第十单元 圆锥曲线（一）（含解析）-《巅峰突破》2026版高中数学高三一轮复习
文档属性
| 名称 | 第十单元 圆锥曲线（一）（含解析）-《巅峰突破》2026版高中数学高三一轮复习 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 70.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-15 11:23:59 | ||
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文档简介
(
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
(
姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
第十单元 圆锥曲线（一）
满分88分,限时70分钟
考点1 椭圆的标准方程及几何性质
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2025河北邯郸育华中学月考)已知椭圆C:+=1(m>0)的离心率为,且焦点在x轴上,则m=( )
A.2 B.2或 C.8或2 D.8
2.(2024云南昆明教学质量检测)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,点P在椭圆C上,若|PF|的最大值是最小值的2倍,则椭圆C的离心率e=( )
A. B. C. D.
3.已知椭圆+=1(a>b>0)的两顶点A(a,0),B(0,b),且左焦点为F,△ABF是以∠ABF为直角的直角三角形,则椭圆的离心率e为( )
A. B. C. D.
4.(2025吉林通化第一中学期中)已知圆A:(x+1)2+y2=1内切于动圆P,动圆P内切于圆B:(x-1)2+y2=64,则动圆P的圆心的轨迹方程为( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
5.(2024湖北新高考联考协作体期末)设P为椭圆+=1上一动点,F1,F2分别为椭圆的左,右焦点,已知点D(1,1),则|PF1|+|PD|的最小值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
6.(2024辽宁一模)已知F为椭圆C:+y2=1(a>0)的右焦点,过原点的直线与C相交于A,B两点,且AF⊥x轴,若3|BF|=5|AF|,则C的长轴长为( )
A. B. C.2 D.
7.(2024安徽江淮名校联考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的长轴长为4,下顶点为P(0,-2),垂直于y轴的直线与椭圆C相交于A,B两点,则·的最小值为( )
A.- B.-4 C.- D.0
8.(2025湖北武汉华中师大一附中检测)已知点F1、F2分别是椭圆B:+=1(a>b>0)的左、右焦点,点M为椭圆B上一点,点F1关于∠F1MF2的平分线的对称点N也在椭圆B上,若cos∠F1MF2=,则椭圆B的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.(2025黑龙江龙东地区期中)已知椭圆C:+=1的两个焦点分别为F1,F2,P是椭圆C上任意一点,则以下结论正确的是( )
A.椭圆C的离心率为
B.△PF1F2的周长为12
C.|PF1|的最小值为3
D.|PF1|·|PF2|的最大值为16
10.(2024重庆第十八中学期末)已知椭圆C:+=1的左,右焦点分别为F1,F2,上顶点为B,直线l:y=kx(k≠0)与椭圆C相交于M,N两点,点T(5,4),则下列选项正确的是( )
A.四边形MF1NF2的周长为12
B.当∠F1MF2=60°时,△MF1F2的面积为
C.直线BM,BN的斜率之积为
D.若点P为椭圆C上的一个动点,则|PT|-|PF1|的最小值为-1
11.(2024浙江杭州西湖高级中学模拟)在平面直角坐标系Oxy中,椭圆C:+y2=1,圆O:x2+y2=5,P为圆O上任意一点,Q为椭圆C上任意一点.过P作椭圆C的两条切线l1,l2,当l1,l2与坐标轴不垂直时,记l1,l2的斜率分别为k1,k2,则( )
A.椭圆C的离心率为
B.|PQ|的最小值为1
C.|PQ|的最大值为+2
D.+≥3
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.(2025广东深圳期中)椭圆C的长轴长为6,且与椭圆+=1有相同的焦点,则椭圆C的标准方程为 .
13.(2024天津第五十四中学月考)已知椭圆C:+=1的左,右焦点分别为F1,F2,直线l:y=kx(k≠0)与椭圆C交于A,B两点,若|AF1|=2|AF2|,则△ABF1的面积是 .
14.(2025山东滨州北镇中学月考)设F1,F2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点,当M在椭圆上运动时,至少有两个位置使得MF1⊥MF2,则椭圆C的离心率的取值范围是 .
