高频微专题2（含解析）-《巅峰突破》2026版高中数学高三一轮复习

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高频微专题2　抽象函数性质的应用
满分57分,限时50分钟
一、单项选择题(本题共7小题,每小题5分,共35分)
1.(2021新高考Ⅱ,8)设函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)为偶函数, f(2x+1)为奇函数,则(　　)
A. f =0　　B. f(-1)=0
C. f(2)=0　　D. f(4)=0
2.(新考法)(2024新课标Ⅰ,8)已知函数f(x)的定义域为R, f(x)>f(x-1)+f(x-2),且当x<3时, f(x)=x,则下列结论中一定正确的是(　　)
A. f(10)>100　　B. f(20)>1 000　　
C. f(10)<1 000　　D. f(20)<10 000
3.(2022新高考Ⅱ,8)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y), f(1)=1,则f(k)=(　　)
A.-3　　B.-2　　C.0　　D.1
4.(2021全国甲理,12)设函数f(x)的定义域为R, f(x+1)为奇函数, f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时, f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则f =(　　)
A.-　　B.-　　C.　　D.
5.(2025山西晋中部分学校质量检测)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),若对于任意的x,y∈(0,+∞),都有f(x)+f(y)=f(xy)+2,当x>1时, f(x)>2,且f(3)=3,则函数f(x)在区间[1,27]上的最大值为(　　)
A.2　　B.3　　
C.4　　D.5
6.(2022全国乙理,12)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的图象关于直线x=2对称,g(2)=4,则f(k)=　(　　)
A.-21　　B.-22　　
C.-23　　D.-24
7.(2025四川绵阳中学适应性考试)已知函数y=f(x+1)与y=g(x)的定义域均为R,且它们的图象关于直线x=1对称,若奇函数g(x)满足g(x)=g(2-x),则下列说法不正确的是(　　)
A. f(x)的图象关于直线x=2对称
B. f(x)的图象关于点(4,0)对称
C. f(x)的周期为4
D. f(2 027)=0
二、多项选择题(本题共4小题,共22分.其中第8,9题5分,第10,11题6分)
8.(2023新课标Ⅰ,11)已知函数f(x)的定义域为R, f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则(　　)
A. f(0)=0　　B. f(1)=0
C. f(x)是偶函数　　D.x=0为f(x)的极小值点
9.(2022新高考Ⅰ,12)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,记g(x)=f'(x).若f ,g(2+x)均为偶函数,则(　　)
A. f(0)=0　　B.g=0
C. f(-1)=f(4)　　D.g(-1)=g(2)
10.(2024广东调研)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R, f(x)是奇函数, f(x)=f(2-x)-x+1.若f(x)在区间[-1,0]上单调递增,则下列说法正确的是(　　)
A. f(2)=-1　　B. f(2 022)+f(2 024)=2 023
C. f(2.2)-f(2.8)>0.3　　D. f'(2 023)=-
11.(2025江西上饶广信二中月考)设f(x)与其导函数f'(x)的定义域均为R,g(x)=f'(x),若f(3x)=f(2-3x),g(x-2)的图象关于直线x=1对称,g(x)在[-1,1]上单调递减,且g(7)=3,则(　　)
A.g(x-1)为偶函数
B.g(x+1)的图象关于原点对称
C.g(2 041)=3
D.g(x)的极小值为3
答案全解全析
1.B　∵函数f(x)的定义域为R,且f(2x+1)为奇函数,
∴
设-2x+1=t,则2x=1-t,
∴f(t)=-f(2-t).①
又.②
结合①②,得f(t)=-f(2-t)=-f(t+2),
∴f(-1)=-f(1)=0.
2.B　因为当x<3时, f(x)=x,所以f(1)=1, f(2)=2.
又f(x)>f(x-1)+f(x-2),
所以f(3)>f(2)+f(1)=2+1=3, f(4)>f(3)+f(2)>3+2=5,……,
以此类推知f(10)>89,……, f(16)>1 597,……, f(20)>10 946,故B正确,D错误.
取f(3)=1 000,可知C错误.
设f(x)=f(x-1)+f(x-2)+λ(λ>0),则f(3)=f(2)+f(1)+λ=3+λ, f(4)=f(3)+f(2)+λ=5+2λ,……, f(10)=89+54λ.
令f(10)<100,得89+54λ<100,所以λ<,所以当λ<时, f(10)<100,故A错误.
3.A　令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x)·f(1)=f(x),则f(x+1)=f(x)-f(x-1),故f(x+2)=f(x+1)-f(x),f(x+3)=f(x+2)-f(x+1),故f(x+3)=-f(x),故f(x+6)=f(x),故函数f(x)是周期为6的周期函数,
令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=f(1)·f(0) f(0)=2,
则f(2)=f(1)-f(0)=-1, f(3)=f(2)-f(1)=-2,
f(4)=f(3)-f(2)=-1, f(5)=f(4)-f(3)=1,
f(6)=f(5)-f(4)=2,
所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0,
f(k)=3[f(1)+f(2)+…+f(6)]+f(19)+f(20)+f(21)+f(22)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=-3.
