第四单元 一元函数的导数及其应用（二）（含解析）-《巅峰突破》2026版高中数学高三一轮复习

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姓名 班级 考号
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第四单元　一元函数的导数及其应用（二）
满分101分,限时70分钟
考点3 导数与函数的单调性　　考点4 导数与函数的极值与最值
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2024吉林长春第十四中学开学考试)函数f(x)=x-2ln(2x)的单调递减区间为(　　)
A.(-∞,2)　　B.(0,1)　　C.(0,2)　　D.(2,+∞)
2.(2024黑龙江牡丹江第三高级中学月考)若函数f(x)=x2-ax+ln x在区间(1,e)上单调递增,则实数a的取值范围是(　　)
A.[3,+∞)　　B.(-∞,3]　　
C.[3,e2+1]　　D.[3,e2-1]
3.(2025山东济宁实验中学月考)当x=1时,函数f(x)=aln x+取得最大值-2,则f'(2)=(　　)
A.-1　　B.-　　C.　　D.1
4.(2024北京第十九中学期中)已知x=1是函数f(x)=ax3-3x的一个极值点,其中a为实数,则f(x)在区间[-2,2]上的最大值为(　　)
A.0　　B.1　　C.2　　D.3
5.(2025湖北部分学校联合质量检测)若函数f(x)=-x2+4x-2aln x有两个不同的极值点,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,1)　　B.(0,1)　　C.(0,2)　　D.(2,+∞)
6.(2025黑龙江哈尔滨第三中学期中)已知函数f(x)=ax2-(a+2)x+ln x+1(a∈R),若 x1,x2∈(0,+∞),当x1≠x2时,>-2恒成立,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-1)　　B.(-∞,-1]　　C.(0,8]　　D.[0,8]
7.(2025江苏苏州调研)已知函数f(x)=xex-ax-bex+ab(a>0),若f(x)≥0恒成立,则的最大值为(　　)
A.e-2　　B.e-1　　C.e　　D.e2
8.(2025安徽皖南八校联考)设a=ln ,b=sin ,c=0.2,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.a>b>c　　B.b>a>c　　C.b>c>a　　D.c>b>a
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.(2024吉林联考)已知函数f(x)=若f(x)的零点为α,极值点为β,则(　　)
A.α=0　　B.α-β=3
C. f(x)的极小值为-e-1　　D. f(x)的最小值为-e-1
10.已知函数f(x)的定义域为(-∞,0),其导函数f'(x)满足xf'(x)-2f(x)>0,则下列不等式中正确的是(　　)
A. f(-2)<2f(-1)　　B. f(-2)>4f(-1)
C. f(-4)>4f(-2)　　D. f(-4)<4f(-2)
11.(2025山东百师联考)设函数f(x)=x3-x2+ax-1,则(　　)
A.当a=-1时, f(x)的极大值大于0
B.当a≥时, f(x)无极值点
C. a∈R,使f(x)在R上是减函数
D. a∈R,曲线y=f(x)的对称中心的横坐标为定值
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.(2024北京模拟)已知f(x)=|ln a-ln x-2|+,则f(x)的最小值为　　　　.
13.(2024辽宁大连滨城高中联盟期中)若函数f(x)=x3+x2-2在区间(m-4,m)上存在最小值,则实数m的取值范围是　　　　.
14.(2024江西部分学校月考)已知函数f(x)=-ex+aln x的最小值为1,则实数a的取值范围为　　　　.
四、解答题(本题共2小题,共28分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)(2025北京朝阳期中检测)已知函数f(x)=ax-ln(x+1)(a∈R).
(1)若a=1,求f(x)的最小值;
(2)若f(x)存在极小值,求实数a的取值范围.
16.(15分)(2025湖北鄂北六校联考)已知函数f(x)=-x2+ax-2ln x(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)有两个极值点x1,x2(x19-3ln 2.
答案全解全析
1.C　函数f(x)=x-2ln(2x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=1-2××2=1-=,令f'(x)<0,得02.B　因为f(x)=x2-ax+ln x在区间(1,e)上单调递增,所以在区间(1,e)上恒成立,即a≤2x+在区间(1,e)上恒成立.令g(x)=2x+(10,所以g(x)在(1,e)上单调递增,又g(1)=3,所以a≤3,即实数a的取值范围是(-∞,3].
3.B　易得f'(x)=-, f(x)的定义域为(0,+∞).
因为当x=1时,函数f(x)取得最大值-2,所以x=1是函数且f(1)=-2,即a-b=0且b=-2,解得a=b=-2,所以f'(x)=-+,所以f'(2)=-.
4.C　易得f'(x)=3ax2-3,因为x=1是函数f(x)的一个极值点,所以f'(1)=3a-3=0,解得a=1,则f'(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1).当x∈[-2,-1)时, f'(x)>0, f(x)单调递增;当x∈(-1,1)时, f'(x)<0, f(x)单调递减;当x∈(1,2]时, f'(x)>0, f(x)单调递增.所以当x=1时,函数f(x)取得极小值,当x=-1时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-1)=-1+3=2,
又因为f(2)=23-3×2=2,
所以.
