第五单元 三角函数与解三角形单元提升卷（含解析）-《巅峰突破》2026版高中数学高三一轮复习

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密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
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姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
单 元 提 升 卷
满分150分,限时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2024广东肇庆联考)sin 18°cos 36°=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
2.(2024江苏南京期中)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2acos Bsin C+2bcos Asin C=c2,则△ABC外接圆的面积是(　　)
A.　　B.　　C.　　D.π
3.(2025福建百校联考模拟)在平面直角坐标系中,将角α的终边顺时针旋转后经过点(1,-2),则sin α=(　　)
A.　　B.-　　C.　　D.-
4.(2025湖北部分高中期中联考)已知函数f(x)=sin ωx-cos ωx(ω>0)的最小正周期为π,将f(x)的图象向右平移φ个单位长度后得到函数g(x)的图象,若g(x)为偶函数,则正实数φ的最小值为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.π
5.(2025四川新高考教研联盟模拟)设△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,tan A=,且B为钝角,则sin A+sin C的取值范围是(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
6.(2024陕西榆林联考)将函数f(x)=2sin x的图象向左平移个单位长度,再把图象上各点的横坐标变为原来的(ω>0),纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,若函数g(x)在区间上单调递增,则ω的取值范围为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
7.(2025湖北武汉华中师范大学第一附属中学期中)某中学数学兴趣小组为测量学校附近某建筑物的高度,在学校操场选择了同一条直线上的A,B,C三点进行测量.如图,AC=20米,B为AC的中点,兴趣小组组长小王在A,B,C三点正上方2米处的A1,B1,C1处观察建筑物最高点E的仰角分别为α,β,γ,其中tan α=,tan β=2,tan γ=,点D为点E在地面上的正投影,点D1为DE上与A1,B1,C1位于同一高度的点,则建筑物的高度DE为(　　)
A.20米　　B.22米
C.40米　　D.42米
8.(2024河南TOP二十名校调研)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)图象的相邻两个对称中心之间的距离是,将f(x)图象上的点向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象,且g(x)为偶函数,若h(x)=2f(x)+1在区间[a,b]上至少含有30个零点,则b-a的最小值为(　　)
A.　　B.14π　　C.　　D.15π
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.(2025江西鹰潭余江一中第三次模拟)下列等式成立的有(　　)
A.tan 25°+tan 35°+tan 25°tan 35°=
B.cos 15°-sin 15°=
C.=1
D.-=4
10.(2025山东济宁教学质量检测)已知函数f(x)=sin x+cos x,则(　　)
A.函数f(x)在上单调递减
B.函数f(x)的图象关于点对称
C.将函数f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,若所得的图象关于y轴对称,则m的最小值是
D.若实数n使得方程f(x)=n在[0,2π]上恰好有三个实数解x1,x2,x3,且x111.(2024湖北武汉部分高中联考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法中正确的有(　　)
A.若a=6,A=,则△ABC面积的最大值为
B.若a=6,b+c=8,则△ABC面积的最大值为3
C.若角A的内角平分线交BC于点D,且=,a=3,则△ABC面积的最大值为3
D.若AB=BC,M为BC的中点,且AM=2,则△ABC面积的最大值为
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.(2025湖北部分高中期中联考)已知△ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2bsin C,若A=,则=　　　　.
13.(2025山西太原期中)如图,扇形OPQ的半径为1,∠POQ=120°,A是扇形弧上的动点,矩形ABCD内接于扇形,则矩形ABCD面积的最大值为　　　　.
14.(2025河南许平汝名校期中)如图所示的“心形”曲线C恰好是由半圆C1,半圆C2,曲线y=cos x+1(0≤x≤π),y=-cos x-1(0≤x≤π)围成的,则“心形”曲线C所围成的区域的面积等于　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)(2025辽宁名校联盟联考)通过两角和的正、余弦公式和二倍角公式,可以推导出三倍角公式.例如:cos 3α=4cos3α-3cos α.
(1)请推导出sin 3α关于sin α的表达式;
(2)求sin 18°的值;
(3)求sin3126°+sin36°-sin366°的值.
16.(15分)(2025辽宁点石联考二模)如图,函数f(x)=sin(ωx+θ)ω>0,0≤θ≤的图象与y轴相交于点,且在y轴右侧的第一个零点为.
(1)求θ和ω的值;
(2)已知0<α<<β<π, f=, f=-,求cos β的值.
17.(15分)(2025吉林松原长岭第二中学月考)已知M,N分别为函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A∈N*,ω∈N*,0<φ<π)图象上相邻的最高点和最低点,MN=,将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,且g(x)为奇函数.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2f=-1,c=2,sin A=2sin B,求△ABC的面积.
