高频微专题3（含解析）-《巅峰突破》2026版高中数学高三一轮复习

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密 封 线 内 不 要 答 题
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姓名 班级 考号
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高频微专题3　导数中的构造问题
满分67分,限时50分钟
一、单项选择题(本题共7小题,每小题5分,共35分)
1.(2025吉林东北师范大学附属中学一模)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),若f(1)=0, f'(x)>f(x),则不等式f(x)>0的解集为(　　)
A.(0,+∞)　　B.(1,+∞)　　C.(0,1)　　D.(0,1)∪(1,+∞)
2.(2024湖南长沙宁乡玉潭高级中学月考)已知函数y=f(x)对任意的x∈(0,π)均满足f'(x)sin x-f(x)cos x=-1,其中f'(x)是f(x)的导函数,则下列不等式恒成立的是　(　　)
A.f3.(2024江西景德镇质量检测)设0ln b+-1,其中e是自然对数的底数,则(　　)
A.aeb　　C.ab<1　　D.ab>1
4.若对任意的x1,x2∈(m,+∞),且x1A.　　B.　　C.　　D.
5.(2025湖南郴州一模)已知f(x)=memx-ln x(m≥0),若f(x)有两个零点,则实数m的取值范围为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
6.(2024湘豫名校联考)已知λ>0,对任意的x>1,不等式e2λx-(ln )ln x≥0恒成立,则实数λ的取值范围为　(　　)
A.　　B.　　C.[2e,+∞)　　D.[e,+∞)
7.(2024湖北鄂东南省示范高中教改联盟校联考)已知a=lo,b=,c=lo,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.b二、多项选择题(本题共2小题,每小题6分,共12分)
8.(2024河北邯郸质量检测)已知a>0,b∈R,e是自然对数的底数,若b+eb=a+ln a,则a-b的值可以是(　　)
A.-1　　B.1　　C.2　　D.3
9.(2025河南部分学校联考)已知对任意的x>0,不等式ex-ax3+2ax2ln x≥0恒成立,则实数a的可能取值为　(　　)
A.1　　B.　　C.e　　D.e2
三、填空题(本题共1小题,每小题5分,共5分)
10.(2024辽宁联考)已知函数f(x)=ex+1-aln x,若f(x)≥a(ln a-1)对任意x>0恒成立,则实数a的取值范围是　　　　.
四、解答题(本题共1小题,共15分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
11.(15分)(2024四川乐山期末)已知函数f(x)=(ex+a)x,g(x)=(x+a)ln x.
(1)当a=0时,求函数y=f(x)的极值;
(2)当a≥时,若f(x1)=g(x2)=t(t>0),求证:x1(x2+a)ln t≥-.
答案全解全析
1.B　构造函数g(x)=,则g'(x)=.
因为f'(x)>f(x),ex>0,所以g'(x)>0,所以g(x)在R上单调递增.
又g(1)==0,
所以当x>1时,g(x)=>0,即f(x)>0;当x<1时,g(x)=<0,即f(x)<0,
所以不等式f(x)>0的解集为(1,+∞).
2.A　构造函数g(x)=,x∈(0,π),
则g'(x)==,x∈(0,π),
所以当x∈(0,1)时,g'(x)>0;当x∈(1,π)时,g'(x)<0,
所以函数g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,π)上单调递减.
对于A,因为0<<<1,所以g对于B,因为1<<<π,所以g>g,即f>f,故B错误.
对于C,因为1<<<π,所以g>g,即f>f,故C错误.
对于D,因为1<<<π,所以g>g,即f>f,故D错误.
3.A　因为ln a+>ln b+-1,所以ln a+1+>ln b+,即ln ae+>ln b+.
构造函数f(x)=ln x+,则f(ae)>f(b), f'(x)=-=,
所以当x∈(0,e)时, f'(x)<0, f(x)单调递减;当x∈(e,+∞)时, f'(x)>0, f(x)单调递增.
因为04.B　因为x10,所以x1ln x2-x2ln x1<2x2-2x1,所<.
