(2x)==,则f(t)=,(1分)
故f(x)=,其中a>0且a≠1.(3分)
(2)当a=2时, f(x)=,则y==,
故-≥0,则x-x2≥-2,解得-1≤x≤2,(6分)
故y=的定义域为[-1,2].(7分)
(3)因为y=x-x2=+≤,
所以当a>1时, f(x)=≤,故f(x)的值域为(0,];(10分)
故f(x)的值域为[,+∞).(13分)
16.解析　(1)因为f(x)是定义在R上的偶函数,
所以f(-1)=f(1)=3a-=,解得a=1,(2分)
当x<0时,-x>0,所以f(x)=f(-x)=3-x-3-(-x)=3-x-3x,(4分)
所以函数f(x)的解析式为f(x)=(5分)
(2)由(1)知,当x>0时, f(x)=3x-3-x>0,
因为λf(x)-9x-9-x-14≤0在x∈(0,+∞)上恒成立,
所以,(8分)
又因为3x-3-x+≥2=8,(11分)
当且(13分)
所以λ≤8,即λ的取值范围是(-∞,8].(15分)
17.解析　(1)由题意可知
f(x)=10W(x)-30x=(4分)
(2)由(1)可知f(x)=
若0≤x≤2,则f(x)=30x2-30x+,(7分)
易知其图象开口向上,对称轴方程为x=,
此时f(x)的最大值为f(2)=;(9分)
若2当且仅当x+1=,即x=3时,等号成立,
此时f(x)的最大值为f(3)=180.(13分)
因为180>,所以f(x)的最大值为f(3)=180,(14分)
所以当时,单株水果树获得的利润最大,最大利润是180元.(15分)
18.解析　(1)∵对任意x,y∈R且|x|≠|y|,都满足f(x+y)+f(x-y)=f(x2-y2),
∴令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=f(1),∴f(1)=0,(2分)
令x=-1,y=0,得f(-1)+f(-1)=f(1)=0,
∴f(-1)=0.(4分)
(2)易知f(x)的定义域关于原点对称.
可得f(a)+f(b)=f(ab).(7分)
在上式中,令b=-1,得f(a)+f(-1)=f(-a),
即对任意非零实数a,都有f(a)=f(-a),
∴f(x)是偶函数.(10分)
(3)任取x1,x2∈(0,+∞)且x11,
∴f>0,
由(2)知f(x2)=f=f+f(x1)>f(x1),
∴(13分)
∵f(2)=1,∴2=1+1=f(2)+f(2)=f(4),
∵f(x+2)-f(x-1)<2,
,
∵f(x)是定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)的偶函数,且在区间(0,+∞)上单调递增,
∴原不等式转化为0<|x+2|<|4x-4|,(15分)
解得x<-2或-22,
∴原不等式的解集为(-∞,-2)∪∪(2,+∞).(17分)
19.解析　(1)不是.理由如下:若h(x)为f(x),g(x)的线性生成函数,则存在实数a,b,使h(x)=af(x)+bg(x),
即x2-x+1=a(x2-x)+b(x2+x+1)=(a+b)x2+(b-a)x+b,(2分)
所以无解,故不存在实数a,b,使得h(x)=af(x)+bg(x),
所以h(x)不是f(x),g(x)的线性生成函数.(4分)
(2)因为f(x)=x,g(x)=的线性生成函数为h(x),生成系数对为(a,1),
所以h(x)=af(x)+g(x)=ax+,x∈(-∞,0)∪(0,+∞).(6分)
当a=0时,h(x)=,x∈(-∞,0)∪(0,+∞),
对任意-x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有h(-x)==h(x),
故当a=0时,h(x)=为偶函数;(8分)
当a≠0时,h(x)=ax+,x∈(-∞,0)∪(0,+∞),
对任意-x∈(-∞,0)∪(0,+∞),
易得到h(-x)=-ax+≠h(x),h(-x)=-ax+≠-h(x),
故当a≠0时,h(x)=ax+既不是奇函数也不是偶函数.
综上,当a=0时,h(x)为偶函数;
当a≠0时,h(x)既不是奇函数也不是偶函数.(10分)
(3)因为f(x)=4x+x,g(x)=2x+3x的线性生成函数为h(x),生成系数对为(3,-1),
所以h(x)=3f(x)-g(x)=3×4x-2x,(11分)
由·h(x1)+·h(x2+m)=10··,且·≠0,
可得+=10,即+=10,
化简得+=4,即,(13分)
令t(x)=4-2x,x∈[0,1],n(x)=2x+m,x∈[1,2],
易知t(x)=4-2x在[0,1]上单调递减,n(x)=2x+m在[1,2]上单调递增,
所以t(x)∈[2,3],n(x)∈[21+m,22+m],
则由题意可得t(x)=4-2x在[0,1]上的值域是n(x)=.(15分)
所以[2,3] [21+m,22+m],即解得
所以实数m的取值范围是[log23-2,0].(17分)