第五单元 三角函数与解三角形（一）（含解析）-《巅峰突破》2026版高中数学高三一轮复习

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密 封 线 内 不 要 答 题
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姓名 班级 考号
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第五单元　三角函数与解三角形（一）
满分101分,限时75分钟
考点1 任意角的三角函数、同角三角函数的基本关系式、诱导公式　　考点2 三角恒等变换
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2025广东广州花都调研)sin 60°cos 30°-cos 120°·sin 30°=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.1
2.(2025湘豫名校联考)已知tan=,则sin=(　　)
A.-　　B.-　　C.　　D.
3.(2025河北沧州盐山中学检测)已知α是第四象限角,α的终边与单位圆O交于点P(x0,y0),若2cos2α+-1=0,则x0=(　　)
A.-　　B.-　　C.　　D.
4.(2025湖北新高考联考协作体期中)已知0<β<α<,sin(α-β)=,tan αtan β=2,则sin αsin β=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
5.(2025山东新泰第一中学质量检测)我国北宋时期科技史上的杰作《梦溪笔谈》收录了扇形弧长的近似计算公式:l=弦+,公式中“弦”是指扇形中圆弧所对弦的长,“矢”是指圆弧所在圆的半径与圆心到弦的距离之差,“径”是指扇形所在圆的直径.如图,已知扇形的面积为,扇形所在圆O的半径为2,利用上述公式,计算该扇形弧长的近似值为(　　)
A.+2　　B.　　C.　　D.2+1
6.(2025重庆拔尖强基联盟联合考试)已知α为锐角,sin αsin-=cos αsin,则sin α=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
7.(2025湖南阶段检测)已知关于x的方程2sin x+cos x=1在[0,2π)内有2个不同的解α,β,则cos(α-β)=(　　)
A.1　　B.-1　　C.　　D.-
8.(2025江西赣州瑞金第一中学开学考试)在平面直角坐标系Oxy中,圆O是圆心为O的单位圆,绕原点将x轴的正半轴逆时针旋转角α交圆O于A点,绕原点将x轴的正半轴顺时针旋转角β交圆O于B点,若A点的纵坐标为,S△AOB=,则B点到y轴的距离为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.(2025吉林东北师范大学附属中学第一次摸底考试)已知sin=,则下列说法正确的是(　　)
A.cos=　　B.cos=-
C.cos=-　　D.若α∈(0,π),则cos α=
10.(2024吉林长春质量监测)已知sin θ+cos θ=,θ∈(0,π),则(　　)
A.tan θ=-　　B.cos 2θ=-　　
C.tan=2　　D.cos=
11.(2024安徽六安第一中学月考)已知0<α<<β<π,sin α=,cos(α+β)=-,则下列结论正确的是(　　)
A.sin(α+β)=±　　B.cos β=-　　
C.cos 2β=-　　D.sin(α-β)=-
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.(2025天津耀华中学月考)已知sin α-sin β=-,cos α-cos β=,且α,β均为锐角,则tan(α-β)=　　　　.
13.(2025辽宁丹东阶段测试)求值:=　　　　.
14.(2025四川成都外国语学校期中)若sin(α+β)=cos 2αsin(α-β),则tan(α+β)的最大值为　　　　.
四、解答题(本题共2小题,共28分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)(2025上海大学附属中学开学测试)已知tan α=log23·log34-+.
(1)若α是第一象限角,求sin α的值;
(2)求的值.
16.(15分)(2025四川绵阳中学月考)已知<α<,π<β<,sin 2α=,cos(α+β)=-.
(1)求的值;
(2)求角β-α的值.
答案全解全析
1.D　sin 60°cos 30°-cos 120°sin 30°=sin 60°·cos 30°+cos 60°·sin 30°=sin(60°+30°)=sin 90°=1.
2.B　因为tan=,所以tan =-,
所以sin=cos α====-.
3.C　根据任意角的三角函数定义知x0=cos α,
由2cos-1=0,得cos=,
所以2α+=2kπ±,k∈Z,
所以α=kπ+或α=kπ-,k∈Z.
又α是第四象限角,所以α=2nπ-(n∈Z),
所以cos α=cos=(n∈Z),即x0=.
4.B　由tan αtan β=2得=2,
得sin αsin β=2cos αcos β,
由0<β<α<,得0<α-β<,因为sin(α-β)=,所以cos(α-β)=,所以cos αcos β+sin αsin β=sin αsin β=,所以sin αsin β=.
5.C　设扇形的圆心角为α,由扇形面积公式可知×22×α=,所以α=.
如图,取的中点C,连接OC,交AB于点D,则OC⊥AB.
易知∠OAD=,所以OD=2sin =1,AD=2cos =,所以CD=2-1=1,AB=2AD=2,所以l=弦+=AB+=.
6.C　因为sin αsin-=cos αsin,
所以cos αcos-sin αsin=-,
即cos=-.
由α为锐角,可得<2α+<,
又-<-<0,
所以<2α+<,
故sin=,
所以cos 2α=cos=coscos +sinsin =-×+×=,
由二倍角的余弦公式得cos 2α=1-2sin2α=,所以sin2α=.
又α为锐角,所以sin α>0,
故sin α==.
