第十单元 圆锥曲线（二）（含解析）-《巅峰突破》2026版高中数学高三一轮复习

(
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
(
姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
第十单元　圆锥曲线（二）
满分86分,限时70分钟
考点2 双曲线的标准方程及几何性质
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2024北京东城二模)已知双曲线-=1(a>0,b>0)过点(3,),且一条渐近线的倾斜角为30°,则双曲线的方程为(　　)
A.-y2=1　　B.x2-=1　　
C.-=1　　D.x2-4y2=1
2.(2025江西智学联盟体质量检测)已知双曲线的方程为-=1(a>0),F1,F2是双曲线的两个焦点,点A是双曲线上任意一点,若点A关于F1的对称点为点B,点B关于F2的对称点为点C,线段AC的长度是8,则双曲线的离心率是(　　)
A.　　B.2　　C.2　　D.4
3.(2024河北石家庄部分学校期中)设F1,F2分别是双曲线-=1的下、上焦点,P是该双曲线上的一点,且3|PF1|=5|PF2|,则△PF1F2的面积等于(　　)
A.14　　B.7　　C.5　　D.15
4.(2024湖北新高考联考协作体收心考试)已知两圆C1:(x+5)2+y2=9,C2:(x-5)2+y2=9,动圆C与圆C1外切,且与圆C2内切,则动圆C的圆心C的轨迹方程为(　　)
A.-=1(x≥4)　　B.-=1　　
C.-=1(x≥3)　　D.-=1
5.(2024四川绵阳南山中学月考)双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点P(-1,),F1,F2分别是C的左、右焦点,且|PF1|=2,若双曲线上一点M满足|MF1|=,则|MF2|=(　　)
A.或　　B.　　C.　　D.
6.(2024湖南衡阳一模)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),两焦点分别为F1,F2,过右焦点F2作直线l交双曲线的右支于A,B两点,且=,若∠F1AB=,则双曲线C的离心率为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.2
7.(2025河南七校联考)已知D为双曲线C:-y2=1右支上一点,过点D分别作C的两条渐近线的平行线,与另外一条渐近线分别交于点A,B,则|DA|·|DB|=(　　)
A.2　　B.　　C.　　D.
8.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线C的右支上,直线PF1与双曲线C的一条渐近线垂直,垂足为H,若|PF1|=4|HF1|,则双曲线C的离心率为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.(2024云南曲靖期末)已知点P在左、右焦点分别为F1,F2的双曲线C:-y2=1上,|PF1|+|PF2|=12,则(　　)
A.双曲线C的渐近线方程为y=±2x
B.双曲线C的离心率为
C.cos∠F1PF2=
D.=
10.(2024河北邢台期末)已知O为坐标原点,F1,F2分别为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为C上一点,且|PF1|=3|PF2|,若F1到一条渐近线的距离为,且cos∠F1PF2=-,则下列说法正确的是(　　)
A.双曲线C的渐近线方程为x±y=0
B.双曲线C的离心率为
C.P的坐标可能是
D.若过点P且斜率为k的直线与C的左支有交点,则k∈(-,)
11.(2024山西太原期末)已知O为坐标原点,双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,M为双曲线C上一点,MN平分∠F1MF2,且·=0,|ON|=4,则下列结论正确的是(　　)
A.双曲线C的标准方程为-y2=1
B.ON∥MF2
C.双曲线C的焦距为4
D.点M到两条渐近线的距离之积为
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.(2025北京顺义牛栏山第一中学月考)已知斜率为1的直线l经过双曲线-y2=1的右焦点,并且与圆x2+y2=r2相切,则圆的半径r=　　　　.
13.(2024山西大同联考)已知椭圆C1和双曲线C2有相同的焦点F1,F2,离心率分别为e1,e2,且+=2,若P是两条曲线的一个交点,则∠F1PF2=　　　　.
14.(2024江苏海门中学模拟)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2c,点M为双曲线C与圆E:x2+y2-x+c2=0的交点,直线OM(O为坐标原点)交双曲线于另一点T,且∠MF1T∈,则=　　　　,双曲线C的离心率的最小值为　　　　.
四、解答题(本题共1小题,共13分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)(2025江西上饶检测)双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左顶点为A,右焦点为F,动点B在C上,当BF⊥AF时,|AF|=|BF|.
(1)求C的离心率;
(2)若B在第一象限内,则在x轴的负半轴上是否存在定点M,使得∠BFM=2∠BMF 若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
答案全解全析
1.A　由题意得 所以故双曲线的方程为-y2=1.
