高频微专题1（含解析）-《巅峰突破》2026版高中数学高三一轮复习

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密 封 线 内 不 要 答 题
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姓名 班级 考号
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高频微专题1　幂、指数、对数的大小比较
满分75分,限时60分钟
单项选择题(本题共15小题,每小题5分,共75分)
1.(2024天津,5)若a=4.2-0.3,b=4.20.3,c=log4.20.2,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.a>b>c　　B.b>a>c　　
C.c>a>b　　D.b>c>a
2.(2025吉林东北师范大学附属中学期中)已知a=90.4,b=,c=0.80.9,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.cC.a3.(2021新高考Ⅱ,7)若a=log52,b=log83,c=,则(　　)
A.cC.a4.(2025广东肇庆联考)若a=0.30.4,b=0.40.3,c=2log83,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.cC.a5.(2020全国Ⅰ,12)若2a+log2a=4b+2log4b,则(　　)
A.a>2b　　B.a<2b　　
C.a>b2　　D.a6.(2020全国Ⅱ,11)若2x-2y<3-x-3-y,则(　　)
A.ln(y-x+1)>0　　B.ln(y-x+1)<0
C.ln|x-y|>0　　D.ln|x-y|<0
7.(2025四川绵阳中学适应性考试)已知a=,b=lg 4,c=log32,则(　　)
A.a>b>c　　B.a>c>b　　
C.c>a>b　　D.c>b>a
8.(2025江苏南京六校联合体调研)已知2 024m=2 025,2 023m=a+2 024,2 025m=b+2 026,则(　　)
A.0C.b9.(2024河南洛阳统考)设=log2a,2b=lob,=5,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.cC.b10.已知a=log535,b=log763,c=log999,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.aC.b11.(2025广东清远质量检测)已知a=2e-1,b=,c=,则(　　)
A.cC.b12.(2022全国甲文,12)已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9,则(　　)
A.a>0>b　　B.a>b>0　　
C.b>a>0　　D.b>0>a
13.(2020全国Ⅲ,12)已知55<84,134<85.设a=log53,b=log85,c=log138,则(　　)
A.aC.b14.(2021全国乙理,12)设a=2ln 1.01,b=ln 1.02,c=-1,则(　　)
A.aC.b15.(2022新高考Ⅰ,7)设a=0.1e0.1,b=,c=-ln 0.9,则(　　)
A.a答案全解全析
1.B　易知函数y=4.2x在R上单调递增,且函数值恒大于0,又-0.3<0<0.3,所以0<4.2-0.3<4.20<4.20.3,即0易知函数y=log4.2x在(0,+∞)上单调递增,且0<0.2<1,所以log4.20.2所以b>a>c.
2.A　a=90.4=(32)0.4=30.8,b==30.9,易知函数y=3x在R上单调递增,0.9>0.8>0,所以b>a>1.又c=0.80.9<0.80=1,所以c3.C　∵log52log8=,∴a4.C　易知函数y=0.3x在R上单调递减,所以a=0.30.4<0.30.3.
易知函数y=x0.3在(0,+∞)上单调递增,所以0.30.3<0.40.3=b<1,所以a又c=2log83=log89>1,所以c>b>a.
5.B　2a+log2a=22b+log2b<22b+log2(2b),
令f(x)=2x+log2x,则f(a)又易知f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以a<2b.
6.A　因为2x-2y<3-x-3-y,所以2x-3-x<2y-3-y.
设f(x)=2x-3-x,
则f '(x)=2xln 2-3-x×ln 3×(-1)=2xln 2+3-xln 3,
易知f '(x)>0,所以f(x)在R上单调递增.
由2x-3-x<2y-3-y得x1,所以ln(y-x+1)>0.
7.B　易知>=1,0=lg 11,0解法一　∵===2lg 3=lg 9c>b.
解法二　∵b-c=lg 4-log32=lg 4-===<0,∴bc>b.
8.D　由2 024m=2 025得m=log2 0242 025>1.
构造函数f(x)=xm-x-1,x∈[1,2 025],则f'(x)=mxm-1-1.
令g(x)=f'(x)=mxm-1-1,x∈[1,2 025],则g'(x)=m(m-1)xm-2>0,
所以g(x)=f'(x)在x∈[1,2 025]上单调递增,所以f'(x)≥f'(1)=m-1>0,所以f(x)在[1,2 025]上单调递增.
易知f(2 024)=0, f(2 023)=a, f(2 025)=b,所以a<09.B　令f(x)=log2x-.因为y=log2x,y=-在(0,+∞)上均单调递增,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(1)=-<0, f(2)=>0,所以由函数零点存在定理可知1令g(x)=2x-lox.因为y=2x,y=-lox在(0,+∞)上均单调递增,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,又g=-2<0,g(1)=2>0,所以由函数零点存在定理可知因为=5,所以c=lo510.D　因为a=log535=1+log57,b=log763=1+log79,c=log999=1+log911,所以只需比较log57,log79,log911的大小即可.
log57-log79=-=.
