第十单元 圆锥曲线（四）（含解析）-《巅峰突破》2026版高中数学高三一轮复习

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密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
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姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
第十单元　圆锥曲线（四）
满分150分,限时120分钟
考点4 直线与圆锥曲线的位置关系
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2024山东省实验中学模考)已知直线l:y=kx+1,椭圆C:+y2=1,则“k=0”是“l与C相切”的(　　)
A.充分不必要条件　　B.必要不充分条件
C.充要条件　　D.既不充分也不必要条件
2.(2024河北名校联盟联考)点F1(-2,0),F2(2,0)为等轴双曲线C的焦点,过F2作x轴的垂线与C的两条渐近线分别交于A,B两点,则△AOB(O为坐标原点)的面积为(　　)
A.2　　B.4　　C.4　　D.8
3.(2025四川成都期中)设F为抛物线Γ:y2=4x的焦点,过F且倾斜角为60°的直线交曲线Γ于A,B两点(B在第一象限内),O为坐标原点,过A作Γ的准线的垂线,垂足为M,则的值为(　　)
A.　　B.　　C.2　　D.3
4.(2024山西朔州李林中学开学摸底)已知P(2,4)是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,过C的焦点F的直线l与C交于A,B两点,则|AF|+9|BF|的最小值为(　　)
A.24　　B.28　　C.30　　D.32
5.(2024江苏百校联考第一次考试)已知椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x-m与C交于A,B两点,若F1和F2到直线AB的距离的比值等于3,则m=(　　)
A.-　　B.　　C.2　　D.或2
6.(2025安徽联考)已知双曲线C:x2-=1(b>0)的左焦点为F,过坐标原点O作C的一条渐近线的垂线l,直线l与C交于A,B两点,若△ABF的面积为,则C的离心率为(　　)
A.3　　B.　　C.2　　D.
7.(2024江苏徐州期中)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(0,3)的直线与C交于A,B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点D,若|AF|+|BF|=6,则△ABD的面积为(　　)
A.　　B.3　　
C.　　D.5
8.(2024浙江二模)设椭圆Γ:+=1(a>b>0)的弦AB所在直线分别与x轴,y轴交于C,D两点,|AC|∶|CD|∶|DB|=1∶2∶2,若直线AB的斜率为k,则k2的取值范围是(　　)
A.　　B.　　
C.　　D.
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.(2025陕西师范大学附属中学期中)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(2,0)作斜率为的直线l交抛物线C于A,B两点,则下列结论一定正确的是(　　)
A.∠AOF=∠BOF　　B.|AB|=
C.S△AOB=　　D.∠AOB<90°
10.(2024重庆南开中学质量检测)已知离心率为的椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1且斜率为k(k>0)的直线l交椭圆于A,B两点,A在x轴上方,M为线段AB上一点,且满足=3=,则(　　)
A.=3
B.直线l的斜率为
C.|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列
D.△AMF2的内切圆半径r=a
11.(2024江苏常州华罗庚中学阶段检测)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)与椭圆+=1有公共焦点,C的左、右焦点分别为F1,F2,且经过点T,则下列说法正确的是(　　)
A.双曲线C的标准方程为x2-y2=1
B.若直线y=λx与双曲线C无交点,则|λ|>1
C.设A(,1),过点B(0,1)的动直线与双曲线C交于P,Q两点(异于点A),若直线AP与直线AQ的斜率均存在,且分别为k1,k2,则k1+k2=
D.若动直线l的斜率存在,且与双曲线C恰有1个公共点,l与双曲线C的两条渐近线分别交于点M,N,则△OMN(O为坐标原点)的面积为定值1
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.(2024福建漳州三模)写出过点P(-2,-1)且与抛物线y2=4x有唯一公共点的一条直线方程:　　　　.
13.(2024甘肃白银期末)已知双曲线C:-=1,过点P(1,8)的直线l与C相交于A,B两点,且P为线段AB的中点,则直线l的方程为　　　　.
14.(2024陕西西安一模)已知椭圆+y2=1(a>1)的上顶点为A,B、C在椭圆上,△ABC为等腰直角三角形,且A为直角,若这样的△ABC有且只有一个,则该椭圆的离心率的取值范围为　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)(2025北京工业大学附属中学月考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的长轴长为4,离心率为,左、右焦点分别为F1,F2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设斜率为-且过F2的直线l与椭圆C交于P,Q两点,求△F1PQ的面积.