解题技法
利用两角和与差的三角函数公式解决给值求值问题时,应先分析已知角与所求角之间的关系(如:α=(α+β)-β,α+β=(2α+β)-α,2α=(α+β)+(α-β),等等),再考虑三角函数名称之间的联系,最后选择合适的公式求值.
7.D　2sin x+cos x=sin(x+φ)=1,取φ为锐角,且sin φ=,cos φ=,
所以sin(x+φ)=,
所以sin(α+φ)=,sin(β+φ)=.
不妨设α<β,
因为α≠β,α∈[0,2π),β∈[0,2π),sin φ=sin(α+φ)=sin(β+φ)=,
所以α=0,φ+(β+φ)=π,即β=π-2φ,
所以α-β=-β=2φ-π,cos(α-β)=cos(2φ-π)=-cos 2φ=2sin2φ-1=-.
8.C　由三角函数的定义及题意可得sin α=,cos α=,所以0<α<,
因为S△AOB=×1×1×sin(α+β)=,所以sin(α+β)=,
因为0<α<,0<β<,所以0<α+β<,所以α+β=,
所以β=-α,cos β=cos=cos α+sin α=×+×=,
所以B点到y轴的距离为.
9.BCD　对于A,cos=cos=sin=,故A错误;
对于B,cos=cos=-cos=2sin2-1=-,故B正确;
对于C,cos=cos=-sin=-,故C正确;
对于D,若α∈(0,π),则+α∈,又sin=∈,所以+α∈,所以cos=-=-,
所以cos α=cos
=coscos +sin+αsin
=-×+×=,故D正确.
解题技法
利用诱导公式解决条件求值问题时,首先要仔细观察条件中的已知式与所求式中的角、函数名称及有关运算之间的差异和联系,再将已知式向所求式转化,或将所求式向已知式转化.当角比较复杂时,要注意分析已知式与所求式中的两个角之间是否具有互余、互补关系,或分析已知式与所求式中的两个角的和、差是不是特殊角等.常见的互余关系:-α与+α,+α与-α等;常见的互补关系:+α与-α,+α与-α等.
10.BC　由sin θ+cos θ=,得(sin θ+cos θ)2=,所以2sin θcos θ=-.因为θ∈(0,π),2sin θcos θ=-<0,所以θ∈,
所以sin θ-cos θ===.
由解得所以tan θ===-,故A错误.
cos 2θ=cos2θ-sin2θ=-=-,故B正确.
因为θ∈,所以∈,所以tan>0,由tan θ==-,得tan-22tan+1=0,解得tan=2或tan=-(舍去),故C正确.
cos=cos θcos-sin θsin=-×-×=-,故D错误.
11.BD　因为0<α<,sin α=,所以cos α=.
由0<α<<β<π,得α+β∈,
又cos(α+β)=-=-cos α,所以α+β=π-α或α+β=π+α,当α+β=π+α时,β=π,显然不满足题意,所以α+β=π-α,所以sin(α+β)=,故A错误.
cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-×+×=-,故B正确.
cos 2β=2cos2β-1=2×-1=,故C错误.
由题意及B可得sin β==,所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=×-×=-,故D正确.
12.-
解析　∵sin α-sin β=-,cos α-cos β=,
∴sin2α-2sin αsin β+sin2β=①,
cos2α-2cos αcos β+cos2β=②,
由①②得2(sin αsin β+cos αcos β)=,
∴cos(α-β)=,
由sin α-sin β=-,且α,β均为锐角,得0°<α<β<90°,
故-90°<α-β<0°,
∴sin(α-β)=-,∴tan(α-β)=-.
13.1
解析　======1.
14.
解析　∵sin(α+β)=cos 2αsin(α-β),
∴sin[2α-(α-β)]=cos 2αsin(α-β)(关键点),
即sin 2αcos(α-β)-cos 2αsin(α-β)=cos 2αsin(α-β),
即sin 2αcos(α-β)=2cos 2αsin(α-β),
即tan 2α=2tan(α-β),
所以tan(α+β)=tan[2α-(α-β)]=
=,
若使得tan(α+β)取得最大值,不妨设tan(α-β)>0,
则tan(α+β)=≤=,
当且仅当=2tan(α-β),即tan(α-β)=时取等号,所以tan(α+β)的最大值为.
15.解析　(1)由题意得tan α=log23·log34-+=log23·2log32-+=2-4+4=2.(3分)
若α是第一象限角,则sin α>0,cos α>0,且(5分)
所以故sin α=.(8分)
(2)====-.(13分)
16.解析　(1)
=
==
==-(4tan α+3),(4分)
由sin 2α=,得sin αcos α=,即==,解得tan α=2或tan α=,(6分)
因为<α<,所以tan α=2,所以原式=-11.(7分)
(2)因为<α<,π<β<,所以<α+β<2π,
又cos(α+β)=-,所以<α+β<,
所以sin(α+β)=-=-=-,由<α<得<2α<π,所以cos 2α=-=-,(10分)
所以sin(β-α)=sin[(α+β)-2α]
=sin(α+β)cos 2α-cos(α+β)sin 2α
=-×-×=,(13分)
由<α<,π<β<得<β-α<,所以β-α=.(15分)