第五单元 三角函数与解三角形（二）（含解析）-《巅峰突破》2026版高中数学高三一轮复习

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姓名 班级 考号
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第五单元　三角函数与解三角形（二）
满分133分,限时100分钟
考点3 三角函数的性质与图象
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2025辽宁大连滨城高中联盟期中)“φ=-”是“函数y=sin(2x+φ)在x∈上单调递减”的(　　)
A.充分不必要条件　　B.必要不充分条件
C.充要条件　　D.既不充分也不必要条件
2.(2025江西上进联考)将函数f(x)=sin(3x+φ)(0<φ<π)的图象向左平移个单位长度后得到奇函数g(x)的图象,则φ=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
3.(2025广东阶段检测)已知函数f(x)=4cos(ωx+φ)(ω>0)图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5,则f=(　　)
A.0　　B.2φ　　C.4　　D.φ2
4.(2024河北石家庄教学质量检测)已知函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如下,A,B是y=f(x)的图象与直线y=的两个交点.若|AB|=,则ω=(　　)
A.1　　B.2　　C.3　　D.4
5.(2025广东佛山顺德教学质量检测)函数f(x)=cos 2x-cos x是(　　)
A.偶函数,且最小值为-2
B.偶函数,且最大值为2
C.周期函数,且在上单调递增
D.非周期函数,且在上单调递减
6.(2025山东青岛第五十八中学期中)已知函数f(x)=cos2-sin2+sin cos ,将函数f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再将所得图象向左平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象.若方程2g(x)-m=1在x∈上有两个不同的解x1,x2,则x1+x2的值为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.π
7.(2024天津一模)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(其中A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,给出以下结论:①f(x)≤f;②函数f为偶函数;③f(x)+f=2;④f(x)在上单调递增,则所有正确结论的序号是(　　)
A.①②　　B.①③④　　C.③④　　D.①④
8.(2025江西抚州部分学校联考)已知函数f(x)=sin(ωx+θ)ω>0,|θ|<, f(0)=,函数f(x)在上单调递增,在上恰有1个零点,则ω的取值范围是(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.若函数f(x)=2tan(2x+φ)的图象经过点P(0,2),则(　　)
A.点为函数f(x)图象的对称中心
B. f(x)的最小正周期为
C. f(x)在上的值域为[2,+∞)
D. f(x)的单调递增区间为(k∈Z)
10.(2025广西七地市摸底测试)已知函数f(x)=|sin 2x|+cos 4x,则(　　)
A. f(x)的最大值为
B. f(x)的最小正周期为
C.曲线y=f(x)关于直线x=(k∈Z)对称
D.当x∈[0,π]时,函数g(x)=16f(x)-17有9个零点
11.(2025广东肇庆一模)已知f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)在上是单调函数,对任意的x∈R,均满足f=-f,且f(x)≥f,则下列说法正确的是(　　)
A.φ=
B.若函数y=f(λx)(λ>0)在[0,π]上单调递减,则λ∈
C.若f(x1)-f(x2)=4,则|x1-x2|的最小值为
D.若函数f(x)在上存在两个极值点,则三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.(2025江苏南通海安期中)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的一个单调递减区间为,则ω=　　　　,φ=　　　　.
13.(2025山东菏泽期中)已知函数f(x)=sin 2x+acos 2x,将f(x)的图象向左平移个单位长度,所得图象与曲线y=f(x)关于原点对称,则f(0)=　　　　.
14.(2024陕西西安长安第一中学质检)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则满足条件>0的最小正整数x为　　　　.
四、解答题(本题共4小题,共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)(2025北京清华大学附属中学开学检测)已知函数f(x)=cos x(2sin x+cos x)-sin2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)若f(x)在[0,m]上有且只有两个零点,求m的取值范围.
16.(15分)(2025安徽皖南八校联考)已知函数f(x)=sin ωxsin-sin2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值及曲线f(x)的对称中心;
(2)设h(x)=2asin x-cos2x+a,若对任意的x1∈,x2∈,都有h(x1)<2f(x2)+1,求实数a的取值范围.
17.(15分)(2025北京延庆期中)已知函数f(x)=2asin xcos x+2cos2x,且f(x)的图象过点.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间;
(2)若函数f(x)在上的图象与直线y=3有交点,求实数m的取值范围;
(3)设函数g(x)=|f(x)-t|(t∈R),记函数g(x)在上的最大值为M(t),求M(t)的最小值及此时t的值.