4.D　解法一　由题知
即从而f(x+4)=-f(x+2),即f(x+2)=-f(x),所以6=f(0)+f(3)=-f(2)+[-f(1)]=-(4a+b)-(a+b)=-5a-2b,即5a+2b=-6.①
由题知f(x+1)为奇函数,x∈R,所以f(1)=0,即a+b=0.②
由①②得从而f(x)=-2x2+2,x∈[1,2].
所以f=f=-f=f=-f=-=.
解法二　因为f(x+1)与f(x+2)分别为奇函数和偶函数,所以函数f(x)的图象关于点(1,0)和直线x=2对称,且f(x)为周期函数,周期T=4,
从而f(0)=-f(2)①, f(3)=f(1)=0②,
f=f=-f,
由①②结合f(0)+f(3)=6,知a=-2,b=2,
所以f=-=.
5.D　令x=y=1,得f(1)=2.
令x=y=3,得f(3)+f(3)=f(9)+2,又f(3)=3,所以f(9)=4.
令x=3,y=9,得f(3)+f(9)=f(27)+2,所以f(27)=5.
任取x1,x2∈(0,+∞),且x2>x1,
则>1,所以f>2,
所以f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x1)+f-2=2-f<0,即f(x1)所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在区间[1,27]上的最大值为f(27)=5.
6.D　因为y=g(x)的图象关于直线x=2对称,所以g(2-x)=g(2+x),
因为f(x)+g(2-x)=5,所以f(-x)+g(2+x)=5,所以f(x)=f(-x),又f(x)的定义域关于原点对称,所以f(x)为偶函数,
因为g(x)-f(x-4)=7,所以g(x+2)-f(x-2)=7,即g(x+2)=7+f(x-2),
因为f(x)+g(2-x)=5,所以f(x)+g(x+2)=5,
所以f(x)+[7+f(x-2)]=5,即f(x)+f(x-2)=-2,
所以f(x+2)+f(x)=-2①,所以f(x+2)=f(x-2),所以f(x)=f(x-4),所以f(x)的周期为4.
由①知f(3)+f(1)=f(4)+f(2)=-2.
因为f(x)+g(2-x)=5,所以f(0)+g(2)=5,
又g(2)=4,所以f(0)=1,
由f(x)+f(x-2)=-2,得f(2)=-2-f(0)=-3, f(1)+f(-1)=2f(1)=-2,所以f(1)=-1.
所以f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+…+f(20)+f(21)+f(22)=5[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)
=5[f(1)+f(3)+f(2)+f(4)]+f(1)+f(2)
=5×(-2-2)+f(1)+f(2)=-20+f(1)+f(2)=-24.
7.B　在函数y=g(x)的图象上任取一点(a,b),则b=g(a),因为函数y=f(x+1)的图象与y=g(x)的图象关于直线x=1对称,所以点(2-a,b)在y=f(x+1)的图象上,即b=f(3-a),所以g(a)=f(3-a),即g(x)=f(3-x).
因为g(x)=g(2-x),所以f(3-x)=f(1+x),所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称,故A正确.
因为函数g(x)为奇函数,所以g(x)+g(-x)=0,即f(3-x)+f(3+x)=0,所以f(3+x)=-f(3-x)=-f(1+x),所以f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以函数f(x)的周期为4,故C正确.
因为f(3-x)+f(3+x)=0,所以函数f(x)的图象关于点(3,0)中心对称,所以f(3)=0,所以f(2 027)=f(506×4+3)=0,故D正确.
由C知f(4-x)=f(x),所以f(8-x)=f(x),函数f(x)的图象关于直线x=4对称.
若f(x)的图象关于点(4,0)对称,则f(8-x)+f(x)=0,即f(x)=0,无法确保f(x)=0恒成立,故B错误.
8.ABC　选项A,令x=y=0,则f(0)=0×f(0)+0×f(0),
则f(0)=0,故A正确;
选项B,令x=y=1,则f(1)=1×f(1)+1×f(1),则f(1)=0,故B正确;
选项C,令x=y=-1,则f(1)=(-1)2×f(-1)+(-1)2×f(-1),则f(-1)=0,
令y=-1,则f(-x)=(-1)2f(x)+x2f(-1),即f(-x)=f(x),又f(x)的定义域为R,关于原点对称,所以f(x)是偶函数,故C正确;
选项D,若函数f(x)=0,则f(x)为常数函数,且满足f(xy)=y2f(x)+x2f(y),而常数函数没有极值点,故D错误.
9.BC　解法一　若设f(x)=1,则g(x)=0,易知所设f(x)符合题意,此时f(0)=1,故A错误.
若设f(x)=sin πx,则g(x)=f '(x)=πcos πx,
∵f=sinπ=sin-2πx=-cos 2πx,g(2+x)=πcos[π(2+x)]=πcos(2π+πx)=πcos πx,∴f ,g(2+x)均为偶函数,∴所设f(x)符合题意.
于是g(-1)=πcos(-π)=-π≠g(2)=πcos 2π=π,故D错误.
