第十单元 圆锥曲线（三）（含解析）-《巅峰突破》2026版高中数学高三一轮复习

(
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
(
姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
第十单元　圆锥曲线（三）
满分86分,限时70分钟
考点3 抛物线的标准方程及几何性质
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2025东北三省精准教学联考)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,若抛物线上一点M满足|MF|=2,∠OFM=60°(O为坐标原点),则p=(　　)
A.3　　B.4　　
C.6　　D.8
2.(2024贵州黔东南州九校月考)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l,点P(x0,1)(x0>0)在抛物线C上,过P作l的垂线,垂足为Q,若|PO|=|PQ|(O为坐标原点),则x0=(　　)
A.5　　B.2　　
C.2　　D.2
3.(2024山西晋城一模)吉林雾凇大桥(如图1)位于吉林市松花江上,连接雾凇高架桥,西起松江东路,东至滨江东路.雾凇大桥是吉林市第一座自锚式混凝土悬索桥,前后两主塔之间用悬索相连,且悬索的形状为抛物线(设该抛物线的焦点到准线的距离为p米)的一部分,每条悬索均连接着29根吊索,且每相邻两根吊索之间的距离均为a米(将每根吊索视为线段).已知最中间的吊索的长度(即图2中点A到桥面的距离)为b米,则最靠近前主塔的吊索的长度(即图2中点B到桥面的距离)为(　　)
　
A.米　　B.米
C.米　　D.米
4.(2024河南九师联盟大联考)已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过E上的一点A作l的垂线,垂足为B,若|AB|=3|OF|(O为坐标原点),且△ABF的面积为12,则E的方程为(　　)
A.y2=4x　　B.y2=4x　　
C.y2=8x　　D.y2=8x
5.(2024湖南常德一模)已知抛物线的方程为y2=16x,焦点为F,圆M的方程为(x-5)2+(y-1)2=1,设P为抛物线上的点,Q为圆上的点,则|PF|+|PQ|的最小值为　(　　)
A.6　　B.7　　C.8　　D.9
6.(2024辽宁朝阳期中)已知抛物线C:x2=4y的焦点为B,C的准线l与y轴交于点A,P是C上的动点,则的最大值为(　　)
A.　　B.　　C.2　　D.2
7.(2024广东江门部分学校联考)已知圆x2+y2=4与x轴相交于E,F两点,与抛物线C:y2=2px(p>0)相交于A,B两点,若抛物线C的焦点为F,直线BF与抛物线C的另一个交点为D,则|DF|-|AF|=(　　)
A.2　　B.4　　C.6　　D.8
8.(2025江西上饶检测)过抛物线y2=2x上一动点P作圆C:(x-4)2+y2=r2(r为常数且r∈N*)的两条切线,切点分别为A,B,若|AB|·|PC|的最小值是4,则r=(　　)
A.1　　B.2　　C.3　　D.4
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.(2024河南商丘期中)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,以F为圆心,FA为半径的圆交l于B,D两点,若∠ABD=90°,且△ABF的面积为4,则(　　)
A.|BF|=4　　
B.△ABF是等边三角形
C.△BDF的面积为3　　
D.抛物线C的方程为y2=4x
10.(2025湖南师大附中期中)已知抛物线y2=2px(p>0)上三点A(x1,y1),B(1,2),C(x2,y2),F为抛物线的焦点,则下列说法正确的是(　　)
A.抛物线的准线方程为x=-1
B.若++=0,则2||=||+||
C.若A,F,C三点共线,则y1y2=-1
D.若|AC|=6,则AC的中点到y轴距离的最小值为2
11.(2025安徽阜阳调研)如图,曲线E可以看成是抛物线y=x2和y=-x2+5所围成的,点M,N在曲线E上,给定一点A(0,a),则下列说法中正确的是(　　)
A. a∈(0,5),都存在点M,N,使得|AM|=|AN|
B. a∈(0,5),都存在点M,N,满足点M,N关于点A对称
C. a∈(0,5),当点M,N运动时,|AM|+|AN|≤10
D. a∈(0,5),恰有三对不同的点M,N,满足每对点M,N都关于点A对称
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.(2024重庆期末)若抛物线y2=2px(p>0)上一点M(3,m)到焦点的距离为4p,则p=　　　　.
13.(2024辽宁沈阳一模)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,若点Q是抛物线C上到点(4,0)的距离最近的点,则|QF|=　　　　.
14.(2025上海七宝中学期中)抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,A,B是拋物线上的两个动点,且满足∠AFB=,设线段AB的中点M在准线l上的射影为N,则的最大值是　　　　.
四、解答题(本题共1小题,共13分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)(2025广西南宁期中)已知点C是平面直角坐标系中异于原点O的一个动点,过点C且与y轴垂直的直线与直线x=-2交于点M,且向量与向量垂直.