构造函数f(x)=,则f(x2)又x1易得f'(x)=,令f'(x)<0,得x>,所以m≥,
所以实数m的最小值为.
5.A　若f(x)有两个零点,则f(x)=memx-ln x=0有两个解,即mxemx-xln x=0(x>0)有两个解.
构造函数g(t)=tet,则原式等价于g(mx)=g(ln x)有两个解,即mx=ln x(x>0),即m=有两个大于零的解.
令h(x)=(x>0),则h'(x)=,
所以当00,h(x)单调递增;当x>e时,h'(x)<0,h(x)单调递减,所以h(x)在x=e处取得极大值,也是最大值,为h(e)=.
易知当x→0+时,h(x)→-∞,当x→+∞时,h(x)→0+,且当x>1时,h(x)>0,由此作出函数y=h(x)的图象,如图所示.
由图可知,06.B　因为λ>0,所以由e2λx-(ln )ln x≥0,得2λe2λx≥ln x,即2λxe2λx≥eln xln x.
构造函数h(u)=ueu,u>0,则h(2λx)≥h(ln x),h'(u)=(u+1)eu,u>0,所以h'(u)>0,所以h(u)在(0,+∞)上单调递增.
因为λ>0,x>1,所以2λx>0,ln x>0,所以2λx≥ln x对任意的x>1恒成立,即2λ≥对任意的x>1恒成立.
构造函数m(t)=(t>1),则m'(t)=(t>1),
所以当10,m(t)单调递增;当t>e时,m'(t)<0,m(t)单调递减,
所以m(t)在t=e处取得极大值,也是最大值,为m(e)=,所以2λ≥,解得λ≥.故实数λ的取值范围为.
7.C　a=lo=,b=.
构造函数f(x)=ln x-,则f'(x)=-=,
当x>1时, f'(x)>0,∴f(x)在(1,+∞)上单调递增,
∴f>f(1)=0,即ln >1-,又ln >0,∴>,∴ba=,c==.
构造函数g(x)=(x>7),
则g'(x)=
=(x>7).
令h(x)=xln x-(x+1)ln(x+1)+ln 7,则h'(x)=ln x+1-ln(x+1)-1=ln x-ln(x+1)<0,
∴h(x)在(7,+∞)上单调递减,∴当x>7时,h(x)∴g(x)在(7,+∞)上单调递减,∴g(9)综上,b8.BCD　易得b+eb=a+ln a=ln a+eln a(突破口),
设函数f(x)=x+ex,则f(b)=f(ln a),易知f(x)在R上单调递增,所以b=ln a,即a=eb,所以a-b=eb-b,
令g(x)=ex-x(关键点),则g'(x)=ex-1,当x<0时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x>0时,g'(x)>0,g(x)单调递增,
所以g(x)≥g(0)=1,从而a-b≥1,结合选项可知,B,C,D符合题意.
9.ABC　因为x>0,所以ex-ax3+2ax2ln x≥0可化为-ax+2aln x≥0,即-a(x-ln x2)≥0,即-aln ≥0.
构造函数φ(x)=(x>0),则φ'(x)=,令φ'(x)=0,得x=2,
所以当02时,φ'(x)>0,φ(x)单调递增,所以φ(x)min=φ(2)=,且当x→0+时,φ(x)→+∞,当x→+∞时,φ(x)→+∞.
令t=(x>0),则t∈,所以原不等式可化为t-aln t≥0在上恒成立,即a≤在上恒成立.
令h(t)=,t∈,则h'(t)=,令h'(t)=0,得t=e,
所以当≤te时,h'(t)>0,h(t)单调递增,
所以h(t)min=h(e)=e,故a≤e.
结合选项,实数a的可能取值为1,,e.
