第十一单元 计数原理（含解析）-《巅峰突破》2026版高中数学高三一轮复习

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密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
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姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
第十一单元　计数原理
满分86分,限时60分钟
考点1 两个计数原理、排列组合　　考点2 二项式定理
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2024重庆西南大学附属中学校期中)将20个完全相同的小球分别放入编号为1,2,3的三个盒子中,要求每个盒内的球数不小于它的编号数,则不同的放法种数为(　　)
A.120　　B.240　　C.360　　D.720
2.(2025山西晋城第一中学校调研)若(1+2x)10=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a10(1+x)10,则a2=(　　)
A.180　　B.-180　　C.-90　　D.90
3.(2025山东青岛质量检测)将0,1,2,10四个数排成一行,可以组成的不同的五位数的个数是(　　)
A.6　　B.12　　C.15　　D.18
4.(2025河北十县联考)如图,在两行三列的网格中放入标有数字1,2,3,4,5,6的六张卡片,每格只放一张卡片,则“只有中间一列两个数字之和为7”的不同的排法有(　　)
A.16种　　B.32种　　C.64种　　D.96种
5.(2025江西多校联考)现有6个人计划在暑假期间前往江西省的南昌、九江、赣州、萍乡四座城市旅游,每人都要从这四座城市中选择一座城市,且每座城市都有人选择,则至少有2人选择南昌的选法种数为(　　)
A.420　　B.660　　C.720　　D.1 200
6.(2025江苏南京中华中学调研)(x2-x+y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)
A.30　　B.-30　　C.20　　D.-20
7.(2025贵州贵阳第三实验中学月考)十进制计数法简单易懂,方便人们进行计算,除此之外,也可以用其他进制表示数,如在十进制下,68÷7=9……5;9÷7=1……2;1÷7=0……1,将余数从下往上排列起来,所以125就是68这个数的七进制,表示形式为68=1×72+2×71+5,个位数为5,那么用七进制表示十进制的611,其个位数是(　　)
A.6　　B.5　　C.2　　D.1
8.(2025陕西渭南统考)如图所示,一把雨伞的伞面被伞骨分成8个区域,每个区域分别印有数字1,2,3,…,8,现准备给该伞面的每个区域都涂上颜色,要求每个区域涂一种颜色,且相邻的两个区域所涂颜色不相同,对称的两个区域(如区域1与区域5)所涂颜色相同.若有7种不同颜色的颜料可供选择,则不同的涂色方法的种数为(　　)
A.1 050　　B.1 260　　
C.1 302　　D.1 512
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.(2024陕西西安南开高级中学月考)甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排,下列说法正确的是(　　)
A.若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列,则不同的排法有12种
B.若甲、乙不相邻,则不同的排法有72种
C.若甲不能在最左端且乙不能在最右端,则不同的排法有72种
D.若甲、乙必须相邻且乙在甲的右边,则不同的排法有24种
10.(2025重庆第十一中学校教育集团质量检测)若(2-3x)2 024=a0+a1x+a2x2+…+a2 024x2 024,则下列正确的有(　　)
A.a0=22 024
B.|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2 024|=1
C.+++…+=-22 024
D.a1+2a2+3a3+…+2 023a2 023+2 024a2 024=6 072
11.(2024辽宁六校协作体联考)为引导游客领略传统数学研究的精彩并传播中国传统文化,某景点推出了“解数学题获取名胜古迹入场码”的活动,活动规则如下:如图所示,将第p行第q个数记为ap,q(p,q∈N*),并从左腰上的各数出发,引一组平行的斜线,记第n条斜线上所有数字之和为Sn(S1=S2=1,S3=2),入场码由两段数字组成,前段数字是a4,i104-i的值,后段数字是S2 023-Si的值,则(　　)
A.a2 023,2=2 023　　B.a4,i104-i=1 331
C.S9=34　　D.该名胜古迹入场码为13311
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.(2025山西五所学校质量检测)若的展开式的二项式系数和为32,且x-2的系数为80,则实数a的值为　　　　.
13.(2024浙江Z20名校联盟联考)杭州亚运会举办前期,主办方对志愿者进行分配.已知射箭场馆共需要6名志愿者,要求其中3名会说韩语,3名会说日语.目前可供选择的志愿者有10名,其中有4人只会韩语,5人只会日语,另外1人既会韩语又会日语,则不同的选择方案共有　　　　种.(用数字作答)
14.(新风向)(2025广东调研)下图是一个3×3的九宫格,小方格内的坐标表示向量,现不改变这些向量的坐标,重新调整位置,使得每行、每列的三个向量的和都为零向量,则不同的填法种数为　　　　.
(-1,1) (0,1) (1,1)
(-1,0) (0,0) (1,0)
(-1,-1) (0,-1) (1,-1)
四、解答题(本题共1小题,共13分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知n为正偶数,在的展开式中,第5项的二项式系数最大.