(1)求点C的轨迹方程;
(2)设C位于第一象限,以OC为直径的圆与y轴相交于另一点N,且∠NCO=30°,求|OC|的值.
答案全解全析
1.A　解法一　过M作MN垂直于准线,垂足为N.根据抛物线的定义,有|MN|=|MF|=2,
所以
解法二　过M作MA⊥x轴,垂足为A,易得|MA|=,|AF|=1,所以|OA|=-1,所以M,又M在抛物线上,所以3=2p p=3.
解法三　过M作MN垂直于准线,垂足为N,连接NF,因为|MN|=|MF|=2,∠OFM=60°,所以△MNF是顶角为120°的等腰三角形,所以|NF|=2,设准线交x轴于点B,则在△BNF中,∠NFB=30°,所以p=|FB|=|NF|cos 30°=3.
2.D　解法一　连接PF,由题意及抛物线的定义可得|PO|=|PQ|=|PF|,所以△POF是以P为顶点的等腰三角形,则yF=2yP,故|OF|=1×2=2,即=2,所以p=4,则抛物线C:x2=8y,因为点P(x0,1)在抛物线C上,所以=8×1,又x0>0,所以x0=2.
解法二　因为点P(x0,1)(x0>0)在抛物线C上,所以=2p,由抛物线的方程可得抛物线的准线方程为y=-,由抛物线的定义可得|PQ|=1+,又|PO|=,所以1+=,即1+=,整理得(-8)=0,又x0>0,所以x0=2.
3.A　以A为坐标原点,抛物线的对称轴为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系(横坐标与纵坐标的单位均为米),
依题意可得抛物线的方程为x2=2py,p>0.
因为每条悬索均连接着29根吊索,且相邻两根吊索之间的距离均为a米,所以点B的横坐标为-14a,则yB===,所以点B到桥面的距离为+b=米.
4.C　由抛物线E:y2=2px(p>0),得焦点F,准线l:x=-,∴|OF|=,∵|AB|=3|OF|,∴|AB|=p,则A(p,±p),∴S△ABF=·|AB|·|yA|=·p·|±p|=12,解得p=4(舍负),∴E的方程为y2=8x.
5.C　由抛物线方程为y2=16x,得焦点F(4,0),准线方程为x=-4,由圆M的方程为(x-5)2+(y-1)2=1得圆心M(5,1),半径r=1,过点P作准线的垂线,垂足为N,连接QN.因为点P在抛物线上,所以|PF|=|PN|,所以|PF|+|PQ|=|PN|+|PQ|≥|QN|,过M作MN'垂直于准线,垂足为N'.因为Q在圆上运动,所以|QN|min=|MN'|-r=8.
6.B　不妨设点P在第一象限内,如图所示,
易知抛物线的准线l:y=-1,A(0,-1),
过P作PN⊥l交l于点N,则|PN|=|PB|,则==(关键点).
要使得取最大值,则sin∠PAN取得最小值,即∠PAN取得最小值,
易知当且仅当直线PA与抛物线相切于点P时∠PAN取得最小值,
设此时直线PA的方程为y=kx-1(k>0),代入x2=4y,可得x2-4kx+4=0,令Δ=16k2-16=0,解得k=1(k=-1舍去),故∠PAN=,则sin∠PAN=,
所以(sin∠PAN)min=,所以的最大值为.
7.D　圆x2+y2=4与x轴相交于点(-2,0),(2,0),因为抛物线C:y2=2px(p>0)开口向右,其焦点为F,所以F(2,0),E(-2,0),=2,故p=4.
如图,不妨设B在第一象限内,过点A和点D分别作AA'和DD'垂直于抛物线的准线,垂足分别为A',D',连接BE,BA,作FF'⊥DD'于F',
易知|AF|=|BF|=|AA'|,|DD'|=|DF|,∠EBF=.
设∠BFE=∠AFE=θ,则|BF|=|EF|cos θ=4cos θ,|AA'|+|AF|cos θ=|EF|,即4cos θ+4cos2θ=4,即cos2θ+cos θ-1=0,解得cos θ=(舍去)或cos θ=,
所以|AF|=|BF|=|AA'|=4cos θ=2-2,|DD'|=|EF|+|DF|cos θ,
则|DD'|=|DF|=4+|DF|cos θ,
解得|DF|==6+2,所以|DF|-|AF|=6+2-(2-2)=8.
8.B　设P(x0,y0),则=2x0,易知圆C的圆心C(4,0),半径为r,
连接AC,BC,由PA,PB分别切圆C于点A,B,得PC⊥AB,PA⊥AC,PB⊥BC,
则|AB|·|PC|=2S四边形PACB=4S△PAC=2|PA|·|AC|=2r,
所以当|PC|最小时,|AB|·|PC|最小,
易得|PC|===,
当且仅当x0=3时,|PC|取得最小值,为,
所以|AB|·|PC|的最小值为2r=4,
整理可得r4-7r2+12=0,
解得r2=4或r2=3,
又r∈N*,所以r=2.