18.(17分)(2025山东德州学情检测)从①=a;②asin B-b·cos Bcos C=ccos2B;③(sin A-sin C)2=sin2B-sin Asin C这三个条件中任选一个,补充到下面的问题中,并加以解答.
在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若　　　　.
(1)求角B的大小;
(2)若b=3,求△ABC周长的取值范围;
(3)若△ABC为锐角三角形,c=1,求△ABC面积的取值范围.
19.(17分)(2025山东日照实验高级中学阶段性考试)已知向量a=2sin,-,b=2cos,-2,函数f(x)=a·b,其中ω>0.
(1)若f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立,=,求函数f(x)图象的对称中心;
(2)若2<ω<4,将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,x=是g(x)的一个零点,若函数g(x)在[m,n](m,n∈R且m(3)已知函数h(x)=acos-2a(a<0),在第(2)问的条件下,若对任意x1∈,存在x2∈,使得h(x1)=g(x2)成立,求实数a的取值范围.
答案全解全析
1.A　sin 18°cos 36°=====.
2.D　由2acos Bsin C+2bcos Asin C=c2及正弦定理,得2sin Acos Bsin C+2sin Bcos Asin C=csin C.
2sin Bcos A=c,即所以=2=2R(R为△ABC外接圆的半径),解得R=1,所以△ABC外接圆的面积是πR2=π.
3.B　由题意得sin==-,cos==,
故sin α=sin+=sincos +cossin =-×+×=-.
4.B　f(x)=sin ωx-cos ωx=2sin,ω>0,
若函数f(x)的最小正周期为π,则=π,解得ω=2,所以f(x)=2sin.
将f(x)的图象向右平移φ个单位长度后得到函数g(x)的图象,则g(x)=f(x-φ)=2sin2x-,
因为g(x)为偶函数,所以2φ+=kπ+,k∈Z,解得φ=+,k∈Z,当k=0时,正实数φ取得最小值.
5.A　由tan A=以及正弦定理,得==,
所以sin B=cos A,即sin B=sin,
又B为钝角,+A∈,所以B=+A,
则C=π-(A+B)=-2A>0,所以A∈,
所以sin A+sin C=sin A+sin=sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1=-2+,
因为A∈,所以0由此可得<-2+≤,即sin A+sin C的取值范围是.
6.A　由题意得g(x)=2sin.
当x∈时,因为ω>0,所以+<ωx+<+.
因为函数g(x)在区间上单调递增,
所以(k∈Z),解得-+8k≤ω≤+4k(k∈Z),又ω>0,所以-+8k≤+4k且+4k>0,解得-7.B　设D1E=h,因为tan α=,tan β=2,tan γ=,
所以A1D1==,B1D1==,C1D1==,
因为AC=20米,B为AC的中点,所以A1C1=20米,B1为A1C1的中点,故A1B1=B1C1=10米,
在△A1B1D1中,由余弦定理的推论得cos∠A1B1D1==,
在△C1B1D1中,由余弦定理的推论得cos∠C1B1D1==,
因为∠A1B1D1+∠C1B1D1=π,
所以cos∠A1B1D1+cos∠C1B1D1=0,
即+=0,所以h=20(米),故建筑物的高度DE=h+2=22(米).
8.C　因为函数f(x)图象的相邻两个对称中心之间的距离是,ω>0,所以==,解得ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ),所以g(x)=sin=sin.
因为g(x)为偶函数,所以+φ=+kπ,k∈Z,即φ=+kπ,k∈Z,又0<φ<π,
所以φ=,所以f(x)=sin,
所以h(x)=2sin+1.
令h(x)=0,得sin=-,所以2x+=+2kπ或2x+=+2kπ,k∈Z,解得x=+kπ或x=+kπ,k∈Z,所以h(x)的相邻两个零点之间的距离为或.
若b-a最小,则a和b都是零点,此时在区间[a,π+a],[a,2π+a],…,[a,sπ+a](s∈N*)上分别恰有3,5,…,(2s+1)个零点,所以在区间[a,14π+a]上恰有29个零点,从而在区间(14π+a,b]上至少有1个零点,所以b-a-14π≥,所以b-a≥,故b-a的最小值为.
9.AD　因为tan(25°+35°)==,
所以tan 25°+tan 35°=(1-tan 25°tan 35°)=-tan 25°·tan 35°,
所以tan 25°+tan 35°+tan 25°tan 35°=,故A正确;
cos 15°-sin 15°=sin 45°cos 15°-cos 45°sin 15°=sin(45°-15°)=sin 30°=,故B错误;
=
==,故C错误;
-=
=
===4,故D正确.