(1)求展开式中的一次项;
(2)求展开式中系数最大的项.
答案全解全析
1.A　在编号为2,3的盒内分别放入1个球和2个球,此时还剩17个球,将这17个球放入3个盒子中,每个盒子至少再放入1个球,即将17个球排成一排,形成16个空隙(不含两端),插入2块隔板分为三部分,将这三部分小球分别放入三个盒中即可,所以不同的放法种数为=120.
解题技法
相同元素的分配问题常用隔板法进行求解,即“把n个相同的元素放在m(n>m)个不同的位置,且每个位置至少放一个,共有多少种不同的放法”,此时只需在n个元素之间的(n-1)个空中插入(m-1)个隔板,共有种放法.
2.A　,其展开式的通项为Tr+1=[2(1+x)]10-r·(-1)r=(-1)r·210-r··(1+x)10-r,r=0,1,…,10.
令10-r=2,得r=8,则T9=22··(1+x)2=180(1+x)2,所以a2=180.
3.C　易知数字0不在首位,则有3=18种排法.
又的排法有=6种,所以组成的不同的五位数的个数是18-6×=15.
解题技法
排数问题一般研究具有某些特征的自然数(如奇数、偶数、能被n整除的数等)的个数,解题的关键是明确数的构成原理,确定元素的取法,一般从特殊元素或特殊位置入手,有时也可用排除法进行求解.
4.D　分两步进行:
第一步,先排中间一列的两个数字,从1,6或2,5或3,4中任选一组,有3=6种排法;
第二步,排剩余的四个数字,且每列中两个数字之和不为7,有=16种排法.
所以不同的排法有6×16=96(种).
5.B　当有2人选择去南昌时,剩余4人的分配方式为1,1,2,此时
当有3人选择去南昌时,剩余3人的分配方式为1,1,1,此时选法种数为··=120.
综上,至少有2人选择南昌的选法种数为540+120=660.
解题技法　　分组问题的常见类型及求解策略
类型 求解策略
整体均分 分组后,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后一定要除以(n为均分的组数),避免重复计数
部分均分 重复的次数是均匀分组数的阶乘,即若有m组元素个数相等,则分组时应除以m!,一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的阶乘
不均分 分组时任何组中元素的个数都不相等,所以不需要除以均匀分组数的阶乘
6.D　解法一　(x2-x+y)5=[(x2-x)+y]5,其展开式的通项为Tr+1=·(x2-x)5-ryr,r=0,1,2,…,5.
令r=3,(x2-x)2=x4-2x3+x2,
所以含x3y3的项为·(-2)x3y3=-20x3y3,所以x3y3的系数为-20.
解法二　(x2-x+y)5表示5个因式(x2-x+y)的乘积,要得到含x3y3的项,需要在其中一个因式中取x2,另一个因式中取-x,剩余的三个因式中取y,所以含x3y3的项为·x2··(-x)··y3=-20x3y3,所以x3y3的系数为-20.
解题技法　　求三项展开式中特定项的方法
(1)因式分解法:先通过因式分解将三项式变成两个二项式,然后用二项式定理分别展开.
(2)逐层展开法:先将三项式分成两组,用二项式定理展开,再把其中含两项的一组用二项式定理展开.
(3)利用组合知识:把(a+b+c)n看成n个(a+b+c)的积,利用组合知识分析项的构成,注意最后把各个同类项合并.
7.A　611=(7-1)11=×711+×710×(-1)+…+×72×(-1)9+×71×(-1)10+×(-1)11,
易知×711+×710×(-1)+…+×72×(-1)9能被7整除,因为×71×(-1)10+×(-1)11=77-1=76,且76=1×72+3×71+6,所以76在七进制下是136,即用七进制表示十进制的611,其个位数为6.
解题技法
利用二项式定理解决整除问题的关键是巧妙地构造一个与题目条件有关的二项式,通常把被除数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式,利用二项式定理展开,使其展开式中的某些项均含有除数这个因数,这时通常只考虑其中不含有这个因数的项就可以了.
8.点拨　先涂区域1,再涂区域2→按区域3与区域1涂的颜色不同和相同进行分类求解→利用分步乘法计数原理求得涂色方法的种数.
C　由题意得,确定了区域1,2,3,4的颜色,即可确定整个伞面的颜色(关键点).
先涂区域1,有7种涂色方法,再涂区域2,有6种涂色方法,然后涂区域3:
当区域3与区域1涂的颜色不同时,区域3有5种涂色方法,此时区域4有5种涂色方法;
当区域3与区域1涂的颜色相同时,区域4有6种涂色方法.
故不同的涂色方法的种数为7×6×(5×5+1×6)=1 302.
解题技法　　　　涂色问题的解决方法
(1)选择正确的涂色顺序,按步骤逐一涂色,再应用分步乘法计数原理进行计算.
(2)先根据涂色时所用颜色的种数进行分类处理,在每一类的涂色方法的种数的计算中可应用分步乘法计数原理计算,然后根据分类加法计数原理把每一类的涂色方法的种数相加,即得到最终的涂色方法的种数.