18.(17分)(2025河南许平汝名校期中)已知函数f(x)=sinsin-1(ω>0),且f(x)图象的一个对称中心到与其相邻的对称轴的距离为.
(1)求ω的值及f(x)的单调递增区间;
(2)将f(x)图象上的所有点的横坐标向右平移个单位长度(纵坐标不变),再向上平移个单位长度,最后将纵坐标伸长为原来的2倍,得到函数g(x)的图象,若函数h(x)=2[g(x)]2-3g(x)+2m-1在上存在零点,求m的取值范围.
答案全解全析
1.A　当φ=-时,y=sin(2x+φ)=sin=-cos 2x,
由x∈,得-π≤2x≤0,易知y=-cos 2x在x∈上单调递减,故充分性成立;
若函数y=sin(2x+φ)在x∈上单调递减,则φ=+2kπ,k∈Z,推不出φ=-,故必要性不成立.
综上,“φ=-”是“函数y=sin(2x+φ)在x∈上单调递减”的充分不必要条件.
2.B　由题知函数f(x)=sin(3x+φ)(0<φ<π)的图象向左平移个单位长度后得到g(x)=sin=+φ=kπ,k∈Z,
又0<φ<π,所以φ=.
解题技法
三角函数的奇偶性
(1)对于y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0),若为奇函数,则φ=kπ(k∈Z);若为偶函数,则φ=kπ+(k∈Z).
(2)对于y=Acos(ωx+φ)(A≠0,ω≠0),若为奇函数,则φ=kπ+(k∈Z);若为偶函数,则φ=kπ(k∈Z).
(3)y=tan x是奇函数,其图象关于原点对称.若y=tan(ωx+φ)(ω≠0)是奇函数,则φ=(k∈Z).
3.C　设f(x)的最小正周期为T,由题意得42+=25,所以T=12,
所以=12,解得ω=,
所以f(x)=4cos,
所以f=4cos=4cos 0=4.
4.D　由题意可设A,B,
则x2-x1=,
由题图可知ωx1+φ=+2kπ,ωx2+φ=+2kπ,k∈Z,
两式相减可得ω(x2-x1)=,
又x2-x1=,所以ω=4.
5.B　易知f(x)=cos 2x-cos x的定义域为R,关于原点对称,
f(-x)=cos(-2x)-cos(-x)=cos 2x-cos x=f(x),所以f(x)为偶函数.
易得f(x)=cos 2x-cos x=2cos2x-cos x-1,
令t=cos x,-1≤t≤1,则f(x)可转化为g(t)=2t2-t-1=-,
当t=,即cos x=时, f(x)有最小值,最小值为-,
当t=-1,即cos x=-1时, f(x)有最大值,最大值为2,故A错误,B正确.
因为f(x+2π)=cos 2(x+2π)-cos(x+2π)=cos 2x-cos x=f(x),所以f(x)为周期函数,
易知y=cos x在(0,π)上单调递减,g(t)=2t2-t-1在上单调递减,在上单调递增,
由复合函数的单调性知, f(x)在上先减后增,在上单调递增,故C,D错误.
6.A　易得f(x)=cos x+sin x=sin,
∴g(x)=sin=sin,
∵0≤x≤,∴≤2x+≤,
∴g(x)在上单调递增,在上单调递减,且g(x)的图象关于直线x=对称,画出图象,如图所示,
方程2g(x)-m=1有两个不同的解等价于g(x)=有两个不同的解,易得当x∈时,g(x)=有两个不同的解,∴x1,x2关于直线x=对称,∴x1+x2=2×=.
7.B　由题图可得A==1,B==1,最小正周期T==2×=π,即ω=2,
又f=0,所以×2+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z,又|φ|<π,所以φ=,故f(x)=sin+1.
对于①, f=sin+1=sin +1=2,为最大值,故f(x)≤f,故①正确.
对于②, f=sin+1=sin+1,不是偶函数,故②错误.
对于③,解法一　f=sin+1=sin+1=-sin+1,则f(x)+f=sin+1-sin+1=2,故③正确.