四、解答题(本题共1小题,共15分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(15分)(2025江苏连云港质量监测)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,点A在椭圆E上,点B为椭圆E的左顶点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过点B且斜率为1的直线l与椭圆E交于另外一点P,求P的坐标;
(3)点C,点M为椭圆E上任意一点,求|MC|的最小值.
答案全解全析
1.D 由题意得a2=m,b2=4,则c2=a2-b2=m-4,故离心率e===,解得m=8.
2.B 设椭圆C的半焦距为c,由椭圆的几何性质知,|PF|max=a+c,|PF|min=a-c,依题意得a+c=2(a-c),解得a=3c,所以椭圆C的离心率e==.
3.B 易得|AB|=,|BF|=a,|AF|=a+c,因为△ABF是以∠ABF为直角的直角三角形,所以由勾股定理可得|AF|2=|AB|2+|BF|2,即(a+c)2=a2+b2+a2=2a2+a2-c2,整理得c2+ac-a2=0,两边同时除以a2,得e2+e-1=0,解得e=.因为e∈(0,1),所以e=.
考场速解
易得F(-c,0),因为△ABF是以∠ABF为直角的直角三角形,所以kAB·kBF=-×=-=-1,整理得c2+ac-a2=0,后续同上.
4.A 圆A的圆心A(-1,0),半径r1=1,圆B的圆心B(1,0),半径r2=8,设动圆P的半径为R,
由于圆A内切于动圆P,所以|PA|=R-r1=R-1;
由于动圆P内切于圆B,所以|PB|=r2-R=8-R.
由于
所以点P的轨迹为以A,B为焦点,长轴长为7的椭圆,
则2a=7,c=1,所以a=,b2=a2-c2=-1=,
所以动圆P的圆心的轨迹方程为+=1,即+=1.
5.B 易得c2=a2-b2=1,所以F2(1,0),
所以DF2⊥x轴,
因为+=<1,所以点D在椭圆内部,且|PF1|+|PF2|=4,
所以|PF1|+|PD|=4-|PF2|+|PD|=4-(|PF2|-|PD|),即求|PF2|-|PD|的最大值,
由于|PF2|-|PD|≤|DF2|=1(三角形不等式),当且仅当P,F2,D三点共线时取等号,
故(|PF1|+|PD|)min=4-1=3.
6.B 设F(c,0),如图,记F'为C的左焦点,连接AF',
由椭圆的对称性可知|AF'|=|BF|,由3|BF|=5|AF|,可设|AF|=3m,|BF|=5m,则|AF'|=5m.又AF⊥x轴,所以|FF'|==4m=2c,即c=2m,
所以所以
所以C的长轴长为.
考场速解
因为AF⊥x轴,所以,易知|BF|=|AF'|,由得|AF|=a,所以=a,所以a=,故C的长轴长为.
7.A 由椭圆C的长轴长为4,可得2a=4,即a=2,
由下顶点为P(0,-2),得b=2,所以椭圆C的方程为+=1.
由题意可设A(-m,n),B(m,n),-2则+=1,即m2=8-2n2,
又P(0,-2),所以=(-m,n+2),=(m,n+2),
所以·=-m2+(n+2)2=-(8-2n2)+n2+4n+4=-,-2所以当n=-时,·有最小值,为-.
8.B 设P为∠F1MF2的平分线与F1N的交点,
易知|MF1|+|MF2|=|NF1|+|NF2|=2a,
由MP平分∠F1MF2,得∠F1MP=∠F1MF2,
所以sin∠F1MP===,
因为∠F1MP=∠PMF2,且N是F1关于直线MP的对称点,所以N,F2,M三点共线,MP⊥F1N,|F1P|=|NF1|,|MF1|=|MN|,
在Rt△MF1P中,|F1P|=|MF1|·sin∠F1MP=|MF1|,
则|MF1|+|MN|+|F1N|=4a,即|MF1|+|MF1|+2|F1P|=2|MF1|+|MF1|=|MF1|=4a,
解得|MF1|=a,则|MF2|=a,
在△F1MF2中,由余弦定理可得=+-2|MF1||MF2|cos∠F1MF2,
即4c2=a2+a2-2×a×a×,化简可得4c2=a2,所以椭圆B的离心率e==.