16.(15分)(2025湖南长沙期中)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(2,a)在抛物线C上,且|AF|=3.
(1)求抛物线C的方程及a的值;
(2)过焦点F的直线l与抛物线C交于M,N两点,若点B(-1,1)满足∠MBN=90°,求直线l的方程.
17.(15分)(2025浙江宁波五校联盟期中)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,实轴长为6,A为双曲线C的左顶点,设直线l过定点B(-2,0),且与双曲线C交于E,F两点.
(1)求双曲线C的方程;
(2)证明:直线AE与AF的斜率之积为定值.
18.(17分)(2025云南师大附中适应性考试)已知C1(-2,0),C2(2,0),动点P满足直线PC1与PC2的斜率之积为定值.
(1)求动点P的轨迹Γ的方程;
(2)过点M(4,0)的直线l与曲线Γ交于A,B两点,且A,B均在y轴右侧,过点A作直线l':x=1的垂线,垂足为D.
(i)求证:直线BD过定点;
(ii)求△MBD的面积的最小值.
19.(17分)(2025河北石家庄期中)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且点在C上,过点P(4,2)作椭圆C的两条切线,切点分别为A、B.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)求直线AB的方程;
(3)过点P(4,2)作直线l交椭圆C于D,E两点,其中点D在x轴上方,直线l交直线AB于点F.试证明:·+·=0恒成立.
答案全解全析
1.C　当k=0时,直线l:y=1,直线与椭圆相切,充分性成立;
当l与C相切时,
联立得(4k2+1)x2+8kx=0,令Δ=(8k)2-4×(4k2+1)×0=0,所以k=0,必要性成立.
所以“k=0”是“l与C相切”的充要条件.
考场速解
易知直线l恒过点(0,1),且(0,1)在椭圆上,所以有且只有一条切线y=1(过椭圆上一点只有一条切线,过椭圆外一点可以作两条切线).
2.B　易知等轴双曲线C的渐近线方程为y=±x,
不妨设A在第一象限内,由得故A(2,2),
则B(2,-2),
所以△AOB的面积为×|AB|×|OF2|=×4×2=4.
3.D　由题意得F(1,0),Γ:y2=4x的准线方程为x=-1,
过F且倾斜角为60°的直线方程为y=x-,
由得3x2-10x+3=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),x2>x1,则x1=,x2=3,故y1=-,y2=2,即A,B(3,2),故|OB|==,易知M,则|OM|==,故==3.
4.D　因为P(2,4)是抛物线上一点,所以42=2p·2,解得p=4,所以抛物线方程为y2=8x,则F(2,0),
由题意可设直线l的方程为my=x-2,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立消去y,得x2-(4+8m2)x+4=0,
所以x1x2=4,则|AF|+9|BF|=x1+2+9(x2+2)=x1+9x2+20≥2+20=32,当且仅当x1=9x2且x1x2=4,即x1=6,x2=时,等号成立,故|AF|+9|BF|的最小值为32.
5.B　由椭圆方程可得F1(-,0),F2(,0),
设点F1,F2到直线y=x-m的距离分别为d1,d2,
则d1=,d2=,
由题意知d1=3d2,即=,解得m=2或m=.
联立消去y得4x2-6mx+3m2-3=0,
因为直线与椭圆相交于A,B两点,所以Δ=36m2-16(3m2-3)=12(4-m2)>0,解得-26.B　由题意可知a=1,F(-c,0),且c==,渐近线方程为y=±bx.
不妨取渐近线y=bx,则l:x=-by,
联立解得|y|=,
由对称性可知点O为线段AB的中点,则S△ABF=2S△AOF=2××c×=,即=,解得b=2(舍负),
则c==,所以C的离心率为=.
