第一单元 集合与常用逻辑用语（含解析）-《巅峰突破》2026版高中数学高三一轮复习

(
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
(
姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
第一单元　集合与常用逻辑用语
满分99分,限时60分钟
考点1 集合　　考点2 常用逻辑用语
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2025四川南充一诊)已知集合A={x|x2≥4},B={-2,-1,0,2,3},R是实数集,则( RA)∩B=(　　)
A.{0,2}　　B.{-1,0}　　C.{-1,0,2}　　D.{-1}
2.(2025河北邢台邢襄联盟联考)已知命题p: x∈R,ex>1;命题q: x∈(0,π),sin x=,则(　　)
A.p和q都是真命题　　B. p和q都是真命题
C.p和 q都是真命题　　D. p和 q都是真命题
3.(2024湖北重点高中智学联盟联考)设集合M=xx=-,n∈∈Z,则(　　)
A.M N　　B.M=N　　C.M N　　D.M∩N=
4.(2025重庆第一中学校教育集团质量检测)已知集合A={1,a+1},B={0,-a,a+5},若A∩B=A,则实数a的值为(　　)
A.1　　B.-1　　C.-4　　D.-1或-4
5.(2024湖南长沙联考)已知集合A={x|x2-4≤0},B={x||x-a|<1},若B A,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-1,1)　　B.[-1,1]　　
C.[-1,1)　　D.(-1,1]
6.(2025山西朔州第一中学校月考)已知条件p:log2(x+1)<2,条件q:x2-(2a+1)x+a2+a≤0,若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围为(　　)
A.(-∞,2)　　B.(-1,+∞)　　C.(-1,2)　　D.[2,8]
7.(2025江苏南通开学考试)已知b,c∈R,函数f(x)=x+b+c,则“关于x的不等式x2+bx+c>0的解集为R”是“f(x)>0恒成立”的(　　)
A.充分不必要条件　　B.必要不充分条件
C.充分必要条件　　D.既不充分也不必要条件
8.(新定义)(2025吉林长春吉大附中实验学校二模)对于集合M,定义函数fM(x)=对于集合M,N,定义M△N={x|fM(x)·fN(x)=-1}.已知集合A={2,4,6,7,10},B={1,2,4,8,16},用Card(M)表示有限集合M所含元素的个数,则Card(X△A)+Card(X△B)的最小值为(　　)
A.5　　B.6　　C.7　　D.8
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.(2025河南部分名校联考)已知集合A={x∈N|2x2-3x-5<0},则下列说法正确的是(　　)
A.0∈A　　B.-1 A
C.集合A有15个真子集　　D.A {0,1,2}
10.(2024山东枣庄月考)已知集合U为全集,集合A,B,C均为U的子集.若A∩B= ,A∩C≠ ,B∩C≠ ,则(　　)
A.A U(B∩C)　　B.C U(A∪B)　　C.A∪B∪C=U　　D.A∩B∩C=
11.(2025安徽池州第一中学检测)已知a,b∈R,则使“a+b>1”成立的一个必要不充分条件是(　　)
A.a2+b2>1　　B.|a|+|b|>1　　
C.2a+2b>1　　D.+>10
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.(2025广东惠州质量检测)若命题“ x∈[1,2],2x+x-a>0”为假命题,则实数a的取值范围为　　　　.
13.(2024山东东营一模)已知集合A={x∈Z|-114.(2025河北衡水冀州调研)2024年欧洲杯以西班牙夺冠圆满结束,小明统计了其所在班级50名同学中支持德国、西班牙、英格兰的人数,每人至少支持其中一支队伍,有15人这三支队伍都支持,18人不支持德国,20人不支持西班牙,16人不支持英格兰,则同时支持两支队伍的同学的人数为　　　　.
四、解答题(本题共2小题,共26分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)(2025广西钦州第四中学月考)已知集合A={x|-3≤x≤7},B={x|-t+1≤x≤2t-2}.在① RA RB,②A∪B=A,③A∩B=B这三个条件中任选一个补充在下面的横线上,并解答.
(1)若　　　　,求实数t的取值范围;
(2)若A∩B= ,求实数t的取值范围.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
16.(13分)(2025安徽阜阳北外附属新华外国语学校段考)已知集合A={x|x2-5x-6<0},B={x|m+1(1)若命题p: x∈A,x∈B是真命题,求实数m的取值范围;
(2)若x∈B是x∈A的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
答案全解全析
1.B　易得A={x|x2≥4}={x|x≤-2或x≥2},
所以 RA={x|-2又B={-2,-1,0,2,3},所以( RA)∩B={-1,0}.
