第四单元 一元函数的导数及其应用（一）（含解析）-《巅峰突破》2026版高中数学高三一轮复习

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密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
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姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
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第四单元　一元函数的导数及其应用（一）
满分99分,限时60分钟
考点1 导数的运算　　考点2 导数的几何意义
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2024山西名校联考)某质点的位移y(单位:m)与时间t(单位:s)满足函数关系式:y=t4+3t2-t,当t=t0时,该质点的瞬时加速度大于9 m/s2,则t0的取值范围是(　　)
A.　　B.　　
C.(1,+∞)　　D.
2.(2025河南周口、商丘部分学校联考)已知函数f(x)=2x3-x2-2ln x,则曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　)
A.2　　B.1　　C.　　D.
3.(2025湖北部分高中联考)已知曲线y=ln x+在点(1,a)处的切线在y轴上的截距为-3,则实数a的值为　(　　)
A.1　　B.0　　C.-1　　D.-2
4.(2025江苏苏州陆慕高级中学月考)过点(1,4)且与曲线f(x)=x3+x+2相切的直线方程为(　　)
A.4x-y=0　　B.7x-4y+9=0
C.4x-y=0或7x-4y+9=0　　D.4x-y=0或4x-7y+24=0
5.(2025北京朝阳期中检测)已知函数f(x)=若直线y=x+m与函数y=f(x)的图象有且只有一个公共点,则实数m的取值范围是(　　)
A.(-∞,1]∪(2,+∞)　　B.(-∞,1)∪[2,+∞)
C.(-∞,0]∪(2,+∞)　　D.(-∞,0)∪[2,+∞)
6.(2024安徽合肥六校联考)点P,Q分别是直线y=3x-4与函数g(x)=x2-2ln x图象上的动点,则|PQ|2的最小值为(　　)
A.(2+ln 2)2　　B.(2-ln 2)2
C.(1+ln 2)2　　D.(1-ln 2)2
7.(2024浙江衢州教学质量检测)若曲线y=(ax+1)ln x有两条过坐标原点的切线,则实数a的取值范围是(　　)
A.　　B.(0,e2)　　C.　　D.
8.(2025广东深圳中学阶段考试)已知直线y=kx+b与函数f(x)=ex-1和g(x)=ex-2的图象都相切,则b=(　　)
A.2　　B.ln 2　　C.1+ln 2　　D.-2ln 2
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.(新定义)(2025山东济宁三模)已知函数f(x)及其导函数f'(x),若存在x0使得f(x0)=f'(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”.下列有“巧值点”的函数是(　　)
A. f(x)=x2　　B. f(x)=e-x　　
C. f(x)=ln x　　D. f(x)=tan x
10.已知函数f(x)的图象如图所示, f'(x)是f(x)的导函数,则下列结论正确的是(　　)
A. f'(3)>f'(2)　　B. f'(3)C. f(3)-f(2)>f'(3)　　D. f(3)-f(2)11.(2025江苏南京航空航天大学苏州附属中学开学考试)已知定义在R上的函数f(x)(f(x)≠0)的导函数为f'(x),且f'(x)+f'(-x)=0, f(1+x)+f(1-x)=0,则(　　)
A. f(x+4)=f(x)
B. f'(-1)=f'(3)
C.y=f(1-x)-f'(x)一定为偶函数
D.y=一定为奇函数
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.(2024吉林长春期中)已知函数f(x)的导函数为f'(x),且f'(x)是偶函数, f'(0)=2, f'(2)=0.写出一个满足条件的函数f(x)=　　　　.
13.(2025北京交大附中诊断)若直线y=2x是曲线f(x)=x(e2x-a)的切线,则a=　　　　.
14.(2025皖豫名校联盟联考)已知函数f(x)=m,g(x)=3+ln x,若存在两条不同的直线与曲线y=f(x)和y=g(x)均相切,则实数m的取值范围为　　　　.
四、解答题(本题共2小题,共26分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)(2025湖北新八校协作体联考)已知f(x)=f'(1)x2-x+2ln x.
(1)求f'(1)并写出f(x)的表达式;
(2)记g(x)=[f(x)+x2+x]+a,若曲线y=ex+2x在点(0,1)处的切线也是曲线g(x)的切线,求实数a的值.
16.(13分)(2024福建福州闽侯第一中学月考)已知函数f(x)=x3-4x+1.
(1)求曲线y=f(x)在点M(-1, f(-1))处的切线方程;
(2)如果过点(-2,a)可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数a的取值范围.
答案全解全析
第四单元　一元函数的导数及其应用（一）
1.B　由题意可得y'=4t3+6t-1,
设f(t)=4t3+6t-1,则f'(t)=12t2+6,
因为当t=t0时,该质点的瞬时加速度大于9 m/s2,
所以f'(t0)>9,即12-3>0,
解得t0>或t0<-(舍去).
2.D　易得f'(x)=6x2-2x-,
线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.