7.C　易得抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,
设AB的中点为H,A,B,H在准线上的射影分别为A',B',H',如图,
则|HH'|=(|AA'|+|BB'|),由抛物线的定义可知|AF|=|AA'|,|BF|=|BB'|,因为|AF|+|BF|=6,
所以|AA'|+|BB'|=6,故|HH'|=3,
则点H的横坐标为2,
设直线AB的方程为y=kx+3(k≠0),代入抛物线方程,得k2x2+(6k-4)x+9=0,由Δ=(6k-4)2-36k2>0,得k<,故k<且k≠0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2==4,解得k=-2或k=(舍去),所以直线AB的方程为y=-2x+3,则H(2,-1),
则线段AB的垂直平分线的方程为y+1=(x-2),令y=0,解得x=4,即D(4,0),则|DH|==,
又x1x2==,所以|AB|=·=,
所以S△ABD=|AB||DH|=××=.
8.C　如图所示,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x0,0),D(0,y0),
则直线AB:y=kx+y0,
因为|AC|∶|CD|∶|DB|=1∶2∶2,所以2=且=,
所以2(x0-x1,-y1)=(-x0,y0)且(-x0,y0)=(x2,y2-y0),
即且所以A,B(-x0,2y0).
因为A,B在椭圆上,所以+=1,+=1,两式相减并整理得=.
因为a>b>0,所以0<<1,即0<<,又因为k==-,所以k2=,故09.BC　由F(2,0),得直线l:y=x-2,p=4,故抛物线C:y2=8x,准线方程为x=-2,
设B(x1,y1),A(x2,y2),且x1联立解得或
所以点A(6,4),点B,所以|AB|=x1+2+x2+2=+4=,故B正确;
S△AOB=|OF|×|y1-y2|=×2×=,故C正确;
因为tan∠AOF=kOA=,tan∠BOF=-kOB=2,
所以tan∠AOF≠tan∠BOF,故∠AOF≠∠BOF,故A错误;
因为=(6,4),=,所以·=(6,4)·=4-16=-12<0,所以∠AOB为钝角,故D错误.
10.AC　设A(x1,y1),B(x2,y2),如图1,
设||=m,则||=3m,||=,||=4m,
所以=3,所以y1=-3y2,故=3,故A正确.
易知F1(-c,0),F2(c,0),设l:x=ty-c,
由椭圆的离心率为可得a=c,b=c,故椭圆方程可化为x2+2y2=2c2,与直线l的方程联立整理得(t2+2)y2-2tcy-c2=0,
则y1+y2=,y1y2=,又y1=-3y2,所以y1+y2=-2y2=,y1y2=-3=,所以3=,解得t2=1,故k2==1 k=1,故B错误.
如图2,设椭圆的上顶点为A',则e==cos∠A'F1F2=,所以∠A'F1F2=45°,
因为k=1,所以∠AF1F2=45°,所以A'与A重合,所以A为椭圆的上顶点,故|AF2|=a=c,|AB|=c+c=c,|BF2|=2a-|BF1|=2c-c=c,
易知满足2|AB|=|AF2|+|BF2|,故C正确.
由∠AF1F2=∠AF2F1=45°知△AMF2是以A为直角的直角三角形,
故内切圆半径r===c=a,故D错误.
　
11.ACD　对于A,由题意得所以a=b=1,所以双曲线C的标准方程为x2-y2=1,故A正确;
对于B,因为双曲线C的渐近线方程为y=±x,所以若直线y=λx与双曲线C无交点,则|λ|≥1,故B错误;
对于C,易知过点B的动直线的斜率存在且不为0,故设该动直线的方程为y=tx+1(t≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2),
联立消去y,得(1-t2)x2-2tx-2=0,
所以所以t2<2且t2≠1,t≠0,
x1+x2=,x1x2=,
则k1+k2=+=+====,故C正确;
对于D,由已知得直线l的斜率存在,设为k,因为动直线l与双曲线C恰有1个公共点,且与双曲线的两条渐近线分别交于点M,N,
所以k≠±1,设直线l:y=kx+m(m≠0),
联立得(1-k2)x2-2mkx-m2-1=0,
则Δ=(-2mk)2-4(1-k2)(-m2-1)=0,化简得k2=m2+1,
又因为双曲线C的渐近线方程为y=±x,
所以由得
不妨设点M,同理可得,N,
所以|MN|==,
又因为原点O到直线l:y=kx+m(m≠0)的距离d=,所以S△OMN=|MN|d=,
又k2=m2+1,所以S△OMN==1,
故△OMN的面积为定值1,故D正确.