2.B　对于命题p,结合函数y=ex的图象知 x∈R,ex>0,所以命题p为对于命题q,当x∈(0,π)时,sin x∈(0,1],又∈(0,1),所以命题q是真命题,所以 q是假命题.所以 p和q都是真命题.
方法点拨
当要判定全称量词命题为假时,只需举出一个反例即可.对于命题p,当x=0时,ex=1,所以命题p为假命题.
3.A　解法一　(列举法)由已知得M=…,-,-,-,-,,…,N=…,-,-,-,0,,,,…,所以集合M中的元素都是集合N中的元素,所以M N.
解法二　(元素特征法)因为-=,+=,n,k∈Z,
其中2n-3表示所有的奇数,k+2表示所有的整数,所以集合M中的元素都是集合N中的元素,
所以M N.
解题技法
　　判断集合间关系的方法
(1)列举法:对于能用列举法表示的集合,先用列举法将其表示出来,再通过对比集合中的元素来判断其关系.
(2)元素特征法:确定集合的代表元素是什么,弄清楚集合中元素的特征,再利用此特征进行判断.
(3)图示法:利用数轴或Venn图.一般不等式的解集之间的关系适合借助数轴判断.
4.B　因为,所以a+1=0或a+1=-a.
当a+1=0,即a=-1时,A={0,1},B={0,1,4},满足A B;
当a+1=-a,即a=-时,A=,B=,不满足A B.
综上,实数a的值为-1.
5.点拨　根据B A将集合A,B表示在数轴上,观察图列出关系式,进而得出参数的取值范围.
B　易得A={x|x2-4≤0}={x|-2≤x≤2},B={x||x-a|<.
根据B A,可将集合A,B表示在数轴上,如图.
由图可得解得-1≤a≤1.
解题技法
与不等式有关的集合的运算,常借助数轴进行分析,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,注意实心圆点与空心圆圈的区别,还要注意是否包含端点值.
6.C　由log2(x+1)<2,得-1所以p:-1由x2-(2a+1)x+a2+a≤0,得a≤x≤a+1,
所以q:a≤x≤a+1.
因为p是q的必要不充分条件,所以{x|a≤x≤a+1} {x|-1所以解得-1解题技法
利用充分、必要条件求解参数问题时,一般结合充分、必要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的关系式.要注意对解集的端点值进行检验.
7.A　若关于x的不等式x2+bx+c>0的解集为R,则Δ=b2-4c<0,
所以f(x)=x+b+c=+b+c>0恒成立,故充分性成立.
取b=3,c=2,则f(x)=x+3+2,满足f(x)>0恒成立,但此时x2+bx+c>0即x2+3x+2>0的解集为(-∞,-2)∪(-1,+∞),不满足题意,故必要性不成立.
综上,“关于x的不等式x2+bx+c>0的解集为R”是“f(x)>0恒成立”的充分不必要条件.
8.B　由题意知,X△A={x|x∈(X∪A),x (X∩A)}(关键点),
所以要想Card(X△A)最小,只需Card(X∩A)最大且Card(X∪A)最小(突破口),
所以要使Card(X△A)+Card(X△B)的值最小,2,4一定属于集合X,1,6,7,8,10,16是否属于集合X不影响Card(X△A)+Card(X△B)的值,但集合X不能含有A∪B之外的元素,即(A∩B) X (A∪B),所以当集合X为{1,6,7,8,10,16}的子集与集合{2,4}的并集时,Card(X△A)+Card(X△B)的值最小,为6.
解题技法　　　集合新定义题中的“三定”
(1)定元素:确定已知集合中所含的元素,利用列举法或描述法写出所有元素;
(2)定运算:根据新定义运算要求,转化为集合运算或相关数的运算;
(3)定结果:依据新定义运算,利用列举法或描述法写出所求集合中的元素,必要时结合数轴或Venn图求解.
9.ABD　由2x2-3x-5<0,得-1解题技法
若集合A中有n(n∈N*)个元素,则①A的子集个数为2n;②A的非空子集个数为2n-1;③A的真子集个数为2n-1;④A的非空真子集个数为2n-2.
10.AD　根据题意作出Venn图,如图所示.
由图可得,A U(B∩C),C U(A∪B),A∪B∪C≠U,A∩B∩C= .
解题技法
对于抽象集合的运算,一般有两种解决途径:一是利用特殊值法将抽象集合具体化;二是利用Venn图,借助直观图形进行运算.