令y=0,得x=;
令x=0,得y=-1,故切线与x轴交于点,与y轴交于点(0,-1),所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为××1=.
3.C　易得y'=-.
当x=1时,y'=1-a,所以曲线y=ln x+在点(1,a)处的切线方程为y-a=(1-a)(x-1) y=(1-a)x+2a-1,
由已知得2a-1=-3,解得a=-1.
4.C　易知点(1,4)在曲线f(x)上, f'(x)=3x2+1.
若点(1,4)是切点,则切线的斜率为f'(1)=4,所以切线方程为y-4=4(x-1),即4x-y=0.
若点(1,4)不是切点,则设切点坐标为(x0,y0),此时切线的斜率为f'(x0)=3+1,
所以切线的方程为y-(+x0+2)=(3+1)(x-x0),
因为切线过点(1,4),所以(3+1)(1-x0)=4-(+x0+2),整理得2-3+1=0,
即(x0-1)2(2x0+1)=0,所以(舍去)或所以切线方程为7x-4y+9=0.
解题技法　　利用导数的几何意义求切线方程
(1)在点(x0,y0)处的切线方程为y-y0=f'(x0)·(x-x0).
(2)斜率为k的切线:设切点坐标为(x0,y0),由f'(x0)=k解得x0,进而求得切线方程.
(3)过点(x1,y1)的切线:设切点坐标为(x0,y0),则切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0),再将(x1,y1)代入该切线方程,求出x0即得切线方程.
5.B　作出函数f(x)的图象,如图所示.
当x≤0时, f(x)=ex,则f'(x)=ex.
令f'(x)=ex=1,解得x=0,所以若直线y=x+m与曲线f(x)=ex相切,则m=1.
当x>0时, f(x)=2,则f'(x)=.
令f'(x)=(x+1=1,解得x=0,所以若直线y=x+m与曲线f(x)=2相切,则m=2.
由图可知,当m<1或m≥2时,直线y=x+m与曲线f(x)有且仅有一个公共点,故实数m的取值范围为(-∞,1)∪[2,+∞).
6.D　易知当函数g(x)=x2-2ln x的图象在点Q处的切线与直线y=3x-4平行时,|PQ|2最小(关键点).
易得g'(x)=2x-(x>0),令g'(x)=2x-=3,得x=2或x=-(舍去),又g(2)=4-2ln 2,所以切点为Q(2,4-2ln 2),所以|PQ|的最小值为切点Q(2,4-2ln 2)到直线y=3x-4的距离,设为d,则d==,所以|PQ|2的最小值为d2=(1-ln 2)2.
7.A　易得y'=aln x+(ax+1)·=aln x++a.
设切点坐标为(x0,(ax0+1)ln x0),则切线的斜率为aln x0++a,
所以切线方程为y-(ax0+1)ln x0=aln x0++a(x-x0).
因为切线过点(0,0),所以-(ax0+1)ln x0=aln x0++a·(0-x0),即ax0-ln x0+1=0.
因为过原点的切线有两条,
所以.
由ax-ln x+1=0(x>0),得a=.
设h(x)=,则问题转化为直线y=a与函数h(x)的图象有两个交点.易得h'(x)==,
令h'(x)>0,得0e2,
所以h(x)在(0,e2)上单调递增,在(e2,+∞)上单调递减,所以h(x)max=h(e2)=.
又当x>e时,h(x)>0,当x→+∞时,h(x)→0,所以a的取值范围是.
8.D　易得f'(x)=ex-1,g'(x)=ex.
设直线y=kx+b分别与曲线f(x),g(x)切于点P1(x1,),P2(x2,-2),
易知曲线f(x)在点P1处的切线方程为y-=(x-x1),即y=x+(1-x1);
曲线g(x)在点P2处的切线方程为y-(-2)=(x-x2),即y=x+(1-x2)-2.
因为直线y=kx+b是两函数图象的公切线,
所以
由①得x1-1=x2,将其代入②,得-x2=(1-x2)-2,所以=2,解得x2=ln 2,
将x2=ln 2代入②,得b=(1-ln 2)eln 2-2=-2ln 2.
解题技法　　已知公切线求参数的值的步骤
(1)分别设切点坐标,求出两曲线的切线方程;
(2)根据斜率和截距相等列关于切点横坐标的方程组;
(3)消元得含参数的方程;
(4)解方程,进而得参数的值.
9.AC　对于A, f'(x)=2x,令f(x)=f'(x),得x2=2x,解得x=0或x=2,故A满足题意.
对于B, f'(x)=-e-x,令f(x)=f'(x),得e-x=-e-x,无解,故B不满足题意.
对于C, f'(x)=,令f(x)=f'(x),得ln x=,在同一平面直角坐标系中作出函数y=ln x和y=的图象,
由图可知,两图象有1个交点,所以f(x)=f'(x)有一个根,故C满足题意.
对于D, f'(x)=,令f(x)=f'(x),得tan x=,即sin 2x=2,无解,故D不满足题意.