10.BCD　f(x)=sin x+cos x=2=2sin.
对于A,当x∈时,x+∈,所以f(x)在上先增后减,A错误;
对于B, f=2sin=0,B正确;
对于C,将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后得y=2sin的图象,若此图象关于y轴对称,则m+=+kπ,k∈Z,得m=+kπ,k∈Z,又m>0,所以m的最小值为,C正确;
对于D,作出f(x)的图象如图所示,
因为f(x)的图象与直线y=n在[0,2π]上有且只有三个交点,所以n=1,结合图知x1,x2关于直线x=对称,x3=2π,
所以x1+x2+x3=2×+2π=,D正确.
11.BCD　对于A,由余弦定理可得a2=c2+b2-2c·bcos ,即c2+b2-c·b=36,
由基本不等式可得36=c2+b2-c·b≥2c·b-c·b=c·b,即c·b≤36,当且仅当c=b=6时,等号成立,
所以S△ABC=c·bsin =c·b≤9,故A错误;
对于B,由余弦定理的推论可得cos A====-1,
所以S△ABC=bcsin A=bc
==,
因为8=b+c≥2,所以bc≤16,当且仅当b=c=4时,等号成立,所以S△ABC=≤3,即△ABC面积的最大值为3,故B正确;
对于C,设∠BAD=α,∠BDA=β,则∠CAD=α,∠CDA=180°-β,
在△ABD和△ACD中,分别运用正弦定理,得=和=.
因为sin(180°-β)=sin β,所以=,即==,所以b=2c,
在△ABC中,由余弦定理的推论可得cos∠BAC==,所以S△ABC=bcsin∠BAC=c2===≤×4=3,当且仅当c=时,等号成立,
所以△ABC面积的最大值为3,故C正确;
对于D,设BM=x,则BA=BC=2x,在△BAM中,由余弦定理得4x2+x2-4x2cos B=4,解得cos B=-,则sin B=,
所以S△ABC=×2x·2xsin B=2x2·==,
所以当x2=,即x=时,=,故D正确.
12.2
解析　由a=2bsin C及正弦定理,
可得a2=2absin C=2bcsin A,
又A=,所以a2=2bcsin A=bc,
由余弦定理的推论得cos A=,即=,
整理得b2+c2=2bc,故=2.
13.
解析　如图,过点O作OM⊥AB于点M,交CD于点N,连接OB,
则∠QOM=∠POQ=,
设∠BOM=θ,θ∈,则∠QOB=-θ,
又OB=1,所以OM=OBcos θ=cos θ,AB=2OBsin θ=2sin θ,CN=AB=sin θ,
在△OCN中,ON==sin θ,
所以MN=OM-ON=cos θ-sin θ,
则S矩形ABCD=AB·MN=2sin θ
=sin-,
又θ∈,所以2θ+∈,
则当2θ+=,即θ=时,S矩形ABCD最大,为.
14.3π
解析　设F(π,0),E(0,2),线段EF的中点为G,则G,如图,
因为曲线y=cos x+1(0≤x≤π)关于点G对称(突破口),
所以可将曲线y=cos x+1(0≤x≤π)与x轴、y轴围成的区域割补为直角三角形OEF的区域,于是曲线y=cos x+1(0≤x≤π)与x轴、y轴围成的区域的面积就是直角三角形OEF的面积,即S△OEF=|OE|·|OF|=×2×π=π;
根据对称性,可得曲线y=-cos x-1(0≤x≤π)与x轴、y轴围成的区域的面积为π,
又“心形”曲线C所围成的区域中,两个半圆的面积为×π×12+×π×12=π,
所以“心形”曲线C所围成的区域的面积等于π+π+π=3π.