10.(0,e2]
解析　易知a>0,由ex+1-aln x≥a(ln a-1)可得+1-ln a≥ln x,即ex+1-ln a+1-ln a≥ln x,则有ex+1-ln a+x+1-ln a≥x+ln x(突破口),
设h(x)=ex+x,则h(x+1-ln a)≥h(ln x),易知h(x)在R上单调递增,所以x+1-ln a≥ln x,即x-ln x≥ln a-1,
设g(x)=x-ln x,则g'(x)=,
令g'(x)>0,得x>1,令g'(x)<0,得0故g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
所以g(x)≥g(1)=1,
则有1≥ln a-1,解得011.解析　(1)当a=0时, f(x)=xex,则f'(x)=ex(x+1).(1分)
令f'(x)=0,得x=-1,所以当x∈(-∞,-1)时, f'(x)<0, f(x)单调递减;当x∈(-1,+∞)时, f'(x)>0, f(x)单调递增,(3分)
所以f(x)在x=-1处取得极小值,为-,无极大值.(5分)
(2)证明:由题意得(+a)x1=(x2+a)ln x2=(+a)ln x2.(6分)
构造函数h(x)=(ex+a)x,
则h'(x)=exx+ex+a=ex(x+1)+a,h(x1)=h(ln x2).(7分)
令φ(x)=ex(x+1)+a,则φ'(x)=ex(x+2),
令φ'(x)=0,得x=-2,所以当x∈(-∞,-2)时,φ'(x)<0,φ(x)单调递减;当x∈(-2,+∞)时,φ'(x)>0,φ(x)单调递增,所以h'(x)=φ(x)≥φ(-2)=-e-2+a.
因为a≥,所以h'(x)≥0,当且仅当x=-2时取等号,所以h(x)在(-∞,+∞)上单调递增,所以x1=ln x2.(10分)
因为(+a)x1=(x2+a)ln x2=t(t>0),所以x1(x2+a)ln t=(x2+a)ln x2ln t=tln t(t>0).(11分)
构造函数F(x)=xln x(x>0),则F'(x)=ln x+1,(12分)
令F'(x)=0,得x=,所以当x∈时,F'(x)<0,F(x)单调递减;
当x∈时,F'(x)>0,F(x)单调递增,所以F(x)≥F=-,所以x1(x2+a)ln t≥-.(15分)
专题通法
构造法在导数中的应用
1.单变量同构
(1)构造具体函数:根据题设中目标特征或适当变形,将其化为结构相同的式子,然后同构函数,利用函数的单调性求解.
(2)构造抽象函数:根据已知条件式的特点,结合导数四则运算的法则构造抽象函数解决相关问题.
已知条件式 可构造的函数
xf'(x)+nf(x)>0(或<0) F(x)=xnf(x)
f'(x)+nf(x)>0(或<0) F(x)=enxf(x)
f'(x)sin x+f(x)cos x>0(或<0) F(x)=f(x)sin x
f'(x)cos x-f(x)sin x>0(或<0) F(x)=f(x)cos x
xf'(x)-nf(x)>0(或<0) F(x)=
f'(x)-nf(x)>0(或<0) F(x)=
f'(x)sin x-f(x)cos x>0(或<0) F(x)=
f'(x)cos x+f(x)sin x>0(或<0) F(x)=
　　2.双变量同构
对于含有两个变量x1,x2的不等式,一般通过变形将x1,x2分别化到不等式的两边,若不等式两边结构相同,则根据结构特征同构函数,利用函数的单调性解决问题,注意不等式的等价转化.
3.含指数、对数形式的同构
(1)依据题设条件直接同构
①积型:aea≤bln b
②商型:<
③和差型:ea±a>b±ln b
(2)依据题设条件变形同构
观察不等式的结构特征,在两边同乘或同加某一式子进行变形,或者放缩来进行同构.
①aeax>ln xaxeax>xln x,后面的转化同积型.
②ex>aln(ax-a)-a ex>ln[a(x-1)]-1 ex-ln a-ln a>ln(x-1)-1ex-ln a+x-ln a>ln(x-1)+x-1=eln(x-1)+ln(x-1) x-ln a>ln(x-1),其中a>0且a≠1.
③ax>logax exln a> (xln a)exln a>xln x,后面的转化同积型,其中a>1.