解法二　令sin=0,则2x+=kπ,k∈Z,即x=-+,k∈Z,
当k=1时,x=,所以f(x)的图象关于点中心对称,
对于④,当x∈时,2x+∈,易知函数y=sin x在上单调递增,所以函数f(x)在上单调递增,故④正确.
解题技法
确定y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的步骤和方法
(1)求A,b.确定函数的最大值M和最小值m,则A=,b=.
(2)求ω.确定函数的最小正周期T,则ω=.
(3)求φ常用的方法:
①代入法,把图象上的一个已知点的坐标代入(此时A,ω,b已知)或代入图象与直线y=b的交点的坐标求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).
②特殊点法,确定φ的值往往以寻找“最值点”为突破口.“最大值点”(即图象的“峰点”):ωx+φ=+2kπ(k∈Z);“最小值点”(即图象的“谷点”):ωx+φ=+2kπ(k∈Z).
8.C　因为f(0)=,所以sin θ=,又|θ|<,所以θ=,
当x∈时,ωx+∈,
因为f(x)在上只有1个零点,所以π<ω+≤2π,解得<ω≤2.
当x∈时,ωx+∈,
因为<ω≤2,所以-π≤-ω+<-,<ω+≤,
又f(x)在上单调递增,所以解得ω≤1.
综上,ω的取值范围是.
9.ABC　将P(0,2)代入f(x)=2tan(2x+φ),得f(0)=2tan φ=2,又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=2tan.
对于A,显然f=0,故A正确;
对于B,函数f(x)的最小正周期T=,故B正确;
对于C,当x∈时,2x+∈,则f(x)∈[2,+∞),故C正确;
对于D,令-+kπ<2x+<+kπ,k∈Z,
得-+故函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z),故D错误.
10.BC　f(x)=|sin 2x|+1-2|sin 2x|2=-2|sin 2x|-2+,
当|sin 2x|=时, f(x)取得最大值,且最大值为,故A错误;
因为y=|sin 2x|,y=cos 4x的最小正周期均为,所以f(x)的最小正周期为,故B正确;
因为f=+cos=|sin 2x|+cos 4x=f(x)(k∈Z),所以曲线y=f(x)关于直线x=(k∈Z)对称,故C正确;
令g(x)=16f(x)-17=0,得f(x)=,则|sin 2x|=±,
画出函数y=|sin 2x|(0≤x≤π)的图象,如图,
结合图象可知,方程|sin 2x|=±在[0,π]上有8个不同的实数根,故D错误.
11.BCD　对于A,因为f=-f,所以f+f=0,
因为对任意的x∈R,都有f(x)≥f,所以当x=时, f(x)取得最小值.
因为f(x)在上是单调函数,所以=-=,得T=π,所以ω==2,
由函数f(x)在x=时取得最小值,得f=2cos=-2,得φ+=π+2kπ,k∈Z,解得φ=+2kπ,k∈Z.
又|φ|<π,所以φ=,故A错误.
对于B,易知f(x)=2cos,
所以y=f(λx)=2cos(λ>0),
当x∈[0,π]时,2λx+∈,若函数y=f(λx)(λ>0)在[0,π]上单调递减,
则2λπ+≤π,解得λ≤,又λ>0,所以λ∈,故B正确.
对于C,易知f(x)的最小正周期T=π,当f(x1)-f(x2)=4时, f(x1), f(x2)分别为函数f(x)的最大值、最小值,
所以=,故C正确.
对于D,易知f(x)在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,
要使f(x)在上存在两个极值点,需满足12.2;
解析　由题意得最小正周期T=2×=π,
所以ω==2,
所以f(x)=sin(2x+φ),
当x=-时,可得f=sin=1,
则-×2+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=+2kπ,k∈Z,
又0<φ<π,所以φ=.
13.-
解析　将f(x)的图象向左平移个单位长度,所得图象的解析式为g(x)=f=sin+acos2x+=sin+acos,
若g(x)的图象与曲线y=f(x)关于原点对称,则-f(-x)=g(x)(关键点),
即sin 2x-acos 2x=sin+acos sin 2x-sin=acos 2x+acos sin=a·sin sin=-asin,
又sin不恒等于0,所以a=-1 a=-,
故f(0)=a=-.