12.y=-1,y=x+1,y=-x-2(写对一个方程即可)
解析　不妨设满足题意的直线为l.当直线l的斜率为0时,直线l与抛物线y2=4x有唯一公共点,此时方程为y=-1;
当直线l的斜率不为0时,设l的方程为x=m(y+1)-2,
联立消去x,整理得y2-4my+8-4m=0,
因为直线l与抛物线y2=4x有唯一公共点,所以Δ=16m2-4(8-4m)=0,解得m=1或m=-2,
所以l的方程为x=(y+1)-2或x=-2(y+1)-2,即y=x+1或y=-x-2.
综上,过点P(-2,-1)且与抛物线y2=4x有唯一公共点的直线方程为y=-1或y=x+1或y=-x-2.
13.x-2y+15=0
解法一　设A(x1,y1),B(x2,y2),则两式相减得=,即=4,所以=4,
因为P为线段AB的中点,所以x1+x2=2,y1+y2=16,所以8×=4,即kAB=,
由点斜式方程可得直线l的方程为y-8=(x-1),
即x-2y+15=0,经检验适合题意.
解法二　由题知直线AB的斜率存在.设直线AB:y=k(x-1)+8,
联立得(4-k2)x2+2(k2-8k)x-(8-k)2-8=0,
所以x1+x2=,又因为P为线段AB的中点,
所以x1+x2=2,故=2,解得k=,
故直线AB:y=(x-1)+8,即x-2y+15=0,经检验适合题意.
14.
解析　由椭圆+y2=1(a>1)可知A(0,1),
易知直线AB与AC的斜率存在且不为0,
不妨设直线AB的方程为y=kx+1,k>0,
则直线AC的方程为y=-x+1,
联立消去y得(a2k2+1)x2+2a2kx=0,解得x=0或x=-,故xB=-,
同理可得xC=,
由题知|AB|=|AC|,所以|xB|=|xC|,即·=·,
整理得(k-1)[k2+(1-a2)k+1]=0,
因为k=1为上述方程的根,所以要使满足条件的△ABC有且只有一个,则关于k的方程k2+(1-a2)k+1=0没有实数解,或者有两个相等的实根1.
当Δ=-4<0时,解得-1,所以1当Δ=-4=0时,因为a>1,所以a=,此时关于k的方程k2+(1-a2)k+1=0有两个相等的实根1.
综上,1所以离心率e=∈.
15.解析　(1)由题意可知2a=4,则a=2,(1分)
∵离心率e==,∴c=,
∴b==1,(3分)
∴椭圆C的方程为+y2=1.(4分)
(2)由(1)知F1(-,0),F2(,0),∴直线l:y=-x+1,(5分)
联立得7x2-8x=0,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=0,(7分)
则|PQ|==.(9分)
点F1到直线PQ的距离d===,(11分)
∴=|PQ|·d=××=.(13分)
16.解析　(1)抛物线C:y2=2px(p>0)的准线方程为x=-,
因为点A(2,a)在抛物线C上,且|AF|=3,
所以|AF|=2+=3,(2分)
解得p=2,
所以抛物线方程为y2=4x,(3分)
又因为点A(2,a)在抛物线C上,所以a2=8,所以a=±2.(5分)
(2)由(1)可知抛物线的焦点为F(1,0),
显然直线l的斜率不为0,设直线l的方程为x=my+1,M(x1,y1),N(x2,y2),
由消去x整理得y2-4my-4=0,
所以Δ=16m2+16>0,y1+y2=4m,y1y2=-4,(8分)
所以x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2,
x1x2=(my1+1)(my2+1)=m2y1y2+m(y1+y2)+1=1,(9分)
又B(-1,1),所以=(x1+1,y1-1),=(x2+1,y2-1),
因为∠MBN=90°,所以·=(x1+1)(x2+1)+(y1-1)·(y2-1)=0,(11分)
即x1x2+(x1+x2)+1+y1y2-(y1+y2)+1=0,(12分)
即1+4m2+2+1-4-4m+1=0,所以m=,(14分)
所以直线l的方程为x=y+1,即2x-y-2=0.(15分)