15.解析　(1)sin 3α=sin(α+2α)
=sin α·cos 2α+cos α·sin 2α
=sin α·(2cos2α-1)+cos α·2sin α·cos α(2分)
=2sin α·cos2α-sin α+2sin α·cos2α=4sin α·cos2α-sin α
=4sin α·(1-sin2α)-sin α=-4sin3α+3sin α.(4分)
(2)∵36°+54°=90°,∴sin 36°=cos 54°,
即sin(2×18°)=cos(3×18°),
∴2sin 18°·cos 18°=4cos318°-3cos 18°,(6分)
∵cos 18°≠0,∴2sin 18°=4cos218°-3,
即2sin 18°=4(1-sin218°)-3,
整理得4sin218°+2sin 18°-1=0,
∵sin 18°>0,∴sin 18°=.(9分)
(3)由(1)得sin3α=sin α-sin 3α,
∴sin3126°+sin36°-sin366°
=sin 126°-sin 378°+sin 6°-sin 18°-sin 66°+sin 198°(11分)
=(sin 126°+sin 6°-sin 66°)-(sin 378°+sin 18°-sin 198°)
=[sin(120°+6°)+sin 6°-sin(60°+6°)]-[sin(360°+18°)+sin 18°-sin(180°+18°)]
=cos 6°-sin 6°+sin 6°-cos 6°-sin 6°-(sin 18°+sin 18°+sin 18°)=-sin 18°=.(13分)
16.解析　(1)由题意得sin θ=,∵0≤θ≤,∴θ=,(2分)
∴f(x)=sin,
又为f(x)的一个零点,∴ω+=kπ,k∈Z,∴ω=,k∈Z,(4分)
由题图知<<,又T=,∴<ω<,∴<<,k∈Z,∴(2)由(1)知f(x)=sin,
∵f=,∴sin α=,
∵0<α<,∴cos α=,(9分)
∵0<α<<β<π,∴<α+<α+β<α+π<,
∴sin(α+π)∵f=-,∴cos(α+β)=-,∴sin(α+β)=,
∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)·sin α=-.(15分)
17.解析　(1)由题意得MN==,
即+4A2=+4,又A∈N*,ω∈N*,
所以ω=2,A=1,所以f(x)=cos(2x+φ),(3分)
则g(x)=cos2+φ=cos2x++φ,
因为g(x)为奇函数,所以+φ=+kπ(k∈Z),
所以φ=+kπ(k∈Z),
因为0<φ<π,所以φ=,所以f(x)=cos2x+.(7分)
(2)由2f=2cos2C++=-2sin2C+=-1,得sin2C+=,
因为0因为sin A=2sin B,所以由正弦定理得a=2b,
由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C,即12=5b2-2b2=3b2,(13分)
所以b=2,a=4,所以S△ABC=absin C=2.(15分)
18.解析　(1)若选①,由=a得bsin A=a+acos B,
由正弦定理得sin Bsin A=sin A(1+cos B),
由00,
则sin B=1+cos B,所以2sin=1,故sin=,(3分)
又B∈(0,π),所以B-∈,
所以B-=,解得B=.(5分)
若选②,因为asin B-bcos Bcos C=ccos2B,
所以由正弦定理得sin Asin B-sin Bcos Bcos C=sin Ccos2B,
所以sin Asin B=cos B(sin Bcos C+sin Ccos B)=cos Bsin(B+C)=cos Bsin A,由00,
则sin B=cos B,即tan B=,(3分)
又B∈(0,π),所以B=.(5分)
若选③,因为(sin A-sin C)2=sin2B-sin Asin C,
所以由正弦定理得(a-c)2=b2-ac,即a2+c2-b2=ac,
所以cos B===,(3分)
又B∈(0,π),所以B=.(5分)
(2)由(1)得B=,
由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,即9=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac≥(a+c)2-3=(a+c)2,
所以0又三角形两边之和大于第三边,所以a+c>b=3,
则3所以△ABC周长的取值范围是(6,9].(10分)
(3)由(1)得B=,又c=1,
所以由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=a2-a+1,(12分)
因为△ABC是锐角三角形,
所以则
将c=1,b2=a2-a+1代入得解得因为S△ABC=acsin B=a,所以S△ABC∈.(17分)
19.解析　由已知得f(x)=a·b=4sincos+1=2sin+1.(1分)
(1)由f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立,=,可知=,所以T=1,即=1,解得ω=π.(3分)
所以f(x)=2sin+1.
令2πx+=kπ,k∈Z,得x=-,k∈Z,所以函数f(x)图象的对称中心为,k∈Z.(5分)
(2)由已知得g(x)=2sin+1=2sin+1.
由g=0得sin=-,
即sin=-,
所以+=2kπ+或+=2kπ-,k∈Z,
所以ω=6k+3或ω=6k-1,k∈Z.(7分)
又2<ω<4,所以ω=3.
所以g(x)=2sin+1,故其最小正周期为.(8分)
画出函数g(x)的图象如下:
若函数g(x)在[m,n](m,n∈R且m即≤n-m<.
所以n-m的取值范围为.(10分)
(3)问题可转化为当x∈时,函数h(x)的值域是g(x)的值域的子集(关键点).
当x∈时,2x-∈,
所以cos∈,
又a<0,所以h(x)∈.(12分)
当x∈时,6x-∈,
所以sin∈[-1,1],所以g(x)∈[-1,3].(14分)
由 [-1,3],a<0 所以-2≤a<0.
故a的取值范围是[-2,0).(17分)