因为lg 5lg 9<=<=(lg 7)2,所以log57-log79>0,即log57>log79,所以a>b.
log79-log911=-=.
因为lg 7lg 11<=<=(lg 9)2,所以log79-log911>0,即log79>log911,所以b>c.
综上,a>b>c.
解题技法
当两个对数的底数与真数都不相同时,可通过作差(作商)并利用换底公式化为同底数的对数,然后利用基本不等式将两个对数的积进行放缩,从而确定差的符号,进而得到两个对数的大小关系.
11.C　a==,b==ln 2==.
构造函数f(x)=,x≥e,则f'(x)=≤0在[e,+∞)上恒成立,所以f(x)=在[e,+∞)上单调递减,
所以>,所以>,即a>b.
c==log86,因为log86-=-==,64=1 296且29=512,
所以log86-=>0,即log86>.
因为÷=>1,所以<,所以aa>b.
12.A　由9m=10可得m=log910=>1,
而lg 9lg 11<=<1=(lg 10)2,
所以>,即m>lg 11,
所以a=10m-11>10lg 11-11=0,
而lg 8lg 10<=<=(lg 9)2,所以>,即log89>m,
所以b=8m-9<-9=0.故a>0>b.
13.A　a=log53∈(0,1),b=log85∈(0,1),则==log53×log58<=<1,∴a∵134<85,∴log13134,∴c>.
∵55<84,∴log855综上所述,c>b>a.
14.B　解法一　a=ln 1.012,
因为1.012=(1+0.01)2=1+0.02+0.012>1.02,
所以a>b,排除A,D.
设f(x)=ln x-(x>1),
则f '(x)=-=>0,
所以f(x)在(1,+∞)上单调递增,
从而f(x)>f(1)=0,即ln x>.
故a=2ln 1.01>2×=.
c=-1=,
因为1.012=(1+0.01)2=1+0.02+0.012<1.04,
所以1.01<,所以2.01<+1,
所以>,即a>c,排除C.
解法二　因为a=2ln 1.01=ln 1.012=ln 1.020 1,
所以a>b,下面比较a与c的大小.
令f(x)=2ln(1+x)-+1,x∈[0,1),
则f '(x)=-=,
因为(1+4x)-(1+x)2=1+4x-1-2x-x2=2x-x2=x(2-x)≥0(x∈[0,1)),所以f '(x)≥0,故f(x)在[0,1)上单调递增,
所以f(0.01)>f(0)=0,得a>c.
再比较b与c的大小,b=ln(1+0.02),c=-1,
令g(x)=-1-ln(1+x),x∈[0,1),
则g'(x)=-=,
又(1+x)2-(1+2x)=x2≥0,所以g(x)在[0,1)上单调递增,
故g(0.02)>g(0)=0,故c>b.
综上,a>c>b.
知识拓展　　　　关于ln x的重要不等式
(1)1-≤ln x≤x-1(x>0).
(2)ln x≥,0(3)ln x≥,x≥1;ln x≤,0(4)ln(x+1)≥x-,x≥0.
(5)ln x≤,x≥1.
(6)<<(x1≠x2,x1>0,x2>0).
15.C　a=0.1e0.1,b=,c=-ln 0.9=-ln.
(1)=0.9e0.1,
令f(x)=(1-x)ex,则f '(x)=-xex,
由f '(x)>0得x<0,由f '(x)<0得x>0.
故f(x)在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递增,
所以f(0.1)0,所以a(2)c-b=-ln-=ln -=ln-.
令g(x)=ln(1+x)-x,则g'(x)=-1=.
当x>0时,g'(x)<0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递减,
所以g(3)a-c=0.1e0.1+ln,令h(x)=xex+ln(1-x)(x<1),
则h'(x)=(x+1)ex-(x<1),令φ(x)=(x+1)ex-(x<1),
则φ'(x)=(x+2)ex-,易知当00,
则φ(x)在上单调递增,
又φ(0)=1-1=0,
所以当00,h(x)在上单调递增,所以h(0.1)>h(0),即0.1e0.1+ln>0,即a-c>0,所以a>c.
综上可知,b>a>c.
专题通法
比较幂、指数、对数大小的方法
(1)利用函数的单调性比较大小.
(2)利用中间值比较大小:当底数、指数、真数等都不相同时,可寻找中间量,借助中间值进行大小关系的判断.
(3)利用特殊值比较大小:当要比较大小的几个量是具有某种等量关系的字母时,可以将这些字母取一组符合等量关系的特殊的简单数值,通过这组特殊数值来确定它们的大小关系.
(4)构造函数比较大小:将要比较的各个值中共同的量用变量替换,构造函数,研究函数的单调性比较大小.