9.BD　
则不同的排法有=20(种),故A错误.
对于B,先排丙、丁、戊三人,有=6种排法,再将甲、乙两人插入形成的4个空位中,有=12种排法,
进行全排列,有=24种排法;若乙不在最左端,则最左端只能站丙、丁、戊中的1人,又乙不在最右端,所以有=54种排法,所以共有24+54=78种排法,故C错误.
固定,再与其他三人进行全排列,故有=24种排法,故D正确.
10.ACD　对于A,令x=0,得a0=22 024,故A正确.
对于B,结合(2-3x)2 024的展开式可得|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2 024|=a0-a1+a2-…+a2 024,
所以令x=-1,得a0-a1+a2-…+a2 024=52 024,故B错误.
对于C,令x=,得a0++++…+=,
所以+++…+=-22 024,故C正确.
对于D,对(2-3x)2 024=a0+a1x+a2x2+…+a2 024x2 024两边求导,得-3×2 024×(2-3x)2 023=a1+2a2x+3a3x2+…+2 023a2 023·x2 022+2 024a2 024x2 023,
令x=1,得a1+2a2+3a3+…+2 023a2 023+2 024a2 024=6 072,故D正确.
11.BCD　由题意得ap,q=(关键点).
对于A,a2 023,2==2 022,故A错误;
对于B,a4,1=,a4,2=,a4,3=,a4,4=,所以a4,i·104-i=×103+×102+×101+×100=(10+1)3=1 331,故B正确;
对于C,S1=S2=1,S3=2,S4=3,S5=5,……,归纳可得Sn+2-Sn+1=Sn,即Sn+2=Sn+1+Sn,所以S6=S5+S4=5+3=8,S7=S6+S5=8+5=13,S8=S7+S6=13+8=21,S9=S8+S7=21+13=34,故C正确;
对于D,Si=S3-S2+S4-S3+S5-S4+…+S2 023-S2 022=S2 023-S2,故S2 023-Si=S2=1,所以该名胜古迹的入场码为13311,故D正确.
12.-2
解析　因为展开式的二项式系数和为32,
所以=,其展开式的通项为Tr+1=()5-r=(-a)r,r=0,1,…,5.
令=-2,解得r=3,所以x-2的系数为(-a)3=-10a3=80,解得a=-2.
13.140
解法一　若从只会韩语的人中选3人,则有=80种选法;若从只会韩语的人中选2人,则有=60种选法.故不同的选择方案共有80+60=140(种).
解法二　若从只会日语的5人中选3人,则有=100种选法;若从只会日语的5人中选2人,则有=40种选法.故不同的选择方案共有100+40=140(种).
解法三　若未选中既会韩语又会日语的人,则有=40种选法;若选中既会韩语又会日语的人,则分为两类:①安排此人说日语,则有=40种选法;②安排此人说韩语,则有=60种选法.故不同的选择方案共有40+40+60=140(种).
解题技法
本题为多面手问题,这类问题是有多个限制条件的组合问题,求解时要以其中的某个条件为主去进行分类,然后考虑其余的限制条件.一般选择元素个数较少的一类作为基准来分类选取,这样可以减少分类情况,方便运算.
14.72
解析　对3×3的九宫格中的每个位置标注数字,如图.
1 2 3
4 5 6
7 8 9
先填(0,0),有=9种填法.
根据对称性知,(0,0)所在的行和列只能填(1,1),(-1,-1),(1,-1),(-1,1).
不妨设(0,0)在1位置,则2位置只能从(1,1),(-1,-1),(1,-1),(-1,1)中选一个,有种填法,此时3位置也是确定的;接下来填4位置,从(1,1),(-1,-1),(1,-1),(-1,1)中剩余的两个中选一个,有种填法,此时7位置也是确定的.
要使得每行、每列的三个向量的和都为零向量,则其他四个位置的向量填法是唯一的,
所以不同的填法种数为××=72.
15.解析　(1)由题意得+1=5,解得n=8,所以=.(2分)
的展开式的通项为Tr+1=()8-r·=,r=0,1,2,…,8.(4分)
令4-=1,得r=4,所以展开式中的一次项为T5=×x=x.(6分)
(2)设ar=,r=0,1,2,…,8,
令
得(8分)
(点拨),
即
解得2≤r≤3,所以r=2或r=3.(11分)
所以展开式中系数最大的项为T3=×=7和T4=×=7.(13分)
解题技法
(1)求二项展开式中二项式系数最大的项:当n是偶数时,中间一项的二项式系数最大;当n是奇数时,中间两项的二项式系数最大且相等.
(2)求二项展开式中系数最大的项:在系数均为正值的前提下,设展开式中各项的系数分别为a0,a1,a2,…,an,且第r项的系数最大,则再依据r∈N*来确定r的值,即可求出系数最大的项.