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实数 单元模拟测试卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列四个数中，最大的数是（ ）
A． B． C． D．
2．有下列各数：0.456， ，（﹣π）0，3.14，0.80108，0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）， ， ，其中是无理数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．介于（ ）
A．－1和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间
4．下列选项中计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，数轴上A点表示一个无理数，这个无理数可能是 ( )
A． B． C． D．
6．若0＜ ＜1，那么 的化简结果是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则的平方根是（ ）
A． B． C． D．
8．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示．若b+d＝0，则下列结论正确的是（ ）
A．b+c0 B．1 C．adbc D．|a||b|
9．下列说法中正确的是（ ）
A．和数轴上一一对应的数是有理数
B．数轴上的点可以表示所有的实数
C．带根号的数都是无理数
D．不带根号的数都是有理数
10．在数轴上有三个互不重合的点A，B，C，它们代表的实数分别为a，b，c，下列结论中①若abc 0，则A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧；②若a+b+c＝0，则A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧；③若a+c＝2b，则点B为线段AC的中点；④O为坐标原点且A，B，C均不与O重合，若OB﹣OC＝AB﹣AC，则bc 0，
所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在数轴上，点O为原点，点C所对应的数是1，过点C作，且，以为半径作圆O与数轴相交于原点右侧的一点A，则点A表示的数是 ．
12．计算： .
13．比较两数的大小 3．（填“”或“”）
14．设的整数部分为a，小数部分为b，求8ab-8的立方根为 ．
15．已有数2，8，试再写出一个数，使得这三个数中，一个数是另外两个数的乘积的一个平方根，这个数是 。
16．给出四个实数，，，0.4，其中最小的数是 ．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不能全部地写出来，于是小聪用 来表示 的小数部分，你同意小聪的表示方法吗？事实上小聪的表示方法是有道理的，因为 的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是它的小数部分．请解答下列问题：
（1） 的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）如果 的小数部分是a， 的整数部分是b，求a+b+ 的值．
（3）已知 ，其中x是正整数，018．
（1）要生产一种容积为升的球形容器，这种球形的半径是多少分米？（球的体积公式是，其中R是球的半径）．
（2）已知一个正数的平方根是和，求a和这个正数的值．
19．已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a-9．
（1）求a和m的值；
（2）求关于x的方程的解．
20．设2+ 的整数部分为x，小数部分为y．
（1）求2x+1的平方根；
（2）化简：|y﹣2|．
21．已知 .
（1）已知x的算数平方根为3，求a的值；
（2）如果x，y都是同一个数的平方根，求这个数．
22．已知某正数的两个不同的平方根是 和 ； 的立方根为-3．
（1）求 、 的值；
（2）求 的平方根．
23．
（1）用“<”“>”或“=”填空：1 ， ；
（2）由以上可知：
①|1- |= ，②| - |=
（3）计算： (结果保留根号)．
24．把下列各数分别填入相应的集合内：
，-2，-3.14，0，，，-0.1212212221…，（每两个1之间依次增加1个2），0.232323……
（1）有理数集合：{ …}．
（2）无理数集合：{ …}．
（3）请你再举出3个无理数的例子．
25．数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读了其中的奥秘.
你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试：
①∵ ， ，又∵1000＜59319＜1000000，
∴ ， 能确定59319的立方根是个两位数．
② 59319的个位数是9，又∵93=729， 能确定59319的立方根的个位数是9．
③如果划去59319后面的三位319得到数59，
而 ，则 ，可得 ，
由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39.
（1）现在换一个数110592，按这种方法求立方根，请完成下列填空.
①它的立方根是 位数． ②它的立方根的个位数是 ．
③它的立方根的十位数是 ． ④110592的立方根是 ．
（2）请直接填写结果：① = ；② = ；
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实数 单元模拟测试卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列四个数中，最大的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
2．有下列各数：0.456， ，（﹣π）0，3.14，0.80108，0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）， ， ，其中是无理数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解： ，0.101 001 000 1…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）， 是无理数，
0.456，（﹣π）0=1，3.14，0.80108， 是有理数
所以无理数共有3个，
故答案为：C.