9.BD 由已知得a=4,b=2,c==2.
对于A,e==,故A错误;
对于B,△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=12,故B正确;
对于C,|PF1|的最小值为a-c=2,故C错误;
对于D,|PF1|·|PF2|≤=a2=16,当且仅当|PF1|=|PF2|=4时等号成立,故D正确.
10.AD 由题意知a=3,b=,c==2,
对于A,易知M,N关于原点对称,且|MF1|+|MF2|=2a=6,|NF1|+|NF2|=2a=6,故四边形MF1NF2的周长为|MF1|+|MF2|+|NF1|+|NF2|=4a=12,故A正确;
对于B,因为∠F1MF2=60°,
所以,故B错误;
对于C,设M(x1,y1),则N(-x1,-y1),又B(0,),所以kBM·kBN=·=,
又M(x1,y1)在椭圆C:+=1上,
所以+=1,
即=9=(5-),故kBM·kBN===-,故C错误;
对于D,因为点P为椭圆C上的一个动点,所以|PF1|+|PF2|=2a=6,
则|PF1|=6-|PF2|,故|PT|-|PF1|=|PT|+|PF2|-6≥|TF2|-6,
当且仅当T,P,F2三点共线,且P在T,F2之间时等号成立,
易得F2(2,0),故|TF2|==5,故|PT|-|PF1|的最小值为5-6=-1,故D正确.
11.AC 对于A,根据题意得,a=2,b=1,则c=,故椭圆C的离心率e==,故A正确;
对于B,C,设Q(x,y),-2≤x≤2,且+y2=1,
易得圆O:x2+y2=5的圆心O(0,0),半径r=,
则|OQ|===,
因为-2≤x≤2,所以0≤x2≤4,则1≤x2+1≤4,
所以1≤≤2,即1≤|OQ|≤2,
所以|PQ|的最小值为r-2=-2,最大值为r+2=+2,故B错误,C正确;
对于D,设P(x0,y0),则+=5,设过点P的直线方程为y-y0=k(x-x0),
联立得(1+4k2)x2+8k(y0-kx0)x+4(y0-kx0)2-4=0,
因为直线与椭圆相切,
所以Δ=[8k(y0-kx0)]2-4(1+4k2)·[4(y0-kx0)2-4]=0,
化简得(-4)k2-2x0y0k+-1=0,
易知k1,k2是此方程的两个根,所以k1k2===-1,
所以+≥2|k1k2|=2,当且仅当|k1|=|k2|时取等号,故D错误.
12.+=1
解析 易知椭圆+=1的焦点坐标为(±,0),所以C的焦点在x轴上,且c=,又椭圆C的长轴长为6,即2a=6,即a=3,
所以b2=a2-c2=9-2=7,故椭圆C的标准方程为+=1.
13.4
解析 由题意知,a=6,c=4,则|AF1|+|AF2|=2a=12,|F1F2|=2c=8,
又|AF1|=2|AF2|,
所以|AF1|=8,|AF2|=4,
则=×4×=4.
因为直线l:y=kx过原点,所以A,B关于原点对称,
由椭圆的对称性可知△F1OB≌△F2OA,
所以=+=+==4.
14.
解法一 因为动点M满足MF1⊥MF2,所以M在以F1F2为直径的圆上.又因为当M在椭圆上运动时,,
所以b≤c所以1-e2≤e2<1,所以≤e<1,故椭圆C的离心率的取值范围是.
解法二 因为当M在椭圆短轴端点时,∠F1MF2最大,此时恰有两个点,
所以要使至少有两个位置使得MF1⊥MF2,
则∠F1MF2≥,
所以cos∠F1MF2=≤0,
所以≤<1,
故椭圆C的离心率的取值范围是.