5.C　因为f(x)有两个不同的极值点,所以f'(x)=-x+4-=在(0,+∞)上有两个不同的零点,且零点两侧函数值异号(关键点),所以x2-4x+2a=0在(0,+∞)上有两个不同的实数根,分别设为x1,x2,则解得0解题技法　根据极值(点)求参数值(范围)的方法
(1)已知函数f(x)在x=a处取得极值b,可根据列出关于参数的方程组求解,注意检验是否真正取得极值;
(2)已知函数f(x)有n个极值点,则函数f'(x)在定义域上应有n个变号零点,由此建立关于参数的关系式求解.
6.D　不妨设0-2恒成立,所以 x1,x2∈(0,+∞),当x1令m(x)=f(x)+2x=ax2-ax+ln x+1,x∈(0,+∞),则m(x1)故函数m(x)在(0,+∞)上单调递增(突破口).
易得m'(x)=2ax-a+=.
当a=0时,m'(x)=>0,则m(x)在(0,+∞)上单调递增.
当a≠0时,需满足m'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,即2ax2-ax+1≥0在(0,+∞)上恒成立.
易知函数y=2ax2-ax+1的图象过定点(0,1),对称轴为直线x=,
所以要使2ax2-ax+1≥0在(0,+∞)上恒成立,需满足a>0且-a+1≥0,解得0综上,实数a的取值范围是[0,8].
7.A　f(x)=xex-ax-bex+ab=(x-b)(ex-a).
因为a>0,且函数y=x-b和y=ex-a都是增函数,
所以若f(x)≥0恒成立,则函数y=x-b和y=ex-a的零点相同,即b=ln a,所以=.
设g(a)=,则g'(a)=,所以当a∈(0,e2)时,g'(a)>0,g(a)单调递增;当a∈(e2,+∞)时,g'(a)<0,g(a)单调递减,所以g(a)max=g(e2)=e-2,所以的最大值为e-2.
8.B　a=ln =ln,b=sin ,c=0.2=.
构造函数f(x)=sin x-ln(x+1),x∈(0,1),则f'(x)=cos x-,
令g(x)=f'(x),则g'(x)=-sin x+,
令h(x)=g'(x),则h'(x)=-cos x-,
当x∈(0,1)时,h'(x)<0,所以h(x)在(0,1)上单调递减,
又h(0)=1>0,h(1)=-sin 1+<-sin +<0,
所以 x0∈(0,1),使得h(x0)=0,
所以当x∈(0,x0)时,h(x)>0;当x∈(x0,1)时,h(x)<0,
所以g(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,1)上单调递减.
因为g(0)=0,g(1)=cos 1->cos -=0,所以当x∈(0,1)时,g(x)>0,所以f(x)在(0,1)上单调递增.
因为f(0)=sin 0-ln 1=0,所以f=sin -ln=sin -ln >0,所以b>a.
构造函数φ(x)=ln(x+1)-,x∈(0,1),则φ'(x)=-=>0,所以φ(x)在(0,1)上单调递增.
因为φ(0)=0,所以φ=ln -0.2>0,所以a>c.
综上,b>a>c.
9.BC　当x<0时, f(x)=xex<0,此时函数无零点;
当x≥0时, f(x)=3x-9,此时函数的零点为2,所以α=2,故A错误.
当x<0时, f'(x)=ex+xex=ex(x+1),
令f'(x)<0,得x<-1,令f'(x)>0,得-1所以f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,0)上单调递增,
所以函数f(x)在x=-1处取得极小值,即β=-1,所以极小值为f(-1)=-e-1;
当x≥0时, f(x)=3x-9,单调递增,此时f(x)无极值,也无最大值.
所以α-β=2-(-1)=3, f(x)的极小值为-e-1,故B,C正确.
易知f(0)=-8<-e-1,故D错误.
10.BC　令函数g(x)=(x<0),
则g'(x)==.
因为x∈(-∞,0),所以x3∈(-∞,0),又xf'(x)-2f(x)>0,所以g'(x)=<0,所以g(x)在区间(-∞,0)上单调递减,所以g(-2)>g(-1),即>,则f(-2)>4f(-1),故A错误,B正确;g(-4)>g(-2),即>,则f(-4)>4f(-2),故C正确,D错误.
11.BD　对于A,当a=-1时, f(x)=x3-x2-x-1,则f'(x)=3x2-2x-1.
令f'(x)>0,得x<-或x>1,令f'(x)<0,得-所以f(x)在,(1,+∞)上单调递增,在上单调递减,
所以f(x)在x=-处取得极大值,极大值为f=--+-1<0,故A错误.