【分析】无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有四类：①开方开不尽的数；②与 有关的数；③规律性的数，如0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数；④锐角三角函数，如sin60°等，根据定义即可一一判断得出答案.
3．介于（ ）
A．－1和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：C.
【分析】利用估算无理数大小的方法求解即可.
4．下列选项中计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、，原式错误，故选项不符合题意；
B、，计算正确，故选项符合题意；
C、，原式错误，故选项不符合题意；
D、，原式错误，故选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据平方根，算术平方根和有理数的乘方法则逐项判断即可．
5．如图，数轴上A点表示一个无理数，这个无理数可能是 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由图可知，-3＜A＜-2，且A为无理数.
A、，选项不符合题意；
B、，选项符合题意；
C、 是有理数，不是无理数，选项不符合题意；
D、，选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】先根据数轴确定点P对应的数的大小，再结合选项进行判断即可.
6．若0＜ ＜1，那么 的化简结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】∵0＜ ＜1
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据已知条件0＜ x ＜1可得x-10，则=1 x，于是代数式化简的值为2.
7．已知，则的平方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵
∴a=3，b=4
代入得，，故平方根为：±
故答案为：B.
【分析】根据二次根式非负性、绝对值的非负性，由两个非负数的和为0，则每一个都等于0，可得a-3=0、b-4=0，求出a、b的值，然后求出的值，再根据平方根的概念进行解答.
8．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示．若b+d＝0，则下列结论正确的是（ ）
A．b+c0 B．1 C．adbc D．|a||b|
【答案】D
9．下列说法中正确的是（ ）
A．和数轴上一一对应的数是有理数
B．数轴上的点可以表示所有的实数
C．带根号的数都是无理数
D．不带根号的数都是有理数
【答案】B
【解析】【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．两个无理数相乘或相加也可能是有理数，无限循环小数在数轴上也可以表示出来，由此即可判定选择项．
【解答】A、和数轴上一一对应的数是实数，故本选项错误；
B，数轴上的点可以表示所有的实数，本选项正确；
C，带根号，但是有理数，故本选项错误；
D，π不带根号，但π是无理数，故本选项错误；
故选B.
【点评】初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
10．在数轴上有三个互不重合的点A，B，C，它们代表的实数分别为a，b，c，下列结论中①若abc 0，则A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧；②若a+b+c＝0，则A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧；③若a+c＝2b，则点B为线段AC的中点；④O为坐标原点且A，B，C均不与O重合，若OB﹣OC＝AB﹣AC，则bc 0，
所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【解析】【解答】解：①若abc 0，则a，b，c不可能都小于0，至少有一个大于0，所以A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧，故①符合题意；
②若a+b+c＝0，因为a，b，c不能都为0，则a，b，c中至少有一个大于0，所以A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧，故②符合题意；
③若a+c＝2b，则a- b＝b- c，点B为线段AC的中点，故③符合题意；
④如图1， B、C都在点O的右侧，
∵OB﹣OC＝BC， AB﹣AC=BC，
∴OB﹣OC＝AB﹣AC，此时bc 0，
如图2， B、C都在点O的左侧，
∵OB﹣OC＝BC， AB﹣AC=BC，
∴OB﹣OC＝AB﹣AC，此时bc 0，
如图3， B、C在点O的两侧时，若点A在点C的右侧，
显然OB﹣OC≠AB﹣AC，
如图4， B、C在点O的两侧时，若点A在O、C之间（不与O重合），
显然OB﹣OC≠AB﹣AC，
如图5， B、C在点O的两侧时，若点A在O、B之间（不与O重合），
显然OB﹣OC≠AB﹣AC，
如图6， B、C在点O的两侧时，若点A在B右侧时，
显然OB﹣OC≠AB﹣AC，
综上所述，若OB﹣OC＝AB﹣AC，则B、C在点O的同一侧，所以b和c同号，即 bc 0，故④符合题意；
故答案为：D．
【分析】①根据乘法法则判定a，b，c至少有一个大于0，据此可解；②根据加法法则判定a，b，c至少有一个大于0，据此可解；③根据两点距离公式可判断；④分情况讨论：B、C都在点O的右侧；B、C都在点O的左侧；B、C在点O的两侧且点A在点C的右侧；B、C在点O的两侧且点A在O、C之间（不与O重合）； B、C在点O的两侧且点A在O、B之间（不与O重合）； B、C在点O的两侧且点A在B右侧时；逐一画出图形进行判断，据此可解．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在数轴上，点O为原点，点C所对应的数是1，过点C作，且，以为半径作圆O与数轴相交于原点右侧的一点A，则点A表示的数是 ．
【答案】
12．计算： .