15.解析 (1)依题意得所以(3分)
所以椭圆E的方程为+=1.(4分)
(2)由(1)知B(-3,0),直线l的方程为y=x+3,(5分)
由解得或则P.(8分)
(3)设M(s,t)(-3≤s≤3)是椭圆E上任意一点,则+=1,所以t2=8,(9分)
由C得|MC|==(11分)
===,(13分)
由于-3≤s≤3,所以当s=1时,|MC|取得最小值,为=.(15分)
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)
(
姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
第十单元 圆锥曲线（一）
满分88分,限时70分钟
考点1 椭圆的标准方程及几何性质
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2025河北邯郸育华中学月考)已知椭圆C:+=1(m>0)的离心率为,且焦点在x轴上,则m=( )
A.2 B.2或 C.8或2 D.8
2.(2024云南昆明教学质量检测)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,点P在椭圆C上,若|PF|的最大值是最小值的2倍,则椭圆C的离心率e=( )
A. B. C. D.
3.已知椭圆+=1(a>b>0)的两顶点A(a,0),B(0,b),且左焦点为F,△ABF是以∠ABF为直角的直角三角形,则椭圆的离心率e为( )
A. B. C. D.
4.(2025吉林通化第一中学期中)已知圆A:(x+1)2+y2=1内切于动圆P,动圆P内切于圆B:(x-1)2+y2=64,则动圆P的圆心的轨迹方程为( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
5.(2024湖北新高考联考协作体期末)设P为椭圆+=1上一动点,F1,F2分别为椭圆的左,右焦点,已知点D(1,1),则|PF1|+|PD|的最小值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
6.(2024辽宁一模)已知F为椭圆C:+y2=1(a>0)的右焦点,过原点的直线与C相交于A,B两点,且AF⊥x轴,若3|BF|=5|AF|,则C的长轴长为( )
A. B. C.2 D.
7.(2024安徽江淮名校联考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的长轴长为4,下顶点为P(0,-2),垂直于y轴的直线与椭圆C相交于A,B两点,则·的最小值为( )
A.- B.-4 C.- D.0
8.(2025湖北武汉华中师大一附中检测)已知点F1、F2分别是椭圆B:+=1(a>b>0)的左、右焦点,点M为椭圆B上一点,点F1关于∠F1MF2的平分线的对称点N也在椭圆B上,若cos∠F1MF2=,则椭圆B的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.(2025黑龙江龙东地区期中)已知椭圆C:+=1的两个焦点分别为F1,F2,P是椭圆C上任意一点,则以下结论正确的是( )
A.椭圆C的离心率为
B.△PF1F2的周长为12
C.|PF1|的最小值为3
D.|PF1|·|PF2|的最大值为16
10.(2024重庆第十八中学期末)已知椭圆C:+=1的左,右焦点分别为F1,F2,上顶点为B,直线l:y=kx(k≠0)与椭圆C相交于M,N两点,点T(5,4),则下列选项正确的是( )
A.四边形MF1NF2的周长为12
B.当∠F1MF2=60°时,△MF1F2的面积为
C.直线BM,BN的斜率之积为
D.若点P为椭圆C上的一个动点,则|PT|-|PF1|的最小值为-1
11.(2024浙江杭州西湖高级中学模拟)在平面直角坐标系Oxy中,椭圆C:+y2=1,圆O:x2+y2=5,P为圆O上任意一点,Q为椭圆C上任意一点.过P作椭圆C的两条切线l1,l2,当l1,l2与坐标轴不垂直时,记l1,l2的斜率分别为k1,k2,则( )
A.椭圆C的离心率为
B.|PQ|的最小值为1
C.|PQ|的最大值为+2
D.+≥3
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.(2025广东深圳期中)椭圆C的长轴长为6,且与椭圆+=1有相同的焦点,则椭圆C的标准方程为 .
13.(2024天津第五十四中学月考)已知椭圆C:+=1的左,右焦点分别为F1,F2,直线l:y=kx(k≠0)与椭圆C交于A,B两点,若|AF1|=2|AF2|,则△ABF1的面积是 .
14.(2025山东滨州北镇中学月考)设F1,F2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点,当M在椭圆上运动时,至少有两个位置使得MF1⊥MF2,则椭圆C的离心率的取值范围是 .