10.BCD　f'(x0)的几何意义是曲线f(x)在x=x0处的切线的斜率.
由题图得, f'(2)>f'(3)>0,故A错误,B正确.
设A(2, f(2)),B(3, f(3)),则f(3)-f(2)==kAB,由题图得, f'(3)11.ABD　因为f'(x)+f'(-x)=0,
所以.
令x=0,得C=0,所以f(x)=f(-x).
因为f(1+x)+f(1-x)=0,所以f(1+x)=-f(1-x)=-f(x-1),所以f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=f(x),故A正确.
对f(1+x)+f(1-x)=0求导,得f'(1+x)-f'(1-x)=0.
令x=-2,得f'(-1)=f'(3),故B正确.
因为f'(x)+f'(-x)=0, f(1+x)+f(1-x)=0,
所以f(1-x)-f'(x)+f(1+x)-f'(-x)=0,即f(1-x)-f'(x)=-[f(1+x)-f'(-x)],
所以y=f(1-x)-f'(x)为奇函数,故C错误.
由f(x)=f(-x)知f(x)为偶函数,由f'(x)+f'(-x)=0知f'(x)为奇函数,
又f(x)≠0,所以y=一定为奇函数,故D正确.
12.-x3+2x(答案不唯一)
解析　∵f'(x)是偶函数,∴设f'(x)=-ax2+2b,
∵f'(0)=2, f'(2)=0,∴2b=2,-2a+2b=0,解得b=1,a=1,故f'(x)=-x2+2,故可取f(x)=-x3+2x.
13.-1
解析　易得f'(x)=(1+2x)e2x-a.
设切点坐标为(t,2t),则
即
当t=0时,a=-1,此时f(x)=x(e2x+1), f'(x)=(1+2x)e2x+1,所以f(0)=0, f'(0)=2,
所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,符合题意;
当t≠0时,e2t=2+a,则(1+2t)(2+a)=2+a,所以2t(2+a)=0,解得a=-2,
所以无解,不符合题意.
综上,a=-1.
解题技法
求解与切线有关的参数问题,通常利用曲线、切线、切点三者之间的关系建立方程(组)求解:
(1)切点处的导数值等于切线的斜率;
(2)切点在曲线上,切点坐标满足曲线方程;
(3)切点在切线上,切点坐标满足切线方程.
14.(0,2)
解析　设曲线y=f(x)上的切点坐标为(x1,m),x1≥0.
易得f'(x)=,所以公切线方程为y-m=(x-x1),即y=x+①.
设曲线y=g(x)上的切点坐标为(x2,3+ln x2),x2>0.
易得g'(x)=,所以公切线方程为y-(3+ln x2)=(x-x2),即y=x+2+ln x2②.
联立①②,得=,=2+ln x2,消去x1,得=.
因为存在两条不同的直线与曲线y=f(x),y=g(x)均相切,
所以关于x2的方程=有两个不同的实数根(关键点).
设h(x)=,x>0,则h'(x)=,
令h'(x)>0,得0,
所以h(x)在上单调递增,在上单调递减,所以h(x)max=h=e.
令h(x)=0,得x=.
当x→0+时,h(x)→-∞,当x→+∞时,h(x)→0,且当x>时,h(x)>0,所以h(x)的大致图象如图所示.
由图可知,0<15.解析　(2分)
令x=1,得f'(1)=2f'(1)-1+2,解得f'(1)=-1,(4分)
所以f(x)=-x2-x+2ln x.(5分)
(2)由已知及(1)得g(x)=[f(x)+x2+x]+a=ln x+a,则g'(x)=.(6分)
对y=ex+2x求导,得y'=ex+2,所以曲线y=ex+2x在点(0,1)处的切线斜率k=e0+2=3,(8分)
所以曲线y=ex+2x在点(0,1)处的切线方程为y-1=3(x-0),即y=3x+1.(10分)
令g'(x)==3,得x=,将其代入切线方程y=3x+1,得y=2.
又g=ln +a,
所以ln +a=2,解得a=2+ln 3.
故实数a的值为2+ln 3.(13分)
16.解析　(1)易知f(-1)=4,所以切点为(-1,4),(1分)
又f'(x)=3x2-4,所以f'(-1)=-1,(2分)
所以所求切线方程为y-4=-(x+1),即x+y-3=0.(4分)
(2)设切点为(x0,-4x0+1),则切线方程为y-(-4x0+1)=f'(x0)(x-x0),(6分)
又切线过点(-2,a),所以a-(-4x0+1)=(3-4)·(-2-x0),整理得2+6-9+a=0.(*)(7分)
由题意可知关于x0的方程(*)有三个不同的实数解(突破口).
记g(x)=2x3+6x2-9+a,则g'(x)=6x2+12x,令g'(x)=0,可得x=0或x=-2.(8分)
所以g(x)在(-∞,-2),(0,+∞)上单调递增,在(-2,0)上单调递减,(10分)
结合g(x)的图象(图略)可得当即1