11.BC　对于A,当a=,b=时,满足a+b>1,但不满足a2+b2>1,所以“a+b>1”不是“a2+b2>1”的充分条件,即“a2+b2>1”不是“a+b>1”的必要条件,故A不符合题意.
对于B,当a=b=-1时,满足|a|+|b|>1,但不满足a+b>1,所以“|a|+|b|>1”不是“a+b>1”的充分条件;当a+b>1时,(a+b)2=a2+b2+2ab>1,所以(|a|+|b|)2=|a|2+|b|2+2|a|·|b|≥a2+b2+2ab>1,所以|a|+|b|>1,所以“|a|+|b|>1”是“a+b>1”的必要条件,故B符合题意.
对于C,当a=b=0时,满足2a+2b>1,但不满足a+b>1,所以“2a+2b>1”不是“a+b>1”的充分条件;当a+b>1时,2a>0,2b>0,所以2a+2b≥2=2>2>1(当且仅当a=b时取“=”),所以“2a+2b>1”是“a+b>1”的必要条件,故C符合题意.
对于D,当a=2,b=1时,满足a+b>1,但不满足+>10,所以“a+b>1”不是“+>10”的充分条件,即“+>10”不是“a+b>1”的必要条件,故D不符合题意.
解题技法　　探求充分条件、必要条件的步骤
(1)分清“条件”和“结论”,明确探求的方向.
(2)找到使结论成立的充要条件.
(3)将充要条件对应的范围缩小,即得结论成立的充分不必要条件;将充要条件对应的范围扩大,即得结论成立的必要不充分条件.
12.[3,+∞)
解法一　因为命题“ x∈[1,2],2x+x-a>0”为假命题,所以命题“即a≥2x+x在x∈[1,2]上有解(关键点),所以当x∈[1,2]时,a≥(2x+x)min.
设函数f(x)=2x+x,x∈[1,2],易知函数f(x)在[1,2]上单调递增,所以当x=1时,函数f(x)取得最小值,为f(1)=3,所以a≥3.
解法二　若 x∈[1,2],2x+x-a>0,则a<2x+x在x∈[1,2]上恒成立,所以当x∈[1,2]时,a<(2x+x)min.
设函数f(x)=2x+x,x∈[1,2],
易知函数f(x)在[1,2]上单调递增,所以当x=1时,函数f(x)取得最小值,为f(1)=3,所以a<3.
因为命题“ x∈[1,2],2x+x-a>0”为假命题,所以实数a的取值范围为[3,+∞).
解题技法
根据命题的真假求参数的取值范围的策略
(1)善于转化:全称量词命题为真可转化为恒成立问题;存在量词命题为真可转化为有解问题;命题为真可转化为其否定为假;命题为假可转化为其否定为真.
(2)合理运算:根据题意直接建立关系式,求解即得参数的取值范围.
13.(0,3]
解析　易得集合A={x∈Z|-1因为A∩( RB)={1,2},所以0<≤1,解得0故实数a的取值范围是(0,3].
14.16
解析　设支持德国与西班牙的有x人,支持德国与英格兰的有y人,支持西班牙与英格兰的有z人,只支持德国、西班牙、英格兰的人数分别为a,b,c.
根据题意作出Venn图:
由图得a+b+c+x+y+z=50-15=35①.
因为有18人不支持德国,所以b+c+z=18②.
因为有20人不支持西班牙,所以a+c+y=20③.
因为有16人不支持英格兰,所以a+b+x=16④.
②+③+④,得2(a+b+c)+x+y+z=54⑤.
①×2-⑤,得x+y+z=2×35-54=16,所以同时支持两支队伍的同学的人数为16.
15.解析　(1)若选①,由 RA RB,得A B.(2分)
解得t<1.(4分)
当B≠ 时,有解得1≤t≤4.(6分)
综上,实数t的取值范围是t≤4.(7分)
若选②,由A∪B=A,得B A.(2分)
以下解法同选①.(7分)
若选③,由A∩B=B,得B A.(2分)
以下解法同选①.(7分)
(2)若B= ,则-t+1>2t-2,解得t<1.(9分)
若B≠ ,则或无解.(12分)
综上,实数t的取值范围为t<1.(13分)
16.解析　(1)因为B≠ ,所以2m-1>m+1,解得m>2.(2分)
因为命题p: x∈A,x∈B是真命题,所以A∩B≠ (关键点).(4分)
易得A={x|-1又B={x|m+1解得2故实数m的取值范围是{m|2(2)因为x∈B是x∈A的充分不必要条件,所以B A(关键点).(10分)
又B≠ ,所以解得2故实数m的取值范围是m2