对于B,易得f'(x)=3x2-2x+a,当a≥时,4-12a≤0,即f'(x)≥0恒成立,所以函数f(x)在R上单调递增,所以f(x)无极值点,故B正确.
对于C,要使f(x)在R上是减函数,只需f'(x)=3x2-2x+a≤0恒成立,显然关于x的不等式3x2-2x+a≤0的解集不可能为R,故C错误.
对于D,解法一　易得f+f(x)=-
所以曲线y=f(x)的对称中心的坐标为,故D正确.
解法二　易得f'(x)=3x2-2x+a, f″(x)=6x-2.
心的横坐标为定值,故D正确.
12.2
解析　f(x)=|ln a-ln x-2|+=+.令=t,则t>0, f(x)=+可转化为g(t)=|ln t-2|+|t-1|=
当t∈(0,1]时,g'(t)=-1-<0,g(t)单调递减;
当t∈(1,e2)时,g'(t)=1->0,g(t)单调递增;
当t∈[e2,+∞)时,g'(t)=1+>0,g(t)单调递增,
所以当t=1,即x=a时,g(t)取得最小值,为g(1)=2,即f(x)的最小值为2.
13.[1,4)
解析　因为f(x)=x3+x2-2,所以f'(x)=x2+2x=x(x+2),令f'(x)>0,解得x<-2或x>0;令f'(x)<0,解得-2即解得1≤m<4,即实数m的取值范围是[1,4).
14.(-∞,0)∪[e2,+∞)
解析　易得f(x)=-ex+aln x=+ln.
设=t,t∈(0,+∞),则f(x)=+ln 转化为g(t)=+ln t,易得g'(t)=-+=.
当t∈(0,1)时,g'(t)<0,函数g(t)单调递减,
当t∈(1,+∞)时,g'(t)>0,函数g(t)单调递增,
故g(t)min=g(1)=1,因此t==1有解,即xa=eex且a≠0,所以aln x=ex,所以=,x∈(0,+∞).
设h(x)=,则h'(x)=,当x∈(0,e)时,h'(x)>0,函数h(x)单调递增,当x∈(e,+∞)时,h'(x)<0,函数h(x)单调递减,所以h(x)max=h(e)=,
易知h(1)=0,且当x>1时,h(x)>0恒成立,画出函数h(x)的图象(如图所示),根据图象知≤,解得a<0或a≥e2,故a的取值范围为(-∞,0)∪[e2,+∞).
15.解析　(1)当a=1时, f(x)=x-ln(x+1),x>-1,则f'(x)=1-=,(2分)
所以当x∈(-1,0)时, f'(x)<0, f(x)单调递减;当x∈(0,+∞)时, f'(x)>0, f(x)单调递增,所以f(x)min=f(0)=0.(5分)
(2)易得f'(x)=a-(x>-1).(6分)
当a≤0时, f'(x)<0,所以f(x)在区间(-1,+∞)上单调递减,所以f(x)无极值.(9分)
当a>0时,令f'(x)=0,得x=-1.
当x变化时, f'(x)与f(x)的变化情况如下表:
x -1
f'(x) - 0 +
f(x) ↘ 极小值 ↗
所以当x=-1时, f(x)取得极小值.(12分)
综上,实数a的取值范围为(0,+∞).(13分)
16.解析　(1)易得f'(x)=-x+a-=-.(1分)
令g(x)=x2-ax+2,则f'(x)=-,x>0.
当a2-8≤0,即-2≤a≤2时,g(x)≥0恒成立,所以f'(x)≤0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.(3分)
当a2-8>0,即a<-2或a>2时,
若a<-2,则g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以g(x)>g(0)>0恒成立,所以f'(x)<0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.
若a>2,令g(x)=0,得x=或x=,当x∈和时, f'(x)<0, f(x)单调递减,当x∈时, f'(x)>0, f(x)单调递增.(6分)
综上,当a≤2时, f(x)的单调递减区间是(0,+∞),无单调递增区间;当a>2时, f(x)的单调递增区间是,单调递减区间是和.(7分)
(2)证明:由(1)知,当a>2时, f(x)有两个极值点,
所以x1,x2是方程g(x)=0的两个根,所以ax1=+2,ax2=+2.(9分)
由根与系数的关系得x1x2=2,x1+x2=a,所以0所以2f(x1)+f(x2)=2-+ax1-2ln x1+-+ax2-2ln x2
=-+2ax1-4ln x1-+ax2-2ln x2
=-+2(+2)-4ln x1-++2-2ln x2
=+-ln(·)+6=+-ln +6.(13分)
令t=,则t>2,令h(t)=+t-ln +6,t>2,所以h'(t)=-++=,
所以当t>2时,h'(t)>0,h(t)单调递增,所以h(t)>h(2)=9-3ln 2,
所以2f(x1)+f(x2)>9-3ln 2.(15分)