14.2
解析　设函数f(x)的最小正周期为T,则T=-=,解得T=π,则=π,解得|ω|=2,不妨取ω=2,此时f(x)=2cos(2x+φ).将代入该式,结合题图得+φ=+2kπ,k∈Z,∴φ=-+2kπ,k∈Z,不妨取φ=-,
∴f(x)=2cos,
∴f=2cos=2cos=1,
f=2cos=2cos=0,
∴不等式可化为[f(x)-1]f(x)>0,解得f(x)>1或f(x)<0.
由f(x)>1,得2cos>1,即cos>①,由f(x)<0,得cos<0②.
由①得-+2kπ<2x-<+2kπ,k∈Z,
解得-+kπ由②得+2kπ<2x-<+2kπ,k∈Z,
解得+kπ综上,满足条件>0的最小正整数x为2.
15.解析　(1)因为f(x)=cos x(2sin x+cos x)-sin2x
=2sin xcos x+cos2x-sin2x
=sin 2x+cos 2x=2
=2sin,(3分)
所以f(x)的最小正周期T==π,(4分)
令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,(6分)
所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.(7分)
(2)当x∈[0,m]时,2x+∈,
因为f(x)在[0,m]上有且只有两个零点,所以2π≤2m+<3π,(10分)
解得≤m<,故m的取值范围为.(13分)
16.解析　(1)f(x)=sin ωxsin ωxcos +cos ωxsin -sin2ωx=cos ωxsin ωx-sin2ωx=sin 2ωx-(1-cos 2ωx)=sin-,(2分)
因为f(x)的最小正周期为π,所以2ω==2,故ω=1.
所以f(x)=sin-,(4分)
令2x+=kπ,k∈Z,解得x=-,k∈Z.
所以曲线f(x)的对称中心为,k∈Z.(6分)
(2)因为对任意的x1∈,x2∈,都有h(x1)<2f(x2)+1,
所以h(x)在上的最大值小于f(x)在上的最小值的2倍加1.(8分)
易得h(x)=2asin x-cos2x+a=sin2x+2asin x+a-1,
令t=sin x,当x∈时,t∈[-1,1],
令g(t)=t2+2at+a-1,t∈[-1,1],
则h(x)max=g(t)max=max{g(1),g(-1)},(10分)
当x∈时,2x+∈,则f(x)min=f(0)=0,(12分)
所以max{g(1),g(-1)}<1,即即解得-1故实数a的取值范围是.(15分)
17.解析　(1)由题意得f(x)=asin 2x+cos 2x+1,
则f=asin+cos+1=-a++1=0,
解得a=.(2分)
∴f(x)=sin 2x+cos 2x+1=2sin+1,
故f(x)的最小正周期T==π.(4分)
令2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,
所以f(x)的单调递减区间为,k∈Z.(6分)
(2)因为函数f(x)在上的图象与直线y=3有交点,
所以函数f(x)在上的最大值为3,(7分)
当x∈时,2x+∈,
所以2m+≥,解得m≥.
故实数m的取值范围是.(9分)
(3)g(x)=|f(x)-t|=2sin+1-t,当x∈时,2x+∈,
当2x+=时, f(x)-t取得最大值3-t,
当2x+=时, f(x)-t取得最小值-1-t,(10分)
画出函数y=|3-t|和y=|-1-t|=|t+1|的图象,如图,
由图可知,当t≤1时,M(t)=3-t,当t>1时,M(t)=t+1,
所以当t=1时,M(t)有最小值,为2.(15分)
18.解析　(1)f(x)=sinsin-1
=cos ωx-1
=sin ωxcos ωx+cos2ωx-1
=sin 2ωx+cos 2ωx+-1
=sin-,(3分)
因为f(x)图象的一个对称中心到与其相邻的对称轴的距离为,所以f(x)的最小正周期T=4×= ω=1,(5分)
则f(x)=sin-,
令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,故f(x)的单调递增区间为(k∈Z).(8分)
(2)将f(x)图象上的所有点的横坐标向右平移个单位长度(纵坐标不变),再向上平移个单位长度可得y=sin-+=sin的图象,
最后将所得图象的纵坐标伸长为原来的2倍,得到函数g(x)=sin的图象,(10分)
当x∈时,2x-∈,
所以g(x)∈[0,1],
令t=g(x),则条件可化为1-2m=2t2-3t在t∈[0,1]时有解,(12分)
易知y=2t2-3t在上单调递减,在上单调递增,则y=2t2-3t∈,(15分)
所以1-2m∈,
解得m∈.(17分)