即g是奇函数,则g=0,
又∵g(2+x)是偶函数,
∴g=g=-g=-g
=-g=-g=g
=g=g=g=0,故B正确.
对于f =f ,取x=,则f(-1)=f(4),故C正确.
解法二　由题意知f=f f=f f(-x)=f(3+x)①,
取x=1,知f(-1)=f(4),C正确.
对①式两边分别求导知-f '(-x)=f '(3+x) f '(-x)=-f '(3+x),即g(-x)=-g(3+x)②,取x=-,知g=0.
由题意知g(2+x)=g(2-x),∴g(-x)=g(x+4)③,
由②③知g(x+4)=-g(x+3),即g(x+1)=-g(x),
∴g(x+2)=-g(x+1)=g(x).
从而g=g=g=0,B正确.
同解法一可判断出A,D错误.
10.ACD　因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0.
对于f(x)=f(2-x)-x+1,令x=0,得f(0)=f(2)+1,所以f(2)=-1,故A正确. f(x)=f(2-x)-x+1可化为f(x)+=f(2-x)+,构造函数g(x)=f(x)+,则g(x)=g(2-x),且g(x)为R上的可导奇函数,g(0)=0,所以g(x)=g(2-x)=-g(x-2),所以g(x-2)=-g(x-4),即g(x)=g(x-4),所以g(x)是以4为周期的周期函数,其图象关于直线x=1对称,所以g(2 022)+g(2 024)=g(505×4+2)+g(506×4)=g(2)+g(0)=0,所以f(2 022)+f(2 024)=g(2 022)-1 011+g(2 024)-1 012=-2 023,故B错误.因为f(x)在区间[-1,0]上单调递增,g(x)=f(x)+,所以g(x)在区(点拨),又g(x)的图象关于直线x=1对称,所以g(x)在[2,3]上单调递减,所以g(2.2)>g(2.8),即f(2.2)+1.1>f(2.8)+1.4,所以f(2.2)-f(2.8)>0.3,故C正确.因为g(x)=g(2-x)=-g(x-2),所以g'(x)=-g'(2-x)=-g'(x-2),所以g'(1)=-g'(1)=-g'(-1),解得g'(-1)=0.因为g(x)=f(x)+,所以g'(x)=f '(x)+.由g(x+4)=g(x),得g'(x+4)=g'(x),所以g'(x)是以4为周期的周期函数,所以g'(2 023)=g'(506×4-1)=g'(-1)=0,即f '(2 023)+=0,解得f '(2 023)=-,故D正确.
11.AB　因为g(x-2)的图象关于直线x=1对称,所以g(x-1)的图象关于直线x=0对称,所以g(x-1)为偶函数,故A正确.
因为f(3x)=f(2-3x),所以f(x)=f(2-x),对等式两边同时求导,得f'(x)=-f'(2-x),即g(x)=-g(2-x),
所以g(x)的图象关于点(1,0)对称,所以g(x+1)的图象关于点(0,0)对称,故B正确.
因为g(x-2)的图象关于直线x=1对称,所以g(x)的图象关于直线x=-1对称,所以g(x)=g(-2-x),
又g(x)=-g(2-x),所以g(-2-x)=-g(2-x),
所以g(x)=-g(4+x),所以g(x+8)=-g(4+x)=g(x),所以g(x)的周期为8,所以g(2 041)=g(255×8+1)=g(1)=0,故C错误.
因为g(x)在[-1,1]上单调递减,且g(x)的图象关于点(1,0)对称,所以g(x)在[1,3]上单调递减,即g(x)在[-1,3]上单调递减.又g(x)的图象关于直线x=-1对称,所以g(x)在[-5,-1]上单调递增.又g(x)的周期为8,所以g(x)在[3,7]上单调递增,所以g(x)的极小值为g(3)=-g(-1)=-g(7)=-3,故D错误.
专题通法
1.抽象函数问题中关于周期的常用结论:
(1)若f(x+a)=-f(x),则f(x)的周期T=2|a|;
(2)若f(x+a)=,则f(x)的周期T=2|a|;
(3)若f(x+a)=-,则f(x)的周期T=2|a|;
(4)若f(x)的图象关于直线x=a和x=b对称,则f(x)的一个周期为2|a-b|;
(5)若f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称,则f(x)的一个周期为2|a-b|;
(6)若f(x)的图象关于直线x=a和点(b,0)对称,则f(x)的一个周期为4|a-b|.
2.抽象函数问题中关于对称的常用结论:
(1)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称;
(2)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称;
(3)若f(a+x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=对称;
(4)若f(a+x)+f(b-x)=0,则函数y=f(x)的图象关于点中心对称.
3.解决抽象函数问题的策略:
(1)抽象函数的求值问题,一般采用赋值法,即通过将函数满足的等式中的变量取适当的值,即可获得特殊函数值之间的等量关系,从而求出相应的函数值.
(2)抽象函数奇偶性与单调性的判断,一般采用定义法,即通过赋值,得到f(x)与f(-x)的关系,从而确定奇偶性;通过赋值,利用已知条件得到f(x1)与f(x2)的大小关系确定单调性.