考场速解
由点(3,)在双曲线上,可排除B,C,由tan 30°==排除D.
2.B　由题意可知F1,F2分别为AB,BC的中点,
则|F1F2|=|AC|=4,故半焦距c=2,
由双曲线的方程可知b2=3,则a==1,所以离心率e==2.
3.D　由题意可知|F1F2|=2=14,|PF1|-|PF2|=|PF2|-|PF2|=|PF2|=4,所以|PF2|=6,|PF1|=10,
在△PF1F2中,由余弦定理的推论可知cos∠F1PF2==-,所以sin∠F1PF2=,
所以△PF1F2的面积S=×10×6×=15.
4.C　由题意可知圆C1的圆心为C1(-5,0),半径为3,圆C2的圆心为C2(5,0),半径为3.如图,
设动圆C的半径为R,因为动圆C与圆C1外切,且与圆C2内切,所以|CC1|=3+R,|CC2|=R-3,
则|CC1|-|CC2|=6<10=|C1C2|,又因为|CC1|>|CC2|,
所以动圆圆心C的轨迹是以C1,C2为焦点,6为实轴长的双曲线的右支.
因为2a=6,2c=10,所以a=3,c=5,b2=c2-a2=16.
故动圆圆心C的轨迹方程为-=1(x≥3).
5.B　设F1(-c,0),因为P(-1,),|PF1|=2,
所以=2,解得c=2或c=0(舍去).
因为双曲线的渐近线过点P(-1,),所以-=,所以=,则所以所以C的方程为x2-=1,c-a=1,c+a=3.
因为1<<3,所以M在双曲线的左支上,
故|MF2|=|MF1|+2a=+2=.
6.C　由=,可设|AF2|=3t,则|AB|=5t,|BF2|=2t,
连接BF1,由双曲线的定义得|AF1|=|AF2|+2a=3t+2a,|BF1|=|BF2|+2a=2t+2a,
在△ABF1中,∠F1AB=,由余弦定理得|AF1|2+|AB|2-2|AF1|·|AB|cos∠F1AB=|BF1|2,即(3t+2a)2+(5t)2-2(3t+2a)×5tcos =(2t+2a)2,
整理得5t2-2at=0,
解得t=或t=0(舍去),
则|AF1|=3t+2a=3×a+2a=a,|AF2|=3t=3×a=a,
在△AF1F2中,由余弦定理得|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|·|AF2|cos∠F1AF2=|F1F2|2,
即+-2×a×acos =(2c)2,整理得a2=4c2,
则双曲线C的离心率e==.
7.C　设坐标原点为O,D(x0,y0),易知C的渐近线的方程为y=±x,过点D且与直线y=x平行的直线方程为y-y0=(x-x0).
联立解得
不妨取A,
同理可得B,
则|OA|==,|OB|=,
易知四边形OADB是平行四边形,
所以|DA|·|DB|=|OB|·|OA|=·=,
由于点D在双曲线C上,所以-=1,
因此|DA|·|DB|=.
8.B　解法一　取PF1的中点M,连接MF2,PF2,由条件可知|HF1|=|PF1|=|MF1|,∴H为F1M的中点,
又∵O是F1F2的中点,∴OH∥MF2,
又∵OH⊥PF1,∴MF2⊥PF1,又∵M是PF1的中点,
∴
根据双曲线的定义可知|PF1|=2a+2c,∴|HF1|=,
易得F1(-c,0)到渐近线y=-x的距离为b(关键点),即|F1H|=b,∴=b,又b2=c2-a2,∴3c2-2ac-5a2=0,即3e2-2e-5=0,∴e=.
解法二　不妨设直线OH:y=-x,∵PF1⊥OH,F1(-c,0),∴直线PF1:y=(x+c),联立得故H,
∵|PF1|=4|HF1|,∴P,
又∵点P在双曲线上,∴-=1,
化简得9c2=25a2,∴e2==,∴e=.
9.BCD　由已知得a=2,b=1,所以c==,C的渐近线方程为y=±x,离心率e=,故A错误,B正确.
不妨设点P在C的右支上,则|PF1|-|PF2|=4,
因为|PF1|+|PF2|=12,所以|PF1|=8,|PF2|=4.
在△PF1F2中,cos∠F1PF2==,故C正确.
sin∠F1PF2===,
所以=|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2=×8×4×=另解:tan ==(点拨,则
10.BD　因为.
因为|PF1|=3|PF2|,所以P为C的右支上一点,
故|PF1|-|PF2|=2|PF2|=2a,所以|PF2|=a,|PF1|=3a.