17.解析　(1)因为双曲线的实轴长为6,所以a=3,(1分)
因为双曲线的离心率为,所以=,所以c=2,(2分)
由a2+b2=c2,得b2=3,则C的方程为-=1.(4分)
(2)证明:设E(x1,y1),F(x2,y2),当直线l的斜率不存在时,直线l与双曲线无交点,不合题意,故直线l的斜率一定存在.(5分)
设直线l:x=my-2(m≠±),
联立消去x得(m2-3)y2-4my-5=0,
由Δ=16m2+20(m2-3)>0,得m2>,(8分)
由根与系数的关系得y1+y2=,y1y2=,(9分)
因为A为双曲线C的左顶点,所以A(-3,0),
直线AE的斜率kAE=,直线AF的斜率kAF=,(11分)
所以kAE·kAF==
=
===,(14分)
即直线AE与AF的斜率之积为定值.(15分)
18.解析　(1)设动点P的坐标为(x,y)(x≠±2),由动点P满足直线PC1与PC2的斜率之积为定值,
得·=·==,(2分)
即-y2=1(x≠±2),故动点P的轨迹Γ的方程为-y2=1(x≠±2).(4分)
(2)(i)证明:设直线l的方程为x=my+4,与-y2=1(x≠±2)联立,得(m2-4)y2+8my+12=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),∴D(1,y1),
结合题意有(6分)
解得-2易得直线BD的方程为y-y1=(x-1),
令y=0,则x=1-==(8分)
===,
故直线BD过定点.(10分)
(ii)设T.由题知|MT|=4-=,
故△MBD的面积S=|MT|·|y1-y2|=|y1-y2|
==·=,其中-2令t=,则t∈[2,4),m2=t2-12,
则S===,(15分)
易知y=-t在[2,4)上单调递减,所以y=在[2,4)上单调递增,
故当t=2,即m=0时,△MBD的面积取最小值,为=.(17分)
知识拓展
平面内与两定点A1(-a,0),A2(a,0)连线的斜率的乘积等于常数e2-1的点的轨迹为椭圆或双曲线(不含A1,A2两点).当e2-1>0时,轨迹为双曲线,当e2-1∈(-1,0)时,轨迹为椭圆.其中e为离心率.
19.解析　(1)由题意可得(2分)
解得所以椭圆C的方程为+=1.(4分)
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
易知直线PA的斜率存在,且y1≠0,设直线PA的方程为y-y1=k(x-x1),
与方程+=1联立,消去y,整理得(1+2k2)x2+4k(y1-kx1)x+2(y1-kx1)2-4=0,
由已知得Δ=16k2(y1-kx1)2-4(1+2k2)[2(y1-kx1)2-4]=0,化简得(4-)k2+2x1y1k+2-=0.
因为+2=4,所以4k2+4x1y1k+=0,即(2y1k+x1)2=0,所以k=-,(7分)
所以直线PA的方程为y-y1=-(x-x1),即x1x+2y1y=+2,则x1x+2y1y=4,
故直线PA的方程为+=1.(8分)
同理可得直线PB的方程为+=1,
由点P的坐标为(4,2),得x1+y1=1,x2+y2=1,
则A(x1,y1),B(x2,y2)两点都在直线x+y=1上,
由于两点确定一条直线,故直线AB的方程为x+y-1=0.(10分)
(3)证明:设D(x3,y3),E(x4,y4),
由题意得直线l的斜率存在,故可设直线l的方程为y-2=k1(x-4),
联立得(2+1)x2-8k1(2k1-1)x+4(8-8k1+1)=0,
所以x3+x4=,x3·x4=,(12分)
联立得即F.(13分)
要证·+·=0,即证||·||=||·||,
即证=,所以只需证明=,
化简可得(4+xF)(x3+x4)-2x3x4-8xF=0,(15分)
即·-2·-8·=0,
化简得(8k1+3)k1(2k1-1)-(8-8k1+1)(k1+1)-(4k1-1)·(2+1)=0,
即16-8+6-3k1-(8+8-8-8k1+k1+1)-(8+4k1-2-1)=0,显然是恒成立的,
故·+·=0恒成立.(17分)