四、解答题(本题共1小题,共15分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(15分)(2025江苏连云港质量监测)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,点A在椭圆E上,点B为椭圆E的左顶点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过点B且斜率为1的直线l与椭圆E交于另外一点P,求P的坐标;
(3)点C,点M为椭圆E上任意一点,求|MC|的最小值.
答案全解全析
1.D 由题意得a2=m,b2=4,则c2=a2-b2=m-4,故离心率e===,解得m=8.
2.B 设椭圆C的半焦距为c,由椭圆的几何性质知,|PF|max=a+c,|PF|min=a-c,依题意得a+c=2(a-c),解得a=3c,所以椭圆C的离心率e==.
3.B 易得|AB|=,|BF|=a,|AF|=a+c,因为△ABF是以∠ABF为直角的直角三角形,所以由勾股定理可得|AF|2=|AB|2+|BF|2,即(a+c)2=a2+b2+a2=2a2+a2-c2,整理得c2+ac-a2=0,两边同时除以a2,得e2+e-1=0,解得e=.因为e∈(0,1),所以e=.
考场速解
易得F(-c,0),因为△ABF是以∠ABF为直角的直角三角形,所以kAB·kBF=-×=-=-1,整理得c2+ac-a2=0,后续同上.
4.A 圆A的圆心A(-1,0),半径r1=1,圆B的圆心B(1,0),半径r2=8,设动圆P的半径为R,
由于圆A内切于动圆P,所以|PA|=R-r1=R-1;
由于动圆P内切于圆B,所以|PB|=r2-R=8-R.
由于
所以点P的轨迹为以A,B为焦点,长轴长为7的椭圆,
则2a=7,c=1,所以a=,b2=a2-c2=-1=,
所以动圆P的圆心的轨迹方程为+=1,即+=1.
5.B 易得c2=a2-b2=1,所以F2(1,0),
所以DF2⊥x轴,
因为+=<1,所以点D在椭圆内部,且|PF1|+|PF2|=4,
所以|PF1|+|PD|=4-|PF2|+|PD|=4-(|PF2|-|PD|),即求|PF2|-|PD|的最大值,
由于|PF2|-|PD|≤|DF2|=1(三角形不等式),当且仅当P,F2,D三点共线时取等号,
故(|PF1|+|PD|)min=4-1=3.
6.B 设F(c,0),如图,记F'为C的左焦点,连接AF',
由椭圆的对称性可知|AF'|=|BF|,由3|BF|=5|AF|,可设|AF|=3m,|BF|=5m,则|AF'|=5m.又AF⊥x轴,所以|FF'|==4m=2c,即c=2m,
所以所以
所以C的长轴长为.
考场速解
因为AF⊥x轴,所以,易知|BF|=|AF'|,由得|AF|=a,所以=a,所以a=,故C的长轴长为.
7.A 由椭圆C的长轴长为4,可得2a=4,即a=2,
由下顶点为P(0,-2),得b=2,所以椭圆C的方程为+=1.
由题意可设A(-m,n),B(m,n),-2
又P(0,-2),所以=(-m,n+2),=(m,n+2),
所以·=-m2+(n+2)2=-(8-2n2)+n2+4n+4=-,-2
8.B 设P为∠F1MF2的平分线与F1N的交点,
易知|MF1|+|MF2|=|NF1|+|NF2|=2a,
由MP平分∠F1MF2,得∠F1MP=∠F1MF2,
所以sin∠F1MP===,
因为∠F1MP=∠PMF2,且N是F1关于直线MP的对称点,所以N,F2,M三点共线,MP⊥F1N,|F1P|=|NF1|,|MF1|=|MN|,
在Rt△MF1P中,|F1P|=|MF1|·sin∠F1MP=|MF1|,
则|MF1|+|MN|+|F1N|=4a,即|MF1|+|MF1|+2|F1P|=2|MF1|+|MF1|=|MF1|=4a,
解得|MF1|=a,则|MF2|=a,
在△F1MF2中,由余弦定理可得=+-2|MF1||MF2|cos∠F1MF2,
即4c2=a2+a2-2×a×a×,化简可得4c2=a2,所以椭圆B的离心率e==.