在△PF1F2中,由余弦定理的推论得cos∠F1PF2===-,所以c2=3a2.
因为c2=a2+b2=a2+2=3a2,所以a=1,c=,
所以C的渐近线方程为y=±x,离心率e==,故A错误,B正确.
易得=|PF1||PF2|sin∠F1PF2=|F1F2||yP|,即|yP|=×3×1×=,
所以yP=±,所以P,故C错误.
当k=±时,直线只与右支相交于一点;
当k∈(-,)时,直线与左、右两支各交于一点;
当k∈(-∞,-)∪(,+∞)时,直线与右支相交于两点,故D正确.
11.BCD　不妨设点M在双曲线的右支上,延长MF2、F1N相交于点G,
因为·=0,所以F1N⊥MN,又因为MN平分∠F1MF2,所以,即N为线段F1G的中点,又O为F1F2的中点,所以ON为△F1GF2的中位线,所以ON∥GF2,即ON∥MF2,故B正确;
根据双曲线的定义可得|MF1|-|MF2|=|MG|-|MF2|=|F2G|=2a,
因为ON为△F1GF2的中位线,所以|F2G|=2|ON|=8,即a=4,由离心率e==,可得c=2,所以焦距为4,b2=c2-a2=20-16=4,
所以双曲线C的标准方程为-=1,故A错误,C正确;
渐近线方程为y=±,即x±2y=0,
设M(x1,y1),则-=1,即=1,
点M到两条渐近线的距离之积为·==,故D正确.
12.
解析　由-y2=1,可得a2=2,b2=1,所以c==,所以-y2=1的右焦点的坐标为(,0),
所以直线l的方程为y-0=x-,即x-y-=0,
易知圆x2+y2=r2的圆心为(0,0),半径为r,
因为直线l与圆相切,所以r==.
13.
解析　不妨设椭圆方程为+=1(a>b>0),双曲线的方程为-=1(m>0,n>0),|F1F2|=2c,易知a>m.
不妨设P在第一象限内,则有|PF1|+|PF2|=2a,|PF1|-|PF2|=2m,所以|PF1|=a+m,|PF2|=a-m,
在△F1PF2中,由余弦定理的推论得cos∠F1PF2===,
因为+=2,所以+=2,即=2,即a2+m2=2c2,所以cos∠F1PF2=0,所以∠F1PF2=.
14.3;
解析　由题意知M在双曲线的右支上,F1(-c,0),F2(c,0),
设=μ,则μ>1,设点M(x,y),则=,即(x+c)2+y2=μ2[(x-c)2+y2],则(μ2-1)x2+(μ2-1)y2-2c(μ2+1)x+(μ2-1)c2=0,即x2+y2-x+c2=0,
又,所以2(μ2+1)=(μ2-1),所以μ2=9,又μ>1,
因为点M在双曲线C的右支上,所以|MF1|-|MF2|=2a,所以|MF1|=3a,|MF2|=a.
由对称性可得|OM|=|OT|,|MF2|=|F1T|,
在△MF1T中,cos∠F1OM+cos∠F1OT=+=0,即c2=5a2-|OM|2,
在△MF1T中,|MT|2=a2+9a2-2a×3a×cos∠MF1T=10a2-6a2cos∠MF1T,
所以c2=5a2-=,
又∠MF1T∈,所以cos∠MF1T∈,故c2∈,所以e2=∈,
所以双曲线C的离心率的最小值为.
15.解析　(1)当BF⊥AF时,设点B(c,p),则-=1,可得p=±,则|BF|=,(2分)
易知|AF|=a+c,
由|AF|=|BF|可得a+c===,(4分)
所以=e-1=1,解得e=2,
故双曲线C的离心率为2.(6分)
(2)由(1)可知,=2,则c=2a,b==a,
所以双曲线C的方程可化为-=1,(7分)
设点B(x0,y0),其中x0>0,y0>0,则-=1,
假设在x轴的负半轴上存在定点M(m,0),使得∠BFM=2∠BMF,
易知tan∠BFM=-kBF=-=-,tan∠BMF=kBM=,(8分)
又∠BFM=2∠BMF,所以tan∠BFM=tan 2∠BMF=,(9分)
所以-=,整理可得(m2+4ma+3a2)-(4a+4m)x0=0,(11分)
所以解得m=-a,
因此,在x轴的负半轴上存在定点M(-a,0),使得∠BFM=2∠BMF.(13分)