【答案】0
【解析】【解答】解：.
故答案为：0.
【分析】根据0次幂的运算性质、算术平方根的概念以及绝对值的性质可得原式=1+2-3，然后根据有理数的加减法法则进行计算.
13．比较两数的大小 3．（填“”或“”）
【答案】
【解析】【解答】解：∵2≈2×1.7≈3.4，3.4>3，
∴2>3.
故答案为：>.
【分析】根据无理数的估值可知：≈1.7，所以2≈3.4，而3.4>3，所以可以得到：2>3.
14．设的整数部分为a，小数部分为b，求8ab-8的立方根为 ．
【答案】-2
15．已有数2，8，试再写出一个数，使得这三个数中，一个数是另外两个数的乘积的一个平方根，这个数是 。
【答案】4或-4或或32
【解析】【解答】设这个数是a，①当a是2和8的乘积的一个平方根时，
②当2是a和8的乘积的一个平方根时，
③当8是a和2的乘积的一个平方根时，
∴综上所述，这个数可以是4或-4或 或32，
故答案为：4或-4或 或32.
【分析】设这个数是a，分三种情况讨论，①当a是2和8的乘积的一个平方根时，②当2是a和8的乘积的一个平方根时，③当8是a和2的乘积的一个平方根时，分别根据实数的运算计算即可.
16．给出四个实数，，，0.4，其中最小的数是 ．
【答案】
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不能全部地写出来，于是小聪用 来表示 的小数部分，你同意小聪的表示方法吗？事实上小聪的表示方法是有道理的，因为 的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是它的小数部分．请解答下列问题：
（1） 的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）如果 的小数部分是a， 的整数部分是b，求a+b+ 的值．
（3）已知 ，其中x是正整数，0【答案】（1）3；
（2）解：因为 ，
所以 的整数部分是2，
所以 ．
因为 ，所以 的整数部分是6，所以 的整数部分是4，即b=4．
将a= ，b=4代入a+b+ 中，得3- +4+ =7，所以a+b+ 的值是7．
（3）解：因为 ，所以 的整数部分是2，小数部分是 ，
所以x=2，y= ，
所以－(x－y)= ，
所以x－y的相反数为
【解析】【解答】解：（1）∵
∴
∴的整数部分为3，小数部分为.
故答案为：3，.
【分析】（1）利用估算无理数的大小的方法，可得到的整数部分和小数部分。
（2）先求出的整数部分，由此可得到的整数部分及小数部分；利用同样的方法求出b的值，然后将a，b的值代入代数式求值。
（3）根据题意求出x，y的值，然后代入求出x-y的相反数。
18．
（1）要生产一种容积为升的球形容器，这种球形的半径是多少分米？（球的体积公式是，其中R是球的半径）．
（2）已知一个正数的平方根是和，求a和这个正数的值．
【答案】（1）解：设这种球形的半径是R，由题意，得：
，
∴，
∴（分米）；
答：这种球形的半径是3分米；
（2）解：由题意，得：，
解得：，
∴这个正数为．
【解析】【分析】（1）根据要生产一种容积为升的球形容器， 列方程求解即可；
（2）根据一个正数的平方根是和，列方程， 再解方程即可。
19．已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a-9．
（1）求a和m的值；
（2）求关于x的方程的解．
【答案】（1）解：由题意得：a+6+2a-9=0，
解得：a=1，
∴；
（2）解：原方程为：，
∴，
解得：x=±4．
【解析】【分析】（1）根据平方根的性质可得a+6+2a-9=0，再求出a的值，最后求出m的值即可；
（2）利用直接开方法求解即可。
20．设2+ 的整数部分为x，小数部分为y．
（1）求2x+1的平方根；
（2）化简：|y﹣2|．
【答案】（1）解：∵4＜2+ ＜5，
∴x＝4，y＝2+ ﹣4＝ ﹣2，
根据题意得：± ＝± ＝±3；
（2）解：|y﹣2|＝| ﹣2﹣2|＝| ﹣4|＝4﹣ ．
【解析】【分析】（1）估算确定出x与y的值，即可求出2x+1的平方根；（2）把y的值代入原式计算即可求出值．
21．已知 .