9.BD 由已知得a=4,b=2,c==2.
对于A,e==,故A错误;
对于B,△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=12,故B正确;
对于C,|PF1|的最小值为a-c=2,故C错误;
对于D,|PF1|·|PF2|≤=a2=16,当且仅当|PF1|=|PF2|=4时等号成立,故D正确.
10.AD 由题意知a=3,b=,c==2,
对于A,易知M,N关于原点对称,且|MF1|+|MF2|=2a=6,|NF1|+|NF2|=2a=6,故四边形MF1NF2的周长为|MF1|+|MF2|+|NF1|+|NF2|=4a=12,故A正确;
对于B,因为∠F1MF2=60°,
所以,故B错误;
对于C,设M(x1,y1),则N(-x1,-y1),又B(0,),所以kBM·kBN=·=,
又M(x1,y1)在椭圆C:+=1上,
所以+=1,
即=9=(5-),故kBM·kBN===-,故C错误;
对于D,因为点P为椭圆C上的一个动点,所以|PF1|+|PF2|=2a=6,
则|PF1|=6-|PF2|,故|PT|-|PF1|=|PT|+|PF2|-6≥|TF2|-6,
当且仅当T,P,F2三点共线,且P在T,F2之间时等号成立,
易得F2(2,0),故|TF2|==5,故|PT|-|PF1|的最小值为5-6=-1,故D正确.
11.AC 对于A,根据题意得,a=2,b=1,则c=,故椭圆C的离心率e==,故A正确;
对于B,C,设Q(x,y),-2≤x≤2,且+y2=1,
易得圆O:x2+y2=5的圆心O(0,0),半径r=,
则|OQ|===,
因为-2≤x≤2,所以0≤x2≤4,则1≤x2+1≤4,
所以1≤≤2,即1≤|OQ|≤2,
所以|PQ|的最小值为r-2=-2,最大值为r+2=+2,故B错误,C正确;
对于D,设P(x0,y0),则+=5,设过点P的直线方程为y-y0=k(x-x0),
联立得(1+4k2)x2+8k(y0-kx0)x+4(y0-kx0)2-4=0,
因为直线与椭圆相切,
所以Δ=[8k(y0-kx0)]2-4(1+4k2)·[4(y0-kx0)2-4]=0,
化简得(-4)k2-2x0y0k+-1=0,
易知k1,k2是此方程的两个根,所以k1k2===-1,
所以+≥2|k1k2|=2,当且仅当|k1|=|k2|时取等号,故D错误.
12.+=1
解析 易知椭圆+=1的焦点坐标为(±,0),所以C的焦点在x轴上,且c=,又椭圆C的长轴长为6,即2a=6,即a=3,
所以b2=a2-c2=9-2=7,故椭圆C的标准方程为+=1.
13.4
解析 由题意知,a=6,c=4,则|AF1|+|AF2|=2a=12,|F1F2|=2c=8,
又|AF1|=2|AF2|,
所以|AF1|=8,|AF2|=4,
则=×4×=4.
因为直线l:y=kx过原点,所以A,B关于原点对称,
由椭圆的对称性可知△F1OB≌△F2OA,
所以=+=+==4.
14.
解法一 因为动点M满足MF1⊥MF2,所以M在以F1F2为直径的圆上.又因为当M在椭圆上运动时,,
所以b≤c
解法二 因为当M在椭圆短轴端点时,∠F1MF2最大,此时恰有两个点,
所以要使至少有两个位置使得MF1⊥MF2,
则∠F1MF2≥,
所以cos∠F1MF2=≤0,
所以≤<1,
故椭圆C的离心率的取值范围是.
15.解析 (1)依题意得所以(3分)
所以椭圆E的方程为+=1.(4分)
(2)由(1)知B(-3,0),直线l的方程为y=x+3,(5分)
由解得或则P.(8分)
(3)设M(s,t)(-3≤s≤3)是椭圆E上任意一点,则+=1,所以t2=8,(9分)
由C得|MC|==(11分)
===,(13分)
由于-3≤s≤3,所以当s=1时,|MC|取得最小值,为=.(15分)
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