9.ABD　设准线l与x轴交于点M,点A在第一象限内,如图,
由抛物线的定义知|AB|=|AF|,又|BF|=|AF|,所以△ABF为等边三角形,故B正确;
易得△ABF的面积为|BF|2=4,故|BF|=4,故A正确;
易知∠MFB=∠MFD=60°,|DF|=|BF|=4,故△BDF的面积为×4×4×sin 120°=4,故C错误;
在Rt△MBF中,|MF|=|BF|cos 60°=4cos 60°=2,即p=2,
所以抛物线C的方程为y2=4x,故D正确.
10.ABD　对于A,把(1,2)代入y2=2px,得p=2,
所以抛物线的方程为y2=4x,准线方程为x=-1,故A正确;
对于B,由A得F(1,0),因为A(x1,y1),B(1,2),C(x2,y2),
所以=(x1-1,y1),=(0,2),=(x2-1,y2),
所以||+||=x1+1+x2+1=4=2||,故B正确;
对于C,由A,F,C三点共线,可设直线AC:x=ty+1,
联立得y2-4ty-4=0,所以y1y2=-4,故C错误;
对于D,设AC的中点为M(x0,y0),点M到y轴的距离为d,则=x0,x0=d,
因为|AF|+|CF|=x1+1+x2+1=2x0+2,|AF|+|CF|≥|AC|,所以2x0+2≥6,得x0≥2,
即AC的中点到y轴距离的最小值为2,故D正确.
11.ABC　抛物线y=x2和y=-x2+5的对称轴都为y轴,因此封闭曲线E关于y轴对称,且抛物线y=-x2+5与y轴的交点坐标为(0,5).
a∈(0,5),点A(0,a)均在y轴上,在曲线E上取关于y轴对称的两点M,N,则有|AM|=|AN|,
此时M,N关于点A对称,故A,B正确.
由得或
所以C(-4,4),D(4,4).不妨设M在抛物线y=x2上运动,N在抛物线y=-x2+5上运动.
取a=1,即A(0,1),抛物线y=x2即x2=4y,焦点为A(0,1),准线方程为y=-1,
设M(t,s),当M在抛物线y=x2(0≤y≤4)上运动时,0≤s≤4,
由抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等,得|MA|=s+1∈[1,5].
抛物线y=-x2+5可由抛物线y=-x2向上平移5个单位长度得到,
易知抛物线y=-x2即x2=-16y,焦点为(0,-4),准线方程为y=4,则抛物线y=-x2+5的焦点为A(0,1),准线方程为y=9,设N(t',s'),当点N在y=-x2+5(4≤y≤5)上运动时,4≤s'≤5,
由抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等,得|NA|=9-s'∈[4,5],
因此当点M,N运动时,1≤|MA|≤5,4≤|NA|≤5,恒有|AM|+|AN|≤10,故C正确.
取a=1,即A(0,1),直线y=1与抛物线y=x2的两个交点关于点A对称,在此抛物线上关于点A对称的两点只有一对,在抛物线y=-x2+5上不存在两点关于点A对称.
若关于点A对称的两点分别在抛物线y=x2和抛物线y=-x2+5上,不妨令M,则点M关于点A(0,1)对称的点在抛物线y=-x2+5上,从而2-u2=-u2+5,即u2=-3,无解,故此时不存在关于点A对称的两点分别在两条抛物线上,故D错误.
12.
解析　结合抛物线的定义可得点M(3,m)到焦点的距离为3+=4p,
解得p=.
13.3
解析　由题知F(1,0),设A(4,0),Q(x0,y0),其中x0≥0,则=4x0,|QA|===,
∵点Q是抛物线C上到点(4,0)的距离最近的点,
∴x0=2,∴|QF|=x0+1=3.
14.1
解析　设|AF|=a,|BF|=b,如图所示,过A,B作l的垂线,垂足分别为Q,P,
根据抛物线的定义,可知|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|,
在梯形ABPQ中,
易知,
在△ABF中,由余弦定理得|AB|2=a2+b2-2ab·cos =a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,
又∵ab≤,
∴|AB|2≥ |AB|≥,
∴=≤=1,
故的最大值是1,
当且仅当|AF|=|BF|=|AB|时等号成立.
15.解析　(1)由题意,设C(x,y),x≠0,y≠0,则M(-2,y),=(x,y),=(-2,y),(2分)
因为⊥,所以·=-2x+y2=0,即y2=2x且x≠0.故点C的轨迹方程为y2=2x,x≠0.(5分)
(2)由题意,易知∠CNO=90°,即CN⊥y轴,(6分)
又∠NCO=30°,
所以∠NOC=60°,
故tan∠NOC==,(7分)
又C位于第一象限,所以yC=|ON|,xC=|CN|=,(9分)
所以===,
则yC=2,故xC==6,(11分)
则|OC|==4.(13分)