（1）已知x的算数平方根为3，求a的值；
（2）如果x，y都是同一个数的平方根，求这个数．
【答案】（1）解：∵x的算术平方根是3，
∴1-2a=9，解得a=-4；
（2）解：当1-2a=3a-4，得a=1，
此时x=-1，则这个数为
当1-2a+3a-4=0，得a=3，
此时x=-5，则这个为数
【解析】【分析】（1）利用算术平方根的定义可得1-2a=9，求出a的值即可；
（2）根据x，y都是同一个数的平方根，分两种情况：可得当1-2a=3a-4，得a=1； 当1-2a+3a-4=0，得a=3，再分别代入计算即可。
22．已知某正数的两个不同的平方根是 和 ； 的立方根为-3．
（1）求 、 的值；
（2）求 的平方根．
【答案】（1）解： 正数的两个不同的平方根是 和 ，
，
解得 ，
的立方根为-3，
，
解得
、 ；
（2）解： 、 代入
得 ，
的平方根是±2．
【解析】【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数可得3a-14+a-2=0，根据立方根的概念可得b-15=(-3)3，求解可得a、b的值；
（2）根据a、b的值求出4a+b的值，然后结合平方根的概念进行解答.
23．
（1）用“<”“>”或“=”填空：1 ， ；
（2）由以上可知：
①|1- |= ，②| - |=
（3）计算： (结果保留根号)．
【答案】（1）<；<
（2） -1； -
（3）解：原式= = -1
【解析】【分析】（1）利用二次根式比较大小的方法比较大小即可；
（2）先判断绝对值里面式子的正负性，再去绝对值计算求解即可；
（3）先去绝对值，再利用二次根式的性质计算求解即可。
24．把下列各数分别填入相应的集合内：
，-2，-3.14，0，，，-0.1212212221…，（每两个1之间依次增加1个2），0.232323……
（1）有理数集合：{ …}．
（2）无理数集合：{ …}．
（3）请你再举出3个无理数的例子．
【答案】（1）解：有理数集合
（2）解：无理数集合
（3）．（答案不唯一）
【解析】【分析】（1）根据有理数的定义求解即可；
（2）根据无理数的定义求解即可；
（3）无理数是无限不循环小数，根据无理数的定义求解即可。
25．数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读了其中的奥秘.
你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试：
①∵ ， ，又∵1000＜59319＜1000000，
∴ ， 能确定59319的立方根是个两位数．
② 59319的个位数是9，又∵93=729， 能确定59319的立方根的个位数是9．
③如果划去59319后面的三位319得到数59，
而 ，则 ，可得 ，
由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39.
（1）现在换一个数110592，按这种方法求立方根，请完成下列填空.
①它的立方根是 位数． ②它的立方根的个位数是 ．
③它的立方根的十位数是 ． ④110592的立方根是 ．
（2）请直接填写结果：① = ；② = ；
【答案】（1）两；8；4；48.
（2）23；67
【解析】【解答】（1）①103=1000，1003=1000000，你能确定110592的立方根是两位数．
故答案为两；
②由110592的个位数是2，你能确定110592的立方根的个位数是 8．
故答案为8．
③如果划去110592后面的三位592得到数110，而43=64，53=125，由此你能确定110592的立方根的十位数是4．
④因此110592的立方根是 48．（2）① 23；
② 67．
【分析】（1）①根据110592大于1000而小于1000000，即可确定110592的立方根是两位数；②根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数，据此即可确定；③根据数的立方的计算方法即可确定；④根据前面判断即可得出结论．（2）首先根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数确定个位数，然后一次确定十位数．
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